高考数学必胜秘诀在哪(16讲)

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高考数学必胜秘诀在哪?

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

二、函 数

1.映射f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一;⑵B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)设:f M N →是集合M 到N 的映射,下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合(答:A );(2)点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-,则在f 作用下点)1,3(的原象为点________(答:(2,-1));(3)若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =,

,,a b c R ∈,则A 到B 的映射有 个,B 到A 的映射有 个,A 到B 的函数有 个

(答:81,64,81);(4)设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=,映射:f M N →满足条件“对任

意的x M ∈,()x f x +是奇数”,这样的映射f 有____个(答:12);(5)设2:x x f →是

集合A 到集合B 的映射,若B={1,2},则B A 一定是_____(答:∅或{1}).

2.函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集!据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如(1)已知函数()f x ,x F ∈,那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所

含元素的个数有 个(答: 0或1);(2)若函数422

12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ,则b = (答:2)

3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为2y x =,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个(答:9)

4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则):

(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠,三角形中0A π<<, 最大角3π

≥,最小角3π

≤等。如(1)函数

lg 3y x =-____(答:(0,2)(2,3)(3,4) );(2)若函数27

43

kx y kx kx +=++的定义域为R ,则k ∈_______(答:30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭

);(3)函数()f x 的定义域是[,]a b ,0b a >->,则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答:[,]a a -);(4)设函数2()lg(21)f x ax x =++,①若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围;②若()f x 的值域是R ,求实数a 的取值范围(答:①1a >;②01a ≤≤)

(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。

(3)复合函数的定义域:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可;若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域,相当于当[,]x a b ∈时,求()g x 的值域(即()f x 的定义域)。如(1)若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2

1,则)(log 2x f 的定义域为__________(答:{}

42|≤≤x x );(2)若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-,则函数()f x 的定义域为________(答:[1,5]). 5.求函数值域(最值)的方法:

(1)配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[,]m n 上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如(1)求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域(答:[4,8]);(2)当]2,0(∈x 时,函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值,则a 的取值范围是___(答:2

1-≥a );(3)已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点(2,1),则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域

为______(答:[2, 5])

(2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1)22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____

(答:17[4,]8-);(2)21y x =++的值域为_____(答:(3,)+∞)t =,

0t ≥。运用换元法时,要特别要注意新元t 的范围)

;(3)s i n c o s s i n c o s y x x x x =++ 的

值域为____(答:1[1,2

-+);(4)4y x =++的值域为____(答:4]); (3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如求函数2sin 11sin y θθ

-=+,313x x y =+,2sin 11cos y θθ-=+的值域(答: 1(,]2-∞、(0,1)、3(,]2

-∞); (4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,

如求1(19)y x x x =-

<<,229sin 1sin y x x

=++,532log x y -=+______(答:80(0,)9、11[,9]2、[2,10]); (5)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如(1)已知点(,)P x y 在圆221x y +=上,求2

y x +及2y x -的取值范围(答:

[、[);(2)求函数y =(答:[10,)+∞);

(3)求函数y =

及y =的值域

(答:)+∞、()注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在x 轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在x 轴的同侧。

(6)判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式: ①2b y k x =

+型,可直接用不等式性质,如求232y x =+的值域(答:3(0,]2

) ②2bx y x mx n =++型,先化简,再用均值不等式,如(1)求21x y x

=+的值域(答:

1(,]2-∞);(2)求函数3y x =+的值域(答:1[0,]2

) ③22x m x n y x mx n ''++=++型,通常用判别式法;如已知函数2328log 1mx x n y x ++=+的定义域

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