高三数学数列概念PPT精品课件

a2 a1
a3 a2
…
aann-1.
典型例题
1.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an= .
an=
n! 2
2.定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后
一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个
数列概念
一、数列的概念
1.定义
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2.数列是特殊的函数
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的 有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限 个或有限个孤立的点.
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列 的问题.
二、数列的表示
1.列举法 2.图象法 3.通项公式法
若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.
4.递推公式法
如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一 项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做 数列的递推公式.
[评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决
其它许多数列问题的重要途径, 因此要熟练掌握求数列单调性 的程序.
课后练习
1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式:
(1) -1,
3 2
,
-
1 3
,
43,
-
1 5
,
3 6
,…;
an=(-1)n
2+(-1)n n
(2) 5, 55, 555, ….
8-n 10
.
∴当 n<8 时, an+1>an, {an} 单调递增；
当 n>8 时, an+1<an, {an} 单调递减. 而 a8=a9, 即 a1<a2<…<a8=a9>a10>a11>…,
∴ a8 与 a9 是数列 {an} 的最大项.
故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+ 恒成立.
=
1 3n+2
+
1 3n+4
-
2 3n+3
=
2 (3n+2)(3n+3)(3n+4)
>0,
∴ f(n+1)>f(n),
∴当 n=1 时,
f(n)
有最小值
f(1)=
1 2
+
1 3
+
1 4
=
13 12
.
要使题中不等式对 n∈N*
恒成立,
只须
2a-5<
13 12
.
解得 a< 2743. ∴正整数 a 的最大值是3.
和 Tn.
Tn=
-3n2+65n, n≤11, 3n2-65n+704, n≥12.
8.已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)(
使得对任意正整数 n 都有 an≤aM ?
9 10
)n,
问是否存在正整数
M,
解:
∵
an+1-an=(n+2)(
9 11
)n+1-(n+1)(
191)n
=(
9 11
)n
Sn=a1(32n-1)(对于所有n≥1),
4.在数列 {an} 中,
公式.
an=
4n-3 4n-2
a1=
1 2
,
an+1-an=
1 4n2-1
,
求数列 {an} 的通项
5.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: log2(1+Sn)=n+1, 求数列
{an} 的通项公式.
an=
3, n=1, 2n, n≥2.
6.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3,…); 数列 {bn} 满
足: b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3,…). 求数列 {an}、{bn} 的通项公
式.
an=2n-1 bn=2n-1+2
7.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=3n2-65n, 求数列 {|an|} 的前 n 项
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2,
故 an=
5, n=1, 6n-2, n≥2.
(3)当 n=1 时, a1=S1=1;当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=23n-1,
五、数列的单调性
设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个 n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列 {an} 在 D 内单调递增(或 单调递减).
方法：作差、作商、函数求导.
六、重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);
an=a1
常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an} 是等和数列, 且 a1=2,
公和为 5, 那么 a18 的值为3 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算
公式为
.n 为奇数时,
Sn=
25n-
1 2
;
n
为偶数时,
Sn=
5 2
n.
3.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 a4=54, 则 a1 的数值为 2 .
an=
7 9
(10n-1)
an=
2n (2n-1)(2n+1)
an=5sin n2
2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项 公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n-2.
解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, 故 an=4n-5(nN*).
注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
三、数列的分类
1.按项数：有穷数列和无穷数列；
2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列； 3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.
四、数列的前 n 项和
n
Sn=a1+a2+…+an=
k=1
ak;
an=
S1
(n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2).
n个
an=555…5=
5 9
n个
(999…9)=
5 9
(10n-1)
(3) -1, 7, -13, 19,…;
an=(-1)n(6n-5)
(4) 7, 77, 777, 7777,…;
(5)
2 3
,
4 15
,
6 35
,
8 63
,
10 99
,…;
(6) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0,….
9.求使得不等式
n1+1 +
1 n+2
+
1 n+3
+…+
1 3n+1
>2a-5 对
n∈N*
恒成立的正整数 a 的最大值.
解: 记 f(n)=
1 n+1
+
1 n+2
+
1 n+3
+…+
1 3n+1
,
考察 f(n) 的单调性.
∵
f(n+1)-f(n)=
1 3n+2
+
1 3n+3
+
Байду номын сангаас1 3n+4
-
1 n+1