空间解析几何简介
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何
空间解析几何.求解答过程谢谢.空间解析几何是一种系统的空间几何学，它使用简单的几何元素，如点、线段、面和体，来推理复杂的空间结构。
求解空间几何问题的基本步骤是：1.准备所需的元素；2.根据定义、定理和原理解释该空间结构的构造；3.对空间变换和其它变换进行适当的推理。
空间解析几何是一门探究物体的定位和形状的学科。
它集合了几何、微积分、代数、物理和计算机科学等多项学科协同创新，并使用数学解决一些空间问题的解决方法。
本文的目的是介绍空间解析几何的基本概念，并通过实例给出求解空间问题的步骤。
一、什么是空间解析几何空间解析几何（Spatial Analytic Geometry）是探究物体的定位和形状的学科，也可以叫做空间几何学。
它集合了几何、算术、代数、物理和计算机科学等多项学科、术语和概念，应用数学解决解析几何问题，研究方式综合多元素、多模态。
它不仅涉及形状和位置的探究，还有基于图像的空间加工、性能分析和可视化的处理，是一门相当丰富的学科。
二、空间解析几何主要概念1、坐标定位：坐标定位是将物体定位于一个特定的位置的表示方法，股票投资者可以使用坐标定位来实现多轴上的测量。
2、几何形体量度：用以测量几何形状的各种参量，如内接圆直径，面积，体积等，常用于测量地形面、工程坑槽等三维物体。
3、平面投影：使用几何学方法将三维物体投射到二维平面上，用以分析物体的位置、形状和尺寸等。
4、位置运算：位置运算是一种基于位置的算法，可以用于分析几何对象之间的关系。
三、空间解析几何求解过程1、收集数据：空间解析几何需要收集几何形状相关的位置数据，并按照特定格式用计算机处理这些数据。
2、定义几何形状：将收集到的数据用定义空间几何形状的方法（如坐标定位、几何沿面记号法等）转换成一系列几何内容。
3、应用计算机：针对这些定义的几何形状，可使用计算机空间分析技术，建立计算机模型，实现物体的分析和可视化。
4、结果统计：根据模拟或实际的空间物体分析数据，进行分析处理，得出完整的结果统计。
8.1空间解析几何简介
By + Cz = 0
因平面过点(4, −3, −1)，该点坐标满足上述方程， 该点坐标满足上述方程，
C=故 −3B − C = 0，即 C=-3B
C=将 C=-3B 代入方程 By + Cz = 0
并消去 B，即得所求平面方程为
y − 3z = 0
例 3 求球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球 面的方程． 面的方程．
x 2 + y 2 = R2 是由平行于z轴的直线沿 轴的直线沿xOy平面上的圆 是由平行于 轴的直线沿 平面上的圆
叫作它的准线， 移动而形成的圆柱面. 移动而形成的圆柱面 x + y = R 叫作它的准线，圆
2 2 2
柱面上平行于z轴并与 轴相距 轴相距R的直线叫作它的母线. 柱面上平行于 轴并与 z轴相距 的直线叫作它的母线
F(x, y, z) = 0
z
S
x
O
y
常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲 面和二次曲面等. 面和二次曲面等. 两个基本问题: 两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. 求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状 已知方程时, (必要时需作图). 必要时需作图).
