苏科版初中数学九年级上册同步全解
苏科版九年级上1.2一元二次方程的解法(1)同步练习含答案.doc
苏科版九年级上 1.2 一元二次方程的解法（1）同步练习含答案1.2一元二次方程的解法（1）【基础提优】1．已知一元二次方程mx2n 0(m0) ，若方程可以用直接开平方法求解，且有两个不相等的实数根，则m ， n 必须满足的条件是（）A ．n 0 B．m，n异号C．n是m的整数倍 D ．m，n同号2．方程3x2 9 0 的根为（）A ．3 B． 3 C． 3 D．无实数根3x 4 是一元二次方程x23x a2 的一个根，那么常数a的值为（）．如果A ．2 B． 2 C． 2 D ． 44．已知一元二次方程( x 6)2 16 可转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是 x 6 4 ，则另一个一元一次方程是（）A ．x 6 4B ．x 6 4C．x 6 4 D ．x 6 45．下列解方程的过程中，正确的是（）A ．x2 2 ，解方程，得x 2B．( x 2)2 4 ，解方程，得x 2 2 ， x 4C．4( x 1) 2 9 ，解方程，得4(x 1) 3 ， x1 7 ， x2 14 4D．( 2x 3) 2 25 ，解方程，得2x 3 5 ，x1 1 ， x2 46．若最简二次根式 a 2 25 与4a2 2 是同类二次根式，则 a ．7．当x 时，分式x2 9的值为 0．x 2 18．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为 81 元．已知两次降价的百分比都为x ，那么 x 所满足的方程是， x ．9．用直接开平方法解下列方程：（1）x2 3 0 ；（ 2）4x2 9 0 ；（3）(2)2 9 0；（ 4）4( y 3) 2169 ；x1（5）( 2x 1)2 8 ；（ 6）1(x 3)2 3 ．4【拓展提优】1．（ 1）一元二次方程(x 1)2 2 的解为；（ 2）一元二次方程12(3 2x) 2 3 0 的解为．2．若( a2 b 2 2)2 49 ，则a2 b2 ．3．若x2 8y2 0 ，则x y．x y4．已知关于x的方程a( x m)2 b 0(a，m，b 均为常数，且 a 0) 的解是x1 2 ，x2 1 ，则关于 x 的方程 a(x m 2) 2 b 0 的解是．5．用直接开平方法解下列方程：（1）x2 4x 4 1 ；（ 2）(2x 1)2 ( x 2) 2．6．已知双曲线y 28x 相交于点A，求点A的坐标．与直线 yx7．某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元， 3 月份的营业额比 2 月份增加 10%， 5 月份的营业额达到 633.6 万元，求 3 月份至 5 月份营业额的月平均增长率．28．某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1250m 2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了 20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第 3 天拆迁了1440m2．（1）该工程队第一天拆迁的面积；（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．【趣味思考】1．已知y x 0 ，x y 2 xy 2 ，试求x y 的值．参考答案【基础提优】1-5 BDCDD6． 37． 3．100(1 x) 281； 0.1839．解：（ 1）x1 3 ， x2 33 3 ；（ 2）x1 ， x2 ；2 2（ 3）x1 5 ， x2 1 ；19， y 27 （ 4）y1 ；2 2（ 5）x1 1 2 2， x21 2 22 2；（ 6）x1 3 2 3 ， x2 3 23．【拓展提优】1．（ 1）x1 1 2 ， x2 17 5 2 ；（2）x1 ， x2 ．4 42． 99 4 23．74．x1 4 ， x2 15．解：（ 1）x1 1， x2 3 ；（2） x1 1 ， x2 1 ．6． A （0.5，4）或A（0.5 ，4）7． 20%8．（ 1） 1000m2；（ 2） 20%【趣味思考】1． 24。
初中数学一元二次方程(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(苏科版)
第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程课程标准课标解读1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.1、理解并掌握一元二次方程的定义.2、正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数知识点01 一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【微点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．10x += B ．11x x-= C ．223x y +=D ．2310x x -+=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．目标导航知识精讲【详解】解：A 、10x +=是一元一次方程，故错误； B 、11x x-=不是整式方程，故错误； C 、223x y +=是二元二次方程，故错误； D 、2310x x -+=是一元二次方程，故正确． 故选：D ．知识点02 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【微点拨】 (1) 只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.【即学即练2】2．下列方程中，常数项为0的是（ ） A ．210x x ++= B ．221212x x --= C ．()2213(1)x x -=- D ．()2212x x +=+【答案】D 【分析】要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：A 、x 2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； B 、2x 2-x -24=0，常数项为-24，故本选项不符合； C 、2x 2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； D 、2x 2-x=0，常数项为0，故本选项符合． 故选：D ．知识点03 一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】3．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式22m m --的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．5【答案】A 【分析】把x=m 代入210x x --=即可求解． 【详解】解：把x=m 代入210x x --=，得210m m --=，∴221m m --=-， 故选A ．知识点04 一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.【即学即练4】4．已知2x =-是关于x 方程2530bx ax ++=的根，则代数式17208a b -+的值为（ ） A ．11 B ．14C ．20D ．23【答案】A 【分析】将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+=，然后适当整理变形即可求解． 【详解】解：将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+= ∴1043a b -=∴17208a b -+()172104a b =-⨯-1723=-⨯11=故选：A考法01 一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．620x -+= B ．2210x y C ．212x x+= D ．220x x +=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、是二元二次方程，故B 不符合题意； C 、是分式方程，故C 不符合题意； D 、是一元二次方程，故D 符合题意； 故选：D ．考法02 一元二次方程的解方程的解的定义：使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。
苏科版-数学-九年级上册-1.2一元二次方程的解法 同步学案(五)
一元二次方程的解法学习目标1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况学习重、难点重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值学习过程：一、情境创设不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －3二、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？例解下列方程：⑴x2＋x－1 = 0 ⑵x2－23x＋3 = 0 ⑶2x2－2x＋1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac ＜0时，方程没有实数根。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。
2、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac = 0当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜0三、例题教学例 1 不解方程，判断下列方程根的情况：⑴3x2－x＋1 = 3x⑵5（x2＋1）= 7x⑶3x2－43x = －4分析：先把方程化为一般形式，确认a、b、c后，再算出b2－4ac的值，对方程给予判定。
例 2 若方程8x2－（m－1）x＋m－7 = 0有两个不相等的实数根，求m的值。
分析：本题与例1刚好相反，应由方程有两个不相等的实数根得b2－4ac = 0，从而得到关于m的方程，求出m的值。
(苏科版)数学九年级(上册)数学同步训练3-4方差【含答案】
（苏科版）数学九年级（上册）数学同步训练3.4方差一、单选题1．在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①；②；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定．由统计图22s s >甲乙22s s <乙乙可知正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2．将一组数据中的每一个数都减去50后，所得的新的一组数据的平均数是2，方差是5.则原来那组数据的平均数、方差分别是（ ）A ．50，5B ．52，5C ．48，3D ．48，53．在一次科技作品制作比赛中，某小组8件作品的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）A ．众数是9B ．中位数是8C ．平均数是8D ．方差是74．在方差的计算公式s =[（x -20）+（x -20）+……+（x -20）]中，数字10和20分别表示21101222102的意义可以是（ ）A ．数据的个数和方差B ．平均数和数据的个数C ．数据的个数和平均数D ．数据组的方差和平均数5．选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，我校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方x 差s 2如表所示：甲乙丙丁x12″3310″2610″2611″29S 21.11.11.31.6要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定s 2甲<s 2乙s 2甲>s 2乙s 2甲=s 2乙7．甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数及其方差s 2如右表所示，则选拔一名参赛的人__x 选，应是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．为了考察甲、乙两班期中数学成绩的波动大小，从这两班各抽10人的数学成绩进行比 较，算出甲班10人的成绩方差比乙班10人的成绩方差大，由此可估计出（ ）A ．甲班比乙班整齐B ．乙班比甲班整齐C ．甲、乙两班成绩一样整齐D ．无法确定二、填空题9．甲、乙两人5次射击命中的环数如下：甲：7，9，8，6，10乙：7，8，9 ，8， 8则这两人5次射击命中的环数的平均数==8，方差_____．（填“＞”、“＜”或“=”）x 甲x 乙2s 甲2s 乙10．已知数据1，2，3，4，5的方差为_________ ，标准差为_______ ．11．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪过后，经过统计，小明的平均成绩是9.2环，标准差为0.35环；小林的平均成绩是9.2环，标准差是1.23环．根据经验，新手的成绩通常不太稳定，因此，可以推断_______是新手.12．甲、乙、丙、丁四位同班同学近两次月考的班级名次如下：学生甲乙丙丁第一次月考1234第二次月考2468这四位同学中，月考班级名次波动最大的是________．13．对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高（单位：m ）进行测量，算出平均数和方差为x ，，，，于是可估计株高较整齐的小麦品种为_______．0.95x =甲2 1.01s =甲0.95x =乙21.35s =乙14．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是_____．15．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是x各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．甲乙丙丁x7887s21 1.20.9 1.8三、解答题16．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在最近的10次选拔赛中，他们的成绩如下（单位：cm）：甲：585，596，610，598，612，597，601，600，600，601；乙：600，618，580，574，618，593，585，590，598，624．（1）他们的平均成绩分别是多少？（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？（4）历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就很可能夺冠．你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛？17．已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6．（1）求这组数据的平均数、众数、中位数；（2）求这组数据的方差和标准差．18．英语老实在班级搞了英语听力对比试验，现对甲、乙两个试验组各10名同学进行英语听力测验，各测5次，每组同学合格的次数分别如下：甲：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1乙：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3（1）如果合格3次以上（含3次）作为及格标准，请说明哪一组的及格率高；（2）请你比较哪个小组的英语听力的合格次数比较稳定．19．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.20．水稻种植是嘉兴的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻秧苗的长势,农技人员从两块试验田中分别随机抽取5株水稻秧苗,将测得的苗高数据绘制成如图所示的统计图.请你根据统计图所提供的数据,计算甲、乙两种水稻苗高的平均数和方差,并比较两种水稻的长势.21．A、B两校举行初中数学联赛,各校从九年级学生中挑选50人参加,成绩统计如下表:成绩(分)50 60 70 8090 100A251013146人数B441621212请你根据所学知识和表中数据,判断这两校学生在这次联赛中的成绩谁优谁次?4A22．某级旅游景区上山的一条小路上，有几段台阶，如图是其中的甲、乙两段台阶的示意图，图中各数据表示该层台阶高度（单位：cm），哪段台阶走起来更舒服些？为什么？23．为了确定射击比赛的选手，调取了甲、乙两人在5次打靶测试中的成绩（单位：环）如下：第1次第2次第3次第4次第5次甲78889乙777910（1）根据以上数据填写下表：平均数/环众数/环中位数/环方差甲880.4乙7（2）从统计的角度分析：教练选择谁参加射击比赛更合适，其理由是什么？（3）若乙再射击l次，且命中8环，则其射击成绩的方差_______.（填“变大”“变小”或“不变”）24．某校九年级学生开展踢毽子活动,每班派5名学生参加,按团体总分排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩.1号2号3号4号5号总个数甲班1009810297103500乙班991009510997500经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题:(1)甲、乙两班的优秀率分别为 、 ;(2)甲、乙两班比赛数据的中位数分别为 、 ;(3)计算两班比赛数据的方差;(4)根据以上三条信息,你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班?简述理由.答案1．C由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，x 甲=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，x 乙甲的方差S 甲2=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+（10-8.5）2+5×（9-8.5）2]÷10=0.85，乙的方差S 乙2=[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]÷10=1.45，∴S 2甲＜S 2乙，∴甲的射击成绩比乙稳定；故选C ．2．B解：∵一组数据中的每一个数减去50后的平均数是2，方差是5，∴原数据的平均数是52，方差是5，故选：B ．3．A解：8件作品的成绩（单位：分）按从小到大的顺序排列为：7、7、8、8、9、9、9、10，9出现了3次，次数最多，故众数为9，中位数为（8+9）÷2=8.5，平均数=（7×2+8×2+9×3+10）÷8=8.375，方差S 2=[2×（7-8.375）2+2×（8-8.375）2+3×（9-8.375）2+（10-8.375）2]=0.．18所以A 正确，B 、C 、D 均错误．故选A ．4．C10位于分数 的分母上，根据方差的计算公式可知，10表明样本数据的个数，也就是样本容量为10，110数字20为样本数据的平均数，即样本的均值．故选C 5．B解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，所以选择乙.故选：B ．6．A解：根据方差的意义知，成绩越稳定，则方差越小，∵甲、乙学生所中环数的平均数相同，且甲的成绩比乙的成绩稳定，∴.s 2甲<s 2乙故选A.7．B∵甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数乙和丙成绩最好，平均环数的方差s 2中甲和乙最小，∴四人乙的成绩最好且最稳定，∴最佳人选是乙．故选B ．8．B根据题意可得，甲班10人的成绩方差比乙班10人的成绩方差大，∴乙班的成绩比甲班的成绩整齐.故选B.9．＞解：S 2甲=[(7-8)2+(9−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(10−8)2)]=2，15S 2乙=[(7-8)2+(8−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(8−8)2)]=0.4，15∴S 2甲＞S 2乙．故＞．10．2解：由平均数的公式得：(1+2+3+4+5)÷5=3，∴方差=[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]÷5=2,∴标准差故答案为.11．小林由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林．故答案为小林．12．丁根据方差的定义可得：因为丁的方差大于甲、乙、丙的方差，所以月考班级名次波动最大的是丁；故答案为丁．13．甲∵=0.95，=0.95，s 甲2=1.01，s 乙2=1.35，x 甲x 乙∴s 甲2＜s 乙2，∴估计株高较整齐的小麦品种是甲．故答案为甲．14．小李．解：根据图中的信息找出波动性大的即可：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，则这两人中的新手是小李．故小李．15．丙因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为丙．16．（1），；（2），；（3）甲的平均成绩相对较高，而600cm x =甲598cm x =乙250s =甲2263.8s =乙且波动较小；乙的平均成绩相对较低，且不稳定；（4）为了夺冠应选甲参赛；为了打破纪录，应选乙参赛．（1）．1(585596601)600(cm)10x =⨯++⋯+=甲．1(600618624)598(cm)10x =⨯++⋯+=乙（2）．22221=[(585600)(596600)(601600)]5010s ⨯-+-+⋯+-=甲．22221[(600598)(618598)(624598)]263.810s =⨯-+-+⋯+-=乙（3）甲的平均成绩相对较高，而且波动较小；乙的平均成绩相对较低，且不稳定．（4）为了夺冠应选甲参赛；为了打破纪录，应选乙参赛．17．(1) 平均数是5，众数是6，中位数是5.5；(2) 方差是2.（1）按从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7. 平均数=（3×2+4+5+6×3+7）÷8=5，众数x 是6，中位数是（5+6）÷2=5.5；（2）方差S 2=（4+4+1+0+1+1+1+4）÷8=2，标准差：S=.18．（1）甲30％ 乙50％ （2）甲比较稳定解：(1)因为甲组3名同学及格,乙组有5名同学及格,所以甲组的及格率=；31030%乙组的及格率为.150%2=所以乙小组的及格率高.(2)∵甲=(4+1+2+2+1+3+3+1+2+1)=2次，X 110乙= (4+3+0+2+1+3+3+0+1+3)=2次，X 110∴S 2甲= [(4−2)2+(1−2)2+(2−2)2+(2−2)2+…+(1−2)2]=1(次)2，110S 2乙= [(4−2)2+(3−2)2+(0−2)2+(2−2)2+…+(3−2)]2≈1.8(次)2，110∵S 2甲＜S 2乙，∴甲组的合格次数比较稳定.19．（1）见解析（2）乙种玉米的苗长的高（3）甲种玉米的苗长得整齐解：（1）甲的极差： 42-14=28(cm)；乙的极差：44-16=28(cm).甲的平均值:1214239141922374140253010x cm=+++++++++=甲（）（）乙的平均值:()()1271640411644404027443110x cm =+++++++++=乙甲的方差:,()()()()22222213042302530104.210S cm -+-++-== 甲乙的方差:()()()()22222273116314431128.810S cm -+-++-== 乙（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以一种玉米的苗长的高.（3）因为，所以甲种玉米的苗长得整齐.22S S ≤甲乙20．乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些.解:每种水稻的苗高如下表所示:(单位:cm)编号12345甲种水稻苗高75458乙种水稻苗高64565因为=×(7+5+4+5+8)=5.8(cm),x 甲15=×(6+4+5+6+5)=5.2(cm),x 乙15所以甲种水稻比乙种水稻长得更高一些.因为=× [(7-5.8)2+(5-5.8)2+(4-5.8)2+(5-5.8)2+(8-5.8)2]=2.16,2S甲15=× [(6-5.2)2+(4-5.2)2+(5-5.2)2+(6-5.2)2+(5-5.2)2]=0.56,2S乙15所以乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些.21．详见解析解:从众数看,A 校学生成绩的众数为90分,B 校学生成绩的众数为70分,A 校学生的成绩较优;从方差看,=172,=256,∵<,∴A 校学生的成绩较稳定;2A S 2B S 2A S 2B S 从中位数、平均数上看,两校学生成绩的中位数、平均数都是80分,但A 校80分以上(包括80分)的人数为33人,B 校只有26人,A 校的成绩总体好些;A 校90分以上(包括90分)的有20人,B 校有24人,且A 校100分的只有6人,B 校有12人,所以B 校的尖子生较突出.22．甲路段台阶走起来更舒服些，见解析.，1(162152142)15(cm)6x =⨯⨯+⨯+⨯=甲．1(111518171019)15(cm)6x =⨯+++++=乙甲组数据的极差为，16142(cm)-=乙组数据的极差为．19109(cm)-=，222222212[(1615)(1615)(1515)(1515)(1415)(1415)]63s =⨯-+-+-+-+-+-=甲2222222135[(1115)(1515)(1815)(1715)(1015)(1915)]63s =⨯-+-+-+-+-+-=乙由于甲路段台阶高度的极差、方差均小于乙路段的极差和方差，因此，甲路段台阶高度起伏较小，走起来更舒服些．23．（1）8 8 7 1.6；（2）选择甲参加射击比赛更合适，理由见解析；（3）变小.解：（1）填表如下：平均数/环众数/环中位数/环方差甲8880.4乙8771.6甲的众数为8环，乙的平均数为（环），乙的中位数为7环，方差为1(777910)85⨯++++=；22213(78)(98)(108) 1.65⎡⎤⨯-+-+-=⎣⎦故8，8，7，1.6.（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛更合适.（3）如果乙再射击1次，命中8环，则有：，222213(78)(98)(108)(88) 1.336⎡⎤⨯-+-+-+-=⎣⎦∵1.33 1.6<∴乙的射击成绩的方差变小．故变小.24．(1) 60%;40%(2) 100;99(3) =，=（4）应该把团体第一名的奖状给甲班.理由见解析.2S甲2652S 乙1165（1）甲班的优秀率为：100%=60%，乙班的优秀率为：100%=40%；35⨯25⨯（2）甲班比赛数据的中位数是100；乙班比赛数据的中位数是99；（3）甲的平均数为：（100+98+102+97+103）÷5=100（个），S 甲2=[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（102﹣100）2+（97﹣100）2+（103﹣100）2]÷5；265=乙的平均数为：（99+100+95+109+97）÷5=100（个），S 乙2=[（99﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（109﹣100）2+（97﹣100）2]÷5；1165=（4）应该把团体第一名的奖状给甲班，理由如下：因为甲班的优秀率比乙班高；甲班的中位数比乙班高；甲班的方差比乙班低，比较稳定，综合评定甲班比较好．。
苏科版九年级数学上册全册同步练习题(共56套带答案)
