第一讲 数与式

分配顺序 第1所学校 所学校 第2所学校 所学校 第3所学校 所学校 … 第（n-1）所学校 ） 第n所学校 所学校
分配数额(单位 万元 分配数额 单位:万元 单位 万元) 帐篷费用 教学设备费用 5 10 15 … 5(n-1) 5n
1 剩余款的 a 1 剩余款的 a 1 剩余款的 a
…
1 剩余款的 a
分配顺序 第1所学校 所学校 第2所学校 所学校 第3所学校 所学校 … 第（n-1）所学校 ） 第n所学校 所学校
分配数额(单位 万元 分配数额 单位:万元 单位 万元) 帐篷费用 教学设备费用 5 10 15 … 5(n-1) 5n 剩余款的 剩余款的 剩余款的 … 剩余款的 0
1 a
1 a 1 a 1 a
Q 27 < 58 < 64 ∴ 27 < 58 < 64
3 3 3
学会估算很 有必要！ 有必要！
即3 < 3 58 < 4
2、计算（08镇江） 、计算（ 镇江 镇江）
(
1 3 −1 ° − + 4 2
)
−1
解：原式= 原式 = 1
扬州） （08扬州） ( − 1) 扬州
1
2008
的大小关系为________.
分析: 由 题 意 知 ： b − a ≥ 0, c − a ≥ 0 分析:
(b − a ) + ( c − a ) = 0
b − a = 0， c − a = 0 ∴a =b = c
记住 噢！
非负数的重要性质：几个非负数
的和为零，则这几个非负数同时为零 的和为零，则这几个非负数同时为零.
- 2
+
2
1 −2 − ( ) + 16 − cos 60 ° 2
原式= 解 ：原式 1 - 4 + 4 = 0.5
-
0.5
熟悉各种运算法则； 熟悉各种运算法则； 准确判断运算顺序； 准确判断运算顺序； 合理运用运算律； 合理运用运算律； 注意： 注意：符号
常见错误： 常见错误：
； 4 = ±2； 00 =0
a
A
b B
b
b C
a
a
小结：此题实际考查整式的乘法运算 此题实际考查整式的乘法运算
3、（08镇江）如果 m − 1 = − 1, 、（08镇江） 08镇江 m 2m 2 + 2m − 1 = _____ .
则
m + m = ____
2
分析:由题意知： 分析:由题意知：
m
2
− 1 = −m
2来自百度文库
∴ m
+ m = 1
有限小数 或无限循环小数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
二、相反数、倒数、绝对值、数轴的概念
例2：1.（08镇江） 3 的相反数是 3 1.（08镇江） 镇江 − 2 .1 + 2 的相反数是 −1 − ，绝对值
3
．
2 ，绝对值 1 + 2 .
.
3 − 2 3 .−1 的倒数是 5
3
理解相反数、倒数、 理解相反数、倒数、绝对值的概念
一、实数的概念及其分类
主 要 内 容
二、相反数、倒数、绝对值、 数轴的概念 三、科学记数法及近似数 四、实数的运算 五 、代数式的化简、变形、 运算 六、数与式的综合应用
一、实数的概念及其分类
22 2 , 9 , ( 7) , 7 , 0 , 例1：在-7 3 0.585885888588885… 中,无理数的个数有 B )个 无理数的个数有( 个 无理数的个数有
中考数学专题探究
第一讲 数与式
我们先来做个游戏.按下列四个步骤操作（ 我们先来做个游戏.按下列四个步骤操作（ 这里有一副扑 克牌） 克牌）: (1)分成左中右三堆牌 每堆牌不少于两张, 分成左中右三堆牌, (1)分成左中右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的 张数相同; 张数相同; (2)从左边一堆中拿出两张 放入中间一堆; 从左边一堆中拿出两张, (2)从左边一堆中拿出两张,放入中间一堆; (3)从右边一堆中拿出一张 放入中间一堆; 从右边一堆中拿出一张, (3)从右边一堆中拿出一张,放入中间一堆; (4)左边一堆有几张牌 左边一堆有几张牌, (4)左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左 边一堆. 边一堆. 你能知道中间一堆牌的张数吗? 你能知道中间一堆牌的张数吗?
| b − 1 |≥ 0
( 3 − a ) 2 + b-1 = 0
∴ ( 3 − a ) 2 = 0且 b-1 = 0
和为零
∴a =
3， b = 1
非负数的重要性质：几个非负数
的和为零，则这几个非负数同时为零. 的和为零，则这几个非负数同时为零.