2 2 2 2 2
2
化简后即得点 M 的轨迹方程为
x + y − 2z − 3 = 0
这个方程表示空间中的一个平面． 这个方程表示空间中的一个平面．
一般地， 一般地， 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0表示空间
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它是研究空间内点、直线、平面等几何元素的相互关系和性质的数学分支。
在空间解析几何中，我们通过向量和坐标等工具来描述和分析空间内的几何问题。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常用方法和一些实际应用。
基本概念在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间内的几何元素。
点在空间中用其三维坐标(x,y,z)来表示，直线可用参数方程、点向式方程或标准式方程等来表示，平面则通常用点法式方程表示。
在空间解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它能够很好地描述空间内的方向和长度。
方法和技巧解析几何中有很多方法和技巧可以应用到空间解析几何中。
例如，我们可以通过向量的线性运算来求解点到直线的距离，通过向量的数量积和向量积来判断点和直线、平面的位置关系，通过方向比值来判断两直线的平行性或垂直性等。
此外，我们还可以利用三角函数和投影的概念来解决一些空间几何中的问题。
实际应用空间解析几何不仅仅是一种理论工具，它在实际应用中也具有广泛的意义。
在工程建筑中，空间解析几何可以帮助工程师设计和规划建筑物的结构和布局；在航天航空领域，空间解析几何可以帮助科学家研究轨道、飞行路径等问题；在计算机图形学中，空间解析几何是实现三维模型和动画的重要基础。
总的来说，空间解析几何是一门极具实用性的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握空间解析几何的基本概念和方法，我们可以更好地理解和解决空间内的几何问题，为我们的工程设计和科学研究提供有力的支持。
以上是关于空间解析几何的简要介绍，希望对读者理解和学习空间解析几何有所帮助。
愿大家在空间解析几何的世界中能够不断探索、学习和创新，为数学事业的发展贡献自己的力量。
6.1空间解析几何简介
向量，分别记为i, 相同单位向量称为基本单位向量，分别记为 j, k． ．
向径 OM 的坐标表达式为： OM =xi+yj+zk 的坐标表达式为： 可简记为{x, 可简记为 y, z}
z C M k i A x O j M′ B y
二、向量的坐标表示
设M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)，由图 得 ，由图6.4得
1、平面——一种特殊曲面
三元一次方程） 平面方程的一般形式： 平面方程的一般形式： Ax + By + Cz + D = 0 （三元一次方程）
几种特殊平面 xoy 平面：z = 0 平面：
平面： xoz 平面：y = 0
平面： yoz 平面： x = 0
过原点的平面： 过原点的平面： Ax + By + Cz = 0 的平面 平行于 z 轴的平面：Ax + By + D = 0 的平面： 的平面： 过 z 轴的平面： Ax + By = 0 的平面： 平行于 y 轴的平面：Ax + Cz + D = 0 的平面： 过 y 轴的平面： Ax + Cz = 0 的平面： 平行于 x 轴的平面：By + Cz + D = 0 的平面： 过 x 轴的平面： By + （三维直角坐标系） 空间直角坐标系（三维直角坐标系）
竖轴） z（竖轴）
z 空间直角坐标系
y
O
y （纵轴） 纵轴）
y
O O
x（横轴） 横轴）
右手原则
O
x
z
y
x
z
x
z
z
Ⅲ
yoz 面
xoz 面
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
8_1空间解析几何简介
例4. 求球心在点 半径为R的球面方程 解: 设点 为球面上的任一点， 依题意： ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2 R ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 特殊球面： 球心M0=原点o, 2 2 2 2 x y z R z R2 x2 y 2 上半球面： 下半球面： z R2 x2 y 2
双曲抛物面或马鞍面 图8-8
曲面方程 F ( x, y, z) 0 1， 2，F ( x, y ) 0表示柱面,其母线∥z轴
3， 平面 Ax By Cz D 0 坐标面 z 0, y 0 , x 0 4， ∥坐标面即⊥坐标轴的平面 5，
习题八
一.1，2，3;
6， 球面( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 2 2 2 2 2 2 2 ; z R x y x y z R 2 2 2 2 7， 旋转抛物面 z x y ; 双曲抛物面z y x
第八章 多元函数微积分
第一节 空间解析几何简介
在三维空间中 空间形式 — 点,线,面等
数量关系 坐标,方程组,方程等
一、空间直角坐标系 过空间定点 o ,作三条相互垂直的数轴 ox, oy, oz 其正向符合右手规则 这样的三条数轴 构成一个空间直角坐标系。 z (竖轴) • 坐标原点 Ⅱ Ⅲ • 坐标轴 yoz面 • 坐标面 Ⅳ Ⅰ • 卦限(八个) y (纵轴) o