苏科版九年级数学上册全册同步练习题（共56套带答案）第3章数据的集中趋势和离散程度 [测试范围：3.1～3.3 时间：40分钟分值：100分] 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．一组数据1，3，4，2，2的众数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．一组数据7，8，10，12，13的平均数是( ) A．7 B．9 C．10 D．12 3．一组数据3，3，5，6，7，8的中位数是( ) A．3 B．5 C．5.5 D．6 4．一次数学检测中，有5名学生的成绩(单位：分)分别是86，89，78，93，90.则这5名学生成绩的平均数和中位数分别是( ) A．87.2分，89分 B．89分，89分 C．87.2分，78分 D．90分，93分 5．学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：得分(分) 60 70 80 90 100 人数 7 12 10 8 3 则得分的众数和中位数分别是( ) A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分 6．如图4－G－1是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( ) 图4－G－1 A．16小时，10.5小时 B．8小时，9小时 C．16小时，8.5小时 D．8小时，8.5小时 7．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：候选人甲乙丙丁测试成绩 (百分制) 面试 86 92 90 83 笔试90 83 83 92 如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，根据四人各自的平均成绩，公司将录取( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是x，则数据x1＋3，x2＋3.5，x3＋2.5，x4＋2，x5＋4的平均数为( ) A．x＋2 B．x＋2.5 C．x＋3 D．x＋3.5 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．在演唱比赛中，5位评委给一位歌手的打分如下：8.2分，8.3分，7.8分，7.7分，8.0分，则这位歌手的平均得分是________分． 10．如图4－G－2是根据某地某段时间的每天最低气温绘成的折线图，那么这段时间最低气温的平均数是________．图4－G－2 11．某班学生综合实践作物栽培操作能力评估成绩的统计结果如下表：成绩/分 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 12 2 8 9 15 12 则这组成绩的众数为________． 12. 某校在进行“阳光体育活动”中，统计了7名原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低的千克数为5，9，3，10，6，8，5，则这组数据的中位数是________．13．一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为________． 14．某校抽样调查了七年级学生每天的体育锻炼时间，整理数据后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第________组．组别时间(时) 频数第1组0≤t＜0.5 12 第2组0.5≤t＜1 24 第3组1≤t＜1.5 18 第4组1.5≤t＜2 10 第5组2≤t＜2.5 6 三、解答题(共44分) 15．(8分)已知一组数据：3，a，4，5，b，c，6.(1)若这组数据是按由小到大的顺序排列的，则中位数是________；(2)若该组数据的平均数是12，求a＋b＋c的值．16．(10分)一销售某品牌冰箱的公司有营销人员14人，销售部为制定营销人员月销售冰箱定额(单位：台)，统计了14人某月的销售量如下表：每人销售量(台) 20 17 13 8 5 4 人数 1 1 2 5 3 2 (1)这14名营销人员该月销售冰箱的平均数、众数和中位数分别是多少？ (2)你认为销售部经理给这14名营销人员定出每月销售冰箱的定额为多少台才比较合适？并说明理由．17．(12分)九(3)班A，B，C三名同学的知识测试、实践能力、成长记录三项成绩(单位：分)如下表所示．测试项目测试成绩 A B C 知识测试 90 88 90 实践能力 82 84 87 成长记录 95 95 90 (1)如果根据三项测试的平均成绩评价他们的综合成绩，那么谁的成绩最好？ (2)如果把他们的知识测试、实践能力、成长记录三项成绩按5∶3∶2的比例计入综合成绩，那么谁的成绩最好？18．(14分)为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图4－G－3中两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中共调查了多少名学生？ (2)求户外活动时间为0.5小时的人数，并补全条形统计图； (3)求表示户外活动时间为2小时的扇形圆心角的度数； (4)本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数各是多少？图4－G－3详解详析 1．B 2.C 3．C [解析] 这组数据已经从小到大排列了，中间的两个数是5和6，故中位数是(5＋6)÷2＝5.5. 4．A 5．C [解析] 全班有40人，取得70分的人数最多，故众数是70分；把这40人的得分按大小顺序排列后知，第20个与第21个得分都是80分，故中位数是80分． 6．B [解析] 众数是一组数据中出现次数最多的数，所以该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是8小时；将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20个和第21个数都是9，故该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是9小时． 7．B [解析] 因为甲的平均成绩为86×0.6＋90×0.4＝51.6＋36＝87.6(分)；乙的平均成绩为92×0.6＋83×0.4＝55.2＋33.2＝88.4(分)；丙的平均成绩为90×0.6＋83×0.4＝54＋33.2＝87.2(分)；丁的平均成绩为83×0.6＋92×0.4＝49.8＋36.8＝86.6(分)．所以乙的平均成绩最高．故选B. 8． C 9．8.0 [解析] 根据题意，得(8.2＋8.3＋7.8＋7.7＋8.0)÷5＝8.0(分)． 10．4 ℃ 11．9分 12．6 13．2 14． 2 [解析] 中位数应是第35个和第36个数的平均数，第35个数和第36个数都在第2组．15．解：(1)5 (2)由题意可知17(3＋a＋4＋5＋b＋c＋6)＝12，所以a＋b＋c＝66. 16．解：(1)平均数为20×1＋17×1＋13×2＋8×5＋5×3＋4×214＝9(台)， 8台出现了5次，出现的次数最多，所以众数为8台， 14个数据按从小到大的顺序排列后，第7个，第8个数都是8，所以中位数是(8＋8)÷2＝8(台)． (2)每月销售冰箱的定额为8台才比较合适．因为8台既是众数，又是中位数，是大部分人能够完成的台数．若定为9台，则只有少量人才能完成，打击了大部分职工的积极性． 17．解：(1)xA＝13(90＋82＋95)＝89(分)； xB ＝13(88＋84＋95)＝89(分)； xC＝13(90＋87＋90)＝89(分)．可见，三名同学的成绩一样． (2)xA＝90×50%＋82×30%＋95×20%＝88.6(分)； xB＝88×50%＋84×30%＋95×20%＝88.2(分)； xC＝90×50%＋87×30%＋90×20%＝89.1(分)．可见，C同学的成绩最好． 18．解：(1)共调查了32÷40%＝80(名)学生． (2)户外活动时间为0.5小时的人数为80×20%＝16(名)．补全条形统计图如下． (3)表示户外活动时间为2小时的扇形圆心角的度数为1280×360°＝54°. (4)本次调查中学生参加户外活动的平均时间为16×0.5＋32×1＋20×1.5＋12×280＝1.175(时)．∵1.175＞1，∴平均活动时间符合要求．户外活动时间的众数和中位数均为1小时．第2章对称图形――圆 [测试范围：2.1～2.3 时间：40分钟分值：100分] 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知⊙O的半径为8，点P与点O的距离为6 2，则( ) A．点P在⊙O的内部 B．点P在⊙O的外部 C．点P在⊙O上 D．以上选项都不对 2．下列说法中正确的个数为( ) ①直径不是弦；②三点确定一个圆；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图2－G－1，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弦AB的长为( ) A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 图2－G－1 图2－G－24．如图2－G－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C 为圆心，BC长为半径的圆分别交AB，AC于点D，E，则BD�嗟亩仁�为( ) A．26° B．64° C．52° D．128° 图2－G－3 5．如图2－G－3，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( ) A．5 B．7 C．9 D．11 6．一个点到一个圆上的点的最短距离是3 cm，最长距离是6 cm，则这个圆的半径是( ) A．4.5 cm B．1.5 cm C．4.5 cm或1.5 cm D．9 cm或3 cm 7．如图2－G－4所示，一圆弧过方格的格点A，B，C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(－2，4)，点C的坐标为(0，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A．(－1，2) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(2，1) 图2－G－4 图2－G－5 8．如图2－G－5，在⊙O中，弦AB∥CD，直径MN⊥AB且分别交AB，CD于点E，F，下列4个结论：①AE＝BE；②CF＝DF；③AC�啵�BD�啵虎�MF ＝EF.其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(每小题4分，共24分) 9．圆是轴对称图形，它的对称轴是______________． 10．在平面内，⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离为7 cm，则点P与⊙O的位置关系是________． 11．如图2－G－6，⊙O的半径为5，点A，B在⊙O上，∠AOB＝60°，则弦AB 的长为________．图2－G－6 图2－G－712．如图2－G－7，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为________． 13．如图2－G－8，矩形ABCD与⊙O交于点A，B，F，E，DE＝1 cm，EF＝3 cm，则AB＝________ cm. 图2－G－8 图2－G－914．已知：如图2－G－9，A是半圆上的一个三等分点，B是AN�嗟闹械悖�P是MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值是________．三、解答题(共52分) 15．(12分)如图2－G－10，AB，CD为⊙O的直径，点E，F在直径CD上，且CE＝DF. 求证：AF＝BE. 图2－G－1016．(12分)如图2－G－11，AB是⊙O的直径，AC�啵�CD�啵�∠COD＝60°. (1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC∥BD. 图2－G－1117．(14分)如图2－G－12，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON∶AN＝2∶3，OM⊥CD，垂足为M.(1)求OM的长； (2)求弦CD的长．图2－G－1218．(14分)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图2－G－13所示．圆O与纸盒交于E，F，G三点，已知EF＝CD＝16 cm. (1)利用直尺和圆规作出圆心O； (2)求出球的半径．图2－G－13详解详析 1．B [解析] ∵82＝64，6 22＝72，且64<72，∴8<6 2，∴点P与点O的距离大于⊙O的半径，∴点P在⊙O的外部．故选B. 2．A [解析] ③正确，这是根据圆的轴对称的性质来判断的．①错误，直径是过圆心的弦；②错误，不在同一条直线上的三点才能确定一个圆；④错误，相等的圆心角所对的弧不一定相等，所对的弦也不一定相等，缺少“在同圆或等圆中”这一条件．正确的只有③.故选A. 3．C 4．C [解析] ∵∠ACB＝90°，∠A＝26°，∴∠B＝64°.∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝64°，∴∠BCD＝180°－64°－64°＝52°，∴BD�嗟亩仁�为52°.故选C. 5．C [解析] 连接OA.过点O作ON⊥AB，垂足为N.∵ON⊥AB，AB＝12，∴AN＝BN＝6.在Rt△OAN 中，ON＝OA2－AN2＝102－62＝8，∴8≤OM≤10.故选C. 6． C [解析] 根据题意，画出图形如图所示．设圆的半径为r cm，分两种情况来考虑： (1)如图①，若点P在圆内，则PA＋PB＝2r，∴3＋6＝2r，解得r＝4.5，即圆的半径为4.5 cm； (2)如图②，若点P在圆外，则PA－PB＝2r，∴6－3＝2r，解得r＝1.5，即圆的半径为1.5 cm. 故此圆的半径为4.5 cm或1.5 cm.故选C. 7．C [解析] 连接AB，AC，利用网格图的特征，作出AB，AC的垂直平分线，其交点即为圆心，则可得它的坐标为(－1，1)．故选C. 8． C 9．过圆心的任意一条直线[解析] 圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的任意一条直线． 10．点P在⊙O外[解析] ∵⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离为7 cm，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外． 11．5 [解析] ∵⊙O的半径为5，∴OA＝OB＝5. 又∵∠O＝60°，∴∠A＝∠B＝60°，∴△ABO是边长为5的等边三角形，∴AB＝5. 12．3 2 [解析] 如图，过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连接OB，OD. ∵AB＝CD＝8，∴BM＝DN＝4. 又∵OB＝OD＝5，∴OM＝ON＝52－42＝3. ∵AB⊥CD，∴∠DPB＝90°. ∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是矩形．又∵OM＝ON，∴矩形MONP是正方形，∴PM＝OM＝3，∴OP＝3 2. 13．5 [解析] 由图形的轴对称性易知CF＝DE. ∵DE＝1 cm，∴CF＝1 cm. ∵EF＝3 cm，∴DC＝5 cm，∴AB＝5 cm. 14.2 [解析] 利用对称法，作点A或点B关于MN的对称点是解决问题的关键．如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则此时PA＋PB的值最小，连接OA，OA′. ∵点A与点A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，∴PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B. 连接OB. ∵B是AN�嗟闹械悖�∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝90°，∴在Rt△A′OB中，A′B＝OA′＋OB2＝2，∴PA＋PB的最小值为2. 15．证明：∵AB，CD为⊙O的直径，∴OA＝OB，OC＝OD. ∵CE＝DF，∴OE＝OF. 在△AOF和△BOE 中，OA＝OB，∠AOF＝∠BOE，OF＝OE，∴△AOF≌△BOE(SAS)，∴AF ＝BE. 16．解：(1)△AOC是等边三角形．理由：∵AC�啵�CD�啵�∴∠AOC＝∠COD＝60°. ∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形． (2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝60°. ∵OB＝OD，∴△OBD 是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠OBD＝∠AOC，∴OC∥BD. 17．解：(1)∵AB＝10，∴OA＝5. ∵ON∶AN＝2∶3，∴ON＝2. ∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴在Rt△OMN中，OM＝12ON＝1. (2)如图，连接OC. 在Rt△COM中，由勾股定理，得CM2＝CO2－OM2＝25－1＝24，∴CM＝2 6. 又∵OM⊥CD，∴CD＝2CM＝4 6. 18．解：(1)如图①所示，点O即为所求． (2)如图②，过点O作OM⊥EF于点M，连接OF，延长MO，则MO与BC的交点为G. 设球的半径为r cm，则OF＝r cm，OM＝(16－r)cm，MF＝12EF＝8 cm. 在Rt△OFM中，由勾股定理，得OF2＝OM2＋MF2，即r2＝(16－r)2＋82，解得r＝10. 即球的半径为10 cm.。
2019年秋九年级苏科版数学上册同步检测：1.2 一元二次方程的解法
1.2 一元二次方程的解法（1）一、选择题（本题包括4小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 若方程2(2)5x k -=-可以直接用开平方法解，则k 的取值范围是 ( )A.0k >B. 0k ≥C. 5k ≥D. 5k >2. 方程2(1)2x -=的根是( )A.-1，3B. 1，-3 ，1 D.-1+1 3. 已知关于x 的一元二次方程2(1)0x m +-=有两个实数根，则m 的取值范围是( )A.34m ≥- B. 0m ≥ C. 1m ≥ D. 2m ≥ 4. 一元二次方程2(1)2x -=的解是 ( )A.1x =3，2x =-1B. 1x =1，2x =-3C. 1x =-1，2x =-D. 1x =1，2x二、填空题（本题包括４小题）5. 若29x =，则x = .6. 一元二次方程2(6)10x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是6x +=，则另一个一元一次方程是 .7. 解方程：2(2)25x -=， 1x = ，2x = .8. 自由下落的物体的高度h （m ）与下落时间t （s ）的关系为24.9h t =.现有一铁球从离地面19.6m 高的建筑物顶部做自由下落，到达地面需要的时间是 s.三、解答题（本题包括６小题）9.解下列方程：（1） 2111x -= （2） 2165x =（3） 230.205x -=（4） 29(1)0x --=10.用直接开平方法解方程：（１）22)6-=（2） 23(1)60x --=(3) (3)(3)9x x +-=（4） 22((1x =+11.当x 取何值时，代数式233x -的值和代数式223x -的值相等？12.用直接开方法解下列方程：（1）212703x -=；（2）2(2)6x -=；(4)23(3)75x -=；（4）(4)(4)90y y +--=；13.用直接开方法解下列方程：（1） (8x x +=（2）224(23)9(1)y y -=-14.去年年底学校图书馆库存有图书7.5万册，预计到明年年底学校库存图书增加到10.8万册，求这两年的年平均增长率.1.2 一元二次方程的解法（1）参考答案一、 选择题（本题包括4小题.每小题只有1个选项符合题意）1.C2.C3.B4.D二、 填空题（本题包括４小题）5.3±6.6x +=7. 7 -3 8． 2三、解答题（本题包括６小题）9. 解：（1）x =± （2）x = （3）x = （4）14x =，22x =-10. 解：（1）1x = ，2x（2）11x =，21x =（3）x =±（4）11x =，21x =--11. 解：由题意，得2231023x x -=-，得27x =. x ∴=.∴当x 取时代数式2310x -和代数式223x - 的值相等.12. 解： (1) 9x =± (2) 1x =2+2x =2-(3) 1x =8，2x =-2 （4） 5y =±13.解：（1）x = （2）13y =，297y = 14. 解：设这两年的平均增长率为x ，由题意得27.5(1)10.8x +=，2(1) 1.44x += 解得10.2x =，2 2.2x =-（不合题意舍去）.答：这两年的年平均增长率为20%.1.2一元二次方程的解法（2）一、选择题（本题包括6小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 若关于x 的方程2()0m x h k ++=（m 、h 、k 均为常数，0m ≠）的解是1x =-3，2x =2则方程2(3)0m x h k +-+=的解是 （ ）A.1x =-6，2x =-1B. 1x =0，2x =5C. 1x =-3，2x =5D. 1x =-6，2x =22. 用配方法解一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），此方程可变形为（ ） A.2()2b x a +=2244b ac a - B. 2()2b x a +=2244ac b a - C ．2()2b x a -=2244b ac a - D. 2()2b x a-=2244ac b a - 3. 若22497()255x mx x -+=+，则m 的值为 （ ） A.-75 B. 145 C. -145 D. 754. 方程2410x x ++=配方后的方程是 （ ）A.2(2)x +=3 B. 2(2)x -=3 C. 2(2)x -=5 D. 2(2)x +=5 5. 方程22410x x ++=配方后所得新方程为（ ）A.2(22)x +-3=0 B. 2(22)x ++3=0 C. 2(2)x +-3=0 D.22(1)x + -1=0 6. 不论x 、y 是什么实数，代数式22248x y x y ++-+的值 （ ）A.总不小于3B. 总不小于8C. 可以为任何实数D. 可能为负数二、填空题（本题包括2小题）7. 把下列各式配成完全平方式：（1）28x x ++ = 2()x +； （2） -3x +14=2(3)x -； （3） +8x + =2(4)x +； （4） 2x px ++ =2()x +. 8. 若将方程267x x +=化为2()16x m +=，则m = .三、解答题（本题包括3小题）9. 用配方法解方程：（1）22510x x -+=； （2）210021x x -=--； （3）2(1)10(1)90x x +-++=.10. 已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且222610850a a b c c b -+-+=-，试判断ABC V是什么样的特殊三角形.11. 试说明：不论x 、y 取何值，代数式2244613x y x y +-++的值总是正数，你能求出当x 、y 取何值时，这个代数式的值最小？1.2一元二次方程的解法（2）参考答案一、选择题（本题包括6小题.每小题只有1个选项符合题意）1.B2.A3.C4.A5.D6.A二、填空题（本题包括2小题）7.（1） 16 4 （2） 9 （3） 16 （4）214p 12p 8.3 三、解答题（本题包括3小题）9. （1） 1x =，2x = （2）19x =，211x =- （3）10x =，28x = 10.由题意，得 2226981610250a a b b c c -++-++-+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=.30,40,50a b c ∴-=-=-=.3,4,5a b c ∴===222c a b ∴=+∴ABC V 是直角三角形.11.22222244613441693(21)(3)33x y x y x x y y x y +-++=-+++++=-=++≥ 即2244613x y x y +-++总是正数. 当12x =，3y =-时，这个代数式的值最小，最小值为3.1.2一元二次方程的解法（3）一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 下列关于的方程有实数根的是 （ ）A ．210x x -+= B. 210x x ++=C. (1)(2)0x x -+=D. 2(1)10x -+= 2. 若一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根，则下列选项中正确 的是 （ ）A ．2b -4ac =0 B. 2b -4ac >0 C. 2b -4ac <0 D. 2b -4ac ≥03. 方程2361210y y -+=的两根 （ ）A.相等B. 互为相反数C. 互为倒数D. 不相等4.用公式法解方程24123x x -=，得到（ ）A ．x = B. x = C. x = D. x =5. 20++=的根是（ ）A. 1x =2x =B. 14x =，2x =C. 1x =2x =D. 12x x ==二、填空题（本题包括5小题）6.在方程244x x =-，a = ，b = ，c = ，方程的根为 .7.一元二次方程23410x x -+=中，2b -4ac = ，它的根1x = ，2x= .8. 用公式法解方程250x +-=，先求得2b -4ac = . 9.方程(2)3(1)x x x -=+的一般形式是 ，其中a = ，b = ，c = ，2b -4ac = .10. 若关于x 的方程2(3)(1)0x a x a -+++=有一个根为1，则a = . 三、解答题（本题包括4小题）11.用公式法解下列方程：（1）2660x x --=； （2）210x x +-=（3）2x -= （4）23y -=-12.已知关于x 的一元二次方程2(31)210mx m x m --+-=，其根的判别式2b -4ac 的值为1，求m 的值及方程的根.13. 已知:三角形一边长为13，另两边长是方程21760x x -=的两实数根.求此三角形的面积.14. 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式时，对于2b -4ac >0的情况，她是这样做的:（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上，当时2b -4ac >0时，方程20ax bx c ++=（a ≠0）求根公式是 .（2）用配方法解方程：22240x x --=.1.2一元二次方程的解法（3）参考答案一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1.C2.B3.A4.D5.D二、填空题（本题包括5小题）6.1 -4 4 122x x ==7.4 1 138. 28 9. 2530x x --= 1 -5 -3 3710.三、解答题（本题包括4小题）11.（1）13x =23x =（2）1x =，2x = （3）120,x x ==（4）12y y ==12. 由题意，得2(31)4(21)1m m m ---=，解得10m =，22m =,由题意0m ≠,2m ∴=原方程为22530x x -+=，解得132x =，21x =. 13. 30 14. （1）四2b x a-±= （2） 22224,21241,x x x x -=-+=+ 2(1)25,15,x x -=-=± 126,4x x ∴==-.1.2一元二次方程的解法（4）一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C ． 只有一个实数根 D. 没有实数根2. 已知一元二次方程：①2230x x ++=，②2230x x --=，下列说法正确的是（）A ．①②都有实数解 B. ①无实数解，②有实数解C ．①有实数解，②无实数解 D. ①②都有实数解3. 若关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 （ ）A ．34m > B. 34m ≥ C. 34m ≤且2m ≠ D. 34m >且2m ≠ 4. 下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A. 210x +=B. 29610x x -+=C. 220x x -+=D.2220x x --=5. 若一元二次方程220x x m ++=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1m ≤-B. 1m ≤C. 4m ≤D. 12m ≤ 6. 对于任意实数k ，关于x 的方程222(1)210x k x k k -+-+-=的根的情况为 （ ）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定7. 若关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题（本题包括1小题）8. 若关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是 .三、解答题（本题包括4小题）9. 解方程，判断下列方程根的情况:（1）2210x x --=； （2）223x x +=-.10. 已知关于x 的方程1(1)2(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，求k 的值.11. 已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=（0m ≠）.（1）求证:方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.12. 已知:关于x 的一元二次方程2(41)330kx k x k -+++=（k 是整数）(1) 求证:方程有两个不相等的实数根;(2) 若方程的两个实数根分别为1x ，2x (其中12x x < )，设21y x x =-，判断y 是否为k 的函数?如果是，请写出函数解析式; 如果不是，请说明理由.13. 已知关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根.