声学基础答案

习题1

1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。

解：由公式m

m

o M K f π

21=

得： m f K m 2)2(π=

1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：

（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：l

g

f π21

0=

，g 为重力加速度） 图 习题1－2

解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两

力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin l

ξ

θ=

受力分析可得：sin m m F M g M g

l

ξ

θ==

（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位

移的方向相反。由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ

=-

则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d g

t l

ξξ+=

∴ 20

g l ω= 即 0f = 这就是小球产生的振动频率。

1-3 有一长为l 的细绳，以力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？

图 习题1-3

(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，

0)(2

20

02

2

00=+-+--=ε

ε

x x T

x l x l T

F x

（0x ??εΘ ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。）

2

2

2

2

0)(ε

ε

ε

ε

+++-=x T

x l T

F y

x T

x l T

ε

ε

+-≈

ε)

(00x l x Tl

-=

可见质量m M 受力可等效为一个质点振动系统，质量m M M =，弹性系数)

(00x l x Tl

k -=

。

（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为ε)

(00x l x Tl

F -=

，方向为竖直向下。

（2）振动频率为m

M x l x Tl

M

K )(00-==

ω。

（3）对ω分析可得，当2

0l

x =

时，系统的振动频率最低。 1-4 设有一长为l 的细绳，它以力T 固定在两端，如图所示。设在绳的0x 位置处悬有一质量为M 的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M 时，绳子向下产生静位移0ξ以保持力的平衡，并假定M 离平衡位置0ξ的振动ξ位移很小，满足0ξξ<<条件。

图 习题1－4

解：如右图所示，受力分析可得 002cos 4cos 12T Mg Mg l l

θπξξθ=?

???

=?=???

又0ξξ<<，'T T ≈，可得振动方程为 202d 2d 2

T

M l t

ξξ

ξ+-=

即 202d 44d T T

M t l l ξξξ+=- ∴

f =

==

1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为0ξ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移)cos(0?ωεε-=t a ， 速度表达式为)sin(00?ωεω--=t v a 。 由于00

εε

==t ，00==t v ，

代入上面两式计算可得：

t 00cos ωεε= ；

t v 000sin ωεω-=。

振动能量22022

121a m a m M v M E εω==

。 1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为0ξ，初速度为0v ，试求其振动位移、速度、和能量。 解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为m K ，质量为m M ，取正方向沿x 轴，位移为ξ。

则质点自由振动方程为 22

2d 0,d t

ξωξ+= （其中20,m m K M ω=） 解得 00cos(),a t ξξω?=-

000000d sin()cos()d 2

a a v t t t ξπ

ωξω?πωξω?=

=-+=-+ 当00t ξξ==，00t v v ==时， 00000cos cos()2a a v ξξ?π

ωξ?=??

?=-??

?00

00arctan a v ξ?ωξ?=????=??

质点振动位移为0

000

arctan

)v t ξωωξ=

-

质点振动速度为0

000arctan )2

v v t π

ωωξ=-+

质点振动的能量为222200011()22

m a m E M v M v ωξ=

=+ 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加

t t ωωξ2sin 2

1sin +=，试问：

(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？

解：Θt t ωωξ2sin 2

1

sin +=，

∴t t dt

d ωωωωε2cos cos +=

t t dt

d ωωωωε

2sin 2sin 222

2--=。 令

0=dt d ε，得：3

2π

πω±=k t 或ππω±=k t 2， 经检验后得：ω

ππ3

2±=k t 时，位移最大。

令022=dt d ε，得： πωk t =或)4

1arccos(2-±=πωk t ， 经检验后得：ω

π

k t 2=

时，速度最大。

1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示

)cos()cos(2211?ωξ?ωξξ+++=t t

试证明 )cos(?ωξξ+=t a 其中)cos(212212221??ξξξξξ-++=a ，2

2112

211cos cos sin sin arctan ?ξ?ξ?ξ?ξ?++=

证明：)cos()cos(2211?ωξ?ωξξ+++=t t

11112222cos cos sin sin cos cos sin sin t t t t ξω?ξω?ξω?ξω?=-+- 11221122cos (cos cos )sin (sin sin )t t ωξ?ξ?ωξ?ξ?=+-+ 设 1122cos cos A ξ?ξ?=+ ，1122(sin sin )B ξ?ξ?=-+

