2020年秋季学期八年级数学基础训练(11)

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2020年人教版八年级数学上册随课练——第11章三角形单元提升练习

11章三角形单元提升练习一、选择题1. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是()A. a＞bB. a＝bC. a＜bD. b＝a＋180°2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°3．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，求∠ADB的度数（）A．50°B．100°C．70°D．80°4．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）A．一条B．两条C．三条D．四条5. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A. 2 cm，3 cm，5 cmB. 7 cm，4 cm，2 cmC. 3 cm，4 cm，8 cmD. 3 cm，3 cm，4 cm6.如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是( )A.45ºB.30ºC.40ºD.35º7．内角和为1800°的多边形是（）A．十二边形B．十边形C．八边形D．七边形8. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为()A. 8B. 10C. 8或10D. 129.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．60°C．45°D．35°10．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或1611.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β二、填空题12. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝________．13．已知正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的内角和为．14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.15.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=．16．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，则∠BDE＝°．17.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于 .18.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是.三、解答题19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF是角平分线，交CD于点E.试说明：∠1＝∠2.20．如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？21．（1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．即：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．（2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求∠1的大小．22.已知AD.AE分别是△ABC的高和中线，且AB=8cm，AC=5cm，则△ABE比△ACE的周长长多少？△ABE与△ACE的面积有什么关系？23.将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．答案1. B2. B3．B4．A5. D6. C7．A8. B9. D10．C11. A12. 513．1260°．14. 7515.716．5017. 50°18.75º19. 解：∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠CAF＝90°.∵AF是△ABC的角平分线，∴∠CAF＝∠BAF.∴∠2＋∠BAF＝90°.∵CD⊥AB，∴∠AED＋∠BAF＝90°.又∵∠AED＝∠1，∴∠1＋∠BAF＝90°.∴∠1＝∠2.20．解：1140°÷180°＝6…60°，则边数是：6+1+2＝9；他们在求九边形的内角和；180°﹣60°＝120°，少加的那个内角为120度．21．解：（1）如图1，设BD、AD与CE的交点为M、N；△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：∠DMN＝∠B+∠E，∠DNM＝∠A+∠C；△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D＝180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）如图2，∵五角星的五个顶角的度数相等，∴，∴∠1＝180°﹣∠2＝108°．22.△ABE的周长=3cm，△ABE与△ACE它们的面积相等．23.（2）105°．。

2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第11章-三角形(原卷版)

2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第11章-三角形一、单选题A．1B．3．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成这个多边形的边数是（）A．8B．6C．4D．25．（2023秋·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，是的平分线，，，则（）A．25°B．60°C．85°D．95°6．（2023秋·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图中，分别是和的外角平分线，，则（）A．B．C．D．7．（2023秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，为（）A．B．C．D．8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（）A．B．C．D．AD CAE∠35B∠=︒60DAE∠=︒ACB=∠ABCBI CI、ABC∠ACB∠130A I∠∠=︒＋A∠=50︒60︒70︒80︒A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠180︒360︒540︒720︒a b45︒15854'∠=︒1036'︒1046'︒10354'︒10454'︒9．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）具备下列条件的，不是直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图所示，，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．11．（2023秋·广东惠州·八年级惠州市华侨中学校考阶段练习）如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（）个．A ．7B ．5C ．6D ．412．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在中，，，那么中线的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．13．（2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C 落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（）A ．B ．C ．D ．14．（2022春·安徽宣城·九年级统考自主招生）如图，在中，是中线，点ABC A B C∠∠=∠+A B C ∠-∠=∠123A B C ∠∠∠=::::3A B C∠=∠=∠BO CO ABC ∠ACB ∠130BOC ∠=︒A ∠80︒90︒120︒140︒ABC AM BC ABM ACM △BC ABC 5AB =7AC =AD 16AB <<56AB <<57AB <<212AB <<ABC 20A ∠=︒BE BA 'BE C '74C DB '∠=︒C ∠27︒59︒69︒79︒ABC CM NA ．3B ．15．（2023秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，A ．B ．16．（2021春·福建福州·七年级统考期中）如图：A ．B ．17．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在探究证明时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明”的有（）1n θ127︒143180︒A ．B 19．（2023秋·广东珠海是边上任意一点，连接A ．B ．20．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）时，我们称此三角形为“友好三角形么这个“友好三角形”的“友好角二、填空题15︒BC CF 210cm 12cm25．（2023秋·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，点内角平分线的交点，点系是．26．（2021·青海西宁27．（2023秋·平分线与28．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）若一个正边形的内角和等于它外角和的29．（2022春·湖南长沙·七年级校考期中）30．（2023秋·山东泰安ABC ADC ∠n三、解答题31．（2023秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线．(1)已知，，求的度数；(2)设，，请直接写出用，表示的关系式．32．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，斜边与轴交于点．(1)若，求证：；(2)如图2，延长交轴于点，过作，若，，求的度数；(3)如图3，平分，的平分线交的延长线于点，，当绕点旋转时（斜边与轴正半轴始终相交于点），问的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．33．（2023秋·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，如图，在中，，，分别是，上的点，连接，，，求的度数．AD AE ABC 70B ∠=︒40C ∠=︒DAE ∠B α∠=()C βαβ∠=>αβDAE ∠AOB 90AOB ∠=︒AB y C A AOC ∠=∠B BOC ∠=∠AB x E O OD AB ⊥DOB EOB ∠=∠A E ∠=∠A ∠OF AOM ∠BCO ∠FO P 40A ∠=︒ABO O AB y C P ∠ABC B C ∠=∠D E BC AC DE 12∠=∠35BAD ∠=︒EDC ∠34．（2023秋·江西南昌(1)若，求这个多边形的内角和．(2)若这个多边形的内角和的6n =图形，若其中一个新三角形与原三角形有两个角分别相等，则称这条直线为原三角形的恰巧线．例如：如图①，在中，直线将分割为两个图形，若新三角形与原三角形有，，则称直线为的恰巧线．(1)如图②，已知，且，，则下列直线中，是的恰巧线的是________．（填上所有正确的序号）①的角平分线所在的直线；②的边上的高所在的直线；③的边上的中线所在的直线．(2)在中，，，点D ，E 分别在边上（不与端点重合），若直线是的恰巧线，则的度数为________°．(3)如图③，在中，，，垂足为D ，直线是的恰巧线，分别交于点E ，交于点F ，连接，且．求证：直线是的恰巧线．(4)如图④，是锐角三角形，，P 是边上的定点．在图④中，画出所有经过点P 的的恰巧线示意图，并写出每一条恰巧线须满足的两组相等的角，不必说明理由．37．（2023秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．ABC DE ABC ADE ABC A A ∠=∠ADE B ∠=∠DE ABC ABC 90ACB ∠=︒AC BC >ABC ABC CD ABC AB CE ABC AB CF ABC 50A ∠=︒70B ∠=︒AB AC ，DE ABC AED ∠ABC 90ACB ∠=︒CD AB ⊥BE ABC AC CD DE A ADE ∠=∠EF CDE ABC A B C ∠<∠<∠AC ABC A B MON ∠OM ON O(1)如图1，当时，的外角，______°．(2)如图2，当时，，的平分线交于点（用含的式子表示）．58MON ∠=︒AOB NBA ∠∠ACB =∠MON n ∠=︒OAB ∠OBA ∠n试卷第11页，共11页(1)求点的坐标．(2)如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数；（点在轴的正半轴）．(3)如图3，当点在线段上运动时，作交于点，、的角平分线、交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．40．（2022春·安徽合肥·七年级校考期末）如图，平分，．(1)如图1，求证：．(2)求证：．(3)如图2，若射线上取点，连接，当，时，求的度数．C D OB AD AC ⊥ODA ∠PD CAE ∠AF P APD ∠E x D OB DM AD ⊥BC M BMD ∠DAO ∠MN AN N D N ∠AE BAC ∠CAE CEA ∠=∠AB CD ∥CAE C AED ∠∠∠+=AB G EG 30AEG ∠=︒2GED C ∠∠=C ∠。

2020年人教版八年级数学上册《第11章三角形》单元测试卷(解析版)