(1) 求k 的取值范围;(2) 请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根.14. 已知关于x 的一元二次方程2()2()0a c x bx a c +++-=，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边的长.(1) 如果1x =-是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3) 如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.1.2一元二次方程的解法（4）参考答案一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1.A2.B3.D4.B5.B6.C7.B二、填空题（本题包括1小题）8.54 m<-三、解答题（本题包括4小题）9.（1）有两个不相等的实数根 （2） 无实数根 10.221(1)4(1)324k k k k ⎡⎤=---•-•=-+⎣⎦V Q 方程有两个相等的实数根，∴100k -≠⎧⎨=⎩V 由10k -≠得1k ≠，由0=V 得1k =或2k =. ∴2k =11.（1） 0m ≠Q ，∴该方程为一元二次方程.Q a m =，(2)b m =-+，2c =，∴[]222224(2)844844(2)0b ac m m m m m m m m =-=-+-=++-=-+=-≥V ∴方程总有两个实数根（2） Q 2(2)20mx m x -++=， ∴(1)(2)0x mx -•-=，∴10x -=或20mx -=， Q 11x =，22x m=. Q 方程的两个实数根都是整数，∴2m 是整数， ∴1m =±或2m =±.又Q m 是正整数，∴1m =或2.12.（1） 224(21)b ac k -=-,Q k 是整数∴12k ≠ ∴2(21)0k ->∴方程有两个不相等的实数根.（2） y 是k 的函数，12y k=-.13.（1）94k >- （2） 答案不唯一，如1k =-，32x = 14. （1）ABC V 是等腰三角形 理由：把1x =-代入原方程，得20,a c b a c +-+-=∴a b =，∴ABC V 是等腰三角形.（2）ABC V 是直角三角形 理由：方程有两个相等的实数根，则2(2)4()()0,b a c a c -+-=即2220b a c -+=. ∴222a b c =+，即ABC V 是直角三角形（3）ABC V 是等边三角形， ∴a b c ==. ∴此时方程可化为2220ax ax += ∴2(1)0ax x +=.又0a >，∴2(1)0x x +=. ∴方程的根为10x = ，21x =-.1.2 一元二次方程的解法（5）一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1.方程230x x -=的解为（ ）A.x =0B. x =3C. 1x =0，2x =-3D. 1x =0，2x =32.一个三角形的两边长分别为3 和6，第三边的长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ）A.11B. 11或13C. 13D. 以上选项都不正确3.一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（ ）A ．-1 B. 2 C. 1和2 D. -1和24.方程2(41)41x x -=-的根是（ ） A.14，1 B. 12，0 C. 14，0 D. 14，125.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足（a -b ）（a -c ）=0，则△ABC 的形状是 （ ）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形二、填空题（本题包括1小题）6.方程(1)(2)2(2)x x x -+=+的根是 .三、解答题（本题包括7小题）7.用因式分解法解下列方程：（1）3(2)2(2)x x x -=-； （2）235y y =；（3） 2(6)6x x -=-； （4）224(32)0x x -+=.8.当x 为何值时，代数式2616x x --的值与42x +的值互为相反数？9.利用因式分解思想解下列问题：（1）写出一个一元二次方程，使这个方程一个根为1，另一个根是2： .（2）写出一个根为-2，另一个根满足的一元二次方程： .（3）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为2，一个根为3，另一个根满足的一元二次方程： .10. 用因式分解法解下列方程:（1） 230x -=； （2）3(2)5(2)x x x +=+；11. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长x 满足方程(3)25(3)x x -=-.求这个三角形的周长.12. 已知a 、b 、c 分另为Rt ABC V 的三边长，且两条直角边a 、b 满足2222()4()450a b a b +-+-=.求斜边c 的长.13. 阅读材料: 为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，然后设21x -= y 则222(1)x y -=，原方程可转化为2540y y -+=①，解得11y =，24y =.当1y =时，211x -=，22x ∴=，x ∴=当4y =时，214x -=，25x ∴=，x ∴=∴原方程的解是1x =2x =3x 4x =解答问题: (1) 填空:在由原方程得到方程①的过程中利用了 法达到了 的目的；(2) 利用材料中的方法解方程: 22()(14)240x x x x ++-+=.1.2 一元二次方程的解法（5）参考答案一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D2.C3.D4.D5.D二、填空题（本题包括1小题）6.12x =-，23x =三、解答题（本题包括7小题）7.（1）1x =2，2x =32-（2）1y =0，2y =53 （3）1x =6，2x =5 （4）1x =25-，2x =-28.由题意，得2(616)(42)0x x x --++=，解得1x =6，2x =-2. ∴ 当6x =或2x =-时， 这两个代数式的值互为相反数.9.（1）(1)(2)0x x --= （2） （3） 答案不唯一.10.（1） 10x =，23x = （2）153x =，23x =-11.1712.313.（1）换元 降次（2）设 2x x y +=，则原方程可转化为214240y y -+=，(2)(12)0y y --=. ∴12y =，212y =.22x x +=， (2)(1)0x x +-=，∴12x =-，21x =；当12y =时，212x x +=，(4)(3)0x x +-=，∴34x =-，43x =，∴原方程的解为12342,1,4,3x x x x =-==-=1.2 一元二次方程的解法（6）一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 已知1x ，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则1x +2x 的值是（ ）A ．0 B. 2 C. -2 D. 42. 下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）A ．210x += B. 210x x ++= C. 210x x -+= D. 210x x --=3. 已知(2222()2()120a b a b +-+-=，则22a b +的值为（ ）A ．3 B. 4 C. --3或4 D. 3和-44 如果关于x 的一元二次方程210kx =有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．12k < B. 12k <且0k ≠ C. 1122k -≤< D . 1122k -≤<且0k ≠ 5.下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）A. 230x +=B. 220x x +=C.2(1)0x += D. (3)(1)0x x +-=6.关于x 的方程2()0x a b x ab -++=的两个根分别是（ ） A. 1x =a ，2x =b B. 1x =a ，2x =-b C. 1x =-a ，2x =b D. 1x =-a ，2x =-b7.已知一元二次方程20x bx c ++=的两个根分别是1x =2，2x =-3，则二次三项式2x bx c ++的因式分解结果为（ ）A ．(2)(3)x x ++ B. (2)(3)x x -- C. (2)(3)x x ++ D. (2)(3)x x -+二、填空题（本题包括3小题）8. 关于x 的一元二次方程20kx x -=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .9. 现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=23a a b -+，如:3*5=23335-⨯+，若x ★2=6，则实数x 的值是 .10. 已知整数5k <，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程280x -+=，则△ABC的周长是 .三、解答题（本题包括6小题）11. 用适当的方法解下列方程:（1） 2(3)2(3)0x x x -+-=； （2） 224x x -=；（3）(3)(3)3x x +-=； （4）22220x mx m n -+-=.12. 已知关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个不相等的实数根，求k 得值。
九年级上册数学同步解析
九年级上册数学同步解析一、一元二次方程。
1. 定义与一般形式。
- 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项。
- 例如方程x^2-3x + 2 = 0，这里a = 1，b=-3，c = 2。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程，可以直接开平方得到x+m=±√(n)，然后解得x=-m±√(n)。
- 例如方程(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x=1±2，解得x = 3或x=-1。
- 配方法。
- 步骤：先将方程化为ax^2+bx=-c的形式，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+4x - 1 = 0，首先将方程变形为x^2+4x=1，然后两边加上((4)/(2))^2=4，得到(x + 2)^2=5，解得x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 例如方程2x^2-5x+3 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 3，代入求根公式x=frac{5±√((-5)^2)-4×2×3}{2×2}=(5±1)/(4)，解得x = 1或x=(3)/(2)。
- 因式分解法。
- 将方程右边化为0，左边分解因式化为两个一次因式乘积的形式，即(mx + p)(nx+q)=0，则mx + p = 0或nx+q = 0，进而求解。
- 例如方程x^2-3x+2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，所以x - 1 = 0或x - 2 = 0，解得x = 1或x = 2。
苏科版数学九年级上册同步练习1.2 一元二次方程的解法(pd版,无答案)
1.2一元二次方程的解法一．选择题（共20小题）1．（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．4B．2C．1D．﹣4 2．（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或16 3．（2019•通辽）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48B．24C．24或40D．48或80 4．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34B．30C．30或34D．30或365．若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A．4B．2C．1D．﹣26．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．﹣4 7．（2019•贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2B．﹣3C．2D．3 8．（2019•河南）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根9．（2019•河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根10．（2019•新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1 11．（2019•烟台）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．（2019•广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2B．﹣2或2C．﹣2D．2 13．（2019•呼和浩特）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为（）A．﹣2B．6C．﹣4D．4 14．（2019•淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0 15．（2019•潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2 16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．17．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．﹣1≤k≤2D．﹣1≤k≤2且18．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或2019．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m≥C．＜m≤1D．≤m≤120．已知a、b、c为正数，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，则关于x 的方程a2x2+b2x+c2＝0解的情况为（）A．有两个不相等的正根B．有一个正根，一个负根C．有两个不相等的负根D．不一定有实数根二．填空题（共8小题）21．（2019•娄底）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．22．（2019•镇江）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．23．（2019•呼和浩特）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是．24．（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．25．（2019•荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．26．（2019•连云港）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c 的值等于．27．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，那么符合条件的所有整数a 的和为．28．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a ＝．三．解答题（共12小题）29．（2019•绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．30．（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．31．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．32．（2019•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．33．（2019•十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．34．（2019•鄂州）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．35．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．36．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．37．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．38．边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．39．已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0…①（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，其中x1，x2是方程①的两个实数根，求代数式（﹣1）÷•的值．40．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．。
苏科版九年级数学上册一元二次方程解法(共4课时)同步课时练习【含答案】
苏科版九年级数学上册一元二次方程解法（共4课时）同步课时练习1.2一元二次方程解法（1）复习巩固1．方程x2－256＝0的根是()A．16B．－16C．16或－16D．14或－142．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为()A．x＝3＋B．x1＝3＋，x2＝3－C．x＝3－D．x1＝3＋x2＝3－3．以下的配方运算中，不正确的是()A．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25B．2t2－7t－4＝0，化为2781=416 t⎛⎫-⎪⎝⎭C．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100D．3x2－4x－2＝0，化为2210=39 x⎛⎫-⎪⎝⎭4．若将方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是() A．3和5B．－3和5C．－3和14D．3和14 5．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是()A．3B．－3C．±3D．6．用适当的数填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.7．方程(2x－1)2－25＝0的解为__________．8．当x＝__________时，代数式x2－8x＋12的值是－4.9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.能力提升11．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是()A ．24B ．24或C ．48D ．12．若4x 2＋(k －1)x ＋9是完全平方式，则k 的值为()A ．±12B ．－11或－12C ．13D ．13或－1113．当x 取任意值时，代数式x 2－4x ＋9的最小值为()A ．0B ．9C ．5D ．414．在实数范围内定义一种运算“※”：a ※b ＝a 2－b ，按照这个规则，(x ＋3)※25的结果刚好为0，则x 的值为__________．15．若(x 2＋y 2－5)2＝4，则x 2＋y 2＝__________.16．用配方法解方程(x －1)2－2(x －1)＋12＝0.17．阅读理解：解方程4x 2－6x －3＝0.解：4x 2－6x －3＝0，配方，得4x 2－6x ＋262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－262-⎛⎫⎪⎝⎭－3＝0，即4x 2－6x ＋9＝12.故(2x －3)2＝12.即132x +，232x 以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．参考答案复习巩固1．C因为x 2－256＝0，所以x 2＝256.故x 1＝16，x 2＝－16，应选C.2．B因为(x －3)2＝8，所以x －3＝±.故x 1＝3＋x 2＝3－.3．A 由x 2＋8x ＋9＝0，配方可得(x ＋4)2＝7.4．C 将x 2－6x －5＝0配方，得(x －3)2＝14，对应(x ＋m )2＝n ，可得出m ＝－3，n ＝14.故选C.5．C原式＝x 2＋6x ＋9－9＋a 2＝(x ＋3)2＋(a 2－9)，由其是一个完全平方式知a 2－9＝0，得a ＝±3.6．(1)9432(2)11(3)4b 22b7．3或－2因为(2x －1)2－25＝0，所以(2x －1)2＝25.所以2x －1＝±5.所以x 1＝3，x 2＝－2.8．4因为据题意可得x 2－8x ＋12＝－4，所以x 2－8x ＋16＝0.所以(x －4)2＝0.所以x ＝4.9．解：原式两边都除以6，移项得x 2－16x ＝2.配方，得222111261212x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221171212x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此1171212x -=或1171212x -=-，所以132x =，243x =-.10．解：原方程可化为x 2＋8x ＝16，配方，得x 2＋8x ＋42＝16＋42，即(x ＋4)2＝32，所以x ＋4＝±.所以14x ，2=4x -.能力提升11．B解方程x 2－16x ＋60＝0，得x 1＝10，x 2＝6.根据三角形的三边关系，知x 1＝10，x 2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8,10时，构成的是直角三角形，其面积为12×6×8＝24；当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为此时三角形的面积为182⨯⨯.故选B.12．D因为4x 2＋(k －1)x ＋9＝(2x )2＋(k －1)x ＋32是完全平方式，所以k －1＝±2×2×3，即k －1＝±12.所以k ＝13或k ＝－11.13．C x 2－4x ＋9＝x 2－4x ＋4＋5＝(x －2)2＋5.因为(x －2)2≥0，所以(x －2)2＋5的最小值为5，即x 2－4x ＋9的最小值为5.14．2或－8由规则可得(x ＋3)2－25＝0，解得x 1＝2，x 2＝－8.15．7或3由题意可知x 2＋y 2－5＝即x 2＋y 2＝5±2，所以x 2＋y 2＝7或x 2＋y 2＝3.16．解：设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－2y ＋12＝0.解得212y =±.因此x －1＝12±，即22x =±.故x 1＝2＋2，x 2＝2－2.17．解：错在没有把二次项系数化为1.正解：原式可化为23324x x -=，配方，得23939216416x x -+=+，即2321=416x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3=44x -±，得13214x =，23214x =.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（2）复习巩固1．一元二次方程2x 2－3＝4x 化为一般形式后，a ，b ，c 的值分别为()A ．2，－3,4B ．2，－4，－3C ．2,4，－3D ．2，－3，－42．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的解是()A ．x 1＝1，x 2＝－4B ．x 1＝－1，x 2＝4C ．x 1＝－1，x 2＝－4D ．x 1＝1，x 2＝43．用公式法解方程x 2－6x －6＝0，正确的结果是()A ．x ＝－3B ．x ＝－3C ．x ＝－D ．x ＝4．用公式法解方程2t 2＝8t ＋3，得到()A ．4=2tB ．4=2t -C ．4=2t D ．4=2t -±5．若两个相邻正奇数的积为255，则这两个奇数的和是()A ．30B ．31C ．32D ．346．一元二次方程3x 2＋5＝4x 中，b 2－4ac 的值为__________．7．方程3x 2－x －2＝0的解是____________．8．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2＋2m －3＝0有一根为0，则m 的值是__________．9．有一长方形的桌子，长为3m ，宽为2m ，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__________，宽为__________．10．用公式法解下列方程：(1)2x 2＋8x －1＝0；(2)(x ＋1)(x －1)＝.能力提升11．关于x的一元二次方程x2－m(3x－2n)－n2＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．1,3mn,2mn－n2B．1，－3m,2mn－n2C．1，－m，－n2D．1,3m,2mn－n212．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y ＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.则利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝－3，x2＝－1D．x1＝－1，x2＝－213．如果12x2＋1与4x2－3x－5互为相反数，则x的值为__________．14．已知线段AB的长为a.以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E.以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为F点．若正方形AENM 与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为__________．15．解关于x的方程x2－m(3x－2m＋n)－n2＝0(其中m，n≥0)．16．阅读材料，回答问题．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①，解得y1＝－2，y2＝3.当y＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y＝3时，x2＝3，解得=x±.所以原方程的解为1x2=x-问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．(2)利用上述的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.参考答案复习巩固1．B 2．A因为a ＝1，b ＝3，c ＝－4，b 2－4ac ＝32－4×1×(－4)＝25，所以335212x -±-±==⨯.所以x 1＝1，x 2＝－4.3．D因为a ＝1，b ＝－6，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；所以663212x ±±===±⨯.4.A5.C6.-447.62621+=x 62622-=x 8．－3由题意，得m 2＋2m －3＝0，且m －1≠0.解得m ＝－3.9．4m 3m桌布的面积为3×2×2＝12(m 2)．设垂下的长度为x ，则(3＋2x )(2＋2x )＝12，解得12x =.故桌布的长为4m ，宽为3m.10．解：(1)a ＝2，b ＝8，c ＝－1，代入公式±2b x a -=，得142x -+=，242x --=.(2)原方程化简得x 2－－1＝0，a ＝1，b =-，c ＝－1，代入公式±42b x a-=，得1x =2x =-.能力提升11．B 原方程可化为x 2－3mx ＋2mn －n 2＝0.故选B.12．D由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法，设2x ＋5＝y ，则(2x ＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0可化为y 2－4y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，即2x ＋5＝1，解得x ＝－2；当y ＝3时，即2x ＋5＝3，解得x ＝－1.所以方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝－2.13．