空间解析几何简介
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x 12 y 22 z 12 x 22 y 12 z 32
化简得： x y 2z 4 0
12
例1. 求三个坐标平面方程.
解 显然 xy 平面上的点都满足方程 z = 0, 而满足方程 z = 0的点都在 x y 平面上. 由定义4.1知: x y 平面方程是 z = 0.
同理 ： y z 平面方程是 x = 0. z x 平面方程是 y = 0.
z
R2 R
R1
M 1•
P
Q1
P1 o
P2
x
•M 2
Q
N
y Q2
d M1M2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
M (x, y, z), O(0,0,0), d OM x2 y2 z2
8
例3 在 z 轴上求一点，使之到 A 4,1,7 和 B3,5,2
的距离相等．
直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以
M1M 2 为对角线的长方体。如下图：
7
设 M1( x1, y1, z1) ,M 2 (x2 , y2 , z2 )
M1P x2 x1 PN y2 y1 NM2 z2 z1
d 2 M1M 2 2 M1N 2 NM 2 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2
Ⅵ（+，-，+）
Ⅲ（-，-，+）
Ⅶ（-，-，-）
Ⅳ（+，-，+）
Ⅷ（+，-，-）
6
1.2 空间两点间的距离
定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间 任意两点间的距离. 已知 M1(x1, y1, z1) 和 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，
为了用坐标表示两点间的距离，过 M1 、 M 2 分别作垂
即 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
x
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
如果球心在原点，则 x2 y 2 z2 R2
M0 R M y
例3 方 程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎样的曲面? 解 通过配方，原方程可写为: ( x 1)2 ( y 2)2 z2 5
这曲面可以看作是由平行于z 轴的直线l
沿xoy面上的圆x2 y2 R2 移动而成.
表示球心在点 M 0 (1, 2, 0),半径 R 5 的球面.
14
柱面 例4 方程 x2 y2 R2 表示怎样的曲面?
解 在xoy平面上 x2 y 2 R2表示一圆. 在三维空间中, 凡是通过 xoy 面内圆 x2 y2 R2 上一点 M (x , y , o) 且平行于 z 轴的直线 l 都在这曲面上, x
z F(x, y, z) 0
S
有下述关系：
O
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1); x
y
(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1).
则方程(1)叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程(1)的图形.
11
例 求与两定点P1(1,2,1)和 P2 (2,1,3) 等距离点的
轨迹方程.
解：设与点 P1 和 P2 等距离的点为 P(x, y, z), 依题意有 P1P P2P ，由空间两点间的距离公式得：
可以证明 ：空间任意一个平面的方程为三元一次方程
Ax By Cz D 0
其中 A, B, C, D 为常数，且 A, B, C 不全为零.
13
例2 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
半径为 R 的球面的方程
解 设 M (x,y,z) 是球面上的任一点，
M0M R
o
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
y Ⅵ
xⅧ
Ⅴ
3
点的坐标
设 M 是空间任一点，过 M 作垂直于 x, y, z 轴的
平面分别交于 P ， Q ， R
z
设 P,Q,R 的 坐
zR
标分别为 x, y, z
这样，按 x, y, z 轴的顺序， M 点就 确定了一个有序数
M O x xP
y Qy
组（ x, y, z ）．
4
§6.1 空间解析几何简介
1.1 空间直角坐标系
空间直角坐标系:过空间一个定点 O，作三 条相互垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具 有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做x轴（横 轴）、y轴（纵轴）和z轴（竖轴）. 一般是将x轴 和y轴放置在水平面上,那么 z轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 让四指沿握拳方向旋转 90指向y轴,此时大拇指 的方向即为z轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系，O称为坐标原点.
1
z
zOx平面
yOz 平面
y
O
xOy 平面
x
坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平
面称为坐标平面,简称坐标面.即 xOy坐标面、yOz坐标
面和 zOx 坐标面.
2
卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个
部分,每一个部分称为一个卦限.在xOy 坐标面上方有四
个卦限,下方有四个卦限.含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限 称为第Ⅰ卦限,然后逆着轴 z 正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.
解 设 M 0,0, z 为所求的点，依题意有：
MA MB
即： 0 42 0 12 z 72
3 02 5 02 2 z2
解方程得： z 14 9
点M (0,0,14) 9
10
6.1.3 曲面与方程
曲面方程的概念 定义6.1.1若曲面 S 与三元方程
F (x, y, z) 0 (1)
反之， 任给一个有序数组（ x, y, z ），
分别在 x, y, z 轴取点 P,Q, R 使其坐标为 x, y, z .
过 P,Q,R 作三坐标
z
Baidu Nhomakorabea
的垂直平面，则必有且
仅有一个公共交点 M ，
zR
我 们 称 点 M 为 (x, y, z)
M
所确定的点．
O
所以点 M 与有序数
x
组 x, y, z 一一对应，称 x P
y Qy
x, y, z 为点 M 的坐标，记为 M x, y, z .
5
将 x, y, z 分别称为点M 在 x, y, z 轴上的坐标。
规律：
原点 (0,0,0) ，x 轴上 x,0,0 ， y 轴上 0, y,0， z 轴上 0,0, z；
各卦限的符号：
Ⅰ（+，+，+）
Ⅴ（+，+，-）
Ⅱ（-，+，+）
化简得： x y 2z 4 0
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例1. 求三个坐标平面方程.
