复旦附中高一期末(2019.01)

复旦附中高一期末数学试卷

2019.01

一. 填空题

1. 3()x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是

2.

函数y 的定义域是

3. 研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律 是：1222x x y -=⋅+(0)x ≥. 经过 分钟，该物质温度为5摄氏度

4. 函数(3)4,1()log ,1

a a x a x f x x x --<⎧=⎨

≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围 是

5. 函数122()(4174)f x x x -=-+的单调递增区间是

6. 函数0.52|log |1x y x =-的零点个数为 个

7. 若函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 8. 已知函数22,0()log ,01

x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2f -= 9. 当|lg ||lg |a b =()a b <时，则2a b +的取值范围是

10. 函数1()42

x f x =

-的图像关于点 成中心对称 11. 设2{|}M y y x -==，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1

N y y x m x x m ==+-+--≤≤-， 若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x ∈R ，(())0f f x ≥恒成立，实数a 的取值 范围是

二. 选择题

13. 下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）

A. 3y x -=和13y x -=

B. 23y x =和3

2y x =(0)x ≥

C. 2x y =(0)x >和2log y x =(1)x >

D. lg(1)y x =-(1)x >和101x y =+ 14. “1a >”是“函数()(1)x f x a a =-⋅是单调递增”的（ ）条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

15. 下列四个函数中，图像如图所示的只能是（ ）

A. lg y x x =+

B. lg y x x =-+

C. lg y x x =-

D. lg y x x =--

16. 已知n m <，函数122|1|log (1),1()2

3,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩的值域 是[1,1]-有下列结论：

① 当0n =时，(0,2]m ∈； ② 当12n =

时，1(,2]2

m ∈； ③ 当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2n ∈时，(,2]m n ∈. 其中，正确的命题为（ ）

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ③④

三. 解答题

17. 已知幂函数223()m m f x x -++=()m ∈Z 是奇函数，且(1)(2)f f <.

（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；

（2）求122

21log ()log [2()],[,2]2

y f x f x x =+∈的值域.

18. 已知函数2()log ()f x x a =+，a 为常数，()g x 是定义在[1,1]-上的奇函数.

（1）当2a =时，满足|()|1f x >的x 取值范围；

（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数1()g x -.

19. 如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）

一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度-输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度

（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过 20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？

（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为 k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L .

20. 已知函数2

()a f x x x

=+（其中a 为常数）. （1）判断函数(2)x y f =的奇偶性；

（2）若不等式1(2)242

x x x f <+

+在[0,1]x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设1()1x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对区间1[0,]2上的任意三个实数m 、n 、p ， 都存在以[()]f g m 、[()]f g n 、[()]f g p 为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值 范围；若不存在，请说明理由

3k →→

21. 函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x 、y ， 有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=.

（1）证明：(0)1f =；

（2）比较1()2f -、1

()2

f 、(1)f 的大小，并说明理由； （3）对任意的,x y +∈Q ，x y <，判断()f x 、()f y 的大小关系，并说明理由.