第3章__时序模型

➢ （1）时间序列是平稳或可近似认为是平稳的 随机离散信号；
➢ （2）产生这一随机时间序列的原因无法确知； ➢ （3) 对时间序列的分析，由于机械系统相互
偶合作用变得十分复杂。
3.1.2 时序模型的概念
▪ 设： {yk}(k=1,2,...，N)，E yk =y≠0为平稳时间序列。 令 xk= yk - y ，序列{xk}(k=1,2,...，N)，E xk =x=0，仍是平稳
i 1

(z)
m
1 i z i
(z)
i 1
H (z) 1 (z) 1 (z) ' (z)
3.2 自回归模型的参数、阶次的确
定
❖ 3.2.1 AR模型参数的最小二乘方估计
AR(m)模型
xk = １xk-1+ 2 xk-2 +...+ m xk-m + ak
ak ~ NID(0, a2) 参数估计：根据观测数据{xk}(k=1,2,...，N )，估计出i
k rk r0 ，k=0,1,2, ...,K (K<N)
3. AR模型参数的最小二乘方估计
❖ 选i（i=1，2，...，m）使均方偏差达到最小:
m



2 a

E(xk

j xk j )2 E(xk 1xk1 2 xk2 m xkm )2
j1
AICC (14) 1 [ AICA (13) AICB (13)]
1600 1200 2 1200
800
❖ 采样数累计在1200～2800期间时，人 体处于另一种状态。
AICC (12) 1 [ AICA (11) AICB (13) ] 2800 1600 2 2400 1600 2000 1600
m--阶次；
常数系数i(i=1，2，...，m)称为自回归系数，且m>0,m≠0。
2. 滑动平均模型 MA(n)
▪ xk可表示为白噪声{ak}在 k时刻和k时刻以前n+1个 时刻上数值ak-1， ak-2，...，ak-n的加权和，或者说滑 动和的形式：
xk = ak -1 ak-1 - 2 ak--2-...-n ak-n
❖ a2用于故障诊断的思想：
建立参考状态（一般是正常工况）的时序{xk}R和模型 ARMAR或ARR，计算出参考模型的残差方差，即是该参 考状态的特征量。
进行故障诊断时，将待检时序{xk}T代入参考模型ARMAR 或ARR ，计算相对于参考模型ARMAR或ARR的残差方差。
如果待检状态与参考状态属于同一状态，则待检时序
3.3.2 自回归谱的应用
1、电动机运转噪声的自回归谱分析
a) 正前测点
b) 左前测点
电动机噪声的自回归谱(左前测点) 电动机噪声的自回归谱(正前测点)
正前测点 f S(f)
100 96.9
214 48.7
434 17.1 540 242.7 686 79.5
AIC = N ln(a2)+2m
AIC值的极小值对应的模型阶次可认为是最佳的 模型阶次。
3.2.3 机械故障时序模型诊断法
1. 根据AR模型参数i进行诊断
❖ 例1：利用1在VDF车床上进行颤振识别试验。
测点：尾架顶尖
检测信号：振动加速度信号
采样间隔：Ts=0.5s
采样数据长度：N=128
2. 样本自相关函数
❖ 平稳序列{xk}（k=1,2,...，N ），因为E xk =0，所以
自相关函数和自协方差函数相同，为
rk
E(x j x jk )
1 N
N k
x j x jk ，
j 1
k=0,1,2, ...,K (K<N)
❖ k=0，r0就等于序列的方差，定义样本自相关系数为
01 12 23 m1 m 1 11 02 33 m2 m 2

