《解直角三角形》1PPT课件
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解直角三角形及其应用(1)PPT课件
• （3）边角关系：（满足锐角三角函数关系）
•
sin A a c
；cos A b
c
；tan
A
a b
.
• 2、在直角三角形中，除直角外的5个元素（3 条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素 （至少有一个是边），利用边角之间的关系， 就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直 角三角形。
• 3、△ABC中，∠C＝90°，根据表中的数据求 其它元素的值：
动脑筋
如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三 角形的边吗？
不能. 因为此时的直角三角形 有无数多个.
• 1、在RtΔABC中，∠C=90º，∠A、∠B、 ∠C所对的边之长分别为a,b,c.
• （1）边边关系：（勾股定理）：
•
a2+b2=c2
• （2）角角关系：（两锐角互余）：
•
∠A+∠B=90º
做一做
根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形 (全等的直角三角形算一个)？
（1）一个锐角为 40°；
无数个
（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；
1个
（3）一个锐角40°，它的对边长为3cm；
1个
（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；
1个
（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.
1个
做一做
• 3. 如图，在△ABC中，∠A=45° ， ∠B=30°，BC=8 ，求∠ACB及AC、AB的长。
C
A 45° D
30°
B
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
19
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《解直角三角形(第一课时)》教学PPT课件【初中数学】公开课
活动五
2..直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直 角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条 边,就可以求出其余的所有未知元素.
3.求未知元素时，有时可选择的关系式不止一 种,应考虑计算的方便,先求角后求边。
4.计算时要尽量利用原始数据,以防误差扩大。
教学活动6、课堂练习：
斜边,一锐角(如c,∠A) 一直角边,一锐角(如a,∠A)
1)∠B=90°-∠A; (2)由sin A=,得a=c·sin A; (3)由cos A=,得b=c·cos A
(1)∠B=90°-∠A;
(2) 由tan A= a ,得b a
b
tan A
(3) 由sinA= a ,得c a
c
sin A
或者AB=2AC=4
BC 42 22 2 3
活动四
2.在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A,∠B的度数和 BC的长.
解：∵ AC 2BC2 AB2
BC 42 22 2 3
sin B AC 1 AB 2
∴∠B=30° ∴∠A=90°-30°=60°
复习回顾
2. 特殊角的三角函数
1
2
3
sin30°＝ 2 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 2 ；
3
2
1
cos30°＝ 2 ，cos45°＝ 2 ，cos60°＝ 2 ；
3 tan30°＝ 3 ，tan45°＝ 1 ，tan60°＝ 3 .
活动一
如图所示，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方 向上，轮船向东航行5 km，到达C处时，轮船位于灯塔的 正南方，此时轮船距灯塔多少千米? (tan55°≈1.4281，结果保留两位小数)
《解直角三角形》PPT课件
C
5B
例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
不好，会增大结果的误差，应尽可能用原题中的数据.
注意事项：
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积
误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
A
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边 （2）有斜用弦, 无斜用切；
50
﹖
宁乘毋除, 取原避中。
（2）如何求∠A?
已知的BC和AC的比构成tanA,用 tanA=BC:AC来求.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角 三角形.（角度精确到1”）
（3）如何求∠B?
B
利用∠A+∠B=90°.
8
（4）如何求AB?
A
C
15
利用勾股定理.
B
解：在Rt△ABC中
8
tan A BC 8 0.53, AC 15
由边长可
A
15 C
∴∠A=28°
导出角度
sin28°≈0.47, cos28°≈0.88,
∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得
tan28°≈0.53
AB AC2 BC2 82 152 17
《解直角三角形》课件
《解直角三角形》PPT课 件
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、 性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、 直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、 应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、 总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计 算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域 中有广泛的应用。
二、 直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义 为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义 为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义 为对边与邻边的比值。
三、 特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊 的数值。
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、 性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、 直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、 应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、 总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计 算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域 中有广泛的应用。
二、 直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义 为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义 为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义 为对边与邻边的比值。
三、 特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊 的数值。
解直角三角形1PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
例1 如图所示，一 棵大树在一次强烈 的地震中于离地面 10米处折断倒下，树 顶落在离树根24米处，大树在折断之前 高多少？
= 26（米） 图19.4.1
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已
知元素，求未知元素的过程，叫做
解直角三角形.
B
如图：RtABC中，
C=90，则其余的5
a
c 个元素之间关系？
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座 小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米， 如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座 小山？
B
565米
A
1000米
C
2.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳， 问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
在解直角三角形的过程中，常会遇到近 似计算，本书除特别说明外，边长保留四个 有效数字，角度精确到1′.
小结: 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
例3、在 Rt ABC 中C900，B600,a8, 解这个直角三角 个形 锐（ 角一 及其邻边
例4、在 Rt ABC中,C900,B600,b 3, 解这个直角三 (一角 个形 锐角及其对边
例1 如图所示，一 棵大树在一次强烈 的地震中于离地面 10米处折断倒下，树 顶落在离树根24米处，大树在折断之前 高多少？
= 26（米） 图19.4.1
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已
知元素，求未知元素的过程，叫做
解直角三角形.