则 cos sin A t B t ξωω=+

)t ω?+ （其中arctan()B

A ?=-）

又 22222211221212cos cos 2cos cos A B ξ?ξ?ξξ??+=++ 222211221212sin sin 2sin sin ξ?ξ?ξξ??+++ 22121212122(cos cos sin sin )ξξξξ????=+++ 221212212cos()ξξξξ??=++-

又 arctan()B

A

?=-1

1221122sin sin arctan()cos cos ξ?ξ?ξ?ξ?+=+

令 22221212212cos()a A B ξξξξξ??=+=++- 则 )cos(?ωξξ+=t a

1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示

t w t w 2211cos cos εεε+= (12w w >)

试证明

)cos(1?εε+=t w a ，

其中.,)

cos()

sin(arctan

,)cos(221212212

22

1w w w wt wt wt a -=++++=??εε?ε??εεεεε

解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，

)cos(212212221t w t w a -++=εεεεε

)cos(2212

22

1wt ?εεεε++=

其中，12w w w -=?。 由三角形面积知，

?εε?εεsin 21

sin 21121a wt = 得 a

wt

ε?ε?sin sin 2=

得 wt

wt tg a ?εε?ε?2

2

22

2sin sin -=

2

212)

cos (sin wt wt

?εε?ε+=

wt

wt

?εε?εcos sin 212+=

故 wt

wt

?εε?ε?cos sin 212+=

即可证。

1-10 有一质点振动系统，其固有频率f 0为已知，而质量M m 与弹性系数K m 待求，现设法在此质量

M m 上附加一已知质量m ，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.

证 由胡克定理得 mg ＝K m ξ1 ? K m ＝mg /ξ1

由质点振动系统固有频率的表达式m m M K f π

210=

得，1

202

20244ξππf mg

f K M m m ==. 纵上所述，系统的质量M m 和弹性系数K m 都可求解.

1-11 有一质点振动系统，其固有频率f 0为已知，而质量M m 与弹性系数待求，现设法在此质量M m

上附加一质量m ，并测得由此而引起的系统固有频率变为f 0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。

解：由 m

m

M K f π

21

0=

得 m m M f K 20)2(π= 由 m

M K f m m

+=

'π

210 得 ),()2(20m M f K m m +'=π

联立两式，求得202

20f f f m M m '-'=

，2

0202

02024f f f mf K m '

-'

=π 1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。

解： 串接时，动力学方程为0

21212

2=++εε

m m m m m K K K K dt d M ，等效弹性系数为m m m m K K K K K 2121+=。 并接时，动力学方程为0)(2122=++εε

m m m K K dt

d M ，等效弹性系数为m m K K K 21+=。

1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm 可称0～1kg 。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg ，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？

解：设该岩石的实际质量为M ，地球表面的重力加速度为29.8g m s =，月球表面的重力加速度为

g '

由虎克定律知 ,M F Kx =-又 M F Mg =- 则 1100.1

Mg g

K g x ?=

== 图 1-2-3

图 1-2-4

221T π

ω=== 则2210109.8 2.544g M kg ππ?==

≈ 又

1

0.4

x x =

' 则 0.04x m '= Mg Kx ''=则2240.04 1.58K

g x m s M

π''==?≈

故月球表面的重力加速度约为21.58m s ，而该岩石的实际质量约为2.5kg 。 1-14 试求证

))1(cos()2cos()cos(cos δωδωδωω-+++++++n t a t a t a t a Λ

??????-+=δωδδ

2)1(cos 2

sin 2sin n t n a

证 ))1(()2()(δωδωδωω-+++++++n t j t j t j t j ae ae ae ae Λ

)1(++=δωj t j e ae

δδδδωδ

δωsin cos 1sin cos 111j j j n j n ae e e ae

t j n t

j ----=--=

2cos

2sin 2cos 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 222δδδδδδδδδδωωj n j n n ae j n j n ae t j t

j --?=--= )2

1(21)

2

1

2()22(2

sin

2sin 2

sin

2sin 2

sin

2sin δωδωδπδπωδ

δδ

δδ

δ-+-----?=?=?=n t j n j t j j n j t

j e n a e n ae e

e n ae 同时取上式的实部，结论即可得证。

1-15 有一弹簧m K 在它上面加一重物m M ，构成一振动系统，其固有频率为0f ， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？

(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率0f 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解：固有频率m

m

o M K f π

21

=

。 （1）200f f →

? 4

m m K

K →，故应该另外串接三根相同的弹簧； （2）?????