2020年人教版八年级数学上册《第11章三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．图中锐角三角形的个数有（）个．A．2B．3C．4D．52．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD 的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．B．C．D．4．已知三角形的两边长分别为2和9，第三边长为正整数，则这样的三角形个数为（）A．.3B．4C．.5D．.65．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°6．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．47．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．平行四边形D．锐角三角形8．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形9．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．720°二．填空题（共8小题）11．在图中共有个三角形．12．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．13．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理．14．三角形一边长为4，另一边长为7，且第三边长为奇数，则第三边的长为．15．三角形具有稳定性，要使一个四边形框架稳定不变形，至少需要钉根木条．16．在下列四个图形中，具有稳定性的是（填序号）①正方形②长方形③直角三角形④平行四边形17．在五边形ABCDE中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝440°，则∠E＝．18．把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α＝度．三．解答题（共8小题）19．用6根火柴能否组成四个一样大的三角形，若能，请说明你的图形．20．（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B ＝30°，∠C＝50°．求∠DAE的度数；（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，①∠CAE＝（含x的代数式表示）②求∠F的度数．21．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？22．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，求AC的取值范围．23．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？24．四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°．（1）如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4），将原来条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出∠BEC的度数．25．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．26．（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？2020年人教版八年级数学上册《第11章三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．图中锐角三角形的个数有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角三角形相加即可．【解答】解：①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个；所以图中锐角三角形的个数有2+1＝3（个）；故选：B．【点评】本题考查了三角形．数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，也可以与线段外的一点组成个三角形．2．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD 的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：由题意得，AB＝AC+3，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ABD的周长为22，∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝22，则AC+DC+AD＝19，∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝19（cm），故选：A．【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．故选：C．【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．4．已知三角形的两边长分别为2和9，第三边长为正整数，则这样的三角形个数为（）A．.3B．4C．.5D．.6【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；解答即可．【解答】解：设第三边长为x，由题意可得9﹣2＜x＜9+2，解得7＜x＜11，故x为8、9、10，这样的三角形个数为3．故选：A．【点评】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系是解答的关键．5．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．6．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．4【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．故选：B．【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观．7．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．平行四边形D．锐角三角形【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：正方形，长方形，平行四边形，锐角三角形中只有锐角三角形具有稳定性．故选：D．【点评】本题考查了三角形的稳定性，是基础题，需熟记．8．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【分析】利用多边形对角线的性质，分析四个选项即可得出结论．【解答】解：利用排除法分析四个选项：A、菱形的对角线互相垂直且平分，故A错误；B、对角线互相平分的四边形式应该是平行四边形，故B错误；C、对角线互相垂直的四边形并不能断定为平行四边形，故C错误；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了多变形对角线的性质，解题的关键是牢记各特殊图形对角线的性质即可解决该题．9．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．720°【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠F，∠1+∠2+∠D+∠E＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故选：C．【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．二．填空题（共8小题）11．在图中共有8个三角形．【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数．【解答】解：三角形有：△ACE、△CDE、△DEF、△BCD，△CDF、△ACD、△BCE、△ACB，共8个．故答案为：8．【点评】考查了三角形，本题难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏．12．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是45度．【分析】根据△ACB为Rt△，利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠ABC＝90°，再利用角平分线的性质即可求出两锐角的角平分线所夹的锐角的度数．【解答】解：如图所示△ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，∴∠FAB+∠FBA＝∠CAB+∠ABC＝45°．故答案为：45．【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和角平分线的性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．13．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理三角形具有稳定性．【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答．【解答】解：桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型．14．三角形一边长为4，另一边长为7，且第三边长为奇数，则第三边的长为5，7，9．【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：第三边的取值范围是大于3而小于11，又第三边长为奇数，故第三边的长为5，7，9．故答案为：5，7，9．【点评】考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．还要注意第三边长为奇数这一条件．15．三角形具有稳定性，要使一个四边形框架稳定不变形，至少需要钉1根木条．【分析】根据三角形的稳定性可得答案．【解答】解：如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故答案为：1【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．16．在下列四个图形中，具有稳定性的是③（填序号）①正方形②长方形③直角三角形④平行四边形【分析】根据三角形具有稳定性对各图形分析后解答．【解答】解：在下列四个图形中，具有稳定性的是三角形．故答案为：③【点评】本题主要考查了三角形具有稳定性的性质，是基础题，但容易出错．17．在五边形ABCDE中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝440°，则∠E＝100°．【分析】首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可．【解答】解：正五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝440°，∴∠E＝540°﹣440°＝100°，故答案为：100°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．18．把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α＝120度．【分析】三角板中∠B＝90°，三角板与直尺垂直，再用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．【解答】解：如图：∵在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，∠ACD＝90°，∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠ACD＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的内角和．关键是得出用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．三．解答题（共8小题）19．用6根火柴能否组成四个一样大的三角形，若能，请说明你的图形．【分析】用6根火柴能组成四个一样大的三角形，把六根火柴棒组合成一个正三棱锥即可．【解答】解：首先用3根火柴棒拼成一个等边三角形，然后用3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，因为三棱锥有4个面，每个面都是一样大小的三角形，所以用6根火柴能组成四个一样大的三角形．【点评】此题主要考查了空间想象能力的应用，以及正三棱锥的特征和应用，要熟练掌握．20．（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B ＝30°，∠C＝50°．求∠DAE的度数；（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，①∠CAE＝72°﹣x°（含x的代数式表示）②求∠F的度数．【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°﹣∠C ＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD计算即可；（2）根据题意可知∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，根据三角形的内角和定理可知∠ADC+∠DAC+∠C＝180°，∠ADC＝∠B+∠BAF，根据角平分线的性质，可知∠EAC＝∠BAF，可得出∠ADC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∵AD是△ABC角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，∵AE分别是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°；（2）①∵∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，AF平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF，∴∠CAE＝[180°﹣x°﹣（x+36）°]＝72°﹣x°，②∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，∵FD⊥BC，∴∠F＝18°．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高以及三角形内角和定理，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，正确运用数形结合思想是解题的关键．21．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？【分析】根据三角形的稳定性解答．【解答】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．【点评】本题考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．22．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，求AC的取值范围．【分析】根据三角形的第三边应大于两边之差，而小于两边之和进行分析求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得6﹣4＜AC＜6+4，∴2＜AC＜10．AC的取值范围是：2＜AC＜10．【点评】本题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．23．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n﹣3）条对角线，把三角形分成（n﹣2）个三角形．【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．【点评】本题考查了多边形以及三角形的稳定性；掌握从一个顶点把多边形分成三角形的对角线条数是n﹣3．24．四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°．（1）如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4），将原来条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出∠BEC的度数．【分析】（1）先根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；（2）先根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，再根据四边形内角和等于360°求出∠BEC的度数；（3）①先根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数；②先根据三角形内角和等于180°求出∠FBC+∠BCF的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，∴∠B+∠C＝360°﹣（145°+75°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°；（2）∵BE∥AD，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣145°＝35°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝70°，∴∠C＝360°﹣（145°+75°+70°）＝70°；（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，∴∠B+∠C＝360°﹣（145°+75°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°；②不变．∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义．25．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出∠CAD＝108°﹣72°＝36°，得出内错角相等，可得两直线平行．【解答】答：AC∥DE，理由：∵五边形ABCDE的内角和＝540°，且每个内角都相等．∴∠B＝∠BAE＝∠E＝108°．∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°×2＝36°，∴∠CAD＝∠4，∴AC∥DE．【点评】本题主要考查了平行线的判定、正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，和正五边形的每个内角是108°．26．（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝180°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为70°；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【分析】（1）根据三角形内角和解答即可；（2）①由四边形的内角和为360°以及角平分线的定义可得∠AOB+∠COD＝180°，据此解答即可；②由①得∠AOB+∠COD＝180°，从而得出∴∠ADO+∠BOD＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，进而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案为180；（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵，，∴，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．。