B
如图：RtABC中，
C=90，则其余的5
a
c 个元素之间关系？
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座 小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米， 如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座 小山？
B
565米
A
1000米
C
2.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳， 问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
在解直角三角形的过程中，常会遇到近 似计算，本书除特别说明外，边长保留四个 有效数字，角度精确到1′.
小结: 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角
演讲完毕，谢谢观看！
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例3、在 Rt ABC 中C900，B600,a8, 解这个直角三角 个形 锐（ 角一 及其邻边
例4、在 Rt ABC中,C900,B600,b 3, 解这个直角三 (一角 个形 锐角及其对边
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2．30°，45°，60°的三角函数值 如下表：
正弦
30 °
__12__
45
2
°
__ 2 __
60
3
°
__ 2 __
余弦 3
__ 2 __ 2
__ 2 __ 1
__2__
正切 3
__ 3 __ __1__
__ 3__
3.同角三角函数之间的关系： sin2α＋cos2α＝____1； tanα＝___cs_oi_ns_αα______． 互余两角三角函数之间的关系：若α＋β＝90°(0＜α＜90°，0°＜β＜90°) ，则sinα＝cosβ，cosα＝sinβ，tanα·tanβ＝1. 函数的增减性：(0°＜α＜90°) (1)sinα，tanα的值都随α_______增__大__而__增__大___； (2)cosα随α________增__大__而__减__小_____．
5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉 及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题 意明白其中的含义才能正确解题． (1)铅垂线：重力线方向的直线； (2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定 的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角； (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况 下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表示坡的水平宽度，用 i 表示坡 度，即 i＝hl ＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角 叫做方向角． 注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北 方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的 方位为“上北下南，左西右东”．
7
7．(2014·抚顺)如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两 座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米，某人在 河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 ___1_0_0__米．
8．(2014·阜新)如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边 上的点F处，如果AB∶AD＝2∶3，那么tan∠EFC值是__2_5_．
4．解直角三角形的概念、方法： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知 元素的过程叫做解直角三角形． 直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，则： (1)边与边的关系：____a_2_＋__b_2＝__c_2_____； (2)角与角的关系：___∠__A__＋__∠__B_＝__9_0_°______； (3)边与角的关系： _____s_i_n_A_＝__c_o_s_B_＝__ac_，__c_o_sA__＝__s_in_B_＝ __b_c，__t_a_n_A_＝__ba_，__t_a_n_B_＝__ba_________．
1．当有些图形不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分 割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．
2．解直角三角形的类型和解法
已知条件 一直角边和一锐
角(a，∠A)
已知斜边和一个 锐角(c，∠A)
已知两直角边 (a，b)
已知斜边和一条 直角边(c，a)
图形
解法
∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b＝tanaA
9．(2015·盘锦)如图，小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD，EF，一天， 他在 A 处测得树顶 D 的仰角∠DAC＝30°，在 B 处测得树顶 F 的仰角 ∠FBE＝45°，线段 BF 恰好经过树顶 D，已知 A，B 两处的距离为 2 米， 两棵树之间的距离 CE＝3 米，A，B，C，E 四点在一条直线上，求树 EF 的高度．( 3≈1.7， 2≈1.4，结果保留一位小数)
5．(2015·大连)如图，从一个建筑物的A处测得 对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角 为45°，观测点与楼的水平距离AD为31 m，则
50 楼BC的高度约为______m．(结果取整数，参考 数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6) 6．(2015·抚顺)如图，在A处看建筑物CD的顶 端D的仰角为α，且tanα＝0.7，向前行进3米到达 B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一 平面内，A，B，C三点在同一条直线上， CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为____米．
1．(2014·锦州)计算：tan45°－31( 3－1)0＝_23___． 2．(2014·本溪)在△ABC 中，∠B＝45°，cosA＝12，则∠C 的度数是_7_5__°_． 3．(2013·鞍山)△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝43，则 BC 的长_2__7__． 4．(2015·阜新)如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部 A 看地面上的一点 B，俯角为 30°，已知地面上的这点与楼的水平距离 BC 为 30 m，那么楼 的高度 AC 为__1_0__3______m．(结果保留根号)
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA, b＝ c·cosA
c＝ a2＋b2，由 tanA＝ba求∠A，∠B ＝90°－∠A
b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠A，∠B ＝90°－∠A
3.解直角三角形小口诀： 有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中． 有斜用弦：已知斜边时用正弦或余弦； 无斜用切：与直角边有关，没斜边时用正切； 宁乘毋除：能用乘法时尽量回避除法运算，减小计算量和误差； 取原避中：计算时尽量使用原始数据，少用计算过程中得到的近似数 以减小误差．
锐，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的对边
∠α的正弦sinα＝_______斜_边____； ∠α的余弦cosα＝___∠__α_斜的__边邻__边__； ∠α的正切tanα＝___∠∠__αα_的的__对邻__边边__．