→→0

02f f M M m

m ? m m K K 2→，故应该另外并接一根相同的弹簧。

1-16 有一直径为d 的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质

量为m M ，弹性系数为m K 。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为

0f =

。

1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m ，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s 减少到初始值的1/e 倍，试计算：

（1）这一系统的力学参数K m ，R m ，f 0’；

（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s 后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，K m ＝mg /ε

所以 K m ＝0.2×9.8/0.04=49N/m

1/1=?=-δδe e

故 m s N R M R m m

m

/12?=?=

δ Hz f w w 57.115

.049

21'

020'

0=-=

?-=πδ （2）系统所具有的能量J K E m 0392.004.0492

1

2122=??==ε （3）平均能量J e K E t m 322

01031.52

1--?==

δε 1-18 试求当力学品质因素5.0≤m Q 时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0=ξ，0v v =，试讨论解的结果。

解：系统的振动方程为：

022=++εεεm m m K dt d R dt

d M

进一步可转化为，设m

m

M R 2=

δ， 022

2

2=++εωεδεdt d dt

d 设：

t i e γε=

于是方程可化为：

0)2(2

02=++-t j e j γωγδγ

解得：)(2

2ωδδγ-±=j ∴ t

e

)(2

02ωδδε-±-=

方程一般解可写成：

)(2

022

02t

t

t

Be

Ae

e ωδωδδε----+=

Θ存在初始条件：

00

==t ε

，00v v t ==

代入方程计算得：

20

2

2ω

δ--

=v A ，2

2

2ω

δ-=v B

∴解的结果为： )(2

022

02t

t

t

Be

Ae

e

ωδωδδε----+=

其中20

2

2ω

δ--

=v A ，2

2

2ω

δ-=

v B 。

1-19 有一质点振动系统，其固有频率为1f ，如果已知外力的频率为2f ，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。

解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为M

K ω

，质量抗为M M ω

已知 050f Hz =，300f Hz =

则 ()()M

M K M ωω＝2

2220022222

41

(50)1

4(300)36

M M f K M f ωπωωπ?==== 1-20 有一质量为0.4kg 的重物悬挂在质量为0.3kg ，弹性系数为150N/m 的弹簧上，试问： (1) 这系统的固有频率为多少？

(2) 如果系统中引入5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：(1) 考虑弹簧的质量，Hz 76.23

/3.04.0150

21

3/21

0=+=

+=

π

π

s m m M M K f .

(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量M m '为M m +M s / 3.

55.025

2'

=?=

=

m

m M R δ，Hz 64.253

/3.04.0150

21

212220'0=-+=-=π

δωπf .

(3) 品质因素66.15

5

.058.16'

0=?=

=

m

m

m R M Q ω，

位移共振频率：Hz 39.22112

'0=-

=m

r Q f f .

(4) 速度共振频率：Hz 64.2'0==f f r ， 加速度共振频率：Hz 92.22112

'0=-

=m

m r Q f Q f .

1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于

m

Q π2。 解：系统每个周期损耗的能量

T v R T W E a m F 22

1=

= ∴ m m a m a m fM R v M T

v R E E ==2

22

12

1，

发生速度共振时，0f f =。

∴

m m

m m m Q R M M f R E E π

ωπ2200=

==。 1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率0f ；（2）假定1f 与2f 为在0f 两侧，其平均损耗功率比0f 下降一半时所对应的两个频率，则有

1

20

f f f Q m -=

. 证明：（1）平均损耗功率为

2

011d 2

T R R m a W W t R v T ==-? （m R 为力阻，a v 为速度振幅）

质点强迫振动时的速度振幅为

a v =

(a F 为外力振幅，0ω为固有频率，m M 为质量，m Q 为力

学品质因素，频率比0

0f f z ==

ωω） 当z =1即0f f =时，发生速度共振，a v 取最大值，产生最大的平均损耗功率。

（2）2

2

1a m R v R W -=

2

max max 21a m R v R W -=＝2202

221m

m a m M Q F R ω-

R W =max 21R W 则 2

21a m v R -＝)21(212202

2m m a m M Q F R ω-? 即22a v ＝22022m

m a M Q F ω（1）

把a v =

带入式（1）

，则2

222)1(m Q z z -=（2） 由式（2）得m Q z z )1(2

-=-解得m

m

Q Q z 24112

+±-=

取m

m

Q Q z 24112

1++-=

m Q z z )1(2-=解得m

m

Q Q z 24112

+±=

取m

m

Q Q z 24112

2++=

则 m Q z z 112=

-即m

Q f f f f f f f 10120102=-=- ∴ 1

20

f f f Q m -=

1-23 有一质量为0.4kg 的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m 的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为tN F F 8cos 5=。