2020学年秋八年级数学上册第十一章三角形检测题有答案

第十一章检测题( 时间： 120 分钟满分：120 分)一、选择题 ( 每题 3 分，共 30 分)1． ( 2016·百色 ) 三角形的内角和是(BA． 90° B ． 180° C ． 300° D ． 360°)2．以下长度的三条线段能构成三角形的是(D)A．1，2，3 B ． 1，2，3 C ．3，4，8 D ．4，5， 63．如图，图中∠1的大小等于 (D)A． 40° B ． 50° C ． 60° D ．70°,第5题图),第6题图)4．已知△ ABC 中，∠A．40° B ．60° C B是∠A的．80° D2 倍，∠ C 比∠A大．90°20°，则∠A等于(A)5．如图，某同学在课桌上无心中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于( A． 60° B ． 75° C ． 90° D ．105°6ABC BE CF O FOE121A． 52° B ． 62° C ． 64° D ．72°7．如图，在△ ABC 中，∠ A＝ 80°，高 BE 与 CH的交点为O，则∠ BOC等于 (C) A． 80° B ． 120° C ． 100° D ． 150°C()B),第7题图),第8题图),第9题图)AE＝ DE， BD均分∠ EBC，那么以下说法中不8．如图，在△ABC 中，∠C＝ 90°， D，E 是AC上两点，且正确的选项是(C)A．BE是△ABD的中B ．BD是△BCE的角均分线线C．∠ 1＝∠ 2＝∠ 3D．BC是△ABE的高9．如图，把纸片△ ABC 沿 DE折叠，当点 A 落在四边形BCDE内部时，则∠A 与∠ 1＋∠2 之间有一种数量关系一直保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是(B)A．∠A＝∠ 1＋∠ 2 C． 3∠A＝∠ 1＋∠ 2 10．如图，已知长方形B． 2∠A＝∠ 1＋∠2D． 3∠A＝2( ∠1＋∠ 2)ABCD，一条直线将该长方形ABCD切割成两个多边形，则所得任一多边形内角和度数不行能是(A)A． 720° B ． 540° C ． 360° D ． 180°,第10题图),第13题图),第14题图)二、填空题 ( 每题 3 分，共 18 分)11． ( 2016·镇江 ) 正五边形每个外角的度数是__72° __．12．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了__三角形的稳固性__．13．如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， BE是△ ABD 中 AD边上的中线，若△ ABC 的面积是24，则△ ABE 的面积是 __6__．14．如图，∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＋∠ 5＋∠ 6＝__360° __．15．当三角形中一个内角α 是另一个内角β 的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，此中α称为“半角”．假如一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 __120° __.16．已知 AD是△ ABC的高，∠ BAD＝ 72°，∠ CAD＝ 21°，则∠ BAC的度数是 __51°或93°__．三、解答题 ( 共 72 分)17． (8 分) 如图：(1)在△ ABC中， BC边上的高是 __AB__；(2)在△ AEC中， AE边上的高是__CD__；(3)若 AB＝ CD＝2 cm， AE＝3 cm，求△ AEC的面积及 CE的长．112解： S△AEC＝2AE·CD＝2CE·AB＝ 3 cm ，CE＝ 3 cm18． (8 分) 等腰△ ABC 的两边长x， y 知足 |x － 4| ＋ (y －8) 2＝ 0，求这个等腰三角形的周长．解：∵x， y 知足 |x － 4| ＋( y－8)2＝0，∴ x＝4， y＝ 8，当 4 为腰时， 4＋ 4＝ 8 不建立，当 4 为底时，8 为腰， 4＋8＞ 8，知足三边关系，∴△ ABC的周长为 8＋ 8＋ 4＝2019． (8 分) 如图， AD均分∠ CAE，∠ B＝ 35°，∠ DAE＝ 60°，试求∠D与∠ ACD的度数．解：∠D＝ 25°，∠ ACD＝ 95°20． (7 分) 若一个多边形的各边长均相等，周长为 70 cm，且内角和为 900°，求它的边长．解：边长是 10 cm21．(7 分 ) 某工程队准备开挖一条地道，为了缩散工期，一定在山的双侧同时开挖，为了保证双侧开挖的地道在同一条直线上，丈量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P 和 Q，而后在左侧定出开挖的方向线 AP，为了正确立出右侧开挖的方向线BQ，丈量人员取一个能够同时看到点A，P，Q的点 O，测得∠ A＝ 28°，∠ AOC＝ 100°，那么∠ QBO 应等于多少度才能保证BQ与 AP在同一条直线上？解：在△AOB中，∠ QBO＝ 180°－∠ A－∠ O＝180°－ 28°－ 100°＝ 52° . 即∠QBO应等于 52°才能保证 BQ与 AP在同一条直线上22． (8 分) 如图， AB∥ CD，直线 EF 与 AB， CD分别订交于点E， F， EP 均分∠ AEF， FP均分∠ EFC.(1)求证：△ EPF 是直角三角形；(2)若∠ PEF＝ 30°，求∠ PFC 的度数．解： ( 1) ∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，∵EP均分∠AEF，FP均分∠EFC，∴∠AEP＝∠FEP，∠CFP1＝∠EFP，∴∠ PEF＋∠PFE＝2×180°＝ 90° . ∴∠ EPF＝ 180°－ 90°＝ 90°，即△EPF 是直角三角形( 2) 60°23．(8 分 ) 如图，在△ ABC 中，∠ B＝26°，∠ C＝ 70°， AD均分∠ BAC， AE⊥ BC于点 E，EF⊥AD于点 F.(1)求∠ DAC 的度数；(2)求∠ DEF的度数．解：( 1) ∵在△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－26°－70°＝84°.1 1∵AD均分∠BAC，∴∠ DAC＝2∠BAC＝2×84°＝ 42°( 2) 在△ACE中，∠CAE＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝42°－20°＝22°.∵∠ DEF＋∠AEF＝∠AEF＋∠DAE＝ 90°，∴∠ DEF＝∠DAE＝ 22°24． (8 分) 如图，在△A BC中，∠ ACB＝ 90°， CD⊥ AB 于点 D.(1)求证：∠ ACD＝∠ B；(2)若 AF 均分∠ CAB且分别交 CD， BC于点 E， F，求证：∠ CEF＝∠ CFE.解： ( 1) ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，又∵CD⊥AB于点D，∴∠DCB＋∠B＝90°，∴∠ACD ＝∠ B ( 2)在△ACE中，∠ CEF＝∠CAF＋∠ACD，在△AFB中，∠ CFE＝∠B＋∠ FAB，∵ AF均分∠CAB，∴∠CAE＝∠FAB，∴∠ CEF＝∠CFE25． (10 分 ) 取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点 A 按顺时针方向旋转获得△ABC′，如图②所示．设∠ CAC′＝α (0 °＜α≤ 45°) ．(1) 当α＝ 15°时，求证： AB∥CD；(2) 连结 BD，当 0°＜α≤ 45°时，∠ DBC′＋∠ CAC′＋∠ BDC 的度数能否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数．解： ( 1) 证明：∵∠CAC′＝15°，∴∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，又∴∠C＝30°，∴∠ BAC＝∠C，∴AB∥ CD ( 2)∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变．如图，连结 CC′，∵∠ DBC′＋∠BDC ＝∠DCC′＋∠BC′C，又∠CAC′＋∠ACC′＋∠AC′C＝ 180°，∴∠ CAC′＋∠AC′B＋∠BC′C＋∠ACD＋∠DCC′＝ 180°，∵∠ AC′ B＝ 45°，∠ ACD＝ 30°，∴∠ DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝ 180°－ 45°－ 30°＝ 105°。

