生活中优化问题举例

X C
问题3:如何使一个圆形磁盘储 存更多信息?
解:
存储量=磁道数×每磁道的比特数 存储量 磁道数×每磁道的比特数. 磁道数
设存储区的半径介于r与R之间 由于磁道之间的宽 设存储区的半径介于 与 之间,由于磁道之间的宽 之间 度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息 且最外面的磁道不存储任何信息, 度必须大于 且最外面的磁道不存储任何信息 所以磁道数最多可达(R-r)/m。 所以磁道数最多可达 。 由于每条磁道上的比特数相同， 由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存 储量，最内一条磁道必须装满， 储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比 2 r π 所以，磁道总存储量为： 特数可达到 n , 所以，磁道总存储量为： 2π R r 2πr
s ( x ) = ( x + 4 )( 128 x + 2 ) 128
= 2 x +
512 求导数， 求导数，有 S ' ( x ) = 2 2 , x 512 令s' ( x ) = 2 2 = 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 解得， 舍去） 舍去 x
于是宽为 128 128 = =8 x 16
解 设箱底边长为 x, 箱子容积为
2
解得 x1=0 (舍), x2=40. 舍
60 x V (x) = x ( ) (0 < x < 60) 2 由 V ′( x) = 60 x 3 x 2 = 0 2
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∈ 时 当 ∈ 时 处取得极大值,这个 ∴函数V (x)在x=40处取得极大值 这个 函数 在 处取得极大值 极大值就是函数V 的最大值. 极大值就是函数 (x)的最大值 的最大值
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它 练习 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 的高与底半径,使得所用材料最省 使得所用材料最省? 的高与底半径 使得所用材料最省 设圆柱的高为h,底面半径为 底面半径为R. 解 设圆柱的高为 底面半径为 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 定值), 又V=πR2h(定值 定值
h R
V ∴ S ( R ) = 2πR 2 + 2πR 2 = 2V + 2 π R 2 . πR R
2V + 4 π R = 0 . 解得 R = 2 R V V 3 从而 h = = 2 即h=2R. 2 πR 2π 由 S ′( R ) =
3
V 则 h = πR
2
.
V . 2π
可以判断S(R)只有一个极值点 且是最小值点 只有一个极值点,且是最小值点 可以判断 只有一个极值点 且是最小值点. 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省. 答 罐高与底的直径相等时 所用材料最省
2
60 40 3 V ( 40 ) = 40 ( ) = 16000 (cm ) h 2
当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大 箱子容积最大, 答 当箱箱底边长为 时 Leabharlann Baidu子容积最大 最大值为16000cm3 最大值为
x
说明
1、设出变量找出函数关系式； 、设出变量找出函数关系式； 确定出定义域； 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点 0 ， 、 在定义域内只有一个极值点 在定义域内只有一个极值点x 则不需与端点比较， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 即是所求的最大值或 最小值. 最小值 (所说区间的也适用于开区间或无穷区间 所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 所说区间的也适用于开区间或无穷区间
3
当r = 2时, f ' ( r ) = 0. 当r ∈ (0,2)时, f ' ( r ) < 0; 当r ∈ (2,6) 时, f ' (r ) > 0. 因此， 它表示f(r)单调递 因此，当r>2时，f’(r)>0,它表示 单调递 时 它表示 即半径越大，利润越高； 增，即半径越大，利润越高； 它表示f(r)单调递减 当r<2时，f’(r)<0,它表示 单调递减，即 时 它表示 单调递减， 半径越大，利润越低。 半径越大，利润越低。 （1）半径为 时，利润最小。这时 ）半径为2时 利润最小。这时f(2)<0,表示 表示 此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时 利润是负值； 利润是负值； （2）半径为 时，利润最大。 ）半径为6时 利润最大。
2
令S ′( x) = 0，解得x = 3 当S ′( x) > 0时, 得0 < x < 3 ∴ S ( x)在(0,3)上是单调递增的, S ( x)在(3,6)是单调递减的 ∴ S ( x)在x = 3cm处取到最大值S (3) = 9cm
2
答 : 当矩形是正方形时, 它的面积最大为9cm
2
结论：周长为定值的矩形中， 结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最 大。
问题1:海报版面尺寸的设计 问题 海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动， 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 进行宣传， 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 贴的海报，要求版心面积为 上下边各 左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 如何设计海报的尺寸， 空2dm,左右空 左右空 如何设计海报的尺寸 能使四周空白面积最小？ 能使四周空白面积最小？
练习1：将一段长为 练习 ：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 的铁丝围成一个矩 则这个矩形面积的最大值为多少？ 形，则这个矩形面积的最大值为多少？
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
S（x） x（6 x） 6 x x 0 < x < 6) = = （ S ′( x) = 6 2 x（0 < x < 6)
f (r ) = m n
=
mn
r(R r)
(1) 它是一个关于 的二次函数，从函数的解 它是一个关于r的二次函数 的二次函数， 析式可以判断，不是r越小 越小， 析式可以判断，不是 越小，磁盘的存储量 越大。 越大。
1 1 S ′ = (4 x 2l ) = (2 x l ) 16 8 l 令S ′ = 0, 得x = 2
其中0<x<l 其中
由问题的实际意义可知： 由问题的实际意义可知： l2 l 当x = 时, S取最小值. 最小值为 . 32 2
问题2:饮料瓶大小对饮料公司 问题 饮料瓶大小对饮料公司 有影响吗? 利润 有影响吗
你是否注意过 市场上等量的小包装的物品 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道 它的道理吗? 它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大 饮料公司的利润越大?