（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；

（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N ，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？

解：（1）由强迫振动方程F m m

m F K dt d R dt

d M =++εε

ε22，得 t dt d dt

d 8cos 516024.022=++εε

ε

则位移振幅m R w M w K F m

m m a

a 0369.0)(2

2

2

2

≈+-=

ε

速度振幅s m w v a a /296.0==ε 加速度振幅22/364.2s m w a a a ==ε

平均损耗功率)(0876.0212

w v R P a m -=-=

（2）速度共振时Hz 158.3)2(212'0=-==m

m m m r M R

R K f f π

则位移振幅m R w M w K F m

m m a

a 126.0)(2

222≈+-=

ε

速度振幅s m w v a a /495.2==ε

加速度振幅22/6.49s m w a a a ==ε

平均损耗功率)(225.62

12

w v R P a m -=-=

1-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在0=t ，0==v ξ

初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论0=δ与0≠δ两种情形下，当0ωω→时解的结果。

解：对于强迫振动，解的形式为：

)cos()cos(0'

00θωε?ωεεδ-+-=-t t e a t

其中m

a a Z F ωε=

，20π

θθ+=。

初始条件：0=ε，0=v ， 代入得：

0cos cos 00=+θε?εa

0sin sin cos 00'

000=++-θωε?εω?δεa

解得：

22,0222'

0)(cos sin cos 2)(sin )(cos θωθθδωθωθδωεε+++=

a 2

2

'0

2

222'00)

(cos sin cos 2)(sin )(cos cos arccos

θωθθδωθωθδθ

ωπ?+++-=

令22

,0

222)(cos sin cos 2)(sin )(cos θωθθδωθωθδ+++=G 得：

)cos()cos(0'

02'0

θωε?ωωεεδ-+-=

-t t Ge a t a 。 当0=δ时，0=m R ，2

arctan

0πθ==m m R X ，20πθθ+=，ωω='

， 2

0π

?-

=，a εε=0，

∴ )cos()2

cos(0πωεπ

ωεε-++

=t t a a

)cos (sin 0t t a ωωε+-=。

当0ωω→时，∞→a ε，达到位移共振。

1-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力t F f 0221

sin ω=的作用，试求其稳态振动的位移振

幅。

解：此单振子系统的强迫振动方程为

22002d d 111()sin ()cos d d 222

m m m F M R K F t t t t t ξξξωω++===-

则 22d d 1

d d 2m m

m M R K t t ξξξ++= （1） 202d d 1

cos d d 2

m m m M R K t t t ξξξω++= （2）

由式（1）得 1

2m

K ξ=

令j t F e ωξξ=代入式（2）得 0001j 2

()F m m m K R j M ξωωω-?=

??+-

???

?

则 12

2

20001

2

()F m

m m K R M ξωωω=

??

+-

???

?

＝

01

2m

R ω ∴ 01122A m m

K R ξω=

- 1-26 试求如图所示振动系统，质量块M 的稳态位移表示式.

解：对质量块进行受力分析，可得质量块M 的运动方程为：

wt a e F K K R R M j 2121)()(=++++ξξξ&&&

该方程式稳态解的一般形式为wt a e j ξξ=，将其代入上式可得：

)]

()[(2

121ω

ωξK K M j R R jw F a

a +-

++=

)

2

(j 0||θπ

ξ+?=e

a

其中2

21221)(||??

?

?

?

+-

++=

ωωωξK K M R R F a

a ，2

12

10arctan

R R K K M ++-

=ω

ωθ.

故质量块的稳态位移表示式可以写为：

)2

cos(||0θπ

ξξ--

=wt a .

1-27 设有如图所示的耦合振动系统，有一外力t j a e F F ω=1作用于质量1M 上。1M 的振动通过耦合

图 1-4-1

弹簧12K 引起2M 也随之振动，设1M 和2M 的振动位移与振动速度分别

为1ξ，1v 与2ξ，1v 。试分别写出1M 和2M 的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时