解 显然 xy 平面上的点都满足方程 z = 0, 而满足方程 z = 0的点都在 x y 平面上. 由定义4.1知: x y 平面方程是 z = 0.
同理 ： y z 平面方程是 x = 0. z x 平面方程是 y = 0.
z
R2 R
R1
M 1•
P
Q1
P1 o
P2
x
•M 2
Q
N
y Q2
d M1M2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
M (x, y, z), O(0,0,0), d OM x2 y2 z2
8
例3 在 z 轴上求一点，使之到 A 4,1,7 和 B3,5,2
的距离相等．
直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以
M1M 2 为对角线的长方体。如下图：
7
设 M1( x1, y1, z1) ,M 2 (x2 , y2 , z2 )
M1P x2 x1 PN y2 y1 NM2 z2 z1
d 2 M1M 2 2 M1N 2 NM 2 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2
Ⅵ（+，-，+）
Ⅲ（-，-，+）
Ⅶ（-，-，-）
Ⅳ（+，-，+）
Ⅷ（+，-，-）
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1.2 空间两点间的距离
定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间 任意两点间的距离. 已知 M1(x1, y1, z1) 和 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，
为了用坐标表示两点间的距离，过 M1 、 M 2 分别作垂
即 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
x
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
如果球心在原点，则 x2 y 2 z2 R2
M0 R M y
例3 方 程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎样的曲面? 解 通过配方，原方程可写为: ( x 1)2 ( y 2)2 z2 5
这曲面可以看作是由平行于z 轴的直线l
沿xoy面上的圆x2 y2 R2 移动而成.
表示球心在点 M 0 (1, 2, 0),半径 R 5 的球面.
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柱面 例4 方程 x2 y2 R2 表示怎样的曲面?
解 在xoy平面上 x2 y 2 R2表示一圆. 在三维空间中, 凡是通过 xoy 面内圆 x2 y2 R2 上一点 M (x , y , o) 且平行于 z 轴的直线 l 都在这曲面上, x
z F(x, y, z) 0
S
有下述关系：
O
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1); x
y
(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1).
则方程(1)叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程(1)的图形.
11
例 求与两定点P1(1,2,1)和 P2 (2,1,3) 等距离点的
轨迹方程.
解：设与点 P1 和 P2 等距离的点为 P(x, y, z), 依题意有 P1P P2P ，由空间两点间的距离公式得：
可以证明 ：空间任意一个平面的方程为三元一次方程
Ax By Cz D 0
其中 A, B, C, D 为常数，且 A, B, C 不全为零.
13
例2 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
半径为 R 的球面的方程
解 设 M (x,y,z) 是球面上的任一点，
M0M R
o
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
y Ⅵ
xⅧ
Ⅴ
3
点的坐标
设 M 是空间任一点，过 M 作垂直于 x, y, z 轴的
平面分别交于 P ， Q ， R
z
设 P,Q,R 的 坐
zR
标分别为 x, y, z
这样，按 x, y, z 轴的顺序， M 点就 确定了一个有序数
M O x xP
y Qy
组（ x, y, z ）．
4
§6.1 空间解析几何简介
1.1 空间直角坐标系
空间直角坐标系:过空间一个定点 O，作三 条相互垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具 有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做x轴（横 轴）、y轴（纵轴）和z轴（竖轴）. 一般是将x轴 和y轴放置在水平面上,那么 z轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 让四指沿握拳方向旋转 90指向y轴,此时大拇指 的方向即为z轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系，O称为坐标原点.
1
z
zOx平面
yOz 平面
y
O
xOy 平面
x
坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平
面称为坐标平面,简称坐标面.即 xOy坐标面、yOz坐标
面和 zOx 坐标面.
2
卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个
部分,每一个部分称为一个卦限.在xOy 坐标面上方有四
个卦限,下方有四个卦限.含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限 称为第Ⅰ卦限,然后逆着轴 z 正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.
解 设 M 0,0, z 为所求的点，依题意有：
MA MB
即： 0 42 0 12 z 72
3 02 5 02 2 z2
解方程得： z 14 9
点M (0,0,14) 9
10
6.1.3 曲面与方程
曲面方程的概念 定义6.1.1若曲面 S 与三元方程
F (x, y, z) 0 (1)
反之， 任给一个有序数组（ x, y, z ），
分别在 x, y, z 轴取点 P,Q, R 使其坐标为 x, y, z .
过 P,Q,R 作三坐标
z
Baidu Nhomakorabea
的垂直平面，则必有且
仅有一个公共交点 M ，
zR
我 们 称 点 M 为 (x, y, z)
M
所确定的点．
O
所以点 M 与有序数
x
组 x, y, z 一一对应，称 x P
y Qy
x, y, z 为点 M 的坐标，记为 M x, y, z .
5
将 x, y, z 分别称为点M 在 x, y, z 轴上的坐标。
规律：
原点 (0,0,0) ，x 轴上 x,0,0 ， y 轴上 0, y,0， z 轴上 0,0, z；
各卦限的符号：
Ⅰ（+，+，+）
Ⅴ（+，+，-）
Ⅱ（-，+，+）