知识背景 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子制造成 本是0.8πr2分.其中 是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出 其中r是瓶子的半径 单位是厘米.已知每出 本是 其中 是瓶子的半径,单位是厘米 的饮料,制造商可获利 售1mL的饮料 制造商可获利 分,且制造商能制造的瓶 的饮料 制造商可获利0.2分 且制造商能制造的瓶 子的最大半径为6cm. 子的最大半径为 （１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 所以每瓶饮料的利 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 4πr 3 润为： 润为：y = f ( r ) = 0.2 × 0.8πr 2 0<r ≤6
512 x
+ 8, x > 0
当x ∈ (0,16)时, s' ( x ) < 0; 当x ∈ (16,+∞ )时, s' ( x ) > 0;
因此， 是函数s(x)的极小值点，也 的极小值点， 因此，x=16是函数 是函数 的极小值点 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 是最小值点。所以，当版心高为 宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。 时 能使四周空白面积最小。 宽为8dm时，海报 答：当版心高为16dm,宽为 当版心高为 宽为 时 四周空白面积最小。 四周空白面积最小。
元时， 例2、某商品每件 元时，每星期能卖 、某商品每件60元时 出300件；如果调整价格，每涨价 元， 件 如果调整价格，每涨价1元 每星期要少卖10件 每星期要少卖 件。已知每件商品成本 如何定价才能使利润最大？ 为40元，问：如何定价才能使利润最大？ 元
D
例3、已知海岛 与海岸公路 、已知海岛A与海岸公路 B BC的距离 为50KM，B、C 的距离AB为 的距离 ， 、 间的距离为100KM，从A到C， 间的距离为 ， 到 ， 先乘船，船速为25KM/h， 50 先乘船，船速为 ， 再乘车，车速为50KM/h， A 再乘车，车速为 ， 登陆点选在何处所用时间最 少？
练习2 的铁丝截成两段， 练习2、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正 方形，要使两个正方形的面积和最小， 方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长 度分别是多少？ 度分别是多少？ 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 设两段铁丝的长度分别为 则两个正方形面积和为
x 2 lx 2 1 2 2 S = s1 + s2 = ( ) + ( ) = (2 x 2lx + l ) 16 4 4
128 dm 设版心的高为xdm,则宽为 解：设版心的高为 则宽为 x
此时四周空白面积为
128 + 2) 128 x
s( x ) = ( x + 4)(
512 = 2x + + 8, x > 0 x
学校或班级举行活动， 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报， 传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报， 要求版心面积为128dm2,上下边各空 上下边各空2dm,左右空 要求版心面积为 上下边各空 左右空 1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最 如何设计海报的尺寸， 如何设计海报的尺寸 小？ 128 dm, 设版心的高为xcm,则宽为 解：设版心的高为 则宽为 x 此时四周空白面积为： 此时四周空白面积为：
3.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、 生活中经常遇到求利润最大、用 利润最大 等问题， 料最省、效率最高等问题 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题 通过前面的学习， 优化问题， 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（ 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 有力工具，本节我们运用导数， 一些生活中的优化问题。 一些生活中的优化问题。
3
令 f ' ( r ) = 0.8π ( r 2 2r ) = 0 当r = 2时, f ' ( r ) = 0. 当r ∈ (0,2)时, f ' ( r ) < 0;
当r ∈ (2,6) 时, f ' (r ) > 0.
由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 解： 由于瓶子的半径为 所以每瓶饮料的利 4πr 3 润为： 润为： y = f ( r ) = 0.2 × 0.8πr 2 ( 0 < r ≤ 6) 令 f ' ( r ) = 0.8π ( r 2 2r ) = 0
60 x 则箱高为 h = 2 2 60 x 箱子容积为 V (x) = x ( ) (0 < x < 60) 2 3 2 由 V ′( x) = 60 x x = 0 2
解得 x1=0 (舍), x2=40. 舍 h x
练习3:在边长为 练习 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 在边长为 的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起 如图),做成一个 再把它的边沿虚线折起(如图 相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时 箱子容积最大? 箱底边长为多少时,箱子容积最大 无盖的方底铁皮箱 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少? 最大容积是多少 解 设箱底边长为 x,