11221211221)(F Z Z Z Z Z Z Z v +++=

与112

212112

2)(F Z Z Z Z Z Z v ++=。

其中

11

11)(R K M j Z +-

=ω

ω，

22

22)(R K M j Z +-

=ω

ω，

ω12

12jK Z -

=。

解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：

1211211112121)(F K K dt d R dt d M =-+++εεεεε0)(1212222

2

2

222=-+++εεεεεK K dt d R dt d M 设：

t j Ae ωε=1，t j Be ωε=2

t j e V v ω11=，t j e V v ω22=

于是方程可化为：

a F BK K K R j M A =-+++-12121121)(ωω

0)(12122222=-+++-AK K K R j M B ωω

设：

11

11)(R K M j Z +-

=ωω，22

22)(R K M j Z +-

=ωω，ω

12

12jK Z -

=。

∴对上面的两个方程整理并求解可得

112

212112

21)(F Z Z Z Z Z Z Z v +++=

图 习题1-27

112

212112

2)(F Z Z Z Z Z Z v ++=

1-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：

ωa a Ap F =，

其中A 为常数，a p 为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率围，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：压差式传声器产生的作用力振幅为ωa a Ap F =，其中A ，a p 为常数，则a F 随ω变化。

电动换能方式传声器，其开路电压输出为E Blv =，要使E 均匀恒定，则要v 恒定 系统处在质量控制区时a a

a m m

F AP

v M M ω≈

=，此时a v 与频率ω无关，故在一较宽的频率围，传

声器将产生均匀的开路电压输出。

1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：传声器开路输出电压E 与振膜位移有如下关系：

εD

E E 0

=

Θ只有在力阻控制区，

m

a

m a R Ap R F =

=

ωε， 即在此控制区，输出电压E 与频率ω无关。

∴传声器的振动系统应工作在力阻控制区。

1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为0S 的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为000S C R r ρ=（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率围，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 212r a W R v =

＝2

00012

a C S v ρ 其中0ρ，0C ，0S 均为常数，要使W 均匀，则2

a v 应不受的W 影响。故振动系统应工作在力阻

控制区，此时a

a m

F v R ≈

（其中a F 为频率恒定的外力，m R 也恒定）。 1-31 有一如图所示的供测试用动圈式

振动台，台面m M 由弹簧m K 支撑着，现欲在较宽的频率围，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使

台面m M 产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：音圈通以I 电流时，在磁场下产生电动力BIL F =，由a M F m =可见，只有在质量控制区m

a

M F a ≈时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。

1-32 有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量M m =1.5×103㎏，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600㎏时，产生的位移3㎝，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1㎜、频率为

20Hz 时，隔振台M m 将产生多大的位移振幅？

解：每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×105N /m

每组弹簧的总劲度K 1=K/2

四组弹簧并联后的劲度K 2=4 K 1=2 K =3.92×105

N /m 则固有频率57.221

2

0==

M

K f πHz 由振动方程0)(0=-+ξξξ

m m K M &&，将jwt a e ξξ=，jwt a e '0ξξ=代入得， 0168.02

'

=-=M

w K K a a ξξ㎜ 1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F 0=F 10e j ωt 作用于质量块M m 上，试求传递在基础上力

F 与F 0的振幅比.

解：对质量块进行受力分析，可得质量块M m 的振动方程为：

wt m m m e F K R M j 10=++ξξξ&&&

其稳态解的一般形式为)cos(θωξξ-=t a .

其中2

2

10

10

|

|?

?? ?

?

-+=

=

ωωωωξm m m

m a K M R F Z F ，m

m

m R K M ωωθ-

=arctan

.

弹簧传递给基础的作用力为)cos(θωξξ-=?=t K K F a m m ，则m a a K F ξ=. 由此传递给基础的力F 与F 0的振幅比2

210

??

?

?

?

-

+==

ωωωm m m m

a

F K M R K F F D .

图 习题

1-31

1-34 有一振动物体产生频率为f ，加速度振幅为10a 的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为0f ，力学品质因素为m Q ，音圈导线总长为l ，磁隙中的磁通量密度为B 。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？ 解：动圈式加速度计测量 由 0m

m m

M Q R ω=

得 0m

m m

M R Q ω=

由

0f =

得 2204m m K f M π=

则 10

m a m

M a E Bl

Z =＝10

1

2

2

2()m

m m m M Bla K R M ωω??+-???

?

＝10

12

2

22222m

m m m m m M Bla K R M K M ωω??+-+????

＝10

1

22442222

000224168m Bla f f f Q ππωπω??+-+????

