控制系统的设计

5、控制系统的设计

5.1 控制策略的选择

在3.2节转子的位移方程一节，我们已经论述过，对转子的位移方程进行变换后，

可以得到如下的电流和位移之间的传递函数：

X i K ms K s I s X s G -==2)()()( （5—1）

由上式可以看出，该对象有两个实数极点，其中一个在正实轴上，因而是一个不稳

定的二阶对象，只有通过闭环控制才有可能使之稳定地工作。然而，闭环控制也有很多

种控制策略，采用古典控制论中关于连续系统的分析方法进行近似分析，经分析可知，使系统稳定的基本控制规律为PD 控制。下面对其进行分析。

（1）PD 控制策略

假设PD 控制器传递函数为

]1[)(s T K s G d p c += （5—2）

其中，K P 为比例系数，T d 为微分时间常数。当忽略功率放大器和位置传感器的惯性，

设功放放大系数为K a ,传感器放大系数为K s ，则此时整个系统的闭环传递函数为： )

()(1)()()(s G s G K K s G s G K s c s a c a +=Φ （5—3） 将式（5—1）和式（5—2）代入式（5—3）中可以得到： x p i s a d p i s a d p i a K K K K K s T K K K K ms s T K K K s -+++=Φ2)

1()( （5—4）

令k K K K K K x p i s a =- （5—5）

用Routh 判据可知，该系统稳定的充要条件为包括k 在内的所有参数均大于0。由

式（5—4）和（5—5），可得闭环系统的特征方程为

02=++k s T K K K K ms d p i s a

对其进行分析，可以发现，虽然PD 控制器能使系统稳定地工作，但用PD 控制时存

在稳态误差，我们知道，在比例调节的基础上加上积分控制就可以消除系统的稳态误差。为此，在PD 控制的基础上引入了积分作用变成PID 控制。

（2）PID 控制策略

前面的章节里已经对PID 控制策略进行过详细的论述，在此不再赘述。由前面可知，

传统的PID 控制策略其传递函数为 ]11[)(s T s

T K s G d i p c ++= （5—6） 但是，传统的PID 存在积分饱和以及微分突变两个弊端。所以，本文将以不完全

微分PID 控制算法为基础，通过软件编程解决上述两个弊端。控制器传递函数的结构

框图见图8。

图8控制器传递函数的结构框图

传递函数为[4]：

)

1()1)(1()(s T s T s T s T K s G d i d i p c ε+++= （5—7） 式中，K P ------放大系数

T i ------ 积分时间常数

T d ------微分时间常数

ε----- 微分增益

5.2控制系统主要元器件参数选择

根据前面所述，在机械系统的主要参数已经确定的情况下，本文目前的工作主要集

中在对控制系统的设计方面。控制器是控制系统的核心，将在随后专门的一节中进行论

述，在此节中，主要是对控制系统其他元器件进行选择。

（1）传感器选择

根据4.3节所述，拟选用电涡流式位移传感器。

设定其放大倍数为K s =20000

（2）功率放大器

根据4.4节所述，拟选用开关功率放大器，其类型为电压-电流型，设定其比例系

数为K a =40

（3）闭环传递函数

设Q （s ）和G(s)分别表示被控系统的开环传递函数和闭环传递函数，图4所示的

控制系统的开环传递函数Q （s ）为：

X

i c s a K ms K s G K K s Q -=2)

()( （5—8） 系统的闭环传递函数G(s)为： )

(1)

()(2s Q K ms K s G K s G x i c a +-= （5—9） 将式（5—7）和式（5—8）代入式（5—9）得

))(1()1)(1()

1)(1()(2x d i d i i p s a d i i p a K ms s T s T s T s T K K K K s T s T K K K s G -++++++=ε （5—10）

至此，就可以利用控制理论对式（5—10）的控制系统进行分析设计。

5.3 控制系统的性能指标

在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统的性能。在经

典控制理论中，常用时域法和频域法来分析系统的性能。本节将介绍系统的性能指标。

（1）时域性能指标

上升时间r t ：指阶跃响应从零第一次上升到其稳态值所需要的时间。一般取为响应从

稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。

峰值时间p t ：指阶跃响应从运动开始到达第一个峰值的时间。

延迟时间d t ：指阶跃响应从运动开始第一次到达其稳态值的50%所需要的时间。

调节时间s t ：又称为过渡过程时间，指系统的动态过渡过程时间。

超调量p M ；指阶跃响应的最大峰值超出其稳态值的部分，用百分比表示为： %100*)()

()(∞∞-=c c t c M p p

（2）频域性能指标

零频幅值：零频幅值A(0)表示当频率ω接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。

谐振频率：幅频特性A(ω)出现最大值max A 时的频率称为谐振频率r ω。

相对谐振峰值r M ：r ωω=时的幅值max )(A A r =ω与0=ω时的幅值A(0)之比

))

0((m a x A A 称为谐振比或相对谐振峰值r M 。 截止频率：一般规定幅频特性A(ω)的数值由零频幅值A （0）下降3dB 时的频率，亦即A(ω)由A （0）下降到0.707A （0）时的频率称为系统的截止频率b ω。

截止带宽：频率0～b ω的范围称为系统的截止带宽或带宽。

5.4 控制系统仿真工具简介

对磁悬浮轴承系统进行设计，就是对式（5—10）的传递函数进行分析设计。本文论

述至此，被控系统是已经确定的，也就是说其机械部分、放大器和传感器部分等都是确定的，也就是说K a 、K s 、 K x 、K i 、m 是确定的常数。那么在这种情况下，设计控制系统的核心问题就是确定控制器的三个参数K P 、T i 、T d 。确定这三个参数的原则就是使图4的控制系统稳定并具有良好的动态性能。根据式（5—10）的分母多项式，得到被控系统的特征方程为