43或23-由题意，得212x ＋1＋4x 2－3x －5＝0，解得43x =或23x =-.14．12a设AE的长为x，则BE的长为a－x，根据题意，得x2＝(a－x)·a.解得512x a=.故AE的长为512a-.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（3）复习巩固1．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根2．下列方程中，有两个相等实数根的是()A ．x 2－＋5＝0B ．2x 2＋4x ＋35＝0C ．2x 2－15x －50＝0D ．2x --3．一元二次方程x 2＋4x ＋c ＝0中，c ＜0，该方程的根的情况是()A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定4．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是()A ．0B ．8C ．D ．0或85．若一元二次方程x 2－ax ＋2＝0有两个实数根，则a 的值可以是()A ．0B ．1C ．2D ．36．若关于x 的方程x 2＋－1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．k ＞－1B ．k ≥－1C ．k ＞1D ．k ≥07．关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋(a －1)＝0的根的情况是__________．8．若|b －1|＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是__________．9．当k 取何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －5＝0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．能力提升10．对于关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解11．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为__________．13．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．14．证明不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．参考答案复习巩固1．D因为Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以原方程无实数根．2．A3．B由于Δ＝42－4c＝16－4c，而c＜0，故Δ＞0.因此该方程有两个不相等的实数根．4．D由题意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.解得m1＝0，m2＝8.故选D.5．D由题意，得(－a)2－4×1×2≥0.化简，得a2≥8.四个选项中满足a2≥8的只有3，故选D.6．D由题意得24110k⎧(-⨯⨯(-)>⎪⎨≥⎪⎩，，解得k≥0.7．有实数根因为Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有实数根．8．k≤4，且k≠0由|b－1|＝0，得a＝4，b＝1.故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.因为该方程有实数根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.解得k≤4，且k≠0.9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即36－4k＞0.解得k＜9.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即36－4k＝0.解得k＝9.(3)因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即36－4k＜0.解得k＞9.能力提升10．C当k＝0时，方程变为x－1＝0，x＝1.故选项A错误．当k＝1时，方程变为x2－1＝0，方程有两个实数解x1＝1，x2＝－1.故选项B错误；当k＝－1时，方程变为－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故选项C正确，选项D错误．故选C.11．B原方程可变形为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.依题意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.整理，得b2＋c2＝a2.所以此三角形是直角三角形．故选B.12．14a<，且a≠0因为方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，所以4－16a＞0，解得14 a<.因为ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0. 13．8讨论：(1)若a＝6，则原方程变为－8x＋6＝0.此时34 x=.(2)若a≠6，则b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得263 a≤.综上，263a≤.故整数a的最大值为8.14．证明：因为b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，所以不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．(1)证明：因为k是整数，所以12k≠.所以2k－1≠0.因为b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)解：y是k的函数．解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得41212k kxk(+)±(-) =.所以x＝3或x＝1＋1 k.因为k是整数，k≠0，所以11 k≤.所以1＋1k≤2＜3.又因为x1＜x2，所以x1＝1＋1k，x2＝3.所以11 312yk k⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（4）复习巩固1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－12．一元二次方程x2－x＋14＝0的根是()A．11 2x=，21 =2x-B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝12-D．x1＝x2＝123．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较为简便的方法是()A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法4．方程x(x－4)＝32－8x的解是()A．x＝－8B．x1＝4，x2＝－8C．x1＝－4，x2＝8D．x1＝2，x2＝－85．用因式分解法把方程(x－1)(x－2)＝12分解成两个一元一次方程，下列分解中正确的是()A．x－5＝0，x＋2＝0B．x－1＝3，x－2＝4C．x－1＝2，x－2＝6D．x＋5＝0，x－2＝06．如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，那么方程x2－6mx＝0的根为()A．x＝2B．x＝0C．x1＝2，x2＝0D．以上答案都不对7．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．8．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．9．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是__________．10．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.能力提升11．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px ＋q可分解为()A．(x＋3)(x－4)B．(x－3)(x＋4)C．(x＋3)(x＋4)D．(x－3)(x－4)12．用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，则m的值为()A．7B．－7C．6D．－613．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b；当a＜b时，a⊕b＝ab－a.若(2x－1)⊕(x＋2)＝0，则x＝__________.14．按指定的方法解下列方程：(1)12(2x－1)2－32＝0(直接开平方法)；(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；(3)x2－x－7＝0(公式法)；(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．15．小张和小林一起解方程x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0，所以3x＋2＝0或x－6＝0.方程的两个解为12 3x=-，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x＋2)＝6(3x＋2)，方程两边都除以(3x＋2)，得x＝6.小林说：“我的方法多简便！”可另一个解12 3x=-哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？16．有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．参考答案复习巩固1．C由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.故选C.2．D因为x2－x＋14＝0，即2102x⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以x1＝x2＝1 2 .3．B4．B移项，得x(x－4)－(32－8x)＝0，即x(x－4)－8(4－x)＝0，也即(x－4)(x＋8)＝0.故x1＝4，x2＝－8.5．A原方程可化为x2－3x－10＝0，即(x－5)(x＋2)＝0.故x－5＝0或x＋2＝0. 6．C因为x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，所以(－1)2－m－2m＝0，得13 m=.所以方程x2－6mx＝0即为x2－2x＝0，解得x1＝2，x2＝0.7．x1＝－2，x2＝3移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.8．±3由题意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.9．0或4把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解这个方程，得m1＝0，m2＝4.10．解：(1)因为将原方程整理，可得x2＋2x＝0，即x(x＋2)＝0，所以x＝0或x＋2＝0.所以x1＝0，x2＝－2.(2)整理，得(3x－1)2－[2(2x＋3)]2＝0，即[3x－1＋2(2x＋3)][3x－1－2(2x＋3)]＝0，(3x－1＋4x＋6)(3x－1－4x－6)＝0，(7x＋5)(－x－7)＝0，所以7x＋5＝0或－x－7＝0.所以157x =-，x 2＝－7.能力提升11．B 因为方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1＝3，x 2＝－4，所以x 2＋px ＋q ＝(x －3)[x －(－4)]＝(x －3)(x ＋4)．12．C由题意可得x ＋1＝0，则x ＝－1，即方程x 2－mx －7＝0有一个解为－1.因此(－1)2－m ×(－1)－7＝0.故m ＝6.13．－1或12若2x －1＜x ＋2，此时x ＜3.根据定义，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0，解得x 1＝－1，212x =，这两个解均符合题意．若2x －1≥x ＋2，此时x ≥3.根据定义，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)·(x ＋2)＋(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，这两个解均不符合题意．综上所述，x ＝－1或12x =.14．解：(1)将原方程整理，得(2x －1)2＝64，开平方，得2x －1＝±8,2x ＝1±8，182x ±=，所以118922x +==，218722x -==-.(2)将原方程移项，得3x 2＋4x ＝－1，方程两边同时除以3，得24133x x +=-，配方，得22242123333x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2133x +=±，2133x =-±.所以1211333x =-+=-，221133x =--=-.(3)因为b 2－4ac ＝(－1)2－4×(－7)＝29，所以12x ±=，即11292x +=，21292x =.(4)原方程可化为x 2－1－3x ＋3＝0，即(x ＋1)(x －1)－3(x －1)＝0，(x －1)(x ＋1－3)＝0，于是x －1＝0或x －2＝0，所以x 1＝1，x 2＝2.15．解：小林的解法不对，因为3x ＋2可能为0，等式两边不能同时除以一个等于零的整式．16．解：设大正方形的边长为x cm，根据题意，得2242x⎛⎫+⎪⎝⎭－x2＝32.整理，得x2－16x＝0，即x(x－16)＝0.解得x1＝16，x2＝0(不合题意，舍去)．因此16×12＋4＝12(cm)．答：大正方形的边长为16cm，小正方形的边长为12cm。
新苏科新版九年级数学上册1.2一元二次方程解法同步练习
新苏科新版九年级数学上册1.2一元二次方程解法同步练习1．用适当的数填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.2．用配方法解方程：(1)6x2－x－12＝0. (2)x(x＋8)＝16.3．用配方法解方程：(x－1)2－2(x－1)＋12＝0.4．一元二次方程3x2＋5＝4x中，b2－4ac的值为__________．5．用公式法解下列方程：(1)2x2＋8x－1＝0；(2)(x＋1)(x－1)＝22x.6．已知线段AB的长为a.以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E.以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为__________．7．若关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是．8．当k取何值时，关于x的一元二次方程x2－4x＋k－5＝0．(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．9．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是．10．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．11．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．12．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是__________．13．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.14．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b；当a＜b时，a⊕b＝ab－a.若(2x－1)⊕(x＋2)＝0，则x＝__________.15．按指定的方法解下列方程：(1)12(2x－1)2－32＝0(直接开平方法)；(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；(3)x2－x－7＝0(公式法)；(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．16．有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32 cm2，求这两个正方形的边长．。
九年级数学上册 1.2 一元二次方程的解法同步练习 (新版)苏科版-(新版)苏科版初中九年级上册数学
1.2 一元二次方程的解法专题1 直接开平方法、配方法1．A 用直接开方法解下列方程．(1)x2－16=0； (2)4x2－25=0．2．A 解下列方程．(1)(2x－3)2 = 49； (2)3(x－1)2 －6=0．3．B 解下列方程．(1)(x+2)(x－2)=5； (2)x2 +6x+9=2；(3)x2 +2x+1=0； (4)4x2－12x+9=0．4．A (1)x2+8x+_____=(x+_____)2(2)x2－10x+_____=(x-_____)2(3)x2－32x+_____=(x-_____)25．A 解下列方程．(1)x2－2x－2=0；(2)3x2－6x+4=0．6．B 解下列方程．(1)2x2 +1=3x；(2)x(x+ 4)=8x+12．7．B 填空：28x x-+_________=(x－__________)2232x x -＋_________=(x －_________)2 ()()22__________+=++x px x()________8.03.08.022++=++x x x ()()22___81___+=++x x x 8．C 要用总长为20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?9．A 用配方法解下列方程：(1)2280x x --= (2)23410x x ++=10．A 用配方法解下列方程：20(0)ax bx c a ++=≠11．A 有n 个方程：2280x x +-=；2222820x x +⨯-⨯=；... 22280x nx n +-=．小德同学解第一个方程2280x x +-=的步骤为：①22=8x x +；②221=81x x +++；③2(1)=9x +；④1=3x +±；⑤=13x ±；⑥12=4=2x x -，．(1)小德的解法是从步骤______开始出现错误的？(2)用配方法解第n 个方程22280x nx n +-=. (用含n 的式子表示方程的根)———————————————————专题2 公式法1．A 解方程：2x 2－x －1=02．A 解下列方程.(1)2102x += (2)4x 2－3x +2=03．A 解方程： 23x +=(2)(13)6x x --=4．B m 取什么值时，方程22(21)40x m x m +++-=有两个相等的实数解．5．A 关于x 的一元二次方程2210+-=有两个不相等的实数根，求k的取值X围．kx x6．A 无论p为何值，方程2---=总有两个不相等的实数根？试证明？x x p(3)(2)07．A 公式法解方程：(1)2510x x-+= (2)2x x--=222508．B 已知代数式22--+-的最小值是－23，求m的值.255x mx m m9．B 方程mx 2－4x ＋1＝0(m ≠0)的根是 ( )．A.4121==x x B.mm x -±=422,1 C.m m x -±=4222,1D.mm m x -±=422,1———————————————————专题3 因式分解法1．A 解下列方程：(1)(2)20x x x -+-=；(2)221352244x x x x --=-+．2．A 解下列方程：(1)241210x -=； (2)3(21)42x x x +=+；(3)22(4)(52)x x -=-．3．A 解下列方程：(1)2(2)24x x -=- (2)23x -=-4．A 解下列方程：(1)x 2－3x －4=0 (2)x 2－7x+6=0(3)x2+4x－5=05．B 今年初，某某武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长a m，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？(其中a≥20m)6．B 选择最佳方法解下列关于x的方程：(1)(x＋1)2=(1－2x)2； (2)x2－6x＋8=0；(3)22220-+=； (4)x(x＋4)=21；x x(5)－2x 2＋2x ＋1=0．7．B 三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．8．B 用适当方法解下列方程1. (5－2x )2＝9(x ＋3)2；2..231322=+x x9．B 用适当方法解下列方程1.231x +=；2.22x -=；3.(2x －1)2－2(2x －1)＝3．10．C 用适当方法解下列方程1.(x 2－x )2－4(2x 2－2x －3)＝0；2.(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．———————————————————解一元二次方程专题1 直接开平方法、配方法1．(1)1x =-4，2x =4；(2)152x =，252x =-．2．(1)15x =，22x =-；(2)11x ，21x =-．3．(1)13x =-，23x =；(2)13x =，23x =；(3)12x x ==－1；(4)12x x ==32．4．(1)16，4；(2)25，5；(3)916，34．5．(1)1x =1，21x =；(2)方程无实数解．6．(1)1x =1，2x =12；(2)1x =6，2x =－2．7．16，4；93,164；2,42p p ；51,880-；18,9±±⋅8．当BC =10m 时，最大面积为50m 2．9．1242x x ==-，；12113x x =-=-，．10．12x x ．11．⑤；1242x n x n =-=，.专题2 公式法1．1x =1，212x =-．2．(1)12x x =；(2)方程无解．3．12x x =4．174-． 5．1k >-且0k ≠．6．∵(x －3)(x －2)－p 2=0，∴x 2－5x +6－p 2=0，∴a =1，b =－5，c =6﹣p 2，∴△=25－4(6－p 2)=1+4p 2，∵p 2≥0，∴4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，即△＞0，∴无论p 取何值，方程(x －3)(x －2)－p 2=0总有两个不相等的实数根．7．12x x ==；12x x =． 8．12922m m =-=，．9．B ．专题3 因式分解法1．(1)11x =-，22x =；(2)112x =，212x =-． 2．(1)1112x =，2112x =-；(2)123x =，212x =-；(3)11x =，23x =．3．(1)x 1=2，x 2=4；(2)x 1=x 24．(1)x 1=1-，x 2=4；(2)x 1=1，x 2=6；(3)x 1=1，x 2=5-．5．长15m ，宽10m 或长20m ，宽．6．(1)x 1=2，x 2=0；(2)x 1=2，x 2=4；(3)12x x =(4)x 1=－7，x 2=3；(5)12x x .7．∵3<k <7，k 为整数，∴k 可取4，5，6，当k =5时方程成立，∴三角形边长为2cm ，5cm ，5cm ，则周长为12cm ． 8. 1.45x =-或14x =-；2.32x =或2x =-.9.1.123x x ==；2.122x x ==-；3.12x =，20x =.10. 1.12x =，21x =-，33x =，42x =-；2.2y =±.。
新苏科版数学九年级上册同步练习1.2第1课时用直接开平方法解
1 . 2第1课时用直接开平方法解一兀二次方程卩知识要点分类练务裳杀础知识点1利用开平方的条件判断方程解的情况1. 用直接开平方法解关于x的一元二次方程x2= m-7时需开平方，因此被开方数m-7是一个 ________ 数，即m- 7>0，二当m的取值范围是____________ 时，方程x2= m- 7有解.知识点2用直接开平方法解形如x2= p(p> 0)的一元二次方程2. 解方程：x2-25= 0.解：移项，得x2= _________ .x 是________ 的平方根 ,x= _____________ ,即卩X〔_____ , X? _________ .3. _______________________________________________ ［教材例1(2)变式］方程9x2+ 1 = 2的解是X j = _______________________________________________ , X2 = _________ .知识点3用直接开平方法解形如(mx + n)2= p(m M0, p》0的一元二次方程4. 一元二次方程(x+ 6)2= 16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6 = 4,则另一个一元一次方程是()A . x-6=—4B . x- 6 = 4C . x+ 6= 4D . x+ 6 =- 45. 方程(x- 2)2= 9的解是()A . X1= 5, X2=— 1 B. X1=—5, X2= 1C. X1= 11, X2=- 7 D . X1=- 11, X2= 726. 解方程：12(3 —2x) —3= 0.解：移项，得12(3 —2x)2= ________ .2两边都除以12,得(3 —2x) = __________ . •/ 3 —2x是 ________ 的平方根，「• 3 — 2x = _____ ,即 3— 2x = _______ 或 3 — 2x = ________ ,/• X 1 = _______ , X 2 = _________ •7. ________________________________________________ ［教材例2变式］方程2(1 + x)2= 24的解为X i= ____________________________________________ , X 2= ________&解方程：(1) (x — 1)2— 3 = 0； (2)(2 x — 1)2 — 16= 0;9. 若方程x 2 — m = 0的根是有理数，则m 的值可能是() A . — 9 B . 3C . — 4D . 4 10.给出一种运算：对于函数 y = x n ,规定y'= nx"1.例如：若函数 y = x 4,则y'= 4x 3.已知函数y = x 3,则方程y'= 12的根是() A . X 1= 4, x 2= — 4 B. x 1 = 2 , x 2 = — 2 C . X 1 = X 2= 0 D . X 1= 2 3, X 2= — 2 32(3)4(1 — 2x) = 9; (4)3( x — 5)2 — 75= 0.规律方法综合练 捉井能力----------------- K11. ___________________________________ 若(x2+ y2—1)2= 4,贝V x2+ y2= .12. 已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程（X—5）2—4= 0的根，试求三角形的周长.拓广探究创新练、13. 若关于x的方程（x+ m）2= k（k>0）的两个根是2和3,则关于x的方程（x+ m —2）2= k（k> 0）的根是（）A . 2 或3B . —2 或—3C. 4 或5 D . —4 或—514. [2017河北]对于实数p, q,我们用符号min{ p, q}表示p, q两数中较小的数，如min{1 , 2} = 1.因此min { —^2, —V3} = _______ ;若min{ （x—1）2, x2} = 1,则x =教师详解详析1.非负m A 72.25 25 i5 5 —513.34. D ［解析］将方程(x + 6)2= 16两边直接开平方，得x + 6 = ±4,则x+ 6 = 4 或x+ 6=—4.故选 D.1 1 丄1 1 1 5 7———— -4 4 ~2 2 2 4 47. 2 3 —1 —2 3—18. 解：(1)移项,得(x —1)2= 3. T x— 1 是3 的平方根，二x— 1 = ± 3,即X1 = 1 + 3,X2= 1 —, 3.(2) 移项，得(2x —1)2= 16.开平方，得2x —1 = ±4.当2x —1 = 4 时，x = 5；当2x—1 = —43 5 3时，x=—［二X1 = 2，X2=—^.2 9(3) 方程变形为(2x —1) = ~.9•/ 2x —1是9的平方根，二2x —1= ±2，即X1 = 5，X2=— *(4) 移项，得3(x —5)2 = 75，二(x —5)2 = 25，x —5 = 5 或x —5 =—5，解得x1= 10，x2= 0.9. D ［解析］先移项，把方程化为x2= m.因为x是有理数，所以m必须大于或等于0 且是某个有理数的平方，据此即可对各个选项进行判断.10. B 11.312. 解：由方程(x —5)2—4 = 0，得x= 3 或x= 7.根据三角形的三边关系，知3，6，3不能构成三角形；3，6，7能构成三角形.故该三角形的周长为 3 + 6+ 7 = 16.13. C 14.->/3 2 或—1。
苏科版-数学-九年级上册-1.2一元二次方程的解法(5)同步练习含答案