1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成

t t h F F a F ωωsin )sin 1(1+=，

其中h 为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。

解：外力表达式为t t h F F a F ωωsin )sin 1(1+=

])cos()[cos(2

1

)2cos(11t t h F t F a a ωωωωπω-++--=

用指数形式表示外力为t j a t j a t j a F he F he F e

F F )()()2

(112

1

21ωωωωπ

ω-+-+-

= 振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为

]2

0)cos[()(21

)2cos(313111πθωωωωθπωωε-----+--=t Z hF t Z F a

a

]2

0)cos[()(21

2121πθωωωω---++-t Z hF a

其中：m

m

m R K M ωωθ-

=arctan

1；

m

m m R K M 112)(arctan

ωωωωθ+-

+=；

m

m m R K M 1

13)(arctan

ωωωωθ--

-=；

22

1)(ω

ωm

m m K M R Z -

+=；

2

1

122])[(ωωωω+-

++=m m m K M R Z ； 2

1

12

3])[(ωωωω--

-+=m m m K M R Z 。 1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为2(1)F a t F F T

=- （(1),0,1,2,kT t k T k ≤≤+=L ）

试求振动系统的位移。

解：质点的振动方程为 22d d 2()(1)d d m m

m F a t

M R K F t F t t T

ξξξ++==- （1） 又 01

()cos sin ,F n n n F t A A n t B n t ωω∞

==++∑（2π

T

ω=

） （2） 其中 00

1()d 0T

F A F t t T ==?

2()cos d 0T

n F A F t n t t T ω==?

022()sin d T

a n F F B F t n t t T n ωπ

==?

式（2）也可表示为 0()cos()F n n n F t F n t ω?∞

==-∑ （3）

其中

2a

n F F n π

==， 2arctan

a

n F n ?π

= 把式（3）表示成为复数形式 j()0

()e n n t F n n F t F ω?∞

-==∑

则式（1）可写成 2j()20

d d

e d d n n t m m

m n n M R K F t t ω?ξξ

ξ∞

-=++=∑ （4）

设 0

n n ξξ∞==∑，代入式（4）可得 j()00

e j n n t n

n n n n

F n Z ω?ξξω∞∞

-====∑∑

其中 j j()m

n n n m m K Z R X R n M n ωω

=+=+- 取ξ的实部得 0π

cos()2n n n n n

F n t n Z ξω?θω∞

==---∑

＝2

02π

cos()2a n n n n

F n t n Z ω?θπω∞

=---∑

式中

n Z = arctan

arctan m m n

n m

m

K n M X n R R ωωθ-

==

1-37 设有如下形式的外力

????

?

????=+≤≤+-??? ?

?

+≤≤=)

,2,1,0()1()2

1

(,

21,Λk T k t T k Fa T

k t kT F F a F

作用于单振子的质量上，试求振动系统位移. 解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得

∑∞

=-=0)cos()(n n n F t n F t F ?ω

其中2

2n n n B A F +=，n

n

n A B arctan

=?. 0d )(100==

?T

F t t F T A ， 0d cos )(20

==?T

F n t nwt t F T A ，

???

??=--==?为偶数

为奇数n n n F n F t nwt t F T B a

n a T

F n 0

4])1(1[2d sin )(20

π

π.

由此n n B F =，)(2

为奇数n n π

?=

，即

a n a a a F n F F F F F F F π

πππ

4

,,54,34,4

531===

=

Λ； )(2

,,2

,2,2

531为奇数n n a

π

?π

?π

?π

?=

=

=

=

Λ.

由(1-5-14)得质点振动系统得位移

∑

∞

=---=0)2cos(n n n n

n nwt Z n F π

θ?ωξ

)cos(4)3cos(94)cos(423311πθωππθωππθωπ--+--+--=n n

a a a nwt Z n F

wt Z F wt Z F Λ(n 为奇数)

习题2

2-1 有一质量为m ，长为l 的细弦以F 的力紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？

(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B ，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端4l 处的速度振幅为多少？ 解：（1）简正频率δ

T

l n f n 2=

，且线密度l m =δ

∴基频ml

T

T l f 21211=

=

δ。 （2）基频振动的总能量2

2

22

011616π

πηl TB l T E ==。 （3）弦的位移的总和形式∑∞

=-=1

)cos(sin ),(n n n n n t x k B x t ?ωη

速度表达式为∑∞

=--=??=

1

)sin()sin (),(),(n n n n n n t x k B t x t x t v ?ωωη ∴距一端m 25.0处的速度振幅)4

sin(221

4

l

l n T l n B V n n l

x a

??

?=∑∞

==

πδπ 4

sin

1

π

πn ml T B n n n

∑∞

== )4

3sin(221

4

3l

l n T l n B V n n l

x a

??

?=∑∞

==

πδπ