常见的非负数：
a
2
|a |
a (a ≥ 0)
（08镇江） a ≤ b, a ≤ c且2a − b − c = 0, a、b、c 若
（四）实数的运算
、（08扬州 例4：1、（ 扬州）估计 的立方根的大小在 ( B ) ： 、（ 扬州）估计58的立方根的大小在 A. 2与3之间 B.3与4之间 与 之间 与 之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 与 之间 与 之间 估算方法：找与58最近的两个立方数 估算方法：找与58最近的两个立方数 58
三、科学记数法及近似数
南京） 例3、（08 南京）2008年5月27日，北京 、（ 年 月 日 北京2008年奥运会 年奥运会 火炬接力传递活动在南京境内举行， 火炬接力传递活动在南京境内举行，火炬传递路线全程 用科学记数法表示应为（ 为12900m，将12900用科学记数法表示应为（ B ） ， 用科学记数法表示应为 A.0.129×104 B.1.29×104 C.12.9×103 D.129×102 × × × ×
(2)当 p= 125 时，可得 ∴
5n2 = 125
n = ±5
∵n是正整数，∴ n = 5 ∴该企业的捐款可以援助5所学校。
(3)根据震区灾情，该企业计划再次提供 根据震区灾情， 根据震区灾情 不超过20a万元的捐款,按照原来的分配方 万元的捐款, 不超过 万元的捐款 案援助其它学校. 由 确定 确定, 案援助其它学校.若a由 (2)确定,则再次提 供的捐款最多又可以援助多少所学校? 供的捐款最多又可以援助多少所学校?
,tan45 °,
sin60 °,
π
2 2
A.5个 个
B.4个 个
C.5个 个
D.3个 个
常见无理数：含有 π 的的式子 根号形（开方开不尽的 不尽的） 不尽的 构造型 三角函数形（值不是有理数） 常见错误： 把
9
22 当成无理数； 把 7
2 当成有理数. 2
实数的分类
整数 有理数 实数 无理数 分数 正整数 零 负整数 正分数 负分数
4.实数在数轴上对应点的位置如图所示，则必有( 4.实数在数轴上对应点的位置如图所示，则必有( D ） 实数在数轴上对应点的位置如图所示
A. a + b > 0 分析: 分析: 小结: 小结:
B. a − b < 0 由数轴可知
C. ab > 0
a <0 D. b
b < −1 < 0 < a < 1
的关系式； （1）根据以上信息，解答下列问题： 写出 与n的关系式； ）根据以上信息，解答下列问题： 写出p与 的关系式
(2)当p=125时 该企业能援助多少所学校？ (2)当p=125时，该企业能援助多少所学校？ (3)根据震区灾情， (3)根据震区灾情，该企业计划再次提供不超 根据震区灾情 万元的捐款, 过20a万元的捐款,按照原来的分配方案援助 万元的捐款 其它学校. 确定, 其它学校.若a由 (2)确定,则再次提供的捐款 由 (2)确定 最多又可以援助多少所学校? 最多又可以援助多少所学校?
n 科学记数法： 科学记数法： 的形式, 把一个数写成 a × 1 0 的形式
其中 1 ≤ a < 10
， n 是整数
n 的取值由小数点移动的位数、方向决定 的取值由小数点移动的位数、 常见错误： 常见错误： 把a写成大于 的数； 写成大于10的数 写成大于 的数； n的符号及数值判断错误. 的符号及数值判断错误. 的符号及数值判断错误
∴ 2m 2 + 2m − 1 = 2( m 2 + m) − 1 = 1
小结：上述求代数式的值的思想方法是整体代入法 整体代入法， 小结：上述求代数式的值的思想方法是整体代入法，
用此法，能达到事半功倍的效果。 事半功倍的效果 用此法，能达到事半功倍的效果。
x2 − 4x + 4 g( x + 2) 、（08无锡）先化简，再求值： 08无锡 4、（08无锡）先化简，再求值： 2x − 4 5 其中 x =
可设原来每堆牌有
x 张.