截痕法
zc yb xa
,｛
c 0, 截痕为(0,0,0); 圆心 (0, 0, c) c 0, 交线即截痕为圆： 半径 c c 0, 无截痕； 用平面x = a, y=b去截曲面,
空间解析几何
空间解析几何1. 引言空间解析几何是解析几何学中的一个分支，主要研究空间中的点、直线、平面之间的关系和性质。
它通过使用代数方法来解决几何问题，是几何和代数相结合的重要工具。
本文将介绍空间解析几何的相关概念和基本原理，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 空间直角坐标系空间解析几何的基础是空间直角坐标系。
一个空间直角坐标系可以由三条两两相交且相互垂直的坐标轴来确定，通常分别称为x轴、y轴和z轴。
在这个坐标系中，空间中的任意一点P可以通过三个有序实数(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示P在x轴、y轴和z轴上的坐标。
3. 点、直线和平面在空间解析几何中，点、直线和平面是最基本的几何元素。
3.1 点点是空间中的一个位置，用有序实数(x, y, z)表示。
例如，点P(1, 2, 3)表示坐标为(1, 2, 3)的点P。
3.2 直线直线是由无数个点组成的，其中任意两点可以确定一条直线。
在空间解析几何中，一条直线可以用参数方程或者一般方程来表示。
例如，参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(a, b, c)是一条方向向量，表示直线的方向，(x0, y0, z0)是直线上的一个点，t为参数。
3.3 平面平面是由无限多个点组成的一个二维空间，其中任意三点不共线可以确定一个平面。
在空间解析几何中，一个平面可以用一般方程来表示。
例如，一般方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且不同时为零，(x, y, z)是平面上的一个点。
4. 空间解析几何的基本原理在空间解析几何中，有一些基本原理可以帮助我们求解空间几何问题。
4.1 距离公式空间中两点之间的距离可以通过距离公式来计算。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，其距离为：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)4.2 点到直线的距离设点P(x0, y0, z0)和直线L的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct点P到直线L的距离为：d = |(x0-x1)a + (y0-y1)b + (z0-z1)c| / √(a² + b² + c²)其中(a, b, c)是直线L的方向向量。
高等学校教材：空间解析几何
高等学校教材：空间解析几何空间解析几何是广义几何学的一个分支，它是有关空间几何形状的数学分析和描述。
空间解析几何旨在以精确的方式定义和分析几何形状的特征，以及在几何物体之间的关系。
空间解析几何的思想是建立在平面几何的基础上，以更加深入地研究物体在空间中的位置，形状和大小。
这也是空间解析几何能够更好地描述物体的原因。
在空间解析几何中，学生会学习如何创建和描述几何体的表面和表面的特征，以及它们在空间中的对称性、对比性和再现性。
空间解析几何还需要学习怎样通过计算来分析几何体的几何特征，如切面、面积、体积、表面积和体积等。
另外，学生还需要学习如何使用几何图形来表示几何体的形状和特征。
空间解析几何有许多实际应用。
例如，它可以在建筑工程、地质勘查、机械设计和计算机辅助设计等领域应用。
它可以帮助我们更好地理解物体的形状和性质，以及物体之间在空间中的关系。
例如，在建筑工程中，空间解析几何可以帮助设计师在设计建筑物时理解空间关系，以便用于可行性评估。
空间解析几何在高等学校中也是重要的一门教材。
它能够帮助学生更好地理解空间关系，更好地描述、分析和求解几何问题，以及发现物体在空间中的生成、移动和变形等定义问题。
因此，学生可以更有效地发掘其他几何相关的科学和技术的知识，比如几何绘图、立体几何图表、三维设计等应用领域。
此外，学生也可以学习如何使用相应的软件工具来操作和使用空间解析几何的知识，以及一些相关的课程和计算机模拟等技术。
空间解析几何是一种重要的几何学分支，它为许多不同的科研领域和实践应用提供了基础知识和工具，为学生提供了更深入的理解和提高几何学能力的机会和途径。
了解空间解析几何也是学生学习几何学的一个重要部分，也为学生未来更好地应用几何学提供了基础。
8-1 空间解析几何简介
(x +1)2 + y2 + (z 4)2 = (x 1)2 + y 2 2 + (z +1)2 ( )
4x + 4y 10z +11 = 0
故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A,B两点连线的垂直平分 的轨迹方程 即 , 两点连线的垂直平分 面的方程)为 面的方程 为 4x + 4y 10z +11 = 0 平面上任意一点的坐标满足z 因x y平面上任意一点的坐标满足 = 0; 而凡满足 = 0的 平面上任意一点的坐标满足 ; 而凡满足z 的 平面上; 坐标平面的方程分别为 点又都在 x y平面上;故坐标平面的方程分别为 平面上 x y面的方程为 z = 0 面的方程为 x z面的方程为 y =0 面的方程为 y z面的方程为 x = 0 面的方程为
2
(3) x2 + y2 = R2
(4) z = x + y
2
(5) x2 = 4.