第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法（5）【基础提优】1．若关于x 的一元二次方程022=++k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1<kB ． 1>kC ．1=kD ．0≥k2．若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1->kB ．1<k 且0≠kC ．1-≥k 且0≠kD ．1->k 且0≠k3．对于任意实数k ，关于x 的一元二次方程012)1(222=-+-+-k k x k x 的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．0132=+-x xB ．012=+xC ．0122=+-x xD ．0322=++x x5．若关于x 的一元二次方程032)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6．若关于x 的一元二次方程022=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ．7．已知关于x 的一元二次方程0322=+-k x x 有两个相等的实数根，则k 的值是 ．8．若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，则k 的取值范围是 ．9．已知关于x 的一元二次方程022=++m x x ．（1）当3=m 时，判断方程的根的情况；（2）当3-=m 时，求方程的根．10．已知关于x 的一元二次方程01)3(2=++++m x m x ．求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．【拓展提优】1．已知关于x 的方程01)1(2=--+x k kx ，则下列说法正确的是（ ）A ．当0=k 时，方程无解B ．当1=k 时，方程有一个实数解C ．当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D ．当0≠k 时，方程有两个不相等的实数解2．已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．2-<kB ．2<kC ．2>k 且1≠kD ．2<k 且1≠k3．如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．21<k B ．21<k 且0≠k C ．2121<≤-k D ．2121<≤-k 且0≠k 4．已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图像如图所示，则关于x 的一元二次方程012=-++k bx x 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定5．已知关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，则m 的值为 ．6．若关于x 的一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．7．如果关于x 的方程0)2(22=+++a x a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 ．8．若041=-+-a b ，且关于x 的一元二次方程02=++b ax kx 有两个实数根，则k 的取值范围是 ．9．已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．参考答案【基础提优】1-5 ADCAC6．1-7．38．31-≥k 且0≠k 9．解：（1）当3=m 时，0842<-=-ac b ，所以原方程无实数根．（2）当3-=m 时，11=x ，32-=x10．证明：044)1(422>≥++=-m ac b 恒成立，所以无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．【拓展提优】1-4 CDDC5．2 6．41<k 且0≠k 7．1-≥a8．4≤k 且0≠k9．解：（1）25<k ；（2）2=k。
苏科版九年级数学上册第一章1.2一元二次方程的解法(三)同步练习.docx
初中数学试卷 桑水出品1.2一元二次方程的解法（三）1. 一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0，2b -4ac ≥0的求根公式是 .2. 应用 公式解一元二次方程时，我们先要求出2b -4ac ，再代入公式中求得方程的解.例如：一元二次方程2210x x +-=中2b -4ac = ，则x = ，即1x = ，2x = .3. 解一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）时，若2b -4ac <0，则这个方程 实数解.4. 下列关于的方程有实数根的是 （ ）A ．210x x -+= B. 210x x ++= C. (1)(2)0x x -+= D. 2(1)10x -+= 5. 若一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根，则下列选项中正确的事 （ ）A ．2b -4ac =0 B. 2b -4ac >0C. 2b -4ac <0D. 2b -4ac ≥06. 方程2361210y y -+=的两根 （ ）A. 相等B. 互为相反数C. 互为倒数D. 不相等7. 在方程244x x =-，a = ，b = ，= ，方程的根为 .8. 一元二次方程23410x x -+=中，2b -4ac = ，它的根1x = ，2x = .9. 用公式法解下列方程：（1） 2660x x --=； （2）210x x +-=（3）2x =（4）23y -=-10.已知关于x 的一元二次方程2(31)210mx m x m --+-=，其根的判别式2b -4ac 的值为1，求m 的 值及方程的根.10. 用公式法解方程24123x x -=，得到 （ ）A ．x = B. x =C. x =D. x =12. 20++=的根是 （ ）A. 1x =2x =B. 14x =，2x =C. 1x =2xD. 12x x ==13. 用公式法解方程250x +-=，先求得2b -4ac = .14. 方程(2)3(1)x x x -=+的一般形式是 ，其中a = ，b = ，c = ，2b -4ac = .15. 若关于x 的方程2(3)(1)0x a x a -+++=有一个根为1，则a = .16. 运用公式法解下列方程:（1）2210x x --=； （2）22511x x +=；（3）264x x +=； （4）(21)(3)4x x +-=. 17. 已知:三角形一边长为13，另两边长是方程21760x x -=的两实数根.求此三角形的面积.18. 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式时，对于2b -4ac>0的情况，她是这样做的:（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上，当时2b -4ac >0时，方程20ax bx c ++=（a ≠0）求根公式是 .（2）用配方法解方程：22240x x --=.参考答案1. 24b b ac x -±-=2. 求根 9194-± 12 -1 3. 没有4. C5. B6. A7. 1 -4 4 122x x ==8. 4 1 139. （1）1315x =，2315x = （2）115x -=，215x += （3）120,22x x == （4）123y y ==10. 由题意，得2(31)4(21)1m m m ---=，解得10m =，22m =,由题意0m ≠,2m ∴=原方程为22530x x -+=，解得132x =，21x =. 11. D12. D13. 2814. 2530x x --= 1 -5 -3 3715. 12-±16. （1）11x =，21x = （2）15x =，212x = （3）224(4)4680b ac =-=--⨯=-<V ，原方程无实数解 （4）172x =，21x =-17. 3018. （1）四 2b x a -±=（2） 22224,21241,x x x x -=-+=+ 2(1)25,15,x x -=-=±126,4x x ∴==-.。
苏科版九年级数学上册全一册同步试题
1.1～1.2一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列方程中，哪一个是关于x 的一元二次方程( ) A ．(x ＋1)2＝2(x ＋1) B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．x 2＋2x ＋1＝x 2－12．一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为x ＝2，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－23．若23x 2m －1＋10x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．0 B.23 C.32D ．14．若(x ＋1)2－1＝0，则x 的值为( )A ．±1B ．±2C ．0或2D ．0或－25．用配方法解一元二次方程x 2－4x －1＝0，配方后得到的方程是( )A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝36．若等腰三角形的底和腰的长是方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为( )A ．8B ．10C ．8或10D ．不能确定7．若一个球的表面积是100π cm 2，则这个球的半径为(球的表面积S ＝4πR 2，其中R 是球的半径)( )A ．10 cmB ．5 cmC ．±10 cmD ．±5 cm8．已知P ＝715m －1，Q ＝m 2－815m ，m 为任意实数，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．不能确定二、填空题(每小题4分，共24分)9．方程x 2＋1＝－2(1－3x )化为一元二次方程的一般形式后，一次项系数为________．10．方程x 2－x －1＝0的根是__________________．11．用配方法解方程x 2－4x ＝5时，方程的两边应同时加上________，使得方程左边配成一个完全平方式．12．若△ABC 的一边长为4，另两边长分别是x 2－8x ＋15＝0的两根，则△ABC 的周长为________．13．若x ＋1与x －1互为倒数，则实数x 的值为________．14．已知关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋4x ＋m 2－9＝0有一个根为0，则m ＝________． 三、解答题(共52分)15．(6分)把方程(3x ＋2)(x －3)＝2x －6化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．16．(6分)解下列方程：(1)2x2－3x＋1＝0(用配方法解)；(2)x2－2 2x－3＝0(用公式法解)．17．(12分)用适当的方法解下列方程：(1)9(x＋2)2＝16；(2)(x＋1)(x－2)＝4；(3)2x ＋6＝(x ＋3)2；(4)(x －2)2＝(2x ＋3)2.18．(8分)若x ＝3是一元二次方程2x 2－(2k ＋3)x ＋4k －1＝0的一个根，求k 的值．19．(8分)已知m 为整数，且12x 2m 2－my 2与－4x 4m －2y 2是同类项，求(m －1)2的值．20．(12分)已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0.(1)当m取何值时，它是一元二次方程？并求出此时方程的解；(2)当m取何值时，它是一元一次方程？详解详析1．A2．C [解析] ∵一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为x ＝2，∴22＋2p －2＝0，解得p ＝－1.3．C [解析] 由题意，得2m －1＝2，解得m ＝32.4．D [解析] 移项，得(x ＋1)2＝1.开方，得x ＋1＝±1，解得x 1＝0，x 2＝－2.5．C [解析] 由x 2－4x －1＝0，得x 2－4x ＝1，则x 2－4x ＋4＝5，所以(x －2)2＝5. 6．B 7.B 8． C9．－6 [解析] 方程x 2＋1＝－2(1－3x )化为一般形式后为x 2－6x ＋3＝0. 10．x 1＝1＋52，x 2＝1－52 [解析] 由求根公式，得x ＝1±52.11．4 12.1213．± 2 [解析] 由题，得(x ＋1)(x －1)＝1，所以x 2－1＝1，则x 2＝2，从而得x ＝± 2.14．－315．解：(3x ＋2)(x －3)＝2x －6， 3x 2－9x ＝0，所以它的二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是0.16．解：(1)移项，得2x 2－3x ＝－1.二次项系数化为1，得x 2－32x ＝－12.配方，得x 2－32x ＋(－34)2＝－12＋(－34)2，即(x －34)2＝116.开平方，得x －34＝±14，∴x 1＝1，x 2＝12.(2)∵a ＝1，b ＝－2 2，c ＝－3，b 2－4ac ＝(－2 2)2－4×1×(－3)＝20>0， ∴x ＝2 2±202＝2±5，即x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.17．(1)x 1＝－23，x 2＝－103 (2)x 1＝3，x 2＝－2(3)x 1＝－3，x 2＝－1 (4)x 1＝－5，x 2＝－1318．解：将x ＝3代入方程2x 2－(2k ＋3)x ＋4k －1＝0，得18－3(2k ＋3)＋4k －1＝0，解得k ＝4.19．解：∵12x 2m 2－my 2与－4x 4m －2y 2是同类项，∴2m 2－m ＝4m －2，即2m 2－5m ＋2＝0.根据求根公式解得m 1＝2，m 2＝12.∵m 为整数，∴m ＝2，∴(m －1)2＝(2－1)2＝1.20．解：(1)由题意，得m 2＋1＝2，所以m ＝±1， 而m ≠－1，所以m ＝1，方程变为2x 2－2x －1＝0， 解得x 1＝1＋32，x 2＝1－32.(2)由题意，得m ＋1＝0且m －3≠0或m 2＋1＝1且(m ＋1)＋(m －3)≠0，解得m ＝－1或m ＝0.综上可知，当m ＝－1或0时，方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －3)x －1＝0是一元一次方程．1．1 一元二次方程知识点 1 一元二次方程的定义1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A.3x 2＋2y ＋1＝0 B.2x 2＝1－35xC ．0.1x 2－x ＋1＝0 D ．x 2＋x ＝x 2＋12．若方程x n＋2x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则n ＝________． 知识点 2 一元二次方程的解3．若一元二次方程x 2＋px －6＝0的一个根为x ＝2，则p 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．24．若一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一个根为x ＝－1，则a ＋b ＝________． 知识点 3 根据题意列一元二次方程5．今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的宽为60 m ，若将宽增大到与长相等(长不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2.设扩大后的正方形绿地的边长为x m ，则下面所列方程正确的是( )A ．x (x －60)＝1600B ．x (x ＋60)＝1600C ．60(x ＋60)＝1600D ．60(x －60)＝16006．[2017·宜宾] 经过两次连续降价，某药品的销售单价由原来的50元降到32元．设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________．知识点 4 一元二次方程的一般形式7．将方程3x (x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )A ．4x 2－4x ＋5＝0B ．3x 2－8x －10＝0C ．4x 2＋4x －5＝0D ．3x 2＋8x ＋10＝08．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3y 2＝5y －5； (2)2x (x －1)＝3(x ＋2)＋1.9．若方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m >52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠210．若关于x 的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为________． 11．如图1－1－1，邻边不相等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形花圃的面积为4 m 2，设矩形花圃的宽AB 为x m ，根据题意列出方程，并指出方程中的二次项系数、一次项系数及常数项．图1－1－112．已知x ＝m 是方程x 2－2018x ＋1＝0的一个根，求代数式m 2－2019m ＋m 2＋12018＋3的值．详解详析1．C2．2 [解析] ∵方程x n＋2x －3＝0是关于x 的一元二次方程，∴其未知数的最高次数为2，∴n ＝2. 故答案是2.3．C [解析] 把x ＝2代入x 2＋px －6＝0，得4＋2p －6＝0，解得p ＝1.故选C.4．2018 [解析] 把x ＝－1代入一元二次方程ax 2－bx －2018＝0，得a ＋b －2018＝0，即a ＋b ＝2018.故答案是2018.5．A6．50(1－x )2＝32 [解析] 第一次降价后的销售单价为50(1－x )元，第二次降价后的销售单价为50(1－x )2元，故根据题意所列方程为50(1－x )2＝32.7．B8．解：(1)整理方程，得3y 2－5y ＋5＝0，则二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为5.(2)整理方程，得2x 2－5x －7＝0，则二次项系数为2，一次项系数为－5，常数项为－7.9．D [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，3－m ≥0，解得m ≤3且m ≠2.故选D.10．3 [解析] 由题意得|a |－1＝2，且a ＋3≠0，解得a ＝3.故答案为3.11．解：若设宽AB 为x m ，则长BC 为(6－2x )m. 根据题意，得x (6－2x )＝4，整理方程，得2x 2－6x ＋4＝0，二次项系数为2，一次项系数为－6，常数项为4.12．解：∵x ＝m 是方程x 2－2018x ＋1＝0的一个根， ∴m 2－2018m ＋1＝0， ∴m 2＝2018m －1，m 2＋1＝2018m ， ∴原式＝2018m －1－2019m ＋2018m2018＋3＝－1－m ＋m ＋3＝2.第1章一元二次方程1．2 第1课时用直接开平方法解一元二次方程知识点 1 利用开平方的条件判断方程解的情况1．用直接开平方法解关于x的一元二次方程(x－5)2＝m－7时需开平方，因此被开方数m－7是一个________数，即m－7≥0，∴当m的取值范围是________时，方程(x－5)2＝m－7有解．知识点 2 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程2．解方程：x2－25＝0.解：移项，得x2＝________．∵x是________的平方根，∴x＝________，即x1＝________，x2＝________．3．教材例1(2)变式方程9x2＋1＝2的解是x1＝________，x2＝________．知识点 3 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程4. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－45．解方程：12(3－2x)2－3＝0.解：移项，得12(3－2x)2＝________．两边都除以12，得(3－2x)2＝________．∵3－2x是________的平方根，∴3－2x＝________，即3－2x＝________或3－2x＝________，∴x1＝________，x2＝________．6．教材例2变式方程2(1＋m)2＝24的解为x1＝________，x2＝________．7．解方程：(1)(x－1)2－3＝0; (2)(2x－1)2－16＝0；(3)4(1－2x)2＝9; (4)3(x－5)2－75＝0.8．若方程x2－m＝0的根是有理数，则m的值可能是( )A．－9 B．3 C．－4 D．49．2016·深圳给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n－1.例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的根是( )A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝0 D．x1＝2 3，x2＝－2 310．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝________．11．已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的根，试求三角形的周长．12．若关于x的方程(x＋m)2＝k(k≥0)的两个根是2和3，则关于x的方程(x＋m－2)2＝k(k≥0)的根是( )A．2或3 B．－2或－3C．4或5 D．－4或－5p，q表示p，q两数中较小的数，13．[2017·河北] 对于实数p，q，我们用符号min{}（x－1）2，x2＝1，则x 如min{1，2}＝1.因此min{}－2，－3＝________；若min{}＝________．详解详析1．非负 m≥72．25 25 ±5 5 －53.13 －134．D [解析] 将方程(x ＋6)2＝16两边直接开平方，得x ＋6＝±4，则x ＋6＝4或x ＋6＝－4.故选D .5．3 14 14 ±12 12 －12 54 746．2 3－1 －2 3－17．解：(1)移项，得(x －1)2＝3.∵(x－1)是3的平方根，∴x －1＝±3，即x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(2)移项，得(2x －1)2＝16.开平方，得2x －1＝±4.当2x －1＝4时，x ＝52；当2x －1＝－4时，x ＝－32.∴x 1＝52，x 2＝－32. (3)方程变形为(2x －1)2＝94. ∵(2x －1)是94的平方根， ∴2x －1＝±32，即x 1＝54，x 2＝－14. (4)移项，得3(x －5)2＝75，∴(x －5)2＝25，∴x －5＝5或x －5＝－5，解得x 1＝10，x 2＝0.8． D [解析] 先移项，把方程化为x 2＝m.因为x 是有理数，所以m 必须大于或等于0且是某个有理数的平方，据此即可对各个选项进行判断．9．B 10.311．解：由方程(x －5)2－4＝0，得x ＝3或x ＝7.根据三角形的三边关系，知3，6，3不能构成三角形；3，6，7能构成三角形． 故该三角形的周长为3＋6＋7＝16.12．C13．－ 3 2或－1第1章 一元二次方程1 .2 第2课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)知识点 1 用配方法把方程转化为(x ＋m )2＝n 的形式1．用配方法解方程x 2－6x ＝16时，应在方程两边同时加上( )A ．3B ．9C ．6D ．362．[2017·舟山] 用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x ＋2)2＝2B ．(x ＋1)2＝2C ．(x ＋2)2＝3D ．(x ＋1)2＝33．将一元二次方程x 2－6x －3＝0化成(x ＋a)2＝b 的形式，则b 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．124．若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝________．5．若把一元二次方程x 2－ax ＋47＝0配方后，变为(x －7)2＝2，则a ＝________．知识点 2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程6．一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为________．7．教材例3变式若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝________．8．解方程：x 2＋6x ＝－3.解：在方程x 2＋6x ＝－3的两边都加上9，得x 2＋6x ＋9＝6，即(________)2＝6.直接开平方，得________，所以x ＝________，即x 1＝________，x 2＝________．9．用配方法解下列方程：(1)y 2－2y ＝3； (2)x 2－6x －6＝0；(3)x 2＋9＝6x; (4)x 2－23x －89＝0.10．当x 取什么值时，代数式x 2－1的值与2x ＋1的值相等？11．如果方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成( )A ．(x －p )2＝5B ．(x －p )2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝512．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为( )A ．(x ＋m 2)2＝4n －m 24B ．(x ＋m 2)2＝m 2－4n 4C ．(x ＋m 2)2＝m 2－4n 2D ．(x ＋m 2)2＝4n －m 2213．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k －1)x ＋16＝0的左边恰好是一个完全平方式，则k ＝________．14．若x ＝0是一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，则m ＝________．15．王洪同学在解方程x 2－2x －1＝0时是这样做的：解：方程x 2－2x －1＝0变形为x 2－2x ＝1，第一步∴x (x －2)＝1，第二步∴x ＝1或x －2＝1，第三步∴x 1＝1，x 2＝3.第四步(1)王洪的解法从第________步开始出现错误；(2)请你选择适当的方法，正确解此方程．16．已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－8(a 2＋b 2)－9＝0，求a 2＋b 2的值．17．已知当x ＝2时，二次三项式x 2－2mx ＋8的值等于4，那么当x 为何值时，这个二次三项式的值是9?18．对于多项式x 2－3x ＋194，无论x 取何值，计算出的多项式的值总为正数，你能说明其中的道理吗？你知道当x 取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？详解详析1．B 2.B3．D [解析] ∵x 2－6x －3＝0，∴x 2－6x ＝3，∴x 2－6x ＋9＝3＋9，即(x －3)2＝12，∴b ＝12.4．3 [解析] 在方程x 2＋6x ＝7的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2＋6x ＋32＝7＋32，整理，得(x ＋3)2＝16，所以m ＝3.5．146．a 1＝2＋11，a 2＝2－117．－58．x ＋3 x ＋3＝± 6 －3± 6 －3＋ 6－3－ 69．解：(1)配方，得y 2－2y ＋1＝3＋1，即(y －1)2＝4.两边开平方，得y －1＝±2，所以y 1＝3，y 2＝－1.(2)移项、配方，得(x －3)2＝15.两边开平方，得x －3＝±15，所以x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)移项，得x 2－6x ＋9＝0，即(x －3)2＝0，解得x 1＝x 2＝3. (4)移项，得x 2－23x ＝89. 配方，得x 2－23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＝1. 两边开平方，得x －13＝±1， 所以x 1＝43，x 2＝－23. 10．解：根据题意，得x 2－1＝2x ＋1，即x 2－2x ＝2.配方，得x 2－2x ＋1＝2＋1， 即(x －1)2＝3. 开方，得x －1＝±3，解得x ＝1±3，∴当x ＝1±3时，代数式x 2－1的值与2x ＋1的值相等．11．B [解析] ∵x 2－6x ＋q ＝0，∴x 2－6x ＝－q ，∴x 2－6x ＋9＝－q ＋9，∴(x －3)2＝9－q .根据题意，得p ＝3，9－q ＝7，∴p ＝3，q ＝2，则x 2－6x ＋q ＝2即方程x 2－6x ＋2＝2，∴x 2－6x ＝0，∴x 2－6x ＋9＝9，∴(x －3)2＝9，即(x －p )2＝9.12．