人教版八年级数学上册第十一章三角形基础训练

2020-2021学年人教版八年级数学上册第十一章三角形基础训练一．选择题1．下列长度的各组线段中可组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．6，2，2 D．3，5，32．当多边形每增加一条边时，它的（）A．外角和与内角和都增加180°B．外角和与内角和都不变C．外角和增大180°，内角和不变D．外角和不变，内角和增大1803．下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（）A．240°B．600°C．540°D．2180°4．周长为20，边长为整数的三角形有（）个．A．6 B．7 C．8 D．95．将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若B'D ∥CB，∠ACB'＝3∠ADB'，则下列结论正确的是（）A．∠ADB'＝∠ACD B．∠ACB'+∠ADB'＞90°C．∠B＝22.5°D．∠B'DC＝67.5°6．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD＝30°，则∠DCB为（）A．25°B．20°C．15°D．10°7．如图将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一条边上，∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3为（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°9．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝66°，则∠ACB的度数（）A．33°B．28°C．52°D．48°10．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°二．填空题11．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A＝50°，则∠D ＝度．12．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和的度数等于．13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，则第三边BC的值可以是．14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A ＝44°，∠1＝57°，则∠2＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 交于H，则∠CHD＝．三．解答题16．如图1，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD．且∠EAC+∠ACE＝90°（1）判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由；（2）如图2，P为线段AC上一定点，Q为直线l2上一动点，当点Q在直线l2上运动时（不与点C合），猜想∠CPQ、∠CQP与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．17．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．18．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．19．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A＝∠D＝40°．（1）求∠B的度数；（2）求∠ACD的度数．20．【阅读材料】：（1）在△ABC中，若∠C＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠A+∠B＝180°﹣∠C ＝180°﹣90°＝90°．（2）在△ABC中，若∠A+∠B＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°．【解决问题】：如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知AB∥x轴，交y 轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM 平分∠CEB，交CF于点M．（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P，求证：∠EPC＝∠EDP；（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、2+1＝3，不能构成三角形，故不符合题意；B、2+5＝7＜8，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+2＝4＜6，不能构成三角形，故不符合题意；D、3+3＞5，可以构成三角形，故符合题意；故选：D．2．解：根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，可以得到增加一条边时，边数变为n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，因而内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°，任何多边形的外角和都是360度，所以当多边形每增加一条边时，它的外角和不变，内角和增大180°；故选：D．3．解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，∴多边形内角和一定是180的倍数，∵540°＝3×180°，故选：C．4．解：8个，分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5）．故选：C．5．解：设∠B＝x．∵DB′∥BC，∴∠ADB′＝∠B＝x，∴∠ACB′＝3∠ADB′＝3x，由翻折可知：∠B＝∠B′＝x，又∵∠ADB′＝∠B∴AB∥B′C，∴∠A＝∠ACB′＝3x，∵∠ACB＝90°，∴x+3x＝90°，∴x＝22.5°，∴∠B＝22.5°，故选：C．6．解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，故选：B．7．解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴∠3＝60°﹣30°＝30°，故选：C．8．解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．9．解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝66°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC＝2（∠ABO+∠BAO）＝2×66°＝132°，∴∠ACB＝180°﹣132°＝48°，故选：D．10．解：∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠PDF，∠CBP＝∠PBA，∵∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，∠C+∠CBP＝∠P+∠PDF，∴∠A+∠C＝2∠P，∵∠A＝40°，∠P＝38°，∴∠C＝2×38°﹣40°＝36°，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝50°，∴∠D＝25°．故答案为：25．12．解：多边形的边数：360°÷30°＝12，正多边形的内角和：（12﹣2）•180°＝1800°，故答案为：1800°．13．解：根据三角形的三边关系，得9﹣6＜BC＜9+6，即3＜BC＜15．故答案为：3＜BC＜15．14．解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠1＝57°，由三角形的外角性质得，∠2＝∠A+∠B＝44°+57°＝101°．故答案为：101°．15．解：延长CH交AB于点H，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF ＝45°在△CDH 中，三内角之和为180°， ∴∠CHD ＝45°，故答案为∠CHD ＝45°．三．解答题（共5小题） 16．解：（1）l 1∥l 2，理由如下：如图1中，∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD （已知），∴∠BAC ＝2∠1，∠ACD ＝2∠2（角平分线的定义），又∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠BAC +∠ACD ＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°（等量代换）， ∴l 1∥l 2（同旁内角互补，两直线平行）．（2）①如图2中，当Q 在C 点左侧时，过点P 作PE ∥l 1，∵l 1∥l 2（已证），∴PE ∥l 2（同平行于一条直线的两直线互相平行）， ∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等），∠BAC＝∠EPC，（两直线平行，同位角相等），又∵∠EPC＝∠1+∠CPQ，∴∠BAC＝∠CQP+∠CPQ（等量代换）．②如图3中，当Q在C点右侧时，过点P作PE∥l1，∵l1∥l2（已证），∴PE∥l2（同平行于一条直线的两直线互相平行），∴∠1＝∠2，∠BAC＝∠APE，（两直线平行，内错角相等），又∵∠EPC＝∠1+∠CPQ，∵∠APE+∠EPC＝180°（平角定义），∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC＝180°．17．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．18．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．19．解：（1）∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴∠B+∠D＝90°，∵∠D＝40°∴∠B＝90°﹣∠D＝90°﹣40°＝50°；（2）∠ACD＝∠A+∠B＝40°+50°＝90°．20．解：（1）EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF＝∠FCO＝，∠FEM＝∠CEM＝，∵AB∥x轴∴∠ECO+∠CEF＝180°，∴＝，∴∠EMC＝180°﹣（∠CEM+∠ECF）＝180°﹣90°＝90°，∴EM⊥CF；（2）由题得，∠EOC＝90°，∴∠DCO+∠CDO＝180°﹣∠EOC＝180°﹣90°＝90°，∵PE⊥CE，∴∠CEP＝90°，∴∠ECP+∠EPC＝180°﹣∠CEP＝180°﹣90°＝90°，∵∠DCO＝∠ECP，∴∠CDO＝∠EPC，又∵∠CDO＝∠EDP，∴∠EPC＝∠EDP；（3）不变，且∠NEM＝45°．理由如下：∵AB∥x轴，∴∠AEC＝∠ECO＝2∠ECP，∴∠AEP＝∠CEP+∠AEC＝90°+2∠ECP，∵EN平分∠AEP，∴∠NEP＝∠AEN═，∵∠CEP＝90°，∴∠ECP+∠EPC＝90°，又∵∠EMC＝90°，∴∠MEP+∠EPC＝90°，∴∠ECP＝∠MEP，∴∠NEP＝∠NEM+∠MEP＝∠NEM+∠ECP，又∵∠NEP＝45°+∠ECP，∴∠NEM＝45°．。

2020年秋人教版八年级数学上册第11章三角形综合应用(讲义、随堂练习、习题及答案)

人教版八年级数学上册第11章三角形综合应用（讲义）➢ 知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．3. 高线出现时考虑__________或__________．➢ 精讲精练1. 现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A ．5 B ．6 C ．7 D ．10 3. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCDE第4题图第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图FEBA7. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________；（2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______；（4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA8. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FPA PP A CE图1 图2 图39. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O D ECM ANB DA第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．11. 如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，AC =3cm ，BC =4cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】➢ 知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 设元 3. 互余，面积➢精讲精练1. B2. C3.①③⑤4.130°5.180°6.360°7.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)8.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A9.（1）90°（2）∠BOD=∠COE10.（1）245（2）3:211.3:4:612.（1）72（2）证明略三角形综合应用（讲义）➢知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：4.三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．5.角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．6.高线出现时考虑__________或__________．➢精讲精练13.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A．5 B．6 C．7 D．10第2题图15. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 16. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．BC 21AABCDE第4题图第5题图17. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 18. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．FEBA19. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________；（2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______；（4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA20. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FA PP A CE图1 图2 图321. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O D ECM ANB DC B A第9题图第10题图22. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．23. 如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，AC =3cm ，BC =4cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C DEAF B 24. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D BPCEFA【参考答案】➢ 知识点睛4. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5. 设元 6. 互余，面积➢ 精讲精练 13. B 14. C15. ①③⑤ 16. 130° 17. 180° 18. 360°19. （1）∠A +∠D =∠B +∠C ；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)20. （1）∠P =90°+12∠A ；（2）∠P =12∠A ；（3）∠P =90° 12∠A21. （1）90° （2）∠BOD =∠COE22. （1）245（2）3:223. 3:4:624. （1）72（2）证明略三角形综合应用（随堂测试）1. 现有2cm ，3cm ，4cm ，5cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =___________．3. 如图，点E ，D 分别在△ABC 的边BA ，CA 的延长线上，CF ，EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，若∠B =65°，∠D =45°，则∠F 的度数为________．【参考答案】1. C2. 180°3. 55°E DCBAE DCBA三角形综合应用（习题）➢ 例题示范例1：如图，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：∠DCE =∠CAD ．【思路分析】①看到条件BD ，CD 平分∠ABC ，可知AD 也平分∠BAC ，得到：，，；②根据CE ⊥BD ，得，所以；③题目所求为∠DCE =∠CAD ，若能够说明即可； ④根据三角形的内角和定理得：，所以，再根据三角形的外角定理可知，所以，证明成立．【过程书写】证明：如图，∵BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB∴，，在△ABC 中，∴ ∵∠EDC 是△BCD 的一个外角 ∴ ∴ ∵CE ⊥BE ∴ ∴ ∴∠DCE =∠CAD➢ 巩固练习1. 现有2cm ，4cm ，6cm ，8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，DECBA12DAC BAC ∠=∠12DBC ABC ∠=∠12DCB ACB ∠=∠90DEC ∠=︒90DCE EDC ∠+∠=︒90CAD EDC ∠+∠=︒180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒EDC DBC DCB ∠=∠+∠90CAD EDC ∠+∠=︒12DAC BAC ∠=∠12DBC ABC ∠=∠12DCB ACB ∠=∠180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒EDC DBC DCB ∠=∠+∠90CAD EDC ∠+∠=︒90DEC ∠=︒90DCE EDC ∠+∠=︒DECBA那么可以组成三角形的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠B +∠A =∠C B ．∠A :∠B :∠C =2:3:5 C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___________．4. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第4题图第5题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．6. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ，若∠B =40°，∠C =70°，则∠D F E =________．第2题图12F ECBAOC FECBA第7题图第8题图8. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，且满足BE ⊥AC ，F 为AB 上一点，且CF ⊥AD 于点H ．下列结论：①线段AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABC 的中线；③线段AE 是△ABG 的边BG 上的高；④△ABG 与△DBG 的面积相等．其中正确的结论有________（填序号）． 9. 如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，BC =4cm ，则△ABC 的高AD 与CE 的比是__________． 10. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =60°，求∠CAD 及∠AOB 的度数．➢ 思考小结F E CAG H FE DCA 21OFE D CAE D C B A（1）“X 型”：（2）“角平分线模型”1902P A ∠=︒+∠12P A ∠=∠1902P A∠=︒-∠【参考答案】➢ 巩固练习 1. A 2. C 3. 270° 4. 360° 5. 135° 6.15°E7.15°8.①③④9.1:210.∠CAD=30°，∠AOB=120°➢思考小结1.大于，小于，180°，和它不相邻的两个内角的和2.略。