则曲面过原点. 由方程2x- z = 0不含 知:D = 0. 则曲面过原点 不含y知 解 (1)由方程 由方程 不含 取何值, 都有2x- z = 0 且无论 y 取何值 都有 即用平行于xz面的任何平面 即用平行于 面的任何平面 Y = a去截曲面,其截痕都 去截曲面, 去截曲面
巳知曲面的几何轨迹, 1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
一动点M( 与两定点A(例1 一动点 x, y, z)与两定点 -1,0,4)和B(1,2,-1)的 与两定点 和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程 的轨迹方程. 距离相等 求此动点 的轨迹方程
解 因MA = MB
这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 过 M1, M2 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面
第七章空间解析几何简介详解
空间的点一一对应有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, 坐标原点O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,0, z)
n维空间 Rn中的点：
n元有序数组 (x1 , x2 ,, xn )
其中，数 xi称为该点的第i个坐标.
n维空间中两点间的距离：
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2
其中，点为 P( x1 , x2 ,, xn ) 和 Q( y1 , y2 ,, yn )
空间解析几何简介
一、空间直角坐标 二、空间两点间的距离
三、曲面及其方程
一、空间直角坐标
三条坐标轴的正方向 符合右手法则.
z 竖轴
(vertical axis)
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
原点 o •
手指从 x轴正向以
2
角度转向正向 y 轴
(origin)
y 纵轴
(ordinate axis)
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设 P 在 x轴上，它到点P1(0, 2,3)的距离 为到点P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
面方程.
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点, 根据题意有 | MM0 | R, ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
空间解析几何简介
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（1） 椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
2 2 2
y
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x y R 表示圆柱面
2 2 2
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定义
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 表示抛物柱面,
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
z
x
y
z
x z 2 1 2 a c b y y1
2
2
y12 2
0
x
y
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
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(5) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
7 高数B 9.1 空间解析几何简介
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f ± 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f ( x , y ) = 0 ⊂ xoy
( x + y , z) = 0 f (y ,± x + z ) = 0
2 2
2 2
2 2 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f x ,± y + z = 0
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f ( x , z ) = 0 ⊂ zox
( f (±
x2 + z2
) , y) = 0
) , z) = 0
2 2 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f x ,± y + z = 0
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
( f (±
x2 + y2
记忆法：轴不变，其余两元团团转。 记忆法：轴不变，其余两元团团转。
x2 y2 z2 用截痕法研究曲面的形状。 例1 已知方程 2 + 2 − 2 = 1 用截痕法研究曲面的形状。 a b c 2 2
解 （1）用 z = 0 截此曲面，得 截此曲面， ） 截此曲面， 用 z = h 截此曲面，得
x y + 2 =1 2 a b
z=0
x2 y2 h2 + 2 =1+ 2 2 a b c z=h
第九章 空间解析几何
用代数的方法研究几何问题称为解析几何 平面解析几何 空间解析几何
P ↔ ( x, y)
一元微积分 多元微积分
P ↔ ( x, y, z)
本章的主要内容 : §9.1 空间直角坐标系 向量概念和运算; §9.2 向量概念和运算; 曲面方程和空间曲线方程 和空间曲线方程; §9.3 曲面方程和空间曲线方程; §9.4 平面方程 §9.5 空间直线方程; 空间直线方程; 二次曲面. 常见二次曲面 §9.6 常见二次曲面.
10 空间解析几何简介
2
| MA || MB |,
2 2
M ( x, y, z )
x 1 y 2 z 3
x 22 y 12 z 42 , A
M
B
化简得所求方程
2 x 6 y 2 z 7 0.