B13．9或－714．－415．解：(1)王洪的解法从第三步开始出现错误．(2)x 2－2x ＝1，x 2－2x ＋1＝1＋1，(x －1)2＝2， x －1＝±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.16．解：令x ＝a 2＋b 2.则原方程可化为x 2－8x －9＝0.配方，得(x －4)2＝25，解得x 1＝－1，x 2＝9.又∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝9.17．解：把x ＝2代入x 2－2mx ＋8＝4，得4－4m ＋8＝4，∴m ＝2.把m ＝2代入x 2－2mx ＋8＝9，得x 2－4x ＋8＝9，即x 2－4x ＝1，配方，得(x －2)2＝5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.即当x 等于2＋5或2－5时，这个二次三项式的值是9. 18． [解析] 多项式x 2－3x ＋194可配方变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52，而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52≥52， 故当x ＝32时，原多项式有最小值，为52. 解：x 2－3x ＋194＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52≥52， 故对于多项式x 2－3x ＋194，无论x 取何值，计算出的多项式的值总为正数，当x ＝32时，5 2.多项式的值最小，最小值为第1章 一元二次方程1 .2 第3课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)知识点 1 用配方法把方程转化为(x ＋m )2＝n 的形式1. 把方程2x 2－4x －2＝0的二次项系数化为1，得________＝0.移项，得________．配方，得________，即(________)2＝________．2．把方程3x 2－12x －18＝0配方，化为(x ＋m )2＝n 的形式应为( )A ．(x －4)2＝6B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝10D ．(x －2)2＝03．将一元二次方程2x 2＋4 2x ＋1＝0的左边配方成(x ＋m )2的形式之后，右边的常数应该是( )A ．1 B.32 C. 2 D. 3 4．用配方法解下列方程时，配方有误的是( )A ．x 2－2x －98＝0化为(x －1)2＝99B ．x 2－6x ＋4＝0化为(x －3)2＝5C ．4x 2＋6x ＋1＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＝516 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝43 5．代数式2x 2＋8x －7配方后得____________．6．用配方法解一元二次方程2x 2＋3x ＋1＝0，变形为(x ＋h )2＝k ，则h ＝________，k＝________．知识点 2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程7．用配方法解方程：2x 2＋4x －12＝0.解：二次项系数化为1，得________________．移项，得______________．配方，得______________，即______________．开方，得______________．所以原方程的解为__________________．8．一元二次方程3x 2＋10x －8＝0的解为________．9．用配方法解下列方程：(1)2x 2－7x ＋6＝0; (2)6x 2－x －12＝0；(3)4x 2＋12x ＋9＝0;(4)[2016·仪征二模] 2x 2－4x －1＝0；(5)2x(x －3)＝1; (6)－16x 2－13＝12x.10．不论x 取何值，二次三项式2x 2－2x ＋1的值都( )A ．大于或等于12B ．小于或等于－12C ．有最大值12D ．恒小于011．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中，会得到一个新的实数3a 2－4b ＋6.若将实数(x ，－2x)放入其中，得到1，则x ＝________．12．已知方程5x 2＋kx －10＝0的一个根是－5，求它的另一个根及k 的值．13．当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1的值与x 2－19的值互为相反数？14．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方．请你阅读如下方程的解答过程．解方程：2x 2－2 2x －3＝0.解：2x2－2 2x＝3，(2x)2－2 2x＋1＝3＋1，(2x－1)2＝4，2x－1＝±2，解得x1＝－22，x2＝3 22.按照上述解法解方程：5x2－215x＝2.15．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题，如求式子的最值：因为3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1.(1)当x＝________时，代数式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值为________．(2)当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值为________，分析：－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋________)＋________＝－2(x－1)2＋________．(3)如图1－2－1，已知矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度是16 m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？(假设墙足够长)图1－2－1详解详析1．x 2－2x －1 x 2－2x ＝1 x 2－2x ＋1＝2x －1 22．C [解析] 3x 2－12x －18＝0.二次项系数化为1，得x 2－4x －6＝0.移项，得x 2－4x ＝6.配方，得x 2－4x ＋4＝10，即(x －2)2＝10.3．B4．D [解析] 用配方法解方程时，配方这一步是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．5．2(x ＋2)2－156.34 1167．x 2＋2x －6＝0 x 2＋2x ＝6 x 2＋2x ＋1＝6＋1 (x ＋1)2＝7x ＋1＝±7 x 1＝7－1，x 2＝－7－18．x 1＝23，x 2＝－49．[解析] 先将二次项系数化为1，然后用配方法求解．解：(1)方程两边同除以2，得x 2－72x ＋3＝0.移项、配方，得x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝116，所以x －74＝±14，所以x 1＝2，x 2＝32.(2)方程两边都除以6，并移项，得x 2－16x ＝2.配方，得x 2－16x ＋(－112)2＝2＋(－112)2，即(x －112)2＝289144＝(1712)2，所以x －112＝1712或x －112＝－1712，所以x 1＝32，x 2＝－43.(3)移项，得4x 2＋12x ＝－9.二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－94.方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2＋3x ＋94＝－94＋94，即(x ＋32)2＝0，解得x 1＝x 2＝－32. (4)方程整理，得x 2－2x ＝12. 配方，得x 2－2x ＋1＝32，即(x －1)2＝32. 开方，得x －1＝±62. 解得x 1＝1＋62，x 2＝1－62. (5)整理，得2x 2－6x ＝1.两边同除以2，得x 2－3x ＝12. 配方，得x 2－3x ＋94＝12＋94， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝114. 开方，得x －32＝±112， 所以x 1＝32＋112，x 2＝32－112. (6)移项，得－16x 2－12x ＝13. 两边同除以－16，得x 2＋3x ＝－2. 配方，得x 2＋3x ＋94＝－2＋94， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝14. 开方，得x ＋32＝±12， 所以x 1＝－1，x 2＝－2.10. A11．－53或－1 [解析] 根据题意，得3x 2－4(－2x)＋6＝1. 整理，得3x 2＋8x ＝－5.化简、配方，得(x ＋43)2＝19. 解得x 1＝－53，x 2＝－1. 故答案为－53或－1. 12．解：把x ＝－5代入方程，得5×(－5)2－5k －10＝0，解得k ＝23，∴原方程为5x 2＋23x －10＝0.两边同除以5，得x 2＋235x －2＝0 配方，得x 2＋235x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23102＝729100，∴x ＋2310＝±2710， ∴x 1＝25，x 2＝－5. ∴方程的另一个根是25，k 的值为23. 13．解：因为代数式2x 2＋7x －1的值与x 2－19的值互为相反数，所以2x 2＋7x －1＋x 2－19＝0，所以3x 2＋7x －20＝0，二次项系数化为1，得x 2＋73x －203＝0. 配方，得(x ＋76)2＝203＋4936， 即x ＋76＝±176， 所以x ＝53或x ＝－4. 即当x 的值为53或－4时，代数式2x 2＋7x －1的值与x 2－19的值互为相反数． 14．解：(5x)2－2 5×3x ＝2， (5x)2－2 5×3x ＋3＝5，(5x)2－2 5×3x ＋(3)2＝(5)2，(5x －3)2＝(5)2，5x －3＝±5， x －155＝±1，解得x1＝1＋155，x2＝－1＋155.15． [解析] 首先要理解题意，根据完全平方式，通过配方求最值．解：(1)1 大 3(2)1 大 5 1 5 5(3)设花园与墙相邻的边长为x m，花园的面积为S m2，则S＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32.当x＝4时，S取得最大值32.∴当花园与墙相邻的边长为4 m时，花园的面积最大，最大面积是32 m2.第1章 一元二次方程1 .2 第4课时 用公式法解一元二次方程知识点 1 一元二次方程的求根公式1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的各项系数________确定的，其求根公式是__________，方程存在解的条件是______________．2．用公式法解一元二次方程3x 2＝2x －3时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．用求根公式解一元二次方程2y 2－4y －1＝0，其中b 2－4ac 的值是( )A ．8B ．12C ．20D ．24知识点 2 用公式法解一元二次方程4．用公式法解一元二次方程－x 2＋3x ＝1.解：把这个方程化为一般形式为x 2－3x ＋1＝0.∵a ＝________，b ＝________，c ＝________，∴b 2－4ac ＝________，∴x ＝________，∴x 1＝________，x 2＝________．5．用公式法解方程3x 2－5x ＋1＝0，正确的是( )A ．x ＝－5±136B ．x ＝－5±133C ．x ＝5±136D ．x ＝5±1336．[2016·沈阳] 一元二次方程x 2－4x ＝12的根是( )A ．x 1＝2，x 2＝－6B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝－2，x 2＝－6D ．x 1＝2，x 2＝67．若代数式x 2－6x ＋5的值是12，则x 的值为( )A ．7或－1B ．1或－5C ．－1或－5D ．不能确定8．已知代数式7x(x ＋5)＋10的值与9x －9的值互为相反数，则x ＝________．9．用公式法解下列方程：(1)x 2＋4x －1＝0； (2)x 2－13x ＋40＝0；(3)2x 2－3x ＋4＝0; (4)23t 2＝2t －1；(5)3y 2＋1＝2 3y; (6)5x 2－5x －6＝0.10．解方程x 2＝－3x ＋2时，有一名同学的解答过程如下：解：∵a＝1，b ＝3，c ＝2，b 2－4ac ＝32－4×1×2＝1>0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－3± 12×1＝－3±12， 即x 1＝－2，x 2＝－1.请你分析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．11．如果x 2－4x ＋5＝(x ＋1)0，那么x 的值为( )A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－112．一元二次方程x 2－2x －6＝0，其中较大的一个根为x 1，下列最接近x 1的范围是( )A ．3＜x 1＜4B ．3＜x 1＜3.5C ．3.5＜x 1＜3.7D ．3.7＜x 1＜413．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为________．14．解方程：(x －1)2－2(x －1)－3＝0.15．已知一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．16．已知一个矩形的相邻两边长分别为2m－1和m＋3，若此矩形的面积为30，求这个矩形的周长．17．若x2＋mx＋15＝(x＋5)(x＋n)，试解关于x的方程nx2＋mx＋1＝0.18．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出此方程的根；(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？详解详析1．a ，b ，c x ＝－b±b 2－4ac 2ab 2－4ac≥0 2．D 3.D4．1 －3 1 5 3±52 3＋52 3－52 5．C6．B [解析] 方程整理得x 2－4x －12＝0，用公式法解得x 1＝－2，x 2＝6.7． A [解析] x 2－6x ＋5＝12，x 2－6x ＋5－12＝0，x 2－6x －7＝0，∴x ＝6±82， 解得x 1＝－1，x 2＝7. 故选A .8.－22±35379．解：(1)∵a＝1，b ＝4，c ＝－1，b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20>0，∴x ＝－4±202，∴x ＝－2±5， 即x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)∵a＝1，b ＝－13，c ＝40，b 2－4ac ＝(－13)2－4×1×40＝9，∴x ＝13±92＝13±32， ∴x 1＝8，x 2＝5.(3)∵a＝2，b ＝－3，c ＝4，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，∴原方程无实数根．(4)整理，得2t 2－6t ＋3＝0.∵a ＝2，b ＝－6，c ＝3，b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，∴t ＝－（－6）±122×2＝3±32， 即t 1＝3＋32，t 2＝3－32. (5)移项，得3y 2－2 3y ＋1＝0.∵a ＝3，b ＝－2 3，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2 3)2－4×3×1＝0，∴y ＝－（－2 3）±02×3＝33，即y 1＝y 2＝33. (6)∵a＝5，b ＝－5，c ＝－6，b 2－4ac ＝()－52－4×5×(－6)＝125>0，∴x ＝－（－5）±1252×5＝5±5 510， 即x 1＝3 55，x 2＝－2 55. 10．解：解答有错误，正确的解题过程如下：方程整理，得x 2＋3x －2＝0.这里a ＝1，b ＝3，c ＝－2.∵b 2－4ac ＝9＋8＝17，∴x ＝－3±172， 即x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172. 11．C 12.C 13.1314．解：把x －1作为整体看成一个未知数．∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0， ∴x －1＝2±162， ∴x 1＝4，x 2＝0.15．解：对于方程x 2－2x －54＝0， ∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－54， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－54)＝9>0， ∴x ＝2±92×1， ∴x 1＝52，x 2＝－12. 把x 1＝52代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0， 解得k ＝75； 把x 2＝－12代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0， 解得k ＝－7.即k 的值为75或－7. 16．解：由题意，得(2m －1)(m ＋3)＝30，则2m 2＋5m －33＝0，解得x 1＝－112(舍去)，x 2＝3. 所以这个矩形的相邻两边长分别为5和6，故这个矩形的周长为22.17．解：由(x ＋5)(x ＋n)＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，得x 2＋mx ＋15＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝n ＋5，5n ＝15， 解得m ＝8，n ＝3，代入方程nx 2＋mx ＋1＝0，得3x 2＋8x ＋1＝0.∵a ＝3，b ＝8，c ＝1，b 2－4ac ＝64－12＝52>0，∴x ＝－8±526＝－4±133， 即x 1＝－4＋133，x 2＝－4－133. 18．解：(1)根据题意，得m ≠1.b 2－4ac ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4，则x ＝2m±22（m －1）， ∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝1.(2)由(1)知，x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1. ∵方程的两个根都为正整数，∴2m －1是正整数． 又∵m 为整数，∴m －1＝1或m －1＝2，∴m ＝2或m ＝3.即当m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数．第1章 一元二次方程1．2 第5课时 一元二次方程根的判别式知识点 1 判断一元二次方程的根的情况1．[2017·常德] 一元二次方程3x 2－4x ＋1＝0的根的情况为( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是( ) A ．(x －1)2＝0 B ．x 2＋2x －19＝0 C ．x 2＋4＝0 D ．x 2＋x ＋1＝03．已知一元二次方程：①x 2＋2x ＋3＝0；②x 2－2x －3＝0.下列说法正确的是( ) A ．①②都有实数根B ．①无实数根，②有实数根C ．①有实数根，②无实数根D ．①②都无实数根4．不解方程，判断下列方程根的情况．(1)3x 2－6x －2＝0; (2)x 2－8x ＋17＝0.知识点 2 应用根的判别式求字母的值或取值范围5．[2017·德阳] 已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．36．[2017·通辽] 若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上的表示正确的是( )图1－2－27．若关于x 的一元二次方程x 2＋a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是________．8．教材练习第2题变式若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m ＝________．9．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是________．10．已知关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0，则当k为何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠212．[2016·海安学业水平测试] 为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0必有实数根”是假命题，可以举的一个反例是( )A．b＝2 B．b＝3C．b＝－2 D．b＝－313．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx＋b的大致图像可能是( )图1－2－314．[2016·河北] a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一个根为015．若关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的最小整数值是________．16．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．17．已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程的一个根为3，求m的值．18．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取最小整数值时，用合适的方法求该方程的解．19．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．详解详析1．D 2.B3．B [解析] 方程①的判别式b 2－4ac ＝4－12＝－8<0，则方程①没有实数根；方程②的判别式b 2－4ac ＝4＋12＝16>0，则方程②有两个不相等的实数根． 故选B .4．解：(1)3x 2－6x －2＝0， a ＝3，b ＝－6，c ＝－2， b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0，因此方程3x 2－6x －2＝0有两个不相等的实数根．(2)x 2－8x ＋17＝0， a ＝1，b ＝－8，c ＝17， b 2－4ac ＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，因此方程x 2－8x ＋17＝0无实数根．5．D [解析] 一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，即(－4)2－4(c ＋1)＝0，则可得c ＝3.6．A [解析] ∵关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≠0，[2（k ＋1）]2－4（k ＋1）（k －2）≥0， 解得k ＞－1.故选A . 7．a ＞08．9 [解析] ∵方程有两个相等的实数根，∴(－6)2－4m ＝0，∴m ＝9.故答案为9.9． [解析] 根据题意，得(1－m)2－4×m 24＞0，解得m ＜12，所以m 的最大整数值为0.10．解：(1)∵关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0有两个不相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，（－6）2－4×9k>0， 解得k ＜1且k≠0，∴当k ＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．(2)∵关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，（－6）2－4×9k＝0， 解得k ＝1，∴当k ＝1时，方程有两个相等的实数根．(3)∵关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0没有实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，（－6）2－4×9k<0， 解得k ＞1，∴当k ＞1时，方程没有实数根．11．D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，∴m －2≠0且22－4×(m－2)×1≥0，解得m≤3且m≠2，∴m 的取值范围是m≤3且m≠2.故选D . 12．C13．B [解析] ∵x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝4－4(kb ＋1)＞0，解得kb ＜0.由A 项中的图像可知k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 项不正确； 由B 项中的图像可知k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 项正确； 由C 项中的图像可知k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 项不正确； 由D 项中的图像可知k<0，b ＝0，即kb ＝0，故D 项不正确． 故选B .14． B [解析] 由(a －c)2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，因此a≠0，b 2－4ac ＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选B .15．216．解：(1)证明：b 2－4ac ＝m 2－4×1×(m－2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4.∵(m －2)2≥0，∴(m －2)2＋4＞0，即b 2－4ac ＞0，∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． (2)∵此方程的一个根为－2， ∴4－2m ＋m －2＝0，∴m ＝2，∴一元二次方程为x 2＋2x ＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝0， ∴方程的另一个根为0.17．解：(1)因为b 2－4ac ＝4m 2－4(m 2－1)＝4＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m ＝－2或m ＝－4. 所以m 的值是－2或－4.18．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4(m 2－1)＝4m ＋5>0，解得m>－54.(2)∵m 取最小整数值，∴m ＝－1.当m ＝－1时，原方程为x 2－x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1.19．解析] (1)先计算出b 2－4ac ，然后根据判别式与0的大小关系即可得到结论； (2)先利用公式法求出方程的解，当边AB ，AC 的长与两根分别相等时，利用△ABC 为等腰三角形这个条件，再在AB ＝BC ，AB ＝AC ，或AC ＝BC 的情况下，求出相应的k 的值．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋k)＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根．(2)一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0的解为x ＝2k ＋1±12，即x 1＝k ，x 2＝k ＋1. 令AB ＝k ，AC ＝k ＋1.当AB ＝BC 时，k ＝5，此时三角形的三边长为5，5，6，能构成等腰三角形； 当AB ＝AC 时，k ＝k ＋1，无解，此种情况不存在；当AC ＝BC 时，k ＋1＝5，解得k ＝4，此时三角形的三边长为4，5，5，能构成等腰三角形．∴k的值为5或4.第1章一元二次方程1．2 第6课时用因式分解法解一元二次方程知识点用因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：____________、____________求解，其解为x1＝________，x2＝________．2．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想 B．函数思想C．数形结合思想 D．公理化思想3．方程(y－1)2＝y－1的解是( )A．y＝1 B．y1＝1，y2＝2C．y＝2 D．y1＝0，y2＝14．