2020年秋人教版八年级数学上册随课练：第11章《三角形》单元学情练习

随课练：第11章《三角形》单元学情练习时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．5cm，7cm，7cmC．5cm，6cm，12cm D．6cm，8cm，10cm2．七边形的内角和是（）A．360°B．540°C．720°D．900°3．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．45°4．如图，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（）A．50°B．98°C．75°D．80°5．下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝90°B．∠B＝∠C＝∠A C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A+∠B＝∠C 6．将一副三角板ABC如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，其中，则∠E＝30°，则∠AFC 的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．75°7．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 8．已知AB＝3，BC＝1，则AC的长度的取值范围是（）A．2≤AC≤4 B．2＜AC＜4 C．1≤AC≤3 D．1＜AC＜39．在一个n（n≥3）边形的n个外角中，钝角最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接BD，BE平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC和∠DCB 的角平分线相交于点F，若∠ADC＝110°，则∠F的度数为（）A．115°B．110°C．105°D．100°二．填空题（每题4分，共20分）11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝°．12．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．13．已知一个三角形的三边长分别是n+2，n+8，3n，则n的取值范围．14．如图，△ABC中，若∠BOC＝126°，O为△ABC两条内角平分线的交点，则∠A＝度．15．三角形ABC中，∠ABC＝105°，过点B作BD⊥AC，垂足为D，E是线段BC上一点，且∠BED＝75°，F是射线BA上一点，过点F作FG⊥AC，垂足为G．若∠BDE＝55°，则∠BFG＝．三．解答题（每题10分，共50分）16．如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．17．如图所示，BE、CD交于A点，∠C和∠E的平分线相交于F．（1）试求：∠F与∠B，∠D有何等量关系？（2）当∠B：∠D：∠F＝2：4：x时，x为多少？18．完成下列推理说明．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°，试说明：∠BFE＝∠ADF．理由：因为∠CDG＝∠B（已知）所以DG∥AB（）所以＝∠BAD（）因为∠1+∠FEA＝180°（已知）所以+∠FEA＝180°（等量代换）所以AD∥EF（）所以∠BFE＝（）19．如图，△ABC中，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CD∥AB，AC、BD交于点O．（1）∠D＝；（2）若CD平分∠ACE，求∠A的度数；（3）若△OCD中有两个相等的角，求∠ACB的度数；（4）若△OCD是直角三角形，直接写出∠ACB可能的度数．20．如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）若∠OCD＝50°（图①），求∠ACE；（2）若∠OCD＝50°（图①），试求∠F；（3）在C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与O点重合）（图②），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．参考答案一．选择题1．解：A、∵2+3＞4，∴能构成三角形；B、∵5+7＞7，∴能构成三角形；C、∵5+6＜12，∴不能构成三角形；D、∵6+8＞10，∴能构成三角形．故选：C．2．解：根据多边形的内角和可得：（7﹣2）×180°＝900°．故选：D．3．解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠EDC+∠BCD＝240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD＝120°，∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．故选：A．4．解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′＝∠C＝40°，∵∠3+∠2+∠5+∠C′＝180°，∠5＝∠4+∠C＝∠4+40°，∠2＝18°，∴∠3+18°+∠4+40°+40°＝180°，∴∠3+∠4＝82°，∴∠1＝180°﹣82°＝98°．故选：B．5．解：A．由∠A﹣∠B＝90°不能确定△ABC是直角三角形，符合题意；B．由∠B＝∠C＝∠A可得，∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；C．由∠A＝90°﹣∠B可得，∠A+∠B＝90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；D．由∠A+∠B＝∠C可得，∠A+∠B＝90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；故选：A．6．解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E＝30°，∵∠B＝45°，∴∠AFC＝∠B+∠BCF＝45°+30°＝75°．故选：D．7．解：∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A，又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A．故选：B．8．解：若A，B，C三点共线，则AC＝2或AC＝4；若A，B，C三点不共线，则根据三角形的三边关系：第三边大于两边之差1，而小于两边之和7．即：2＜AC＜4．故线段AC的长度的取值范围是2≤AC≤4．故选：A．9．解：∵一个多边形的外角和为360°，∴外角为钝角的个数最多为3个．故选：B．10．解：∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，又∵∠ADC＝110°，∴四边形BCDE中，∠BCD+∠CBE＝360°﹣90°﹣110°＝160°，又∵∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，∴∠BCF+∠CBF＝×160°＝80°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣80°＝100°，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°，故答案为：46．12．解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°．13．解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得4≤n＜10；②若n+2＜3n＜n+8，则，解得2＜n＜4，③若3n≤n+2＜n+8，则，方程无解．综上所述，n的取值范围2＜n＜10．故答案为：2＜n＜10．14．解：∵△BOC中，∠BOC＝126°，∴∠1+∠2＝180°﹣126°＝54°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝2×54°＝108°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB＝108°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣108°＝72°．故答案为：72．15．解：①如图1，当点F在线段AB上时，∵∠BED＝75°，∠BDE＝55°，∴∠DBE＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣55°＝50°，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝105°﹣50°＝55°，∵BD⊥AC，FG⊥AC，∴BD∥FG，∴∠BFG+∠ABD＝180°，∴∠BFG＝180°﹣55°＝125°；②如图2，当点F在线段BA的延长线上时，∵FG∥BD，∴∠BFG＝∠ABD＝55°．综合以上可得∠BFG＝125°或55°．故答案为：125°或55°．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，∴BC∥EF（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）．（2）∵∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，又∵∠APE＝∠OPF，∴∠1＝∠F+∠OPF＝30°+45°＝75°，∠2＝∠DCQ+∠D＝90°+60°＝150°．17．解：（1）由图可得：∠D+∠1＝∠3+∠F①∠2+∠F＝∠B+∠4②又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴①﹣②得：∠B+∠D＝2∠F；（2）设∠F＝xk，则∠B＝2k，∠D＝4k，∴∠B：∠D：∠F＝2k：4k：xk＝2：4：x∵∠B+∠D＝2∠F；∴x＝3．18．解：∵∠CDG＝∠B（已知），∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∵∠1+∠FEA＝180°（已知），∴∠BAD+∠FEA＝180°（等量代换），∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BFE＝∠ADF（两直线平行，同位角相等），故答案为：同位角相等，两直线平行，∠1，两直线平行，内错角相等，∠BAD，同旁内角互补，两直线平行，∠ADF，两直线平行，同位角相等．19．解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴∠ABO＝ABC＝40°＝20°，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABO＝20°；故答案为：20°；（2）解：由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∵BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∴∠A+∠ABC＝2（∠D+∠DBC），整理得，∠A＝2∠D，∵∠D＝20°，∴∠A＝2×20°＝40°；（3）∵△OCD中有两个相等的角，∠D＝20°，∴设∠ACB＝x，∠DCE＝40°，∠OCD＝140°﹣x，根据三角形内角和为180°，在三角形OCD中，∠DOC＝20°+x，考虑三种情况（1）∠DOC＝∠D，20+x≠20 不成立；（2）∠DCO＝∠D，140﹣x＝20得x＝120°，∠DOC＝140°，∠D＝20°，∠DCO＝20°∠ACB＝120°；（3）∠DOC＝∠DCO，20+x＝140﹣x，x＝60°，综上所述，∠ACB＝120°或60°；（4）∵△OCD是直角三角形，由（3）知，∠OCD＜90°，∵∠D＝20°，∴∠DOC＝90°，∴∠ACD＝70°，∴∠ACE＝2∠ACD＝140°，∴∠ACB＝40°．20．解：（1）∵∠ACD＝180°﹣∠OCD＝180°﹣50°＝130°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACD＝×130°＝65°（2）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，∴∠CDO＝40°．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝45°．（2）不变化，∠F＝45°．∵∠AOB＝90°，∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝45°﹣∠OCD．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝45°．。