结论：三元一次方程：A x + B y + C z + D = 0 表示空间一个平面。
到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程．
解 yoz 面上直线方程为
z
z y cot
圆锥面方程
M ( 0, y , zபைடு நூலகம்)
L
z x 2 y 2 cot
（讨论柱面、二次曲面）
3、柱面
引例：分析方程 x 2 y 2 R 2 表示怎样的曲面
分析提问：
•方程有怎样的特点？ • 曲面是怎样形成的？
z
M ( x, y, z)
L
o
准线
y
M ( x, y,0)
x
母线
分析提问：
2 2 2 x y R •方程有怎样的特点？
《高等数学》 第八章(上)
第一节 空间解析几何简介
设点 M1(x1 ，y1 ，z1) 和 M2 (x2 ，y2 ，z2 ) 是空间两点，如图 所示，则根据立体几何知识可知，长方体的各棱长分别为
| x2 x1 | ， | y2 y1 | ， | z2 z1 | ． 长方体对角线的平方等于三条棱长的平方和，即
M1M2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 ． 特 别 地， 如果 一 点 是 原点 O(0，0，0) ， 另一 点是 点 M (x ，y ，z) ，则
坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例 如，点 M 在 yOz 面上，则 x 0 ；在 zOx 面上的点，y 0 ； 在 xOy 面上的点，z 0 ．如果点 M 在 x 轴上，则有 y z 0 ； 在 y 轴上，有 z x 0 ；在 z 轴上，有 x y 0 ．如果点 M 为原点，则 x y z 0 ．
例如，方程 y2 2x 表示母线平行于 z 轴的柱面， 它的准线是 xOy 面上的抛物线 y2 2x ， 该柱面称为抛物柱面，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
又如，方程 x y 0 表示母线平行于 z 轴的柱面， 其准线是 xOy 面的直线 x y 0 ， 所以它是过 z 轴的平面，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
例 7 将 zOx 坐标面上的双曲线 x2 z2 1和 x2 z2 1 分别绕 z 轴旋转
a2 c2
c2
一周，求所生成的旋转曲面的方程．
解 双曲线 x2 z2 1绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的 a2 c2
方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，称此曲面为旋转双叶双曲面，如
所示．
第一节 空间解析几何简介
2．一般二次曲面
§6.1 空间解析几何简介
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
2、平面
平面的一般方程 Ax By Cz D 0 平面一般方程的几种特殊情况：
坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的 特征 例如: • 点M在yOz面上 则x0; 点M在zOx面上的点 y0; 点M在xOy面上的点 z0 • 点M在x轴上 则yz0; 点M在y轴上,有zx0; 点M在z轴上的点 有xy0 • 点M为原点 则xyz0
的多项式, 方程表示的曲面就称为代数曲面. 多项
式的次数称为代数曲面的次数. 一次方程所表示的 曲面称为一次曲面, 即平面; 二次方程表示的曲面 称为二次曲面. 下面我们将讨论几种简单的二次 曲面.
平面的一般方程 具有特征位置的平面方程:
(1) 平面通过坐标原点 (2) 平面 平行于坐标轴: (3) 平面 平行于坐标面: Cz D 0 或 z 常数 A. // xOy 面 ( xOy 面: z 0); B. // xOz 面 ( xOz 面: y 0); C. // yOz 面
例 求平行于 z 轴且过 M1 (1,0,0), M (0,1,0) 两点的 2 平面方程. 解 因所求平面平行于 z 轴, 故可设其方程为
Ax By D 0.
又点 M1 和 M 2 都在平面上, 于是
A D 0 A B D, B D 0 代入方程得 Dx Dy D 0.
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Ax By Cz D 0
其中 A, B, C, D 为常数，且 A, B, C 不全为零.
13
例2 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
半径为 R 的球面的方程
解 设 M (x,y,z) 是球面上的任一点，
M0M R
o
x 12 y 22 z 12 x 22 y 12 z 32
化简得： x y 2z 4 0
12
例1. 求三个坐标平面方程.
解 显然 xy 平面上的点都满足方程 z = 0, 而满足方程 z = 0的点都在 x y 平面上. 由定义4.1知: x y 平面方程是 z = 0.
同理 ： y z 平面方程是 x = 0. z x 平面方程是 y = 0.
z
R2 R
R1
M 1•
P
Q1
P1 o
P2
x
•M 2
Q
N
y Q2
d M1M2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
M (x, y, z), O(0,0,0), d OM x2 y2 z2
8
例3 在 z 轴上求一点，使之到 A 4,1,7 和 B3,5,2
的距离相等．
这曲面可以看作是由平行于z 轴的直线l
沿xoy面上的圆x2 y2 R2 移动而成.