一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是( )A．x＝－1 B．x＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝35．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝36．一元二次方程4x2－12x＝0的解是____________．7．方程x(x－2)＝x的解是______________．8．方程2(x－2)2＝x2－4的解是____________．9．已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．10．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16x＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；(4)x(2x－5)＝4x－10；(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.11．教材例8(2)变式当x为何值时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.12．下列四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝3y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分解法求解的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．413．定义一种新运算：a♣b＝a(a－b)．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若x♣2＝3，则x的值是( )A．x＝3 B．x＝－1C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－114．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－1，x2＝2，则将多项式x2＋bx＋c分解因式的结果为________．15．用合适的方法解方程：(1)(2x－1)2＝9；(2)(x－5)(3x－2)＝10；(3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.16．小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x －5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．17．[2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.18．阅读题例，解答后面的问题：解方程：x2－|x－1|－1＝0.解：①当x－1≥0，即x≥1时，原方程化为x2－(x－1)－1＝0，则x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；②当x－1＜0，即x＜1时，原方程化为x2＋(x－1)－1＝0，则x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.综上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.详解详析1．5－2x ＝0 x ＋3＝052－3 [解析] 把方程5(x ＋3)－2x(x ＋3)＝0化为(5－2x)(x ＋3)＝0，则5－2x ＝0或x ＋3＝0.2．A3．B [解析] 把y －1看成一个整体，移项、提取公因式，得(y －1)(y －2)＝0， ∴y 1＝1，y 2＝2.4．D [解析] 原方程可化为x(x －3)＋(x －3)＝0， ∴(x －3)(x ＋1)＝0， ∴x －3＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝－1.5．D [解析] 原方程可化为(x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x －2－1)＝0，即(x ＋1)(x －3)＝0，∴x ＋1＝0或x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.故选D .6．x 1＝0，x 2＝37．x 1＝0，x 2＝3 [解析] 原方程可化为x(x －2)－x ＝0，x(x －2－1)＝0，∴x ＝0或x －3＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.8．x 1＝2，x 2＝6 9．3 [解析] 因为(x ＋1)(x －2)＝0，所以x ＋1＝0或x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，所以A ，B 两点间的距离是|2－(－1)|＝3.故答案是3.10．解：(1)原方程可变形为x(x ＋16)＝0， ∴x ＝0或x ＋16＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－16.(2)原方程可变形为(3x ＋2－2x)(3x ＋2＋2x)＝0， 即(x ＋2)(5x ＋2)＝0， ∴x ＋2＝0或5x ＋2＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－25.(3)原方程可化为(x ＋3)(2x －3)＝0， ∴x ＋3＝0或2x －3＝0， ∴x 1＝－3，x 2＝32.(4)原方程可变形为x(2x －5)－2(2x －5)＝0， 即(2x －5)(x －2)＝0， ∴2x －5＝0或x －2＝0， ∴x 1＝52，x 2＝2.(5)分解因式，得(x －1)(x －1＋2x)＝0， ∴x －1＝0，x －1＋2x ＝0， ∴x 1＝1，x 2＝13.(6)分解因式，得[(x －5)－1]2＝0， ∴x 1＝x 2＝6.11．解：根据题意，得x －3－x(x －3)＝0，方程变形为(x －3)(1－x)＝0. ∴x －3＝0或1－x ＝0， ∴x 1＝3，x 2＝1，即当x 为3或1时，代数式x －3的值与x(x －3)的值的差为0. 12．D13．D [解析] ∵x ♣2＝3，∴x(x －2)＝3，整理，得x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.故选D .14．(x ＋1)(x －2)15．解：(1)开平方，得2x －1＝3或2x －1＝－3， 解得x 1＝2，x 2＝－1.(2)整理，得3x 2－17x ＝0， ∴x(3x －17)＝0.∴x ＝0或3x －17＝0，解得x 1＝0，x 2＝173.(3)∵x 2＋6x ＝1，∴x 2＋6x ＋9＝1＋9，即(x ＋3)2＝10，则x ＋3＝±10， ∴x ＝－3±10，即x 1＝－3＋10，x 2＝－3－10.(4)原方程变形为(x ＋1)(2x －3－1)＝0， 即2(x ＋1)(x －2)＝0， ∴x ＋1＝0或x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2.16．解：小红的解法不正确．理由：方程两边同除以(2x －5)时，她认为2x －5≠0，事实上，2x －5可以为零，这样做，会导致丢根．正确解法如下：x(2x －5)＋4(5－2x)＝0， x(2x －5)－4(2x －5)＝0， (2x －5)(x －4)＝0， ∴2x －5＝0或x －4＝0，∴x 1＝52，x 2＝4.17．解：(1)∵8可以分解为2与4的积，且2与4的和为6，满足十字相乘的形式，故填2，4.(2)x 2－3x －4＝0， (x －4)(x ＋1)＝0，即x －4＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝4，x 2＝－1. 18．[解析] 根据题中所给的材料把绝对值符号内的x ＋2分两种情况讨论(x ＋2≥0和x ＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程．解：①当x ＋2≥0，即x≥－2时，原方程化为x 2＋2(x ＋2)－4＝0，则x 2＋2x ＝0，x(x ＋2)＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2；②当x＋2＜0，即x＜－2时，原方程化为x2－2(x＋2)－4＝0，则x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，解得x1＝4(不合题意，舍去)，x2＝－2(不合题意，舍去)．综上所述，原方程的解是x＝0或x＝－2.[点评] 从题中所给材料找到解题方法是解题的关键．注意在去掉绝对值符号时要针对符号内的代数式的正负性分情况讨论．第1章 一元二次方程*1.3 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 一元二次方程根与系数关系的直接应用1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．42．[2017·怀化] 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－33．[2016·金华] 若一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论中正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1＝x 2＝24．[2016·溧水区一模] 已知方程x 2－6x ＋k ＝0的一个根是2，则它的另一个根是________．知识点 2 利用根与系数的关系求值5．教材例题变式已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＋2x －6＝0的两个根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( )A ．－43 B.83 C ．－83 D.436. [2016·苏州中考预测卷二] 已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则(x 1－1)(x 2－1)的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－87．若关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＝0的两根互为倒数，则a ＝________．8．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，则另一个根是________． 9．教材“尝试与交流”变式如果一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根分别是2＋3和2－3，求a ，b 的值．10．已知关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两个根分别是x 1，x 2，且1x 1＋1x 2＝3，求k 的值．。
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最新苏教版数学初三九年级上册压轴解答题同步优质（Word版含答案）一、压轴题1．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；②若AD+BD＝14，求2AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O的半径．2．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣13x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）5．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 7．已知抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标； （ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由． 8．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．9．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．11．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan 2CDE ∠=，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值； （3）如图③，若DE CF =，求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）CD2+BD2＝2AD2，见解析；（2）BD2＝CD2+2AD2，见解析；（3）①2，②最大值为4414710【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD＝CAE，进而得出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，∠B＝∠ACE，再根据勾股定理得出DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，即可得出结论；（2）同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再用勾股定理的出DE2＝2AD2，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即可得出结论；（3）先根据勾股定理的出DE2＝CD2+CE2＝2CD2，再判断出△ACE≌△BCD（SAS），得出AE ＝BD，①将AD＝6，BD＝8代入DE2＝2CD2中，即可得出结论；②先求出CD＝2，再将AD+BD＝14，CD＝2代入22AD BD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭，化简得出﹣（AD﹣212）2+4414，进而求出AD，最后用勾股定理求出AB即可得出结论．【详解】解：（1）CD2+BD2＝2AD2，理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，∴CD2+BD2＝2AD2；（2）BD2＝CD2+2AD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∴DE2＝2AD2，∵∠ADC＝45°，∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即：BD2＝CD2+2AD2；（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，∴∠DCE＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，∴CD＝CE，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，连接AC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠BDC＝45°＝∠ADC，∴AC＝BC，∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，①AD＝6，BD＝8，∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，∴2CD2＝142，∴CD＝故答案为；②∵AD+BD＝14，∴CD＝∴2AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭＝AD•（BD+22×72）＝AD•（BD+7）＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣212）2+4414，∴当AD＝212时，2AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值为4414，∵AD+BD＝14，∴BD＝14﹣212＝72，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝22710AD BD+=，∴⊙O的半径为OA＝12AB＝710．【点睛】本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质.2．(1)作图见解析；（2）49π.【解析】试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．试题解析：（1）如图所示：①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于23GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，时⊙P的面积就是S的最大值，∵AC=1，BC=2，∴AB=5，设PC=x，则PA=AC-PC=1-x在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，∴（1-x）2=x2+（5-2）2，∴x=25-4；②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）2=y2+5）2，∴y=512-； ③如图4，同理可得，当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF=z ， ∵△APF ∽△PBE ， ∴PF ：BE=AF ：PE ， ∴，∴z=49． 由①、②、③可知，49＞512-＞∴z ＞y ＞x ，∴⊙P 的面积S 的最大值为π．考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图． 3．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)． 【解析】 【分析】（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90︒，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45︒，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45︒，所以∠OEF ＝45︒，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．（2）由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN ＝45︒，由直线AC 解析式可设M 点坐标为（x ，122x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标．【详解】解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝BC ， ∵CE ⊥x 轴，∴∠ACK +∠ECB ＝90︒，∠ECB +∠CBE ＝90︒，∴∠ACK ＝∠CBE在△AKC 和△CEB 中，AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△AKC ≌△CEB （AAS ）∴AK ＝CE ，CK ＝BE ，∵四边形AOEK 是矩形，∴AO ＝EK ＝BE ，由直线l ：y ＝﹣13x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4），∵∠CDB ＝∠CEB ＝90︒，∴B 、C 、D 、E 四点共圆，∵CD CD =，∠CBA ＝45︒，∴∠CED ＝45︒，∴FE 平分∠CEO ，过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ．∴PH ＝PQ ，∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ，∴OE ＝4，∴AP +PQ ≥4，∴AP +PQ 的最小值为4．（2）∵A 点坐标为（0，2），C 点坐标为（4，4），设直线AC 解析式为：y ＝kx+b把（0，2），（4，4）代入得244b k b =⎧⎨=+⎩解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 解析式为：y ＝122x +， 设M 点坐标为（x ，122x +），N 坐标为（0，y ）． ∵MN ∥AB ，∠CAB ＝45︒，∴∠CMN ＝45︒，△CMN 为等腰直角三角形有两种情况：Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90︒，MN＝CN．同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．∴41242x yx y-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得：128xy=-⎧⎨=-⎩，∴M点坐标为（﹣12，﹣4）Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90︒，MN＝CN．过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．∴4412442x yx-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得：1212xy=⎧⎨=⎩，∴M点坐标为（12，8）综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K 字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．4．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【解析】【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【详解】（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时，∴BPC ∠=APB ∠=100°（ii ）若BPC CPA ∠=∠时， ∴12BPC CPA ∠=∠=（360°－APB ∠）=130°； （iii ）若APB ∠=CPA ∠时，BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°，综上所述：BPC ∠=100°、130°或160°故答案为：100、130或160．（2）选择①：连接,PB PC ∵DB DC =∴=DB DC∴BPD CPD ∠=∠∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠=∴APB APC ∠=∠∴P 是ABC ∆的等角点．选择②连接,PB PC∵BC BD =∴BC BD =∴BDC BPD ∠=∠∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴180BDC BPC ∠+∠=∵180BPD APB ∠+∠=∴BPC APB∠=∠∴P是ABC∆的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO －∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO －∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO －∠BCO=120°显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；⑤由（3）可知，当ABC ∆的三个内角都小于120时，ABC ∆必存在强等角点Q ． 如图④，在三个内角都小于120的ABC ∆内任取一点'Q ，连接'Q A 、'Q B 、'Q C ，将'Q AC ∆绕点A 逆时针旋转60到MAD ∆，连接'Q M ，∵由旋转得'Q A MA =，'Q C MD =，'60Q AM ∠=∴'AQ M ∆是等边三角形．∴''Q M Q A =∴'''''Q A Q B Q C Q M Q B MD ++=++∵B 、D 是定点，∴当B 、'Q 、M 、D 四点共线时，''Q M Q B MD ++最小，即'''Q A Q B Q C ++最小．而当'Q 为ABC ∆的强等角点时，'''120AQ B BQ C CQ A AMD ∠=∠=∠==∠， 此时便能保证B 、'Q 、M 、D 四点共线，进而使'''Q A Q B Q C ++最小．故答案为：③⑤．【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．5．（1）详见解析；（2）21y 32x x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，2y x x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，60AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，2y x x =，∴212y x =-+，∵212y x =-+=213(22x -+，当x =y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，360AH sin AB =︒=， ∵AB =23∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．6．（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠ 9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =，∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴22a x -±=a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．7．（1）y ＝﹣14x 2+x +3，顶点B 的坐标为（2，4）；（2）（i ）点E 的坐标为（85，3）或（125，3）；（ii ）存在；当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上，此时AE 的长为43．【解析】【分析】（1）由题意得出21441,43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得1,3,bc=⎧⎨=⎩，得出抛物线的函数表达式为：y＝﹣14x2+x+3＝﹣14（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y＝12m--x+462mm--，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝15182m-，分两种情况求出m的值即可；（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，﹣14a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣14a2+a+3）＝14a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出NF NEAE AD=，求出a＝﹣43或0，当a＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝43，即可得出结论．【详解】（1）∵抛物线y＝﹣14x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，∴21441, 43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,3, bc=⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣14x2+x+3，∵y＝﹣14x2+x+3＝﹣14（x﹣2）2+4，∴顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）∵y＝﹣14x2+x+3，∴x＝0时，y＝3，则C点的坐标为（0，3），∵A（4，3），∴AC∥OD，∵AD⊥x，∴四边形ACOD是矩形，设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：则24,3, k nmk n+=⎧⎨+=⎩解得：1,246,2kmmnm-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴直线BE的函数表达式为：y＝12m--x+462mm--，令：y＝12m--x+462mm--＝0，则x＝4m﹣6，∴点M的坐标为（4m﹣6，0），∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，S梯形ECOM＝12（OM+EC）•OC＝12（4m﹣6+m）×3＝15182m-，分两种情况：①S ECOMS ACOD梯形矩形＝14，即1518212m-＝14，解得：m＝85，∴点E的坐标为：（85，3）；②S ECOMS ACOD梯形矩形＝34，即1518212m-＝34，解得：m＝125，∴点E的坐标为：（125，3）；综上所述，点E的坐标为：（85，3）或（125，3）；（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：设点F的坐标为：（a，﹣14a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣14a2+a+3）＝14a2﹣a，NC＝﹣a，∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，∵NF∥CG，∴∠EMC＝∠EFN，∴∠EFN＝∠DGO，在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），∴NE＝OD＝AC＝4，∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，∴∠EFN＝∠DEA，∴△ENF∽△DAE，∴NE NFAD AE=，即43＝214a aa--，整理得：34a2+a＝0，解得：a＝﹣43或0，当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，∴AE＝NC＝﹣a＝43，∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型． 