第一次 第二次 第三次
x−2
2( x − 2)
x
x+2
x
x
注意 符号！
x −1 x + 2 +1 x + 2 + 1 − ( x − 2)
=5
算术数
有理数 用字母表示数
实数 代数式 整式、分式、根式等） （整式、分式、根式等）
算
式
主要内容： 主要内容：
相反数、绝对值、实数、倒数、科学记数法、 相反数、绝对值、实数、倒数、科学记数法、 有关代数式的化简、变形、运算. 有关代数式的化简、变形、运算.
0
所有学校得到的捐款数都相等 到第n所学校的捐款恰好分完 到第 所学校的捐款恰好分完
p = 5 n gn = 5 n
2
(2)当 (2)当p=125时，该企业能援助多少所学校？ 时 该企业能援助多少所学校？ (1)∵所有学校得到的捐款数都是5n万元， ∴
p = n × 5n = 5n
2
(n为正整数)
(x − 2)2 g x + 2) ( 解：原式 = 2(x − 2)
．
1 2 1 = ( x − 2)( x + 2) = ( x − 4) 2 2
当
x =
5 时，
原式
1 1 = (5 − 4) = 2 2
求代数式的值的方法: 先化简再代入求值 化已知 化简 化未知 既化已知又化未知 直接代入 代入 整体代入 注意: 格式规范、计算准确 注意 格式规范、
b>a
由表示数的点在数轴上的位置判断数的符号; 数轴上右边的点表示的数总比左边的大; 绝对值的几何意义：数轴上表示这个数的点到 原点的距离.
常见错误： 常见错误：数的符号 绝对值的大小 运算结果的符号.
互为相反数， 的值. 5. 若 ( 3 − a ) 2 与 | b − 1 | 互为相反数，求 a、b 的值. 分析: 分析: Q ( 3 − a ) 2 ≥ 0
( 1 −2 1 ) = − 2 4 ;
(−1) 2008 =-2008
代数式的化简、变形、 （五 ）代数式的化简、变形、运算
无锡） 例5：1.（08无锡）计算 ： （ 无锡 Ａ．b B． a Ｃ． 1
( a b ) 2 的结果为（ B ） 的结果为（ ab 2 1
Ｄ．b
常见错误： 常见错误：(ab)2 = ab 2 2.（08盐城）如图，正方形卡片 A 类， B 类和长方形卡片 C 2.（08盐城）如图， 盐城 类若干张， 类若干张，如果要拼一个长为 ( a + 2b) ，宽为 ( a + b ) 的大 长方形， 长方形，则需要 C 类卡片 _______ 张． 3
六、数与式的综合应用
1.（08常州）2008年 1.（08常州）2008年5月12日四川汶川地区 常州 12日四川汶川地区 发生8.0级特大地震. 发生8.0级特大地震.举国上下通过各种方式表 8.0级特大地震 达爱心. 万元援助灾区n所学校, 达爱心.某企业决定用p万元援助灾区n所学校, 用于搭建帐篷和添置教学设备. 用于搭建帐篷和添置教学设备.根据各校不同 的受灾情况,该企业捐款的分配方案是: 的受灾情况,该企业捐款的分配方案是:所有学 校得到的捐款数都相等, 校得到的捐款数都相等,到第n所学校的捐款恰 好分完,捐款的分配方法如下表所示.(其中 好分完,捐款的分配方法如下表所示.(其中 .( p ,n ,a都是正整数) 都是正整数) 都是正整数
(3)由(2)可知，第一所学校获得捐款25万元，
125 − 5 ∴5 + = 25 a ∴20×6=120.
根据题意，得
2
∴a = 6
∴ n 2 ≤ 24 5n ≤ 120
∵n 为正整数，∴ n 最大为4. ， ∴再次提供的捐款最多又可以援助4所学校.
为进一步落实《 2. 为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进 某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展 法》，某市教育局拿出了 元资金建立民办教育发展 基金会，其中一部分作为奖金发给n所民办学校 所民办学校． 基金会，其中一部分作为奖金发给 所民办学校．奖 金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教 金分配方案如下：首先将 所民办学校按去年完成教 教学工作业绩（假设工作业绩均不相同） 育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到 排序: 低，由1到n 排序: 第1所民办学校得奖金 元，然后再将余额 发给第2所民办学校， 除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发 所民办学校． 给了n所民办学校． 分别表示第2 （1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得 请用 分别表示第 到的奖金； 到的奖金；