即 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
x
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
如果球心在原点，则 x2 y 2 z2 R2
M0 R M y
例3 方 程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎样的曲面? 解 通过配方，原方程可写为: ( x 1)2 ( y 2)2 z2 5
表示球心在点 M 0 (1, 2, 0),半径 R 5 的球面.
14
柱面 例4 方程 x2 y2 R2 表示怎样的曲面?
解 在xoy平面上 x2 y 2 R2表示一圆. 在三维空间中, 凡是通过 xoy 面内圆 x2 y2 R2 上一点 M (x , y , o) 且平行于 z 轴的直线 l 都在这曲面上, x
z F(x, y, z) 0
S
有下述关系：
O
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1); x
y
(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1).
则方程(1)叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程(1)的图形.
11
例 求与两定点P1(1,2,1)和 P2 (2,1,3) 等距离点的
轨迹方程.
解：设与点 P1 和 P2 等距离的点为 P(x, y, z), 依题意有 P1P P2P ，由空间两点间的距离公式得：
解 设 M 0,0, z 为所求的点，依题意有：
MA MB
即： 0 42 0 12 z 72
3 02 5 02 2 z2
解方程得： z 14 9
点M (0,0,14) 9
10
6.1.3 曲面与方程
曲面方程的概念 定义6.1.1若曲面 S 与三元方程
F (x, y, z) 0 (1)
1
z
zOx平面
yOz 平面
y
O
xOy 平面
x
坐标面：在空间直角坐标系中,每来自轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.即 xOy坐标面、yOz坐标
面和 zOx 坐标面.
2
卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个
部分,每一个部分称为一个卦限.在xOy 坐标面上方有四
个卦限,下方有四个卦限.含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限 称为第Ⅰ卦限,然后逆着轴 z 正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.
反之， 任给一个有序数组（ x, y, z ），
分别在 x, y, z 轴取点 P,Q, R 使其坐标为 x, y, z .
过 P,Q,R 作三坐标
z
的垂直平面，则必有且
仅有一个公共交点 M ，
zR
我 们 称 点 M 为 (x, y, z)
M
所确定的点．
O
所以点 M 与有序数
x
组 x, y, z 一一对应，称 x P
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
y Ⅵ
xⅧ
Ⅴ
3
点的坐标
设 M 是空间任一点，过 M 作垂直于 x, y, z 轴的
平面分别交于 P ， Q ， R
z
设 P,Q,R 的 坐
zR
标分别为 x, y, z
这样，按 x, y, z 轴的顺序， M 点就 确定了一个有序数
M O x xP
y Qy
组（ x, y, z ）．
4
§6.1 空间解析几何简介
1.1 空间直角坐标系
空间直角坐标系:过空间一个定点 O，作三 条相互垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具 有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做x轴（横 轴）、y轴（纵轴）和z轴（竖轴）. 一般是将x轴 和y轴放置在水平面上,那么 z轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 让四指沿握拳方向旋转 90指向y轴,此时大拇指 的方向即为z轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系，O称为坐标原点.
y Qy
x, y, z 为点 M 的坐标，记为 M x, y, z .
5
将 x, y, z 分别称为点M 在 x, y, z 轴上的坐标。
规律：
原点 (0,0,0) ，x 轴上 x,0,0 ， y 轴上 0, y,0， z 轴上 0,0, z；
各卦限的符号：
Ⅰ（+，+，+）
Ⅴ（+，+，-）
Ⅱ（-，+，+）
Ⅵ（+，-，+）
Ⅲ（-，-，+）
Ⅶ（-，-，-）
Ⅳ（+，-，+）
Ⅷ（+，-，-）
6
1.2 空间两点间的距离
定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间 任意两点间的距离. 已知 M1(x1, y1, z1) 和 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，
为了用坐标表示两点间的距离，过 M1 、 M 2 分别作垂
直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以
M1M 2 为对角线的长方体。如下图：
7
设 M1( x1, y1, z1) ,M 2 (x2 , y2 , z2 )
M1P x2 x1 PN y2 y1 NM2 z2 z1
d 2 M1M 2 2 M1N 2 NM 2 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2