8．（1）2114y x =-；（2）点P 37(,)216-；（3）(222,222M --+ 【解析】 【分析】（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解；（2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （21,14t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解； （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMNCNEMNESSS=+即可求解．【详解】（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1） ∴AB=4∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =- 解得14a =∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-（2）当1x =-时，34y =-,即：点D 为（31,4--）∴直线OD 为：34y x = 设P （21,14t t -），则Q 为（22141,1334t t --），则： 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+∴当32t =时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216- （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：14k m = ∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =-- ∵()()12CMNCNE MNEC N N M S SSx x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m ---∴2440m m +-=解得：12m =--，22m =-+（舍去）∴M (2--+ 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析．9．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或(54178+-，．【解析】 【分析】（1）由3OB OC ==及图像可得B 、C 两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；（2）由题意易得35COFCOD SS =，进而得到点D 、F 横坐标之间的关系为53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，则有直线BC 的解析式为3y x =-+，然后可直接求解；（3）分∠PBE 或∠PEB 等于2∠OBE 两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：(1)3OB OC ==，则：()()3003B C ，，，， 把B C 、坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：2y x 2x 3=-++①；(2)∵32COF CDF S S =△△：：， ∴35COFCOD SS =，即：53D F x x =， 设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ， 点F 在直线BC 上，而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，， 则直线OF 所在的直线表达式为：3313t ty x x t t--==， 则点55(5)D t t -，， 把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =或25， 则点D 的坐标为(14)，或(2)3，； (3)①当2PBE OBE ∠=∠时，当BP 在x 轴上方时，如图2，设1BP 交y 轴于点E '， ∴12PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=︒=， ， ∴()E BO EBO AAS '≌ ， ∴32EO EO ==， ∴点3(20)E '，，直线1BP 过点B E '、，则其直线方程为：1322y x =-+②， 联立①②并解得：12x =- ，故点P 1的坐标为17()24-，；当BP 在x 轴下方时，如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'， ∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠， ， ∴FEB EBF ∠=∠ ， ∴FE BF = ，直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12-， 则其直线表达式为：1322y x =-- ，设点13()22F m m --，，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ， 则点13()202H m --，，13()232K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =，即：()2222331313()()22222m m m m +-++=-++， 解得：52m =，则点511()24F -，， 则直线BF 表达式为：113322y x =-…③， 联立①③并解得：132x =-或3(舍去3)， 则点213209()24P --，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求， 设BE '交3EP 于点F ， ∵2EBE OBE ∠'=∠， ∴3EBE P EB ∠'=∠ ， ∴FE BF = ，由①知，直线BE '的表达式为：1322y x =-+， 设点13()22F n n -+，，13()232K n -+，， 由FE BF =，同理可得：12n =，故点15()24F ，，则直线EF 的表达式为：11322y x =-④， 联立①④并解得：1n =或92- (舍去负值)，∴34(1)P ， ； 当EP 在BE 下方时，同理可得：x =舍去负值)，故点458(417P +-+，．故点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或(54178+-+，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．10．（1）243y x x =-+-；（2）点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）；（3）①G 的坐标．，，；②t =或t = 【解析】 【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；（2）根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2，由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值，得出P 点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P 点横坐标；（3）①根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴右侧；当点G 在对称轴左侧；结合图像，分别求出点G 的坐标即可；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴左侧；当点G 在对称轴右侧；结合图像，分别列出方程，求出t 的值即可． 【详解】解：（1）把点(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++上，求得：4b =，3c =-， ∴243y x x =-+-；（2）依题意，得312AB =-=， 设P 点坐标为(,)a n ， 当0n >时，则8n =， 故2–438x x +-=，即24110x x ++=，∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2（-），方程24110x x -++=无实数根； 当0n <时，则8n =- 故2438x x -+-=-， 即2450x x -+-=， 解得：11x =-，25x =所求点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）． （3）①分两种情况当点G 在对称轴右侧，设点G D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -，∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐ 当点D 的坐标为(,2)m m -，有2243m m m -=-+-，解得：1352m =，2352m =（不符题意舍去）， 此时点D 的坐标为：3551)+-． 当点D 的坐标为(,2)m m -时，有2243m m m -=-+-，解得：155m +=255m -=此时点D 的坐标为：5515(+--． 当点G 在对称轴左侧，设点D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -﹐因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -， 分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为：3551(,)---，5515(,)22--+． 综上所述点D 的坐标为：3551(,)22+-﹐5515(,)22+--，3551(,)---，5515(,)--+． ②分两种情况当点G 在对称轴左侧，此时有1EN t =-，2NF t =﹐因为//EN GF ，点E 为CG 的中点， 所以222GF EN t ==-， 所以点G 的坐标为(42,2)t t --， 将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：1513t +=2513t -=（不合题意舍去）．当点G 在对称轴右侧，此时有1EN t =-，2NF t =，因为//EN GF ，点E 为CG 的中点， 所以222GF EN t ==-， 所以点G 的坐标为(42,2)t t --， 将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：1513t +=2513t -=．综上所述：513t +=或513t -=． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P 点纵坐标的关系，注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．11．(1)证明见解析；（2）①215（3）21029y x = 【解析】 【分析】()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证ADB ∽CDE.从而得AD DBCD DE=； ②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，证MAF ≌DAF 得MF DF =，据此知BM CM CD 3===，MF DF 2==，求得22CF CD DF 5=-=定义可得答案；()3证ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而得2ABC BCD111SSAB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222∠∠∠-=⋅⋅-⋅⋅=，再由5tan ABC tan CDE 2∠∠==，可设BM 2a =，知AM 5a =，AB 29a =，由面积法可得BN a 29=，即20sin BAC 29∠=，据此得出答案． 【详解】解：()1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=． AB AC =， ABC ACB ∠∠∴=．ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===；()2①四边形ABCD 内接于圆，BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=．又ADB CDE ∠∠=，ADB ∴∽CDE ．AD DB CD DE∴=， AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=；②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，AM 平分BAC ∠，AM BC ∴⊥，CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=．MAF ∴≌()DAF ASA ．MF DF ∴=，即AC 是线段MD 的中垂线．BM CM CD 3∴===，MF DF 2∴==，在Rt CDF 中，2222CF CD DF 325=--=，BF tan ACB 5CF 5∠∴=== ()3BAD EAB ∠∠=，ADB ACB ABE ∠∠∠==，ABD ∴∽AEB ，AB AD AE AB ∴=，即2AB AD AE =⋅． CDE ADB ∠∠=，DCE BAD ∠∠=ABD ∴∽CED ，BD AD DE CD∴=，即BD CD AD DE ⋅=⋅． ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22∠∠-=⋅⋅-⋅⋅, ()1sin BAC AD AE AD DE 2∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2∠=，又5tan ABC tan CDE 2∠∠==， 如图2，设BM 2a =，则AM 5a =，AB 29a =， 由面积法可得BN 29=，即20sin BAC 29∠=， 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==⨯=． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．12．（1）12；（2）tan EAD ∠=13；（3）51DE CD -= 【解析】【分析】（1）先证明△ADP ≌△CDP ，得到∠DAP=∠DCP ，再证明△ADE ≌△CDO ，得到DE=DO ，根据O 是AD 的中点，AD=CD ，即可得到答案；（2）先证明△AFD ≌△DOC ，得到∠AFD=∠DOC ，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD ∽△FAD ，根据对应边成比例得到DP OD AD DF=,设AF=OD=x ，则AD=2x ，5x ，得到DP=255x ，求出PF=355x ，再证明△DEP ∽△FAP ，得到23DE AF =，根据AF=12CD ，即可得到答案；（3）先证明△FCD ≌△EDA ，得到∠EAD=∠FDC ，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，OC=5x ，可得PC=OC-OP=5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到51OD FC +=，进而得到51251CF CD -==+，即可得到结论. 【详解】（1）如图①中，∵四边形ABCD 是正方形，PDA PDC ∴∠=∠，DP DP =，DA DC =，PDA ∴≌()PDC SAS ，DAE DCO ∴∠=∠，90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，ADE ∴≌()CDO ASA ，OD DE ∴=，AO OD ∴=，CE DE ∴=，12DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．AF FB =，OA OD =，AB AD =，AF OD ∴=， AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒， FAD ∴≌()ODC SAS ，FDA OCD ∴∠=∠，90FDA CDP ∠=∠=︒，∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，90CPD ∴∠=︒，90FAO FPO ∠=∠=︒，∴A ，F ，P ，O 四点共圆，PAO PFO ∴∠=∠，1tan 2OP OPD PD∠==， 5OP ∴=，25PD =， 5DF a =，35PF ∴=， 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，∴ FCD ≌EDA ()SAS ，CDF EAD ∴∠=∠，90CDF ADP ∠=∠=︒，∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，∴ 90APD ∠=︒，OA OD =，∴ OP OA OD ==，∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，90ECF EPF ∠=∠=︒，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴ CFE EPC ∠=∠，∴ CFE DCF ∠=∠，ECF DCF ∠=∠，∴ FCE ∽DCF ，∴ 2·CF CE CD =，∴ ()2y x x y =+，∴ 220y xy x --=，∴ 15y x +=15x -（舍弃）， ∴ 15y x +=， ∴ 155135DE y CD x y +-===++． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
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苏科版初中数学九年级上册2012目录第一章图形与证明（二） (4)本章综合解说 (4)1.1 等腰三角形的性质和判定 (4)学习目标 (4)知识详解 (4)课外拓展 (8)1.2 直角三角形全等的判定 (8)学习目标 (8)知识详解 (8)课外拓展 (13)1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 (14)学习目标 (14)知识详解 (14)课外拓展 (18)1.4 等腰梯形的性质和判定 (19)学习目标 (19)知识详解 (19)课外拓展 (23)1.5 中位线 (24)学习目标 (24)知识详解 (24)课外拓展 (28)中考链接 (28)单元总结 (30)单元测试 (33)第二章数据的离散程度 (38)本章综合解说 (38)2.1 极差 (38)学习目标 (38)知识详解 (38)课外拓展 (41)2.2 方差与标准差 (42)学习目标 (42)知识详解 (42)课外拓展 (45)2.3 用计算器求标准差和方差 (46)学习目标 (46)知识详解 (46)课外拓展 (48)中考链接 (49)单元总结 (50)单元测试 (51)第三章二次根式 (55)本章综合解说 (55)3.1 二次根式 (55)学习目标 (55)知识详解 (55)课外拓展 (58)3.2 二次根式的乘除 (58)学习目标 (58)知识详解 (58)课外拓展 (61)3.3 二次根式的加减 (61)学习目标 (61)知识详解 (61)课外拓展 (63)中考链接 (64)单元总结 (65)单元测试 (66)第四章一元二次方程 (70)本章综合解说 (70)4.1 一元二次方程 (70)学习目标 (70)知识详解 (71)课外拓展 (73)4.2 一元二次方程的解法 (73)学习目标 (73)知识详解 (73)课外拓展 (77)4.3 用一元二次方程解决问题 (77)学习目标 (77)知识详解 (78)课外拓展 (81)中考链接 (81)单元总结 (82)单元测试 (84)第五章中心对称图形（二） (87)本章综合解说 (87)5.1 圆 (87)学习目标 (87)知识详解 (87)课外拓展 (90)5.2 圆的对称性 (91)学习目标 (91)知识详解 (91)课外拓展 (96)5.3 圆周角 (96)学习目标 (96)知识详解 (96)课外拓展 (100)5.4 确定圆的条件 (100)学习目标 (100)知识详解 (101)课外拓展 (104)5.5 直线与圆的位置关系 (105)学习目标 (105)知识详解 (105)课外拓展 (110)5.6 圆与圆的位置关系 (110)学习目标 (110)知识详解 (110)课外拓展 (113)5.7 正多边形与圆 (114)学习目标 (114)知识详解 (114)课外拓展 (118)5.8 弧长与扇形面积 (119)学习目标 (119)知识详解 (119)课外拓展 (122)5.9 圆锥的侧面积和全面积 (122)学习目标 (122)知识详解 (122)课外拓展 (125)中考链接 (125)单元总结 (127)单元测试 (132)期中测试 (137)期末测试 (141)第一章图形与证明（二）本章综合解说学习目标1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
3.掌握等腰梯形的两条性质定理和判定定理。
4.会利用性质定理及判定定理解决有关梯形的问题。
内容提要教材的“证明的途径”一栏中体现了“从已知条件想可知的事项”的思路，“思考与表述”一栏体现了“由结论想使结论成立所需要的条件”的思路，这是我们有条理地思考问题常用的两种方法，有时候需要联合运用这两种方法进行分析和思考。
因为证明并不是推理的最终目标，掌握研究图形的方法才是根本。
学法指导公理化的思想较系统；把已经承认的命题以公理化的内容呈现和证明，所有的命题都建立在基本命题上，要了解命题之间的逻辑关系。
体会多种方法证明的思路，开拓视野，比如用拼图的方法证明HL定理，用反证法，特殊辅助线的添法等等。
1.1 等腰三角形的性质和判定学习目标1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2.了解分析的思想方法。
3.经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
知识详解1. 等腰三角形性质1（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．（3）适用条件：必须在同一个三角形中．（4）应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.2. 等腰三角形性质2（1）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．（2）含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．（4）应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC（或AD⊥BC）．“三线合一”的应用：因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．3.等腰三角形的判定（1）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．（2）与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：线段相等→角相等；判定：角相等→线段相等.（3）理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．等腰三角形的判定方法的理解：教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．【典型例题】例1. 已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为（）．A．40°B．80°C．40°或100°D．100°【答案】C【解析】因为并未说明等腰三角形中40°的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论．①当40°的角是底角时，则顶角的度数为：180°－40°×2＝100°；②当40°的角是等腰三角形的顶角时，则顶角的度数为40°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C例2. 如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相交于点E，下列结论中错误的是（）A．∠DAE=∠CBEB．△DEA≌△CEBC．CE=DAD．△EAB是等腰三角形【答案】C【解析】A、首先用AAS定理证明△ADB≌△BCA，进而可得到∠DAB=∠CBA，再由∠1=∠2，可得到∠DAE=∠CBE，可判断此选项；B、由△ADB≌△BCA可得到AD=CB，即可证明此选项；C、可以直接由△ADB≌△BCA判断出此选项；D、根据∠1=∠2可判断．例3. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∵AC的垂直平分线MN交AB于D，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∴∠BCD=72°-36°=36°，∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，∴CB=CD，∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；∵∠BCD=36°，∠ACD=36°，∴CD平分∠ACB，∴线段CD为△ACB的角平分线，所以②错误；∵DA=DC，∴△BCD的周长C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正确；∵△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，∴△ADM不等全等于△BCD，所以④错误．【误区警示】易错点1：理解等腰三角形性质1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底边BC的长．【答案】解：因为AB＝AC，AD⊥BC，所以BC＝2BD＝2×5＝10（cm）．答：底边BC的长是10 cm.【解析】因为是等腰三角形，所以底边上的高也是底边上的中线，所以BC＝2BD，即可求出BC的长．易错点2：理解等腰三角形的性质2.如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.【答案】证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴∠C＝∠D. 【解析】由等腰三角形的性质易得∠A＝∠B，由平行线的性质可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，等量代换即得∠C＝∠D.【综合提升】针对训练1. 如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（）A．6B．8C．10D．无法确定2. 一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（）A．13B．17C．22D．17或223. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°1.【答案】C【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=102.【答案】C【解析】①若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4=22．3.【答案】B【解析】∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°-80°）÷2=50°．课外拓展数字与美我们国家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们的祖先就有“周三经一”的思想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。