第11章三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上学期

第11章三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练）➢三角形的角平分线、中线和高➢三角形三边关系➢三角形内角和定理➢三角形的外角性质➢多边形内角与外角一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．（2022秋•瑞金市校级月考）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．二．三角形三边关系（共1小题）2．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有个．三．三角形内角和定理（共12小题）3．（2021秋•新罗区校级月考）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．4．（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．5．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD ＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）6．（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为；第n个三角形中以A n为顶点的底角的度数为．7．（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．8．（2021秋•雷州市月考）如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°．（1）求∠B的度数．（2）求∠C的度数．9．（2021春•东台市月考）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．10．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点E，F．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如图1，则∠P＝°；②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．11．（2022秋•东港区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B＝30°，∠DAE＝15°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．12．（2022秋•香洲区校级月考）△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P 是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由13．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠AEC的度数．14．（2020秋•官渡区校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是△ABC的一条角平分线，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．四．三角形的外角性质（共10小题）15．（2022春•云龙区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．16．（2022秋•游仙区校级月考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为°．17．（2021•惠济区校级开学）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．18．（2021秋•回民区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度数．（2）求∠F的度数．19．（2020秋•顺昌县月考）如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．20．（2022秋•威县校级月考）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是．21．（2021秋•信丰县校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．22．（2020秋•兴义市校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．23．（2022秋•冷水滩区校级月考）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．五．多边形内角与外角（共6小题）25．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n ＝．26．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是．27．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．28．（2022秋•礼县月考）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．（1）求这个多加的外角的度数；（2）求这个多边形的边数．29．（2020秋•夏津县校级月考）如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？（2）若∠AOD＝∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？30．（2019秋•广丰区校级月考）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝度；（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D ＝α．①直接写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．。

2020年秋人教版八年级数学上册第11章《与角有关的辅助线》(讲义、随堂练习、习题及答案)

人教版八年级数学上册第11章与角有关的辅助线（讲义）➢ 课前预习1. 如图，∠AOB =130°，OC ⊥OB 于点O ，求∠AOC 的度数．OAB C解：如图， ∵OC ⊥OB （已知）∴____________（垂直的定义） ∵∠AOB =130°（已知） ∴∠AOC =______-______=______-______ =______（等式的性质）➢ 知识点睛1. 为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2. 辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3. 辅助线的作用：①________________________________________________； ②________________________________________________． 4. 添加辅助线的注意事项：____________________________．➢ 精讲精练1. 如图，AB ∥CD ，∠E =27°，∠C =52°，则∠EAB 的度数为______________．EDB A2. 如图，∠BAF =46°，∠ACE =136°，CD ⊥CE ．求证：AB ∥CD ．FEDCBA3. 已知：如图，直线AB ∥CD ，∠EFG =130°，∠DGH =40°．你认为EF ⊥AB 吗？请说明理由．F HGE D CBA4. 已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点．求证：∠EPF =∠AEP +∠CFP ．PF E DCBA5. 如图，l 1∥l 2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．321l 2l 16. 已知：如图，AB ∥EF ，∠B =25°，∠D =30°，∠E =10°，则∠BCD =________．FEDCBA7. 已知：如图，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D ．求证：β=2α．ECDBA8. 已知：如图，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC ．求证：AB ∥GF ．21GEDCB A9. 已知：如图，在四边形ABDC 中．求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ．ADB【参考答案】➢课前预习1.∠COB=90°∠AOB -∠COB 130°-90° 40°➢ 知识点睛1. 虚线2. 已知，未知3. ①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形 4. 明确目的，多次尝试➢ 精讲精练1. 79°2. 证明：如图，延长DC 到点G ．G ABCD EF∵CD ⊥CE （已知）∴∠ECG =90°（垂直的定义） ∵∠ACE =136°（已知） ∴∠ACG =∠ACE -∠ECG=136°-90°=46°（等式的性质）∵∠BAF =46°（已知） ∴∠ACG =∠BAF （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） 3. 解：EF ⊥AB ，理由如下：如图，延长EF 交CD 于点M ．F AB CDE MN GH∵∠DGH =40°（已知）∠DGH =∠FGM （对顶角相等） ∴∠FGM =40°（等量代换）∵∠EFG 是△FGM 的一个外角（外角的定义）∴∠EFG =∠FGM +∠FMG （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG =130°（已知） ∴∠FMG =∠EFG -∠FGM =130°-40°=90°（等式的性质）∵AB ∥CD （已知）∴∠BNE =∠FMG =90°（两直线平行，同位角相等） ∴EF ⊥AB （垂直的定义） 4. 证明：如图，过点P 作MN ∥AB ．N M 4321P FE DCBA∵CD ∥AB （已知）∴AB ∥MN ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） ∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质）即∠EPF =∠AEP +∠CFP 5. 115° 6. 45°7. 证明：如图，过点C 作MN ∥ED ．21E DM CNAB∵AB ∥ED （已知）∴MN ∥AB ∥ED （平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠D =180°， ∠2+∠B =180°，∠A +∠E =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵α=∠A +∠E （已知） ∴α=180°（等量代换） ∵β=∠B +∠C +∠D （已知） ∴β=∠B +∠1+∠2+∠D =180°+180° =360°（等式的性质） ∴β=2α（等式的性质） 8. 证明：NMAB C DE F G 12如图，延长CB 交FG 于点M ，延长FE 交CM 于点N ． ∵CD ∥EF （已知）∴∠2=∠FNM （两直线平行，同位角相等） ∵∠BMG 是△FMN 的一个外角（外角的定义） ∴∠BMG =∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2=∠ABC （已知） ∴∠BMG =∠ABC （等量代换）∴AB ∥GF （同位角相等，两直线平行） 9. 证明：如图，延长BD 交AC 于点E ．1EABC D∵∠1是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC 是△CDE 的一个外角（外角的定义）∴∠BDC =∠1+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC =∠A +∠B +∠C （等量代换）与角有关的辅助线（随堂测试）2. 已知：如图，AB ⊥EF 于点O ，BD 与MN 相交于点C ，∠1=35°，∠B =125°．求证：EF ∥MN ．N MFA B C D E1O【参考答案】1. 解：EF ∥MN理由如下：如图，延长AB 交MN 于点G ．∵∠1=35°（已知）∴∠BCG =35°（对顶角相等）∵∠ABC 是△BCG 的一个外角（外角的定义）∴∠ABC =∠BGC +∠BCG （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC =125°（已知） ∴∠BGC =∠ABC -∠BCG =125°-35°=90°（等式的性质）∵AB ⊥EF （已知）∴∠AOF =90°（垂直的定义） ∴∠AOF =∠BGC （等量代换）∴EF ∥MN （同位角相等，两直线平行）NMFEGO 1DC B A与角有关的辅助线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，∠BED =∠B +∠D ．求证：AB ∥CD ．①读题标注：②梳理思路：要证AB ∥CD ，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB ，CD 没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE 交CD 于点G ．③过程书写：证明：如图，延长BE 交CD 于点G ． ∵∠BED 是△DEG 的一个外角 ∴∠BED =∠DGE +∠D ∵∠BED =∠B +∠D ∴∠DGE =∠B ∴AB ∥CD➢ 巩固练习EDBA CEDBA CGCABDE3.已知：如图，a∥b，则∠1+∠2-∠3=_________．4.已知：如图，∠B+∠E+∠D=360°．求证：AB∥CD．5.已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．6.已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3 ∠2=180°．ba132CA BDE4F123C DEBA7.已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．➢思考小结已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．A BC D123EF GEDC BA321（1）请根据图下方的描述在图上作出辅助线，并进行证明（不需要写过程）；延长BD 交AC 于点E 延长CD 交AB 于点E连接AD 并延长AD 到点E 连接BC过点D 作EF ∥AB 交AC 于点E 过点D 作EF ∥AC 交AB 于点E （2）根据上面的证明方法可以总结出辅助线的作用： ①_____________________________________； ②_____________________________________．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 180°2. 证明：如图，过点E 作EF ∥AB ．DBA DC BADBADC BADBADC BA∴∠B +∠BEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B +∠BED +∠D =360°（已知）∴∠B +∠BEF +∠FED +∠D =180°（等量代换） ∴∠FED +∠D =180°（等式的性质） ∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） ∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行） 3. 证明：如图，延长BE 交CD 于点G ．∵AB ∥CD （已知） ∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠5（等量代换）∴BG ∥CF （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 4. 证明：如图，延长EA 交CD 于点F ．∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∵∠4是△CEF 的一个外角（外角的定义）∴∠4=∠2+∠ECF （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3+∠ECF =180°（平角的定义） ∴∠ECF =180°-∠3（等式的性质）FED BA C 5GAB EDC 321F44FE321D C BA∴∠4=∠2+180°-∠3（等量代换）∴∠4+∠3-∠2=180°（等式的性质）∴∠1+∠3-∠2=180°（等量代换）（方法不只一种）5.证明：如图，延长EG交CF于点H．∵∠3是△GFH的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF=∠1（等式的性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BMD+∠MNC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BMD是△ABM的一个外角（外角的定义）∴∠BMD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠MNC是△CDN的一个外角（外角的定义）∴∠MNC=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BMD+∠MNC=∠A+∠B+∠C+∠D（等式的性质）∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°（等量代换）（方法不只一种）➢思考小结（1）作辅助线，证明略；（2）①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转化为基本图形．。