m 1 1 m22 m3 3 0m m
❖ 写成矩阵的形式有 m

m xkm )(xkm )] 0
❖ 化简得
r01 r12 r23 rm1m r1 r11 r02 r33 rm2m r2

rm11 rm22 rm33 r0m rm
❖ 各个等式的两边除以r0，得
常数m，n--自回归滑动平均模型的阶次。
(3.3)
➢ 自回归滑动平均模型的含义是：在时刻k的输出xk是系统在k 时刻前的m个输出xk-1，xk-2 ，...，xk-m与由k- n到k时刻中n+1 个互相独立的白噪声输入的线性和。
▪ 模型转换
➢ 在ARMA(m,n)(3.3)式中取m>0, n= 0，变成AR(m)(3.1) 式； 如果取m= 0, n>0，(3.3)式又变成MA(n)(3.2)式；
时间序列。
▪ 1. 自回归模型AR(m)
➢ 任何一个时刻k上的数值xk可表示为过去m个时刻上数值的 线性组合加上k时刻的白噪声：
xk = 1 xk-1+ 2 xk-2 +...+ m xk-m + ak
(3.1)
➢ 式中：{ak}(k=1,2,…)--白噪声， 且Eak=0，Dak=a2 (0<<∞), E ak ai =0(k≠i) 。
估计出i (i=1，2，...，m) ，即可按上式估计a2 。
1．几个基本命题
❖ (1) 当k≠j 时，Eakaj=0，即在不同时刻，ak是 相互独立的，ak与ak-1, ak-2...均不相关；
❖ (2) ak的分布是正态的，即 ak ~ NID(0, a2)；
❖ (3) 当j>0时，E xk-jak=0，即ak与xk-1，xk-2，... 均不相关，这从基本命题(1)，即可看出。
Sx
(
f
)

4(cos2
0


2 a
cos2 )

8 c os 0
cos
自回归谱的基本优点是： (1) 谱峰尖锐，频率定位准确、清晰； (2) 当两个谱峰的位置十分邻近时具有很强的分辨力； (3) 对周期性较强的序列不要求严格按周期采样； (4) 在保证获得足够信息的前提下，可减少采样数目；
第3章 机械故障诊断的 时序模型分析方法
3.1 时间序列模型结构特征 3.2 自回归模型的参数、阶次的确定 3.3 自回归谱的概念和应用 3.4 设备状态变化趋势性及预测
3.1 时间序列模型结构特征
▪ 3.1.1 机械设备运行过程数据序列的特点 离散的时间序列：{xk, k=1,2,...，N ｝：
❖ 多元函数求极值 :
1

E[2( xk
1 xk1
2 xk2

m xkm )(xk1 )] 0
2
E[2(xk
1 xk1 2 xk2

m xkm )(xk2 )] 0

m
E[2(xk
1 xk1 2 xk2
{xk}T应满足参考模型，从而aT2与aR2应差别不大；反之，
如果待检状态与参考状态不属于同一状态，则{xk}T就不
会满足参考模型，从而aT2与aR2差别甚大。
例 采用残差方差判断电机转子质量偏心是否超限
❖ 电机正常运行状态为参考模型，测取电机振动加速度信号，并 建立ARMAR（2,1
xk = 1.96xk-1- 0.93 xk-2+ ak + 0.693ak-1 ❖ 在不同的偏心载荷下，对持续0.5秒的电机振动加速度信号采
(3.2)
▪ 式中：常数n叫做阶次；
常数系数I (i=1，2，...，n)称为滑动平均 系数，且 n >0, n≠0。
3．自回归滑动平均模型ARMA(m,n)
▪ 线性差分方程
xk -1 xk-1- 2 xk-2 -...- m xk-m = ak -1 ak-1 - 2 ak--2-...-n ak-n ➢ 其中：m>0, n>0， m ≠0, n ≠0；
3.利用AIC指标进行状态识别
❖ 模型 C= A+B ：

AICC
A ICC

AICA AICA

AICB AICB
❖或
系统状态无变化 系统状态有变化
AICC

NC AICC

1 ( AICA 2 NA 1 ( AICA

AICB ) NB AICB )
NC 2 N A
3.3 自回归谱的概念和应用
3.3.1 自回归谱的概念
在白噪声ak输入下，输出为xk
H (z)

X (z) A( z )
1 1 z 1
1 2 z 2

m z m
将z=ej2πfTs
Sx ( f ) | H (e j2fTs ) |2 Sa ( f )
a2Ts
(i=1，2，...，m)和a2 这m+1个参数。
❖ ak = xk-1xk-1+ 2 xk-2 +...+ m xk-m a2是模型残差序列{ak }的方差，故有

2 a

E[ak2 ]
1 N
N
(xk
k p1
1 xk 1
2 xk2

m xkm )2
1 1 2
式中：Pm


1


1 1

m1 m2
m1

m
2

为自相关系数矩阵，