2020年秋人教版八年级数学上册第11章《三角形的三线及面积》(讲义、随堂练习、习题及答案)

人教版八年级数学上册第11章三角形的三线及面积（讲义）➢ 课前预习1. 三角形有关的性质和定理：定义：由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形，三角形可以用符号“_______”表示．性质：边：三角形两边之和______第三边，两边之差______第三边；角：三角形的内角和等于_______；直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 2. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________；（2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD =__________；（3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCBA➢ 知识点睛1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．CA________即为所求．2.面积问题：（1）处理面积问题的思路①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例①利用平行转移面积21如图，满足S△ABP =S△ABC的点P都在直线l1，l2上．②利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．➢精讲精练1.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①②都正确B．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AC DE OE DAF第1题图第2题图2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．3. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法：①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACH 边CH 上的高；⑤AH 是△ACF 的角平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．ABCDEF G H第3题图第4题图4. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．EDC BA第5题图第6题图6. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 7. 在如图所示4×4的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第7题图第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 9. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．10. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（） A ．1B ．2C ．3D．4F ED CA第10题图第11题图11. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．12. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDCBAC 1B 1A 1CBA第12题图第13题图13. 如图，对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的面积为______．14. 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．15. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．16. 如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．E F DCBA MNO C D BA 2535【参考答案】➢课前预习1.不在同一条直线上，首尾顺次相接，△大于，小于180°互余和它不相邻的两个内角的和2.（1）1:1（2）2:1（3）a:b➢知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，内心．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应高，对应底．➢精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. ③④⑤4. 25. 25 cm 26. 167. 68. 59. 2 10. B 11. 112. 3，15 13. 1914. 144 cm 2 15. 55 cm 2 16. 2三角形的三线及面积（随堂测试）1. 下列四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．2. 如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的位置如图所示，点E 在线段AB 上，已知正方形ABCD 的面积为50cm 2，则△AFC 的面积是___________．3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个（在图中标出点C 的位置）．DCBA C DA BA BD C DC AAB EFG CD4. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF ，若△ABC的面积是8cm 2，则△BEF 的面积是______．【参考答案】1. D2. 25cm²3. 64. 2 cm²三角形的三线及面积（习题）➢ 例题示范例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为__________个．【思路分析】连接AB ，则AB 作为△ABC 的底，要使△ABC 的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：①先在AB 的一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线； ②再在AB 的另一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线．如图所示：F E CBA共6个．➢巩固练习正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高3.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．第4题图第5题图5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．6. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD 的面积为16，则△ACE 的面积为___________．7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，那么阴影部分的面积是_________．8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，AD ，BE ，CF 交于一点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的面积是____________．F E DC BAA DEF G9. 如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至D ，E ，F ，且使BD =AB ，CE =2BC ，AF =3AC ．若S △ABC =1，则S △DEF =____．10. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S △EDC =6，S △BEC =18，则△AEB的面积是____________，△AED 的面积是___________．11. 如图所示，在△ABC 中，点D是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，12. 部分的面积是______________．【参考答案】1. D2. C3. B4.①②③5. 56.87. 1 cm²8.309.1810.6 211.112.6 cm²。

2020-2021学年人教版八年级数学上册 11

人教版2022-2022学年八年级数学上册11.1 与角有关的线段暑假基础训练（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，102. 至少有两边相等的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形3. 若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为()A. 5B. 6C. 7D. 84. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为()A. 8B. 10C. 8或10D. 125. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为()A．7 B．8 C．9 D．106. 如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长大3 cm，则AB与AC的差为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm7. 有长度分别为4 cm，5 cm，9 cm，13 cm的四根木条，以其中三根为边，制作一个三角形框架，那么这个三角形框架的周长可能是()A．18 cm B．26 cm C．27 cm D．28 cm8. 将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形二、填空题（本大题共5道小题）9. 如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是________；在△ACD中，∠C所对的边是________．10. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝________．11. 如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E.若∠BAC＝100°，则∠ADE＝________°.12. 设三角形三边之长分别为3，7，1＋a，则a的取值范围为__________．13. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F.若AC＝4，AD＝3，BE ＝2，则BC＝________．三、解答题（本大题共3道小题）14. 等面积法如图，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N.求证：AM＝AN.15. 数学活动课上，老师让同学们用长度分别是20 cm，90 cm，100 cm的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把100 cm的木棒折去了35 cm，他发现：用折断后剩下的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．(1)你知道为什么吗？(2)100 cm长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？16. 用一条长41 cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边长为x cm，第二条边长比第一条边长的3倍少4 cm.(1)请用含x的式子表示第三条边长；(2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长.人教版2022-2022学年八年级数学上册11.1 与角有关的线段暑假基础训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】C 【解析】若三条线段的长满足三角形的三边，则这三条线段长满足最小的两边之和大于地三边，由题意，A，B，D都能构成三角形，C中5＋6＝11<12，不能构成三角形．2. 【答案】B3. 【答案】A 【解析】∵|a－4|≥0，b－2≥0，∴a＝4，b＝2，∵三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故c的取值范围为：2<c<6，故本题选A.4. 【答案】B【解析】解一元二次方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.当三角形三边为2，2，4时，∵2＋2＝4，∵不符合三边关系，应舍去；当三角形三边为2，4，4时，∵2＋4>4，符合三边关系，∵三角形的周长为10，故选B.5. 【答案】C[解析] 设第三边的长为x，由三角形三边关系可得，4－1＜x＜4＋1，即3＜x＜5.由于第三边长为整数，因此x＝4，所以该三角形的周长为9.6. 【答案】B[解析] ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴△ABD与△ACD的周长之差＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.∵△ABD的周长比△ACD的周长大3 cm，∴AB与AC的差为3 cm.7. 【答案】C8. 【答案】C[解析] 如图①，沿虚线剪开即可得到两个直角三角形．如图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图③，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．二、填空题（本大题共5道小题）9. 【答案】ABAD10. 【答案】5[解析] ∵AE是△ABC的中线，EC＝8，∴BE＝EC＝8.∵DE＝3，∴BD＝BE－DE＝8－3＝5.11. 【答案】50[解析] ∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝100°，∴∠BAD＝∠CAD＝12×100°＝50°.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝50°.12. 【答案】3＜a＜9[解析] 由题意，得7－3＜1＋a＜7＋3，解得3＜a＜9.13. 【答案】83[解析] ∵S△ABC＝12AC·BE＝12BC·AD，∴BC＝AC·BEAD＝4×23＝83.三、解答题（本大题共3道小题）14. 【答案】83证明：∵BE，CF均是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ACF＝12S△ABC.∵BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N，∴12AM·CF＝12AN·BE.∴AM＝AN.15. 【答案】解：(1)把100 cm的木棒折去了35 cm后还剩余65 cm.∵20＋65＜90，∴20 cm，65 cm，90 cm长的三根木棒不能构成三角形．(2)设折去x cm后剩余的部分不能与另两根木棒搭成三角形．根据题意，得20＋(100－x)≤90，解得x≤30，∴100 cm长的木棒至少折去30 cm后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形．16. 【答案】解：(1)∵三角形的第一条边长为x cm，第二条边长比第一条边长的3倍少4 cm，∴第二条边长为(3x－4)cm.∴第三条边长为41－x－(3x－4)＝(45－4x)cm.(2)若x＝3x－4，则x＝2，另两边长分别为2和37，根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形；若x＝45－4x，则x＝9，另两边长分别为9和23，根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形；若3x－4＝45－4x，则x＝7，另两边长分别为17，17，根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形．∴这个等腰三角形的三边长分别为17 cm，17 cm，7 cm.。

(人教版)长沙八年级数学上册第十一章《三角形》基础练习(答案解析)

一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（）A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形具有稳定性C ．三角形的内角和是180D ．直角三角形两个锐角互余 2．已知实数x 、y 满足|x －4|+ 8y -＝0，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．18 3．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．不确定 4．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（）．A ．B D ∠=∠B ．1A D ∠=∠+∠C ．2D ∠>∠D ．C D ∠=∠ 5．下列长度的三条线段能构成三角形的是（） A ．1,2,3B ．5,12,13C ．4,5,10D ．3,3,6 6．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD∠的度数为（）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒7．内角和为720°的多边形是（）．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形8．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（）A ．2B ．9C ．13D ．15 9．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．1，2，3 B ．1，3，5 C ．2，3，4 D ．2，6，10 10．如图，线段BE 是ABC 的高的是( )A ．B ．C ．D ．11．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°12．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°13．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 14．如图，在五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠A ＝135°，∠C ＝60°，∠D ＝150°，则∠E 的大小为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75° 15．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题16．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．17．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．18．如图：70B ∠=︒，60A ∠=︒，将ABC 沿一条直线MN 折叠，使点C 落到1C 位置，则12∠-∠=______．19．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m 块正三角形，n 块正六边形，则m+n ＝______．20．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．21．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．22．如图，把ABC 折叠，点B 落在P 点位置，若12120∠+∠=︒，则B ∠=______．23．如图，已知∠A ＝47°，∠B ＝38°，∠C ＝25°，则∠BDC 的度数是______．24．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．25．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则∠BOC=__________．26．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．三、解答题27．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 为AD 上一点，过点E 作EF AD ⊥交BC 的延长线于点F ．（1）若40B ∠=︒，70ACB ∠=︒，求F ∠的度数；（2）请直接写出F ∠与B ，ACB ∠之间的数量关系：______．28．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．29．平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小．（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC ．30．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线．（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；（2）设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．。

2020-2021学年人教版八年级数学上册第十一章三角形基础训练

2020-2021学年人教版八年级数学上册第十一章三角形基础训练一．选择题1．下列长度的各组线段中可组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．6，2，2 D．3，5，32．当多边形每增加一条边时，它的（）A．外角和与内角和都增加180°B．外角和与内角和都不变C．外角和增大180°，内角和不变D．外角和不变，内角和增大1803．下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（）A．240°B．600°C．540°D．2180°4．周长为20，边长为整数的三角形有（）个．A．6 B．7 C．8 D．95．将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若B'D ∥CB，∠ACB'＝3∠ADB'，则下列结论正确的是（）A．∠ADB'＝∠ACD B．∠ACB'+∠ADB'＞90°C．∠B＝22.5°D．∠B'DC＝67.5°6．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD＝30°，则∠DCB为（）A．25°B．20°C．15°D．10°7．如图将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一条边上，∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3为（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°9．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝66°，则∠ACB的度数（）A．33°B．28°C．52°D．48°10．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°二．填空题11．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A＝50°，则∠D ＝度．12．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和的度数等于．13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，则第三边BC的值可以是．14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A ＝44°，∠1＝57°，则∠2＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 交于H，则∠CHD＝．三．解答题16．如图1，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD．且∠EAC+∠ACE＝90°（1）判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由；（2）如图2，P为线段AC上一定点，Q为直线l2上一动点，当点Q在直线l2上运动时（不与点C合），猜想∠CPQ、∠CQP与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．17．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．18．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．19．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A＝∠D＝40°．（1）求∠B的度数；（2）求∠ACD的度数．20．【阅读材料】：（1）在△ABC中，若∠C＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠A+∠B＝180°﹣∠C ＝180°﹣90°＝90°．（2）在△ABC中，若∠A+∠B＝90°，由“三角形内角和为180°”得∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°．【解决问题】：如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知AB∥x轴，交y 轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM 平分∠CEB，交CF于点M．（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P，求证：∠EPC＝∠EDP；（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、2+1＝3，不能构成三角形，故不符合题意；B、2+5＝7＜8，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+2＝4＜6，不能构成三角形，故不符合题意；D、3+3＞5，可以构成三角形，故符合题意；故选：D．2．解：根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，可以得到增加一条边时，边数变为n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，因而内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°，任何多边形的外角和都是360度，所以当多边形每增加一条边时，它的外角和不变，内角和增大180°；故选：D．3．解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，∴多边形内角和一定是180的倍数，∵540°＝3×180°，故选：C．4．解：8个，分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5）．故选：C．5．解：设∠B＝x．∵DB′∥BC，∴∠ADB′＝∠B＝x，∴∠ACB′＝3∠ADB′＝3x，由翻折可知：∠B＝∠B′＝x，又∵∠ADB′＝∠B∴AB∥B′C，∴∠A＝∠ACB′＝3x，∵∠ACB＝90°，∴x+3x＝90°，∴x＝22.5°，∴∠B＝22.5°，故选：C．6．解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，故选：B．7．解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴∠3＝60°﹣30°＝30°，故选：C．8．解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．9．解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝66°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC＝2（∠ABO+∠BAO）＝2×66°＝132°，∴∠ACB＝180°﹣132°＝48°，故选：D．10．解：∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠PDF，∠CBP＝∠PBA，∵∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，∠C+∠CBP＝∠P+∠PDF，∴∠A+∠C＝2∠P，∵∠A＝40°，∠P＝38°，∴∠C＝2×38°﹣40°＝36°，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝50°，∴∠D＝25°．故答案为：25．12．解：多边形的边数：360°÷30°＝12，正多边形的内角和：（12﹣2）•180°＝1800°，故答案为：1800°．13．解：根据三角形的三边关系，得9﹣6＜BC＜9+6，即3＜BC＜15．故答案为：3＜BC＜15．14．解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠1＝57°，由三角形的外角性质得，∠2＝∠A+∠B＝44°+57°＝101°．故答案为：101°．15．解：延长CH交AB于点H，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF ＝45°在△CDH 中，三内角之和为180°，∴∠CHD ＝45°，故答案为∠CHD ＝45°．三．解答题（共5小题）16．解：（1）l 1∥l 2，理由如下：如图1中，∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD （已知），∴∠BAC ＝2∠1，∠ACD ＝2∠2（角平分线的定义），又∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠BAC +∠ACD ＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°（等量代换）， ∴l 1∥l 2（同旁内角互补，两直线平行）．（2）①如图2中，当Q 在C 点左侧时，过点P 作PE ∥l 1，∵l 1∥l 2（已证），∴PE ∥l 2（同平行于一条直线的两直线互相平行），∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等），∠BAC＝∠EPC，（两直线平行，同位角相等），又∵∠EPC＝∠1+∠CPQ，∴∠BAC＝∠CQP+∠CPQ（等量代换）．②如图3中，当Q在C点右侧时，过点P作PE∥l1，∵l1∥l2（已证），∴PE∥l2（同平行于一条直线的两直线互相平行），∴∠1＝∠2，∠BAC＝∠APE，（两直线平行，内错角相等），又∵∠EPC＝∠1+∠CPQ，∵∠APE+∠EPC＝180°（平角定义），∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC＝180°．17．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．18．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．19．解：（1）∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴∠B+∠D＝90°，∵∠D＝40°∴∠B＝90°﹣∠D＝90°﹣40°＝50°；（2）∠ACD＝∠A+∠B＝40°+50°＝90°．20．解：（1）EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF＝∠FCO＝，∠FEM＝∠CEM＝，∵AB∥x轴∴∠ECO+∠CEF＝180°，∴＝，∴∠EMC＝180°﹣（∠CEM+∠ECF）＝180°﹣90°＝90°，∴EM⊥CF；（2）由题得，∠EOC＝90°，∴∠DCO+∠CDO＝180°﹣∠EOC＝180°﹣90°＝90°，∵PE⊥CE，∴∠CEP＝90°，∴∠ECP+∠EPC＝180°﹣∠CEP＝180°﹣90°＝90°，∵∠DCO＝∠ECP，∴∠CDO＝∠EPC，又∵∠CDO＝∠EDP，∴∠EPC＝∠EDP；（3）不变，且∠NEM＝45°．理由如下：∵AB∥x轴，∴∠AEC＝∠ECO＝2∠ECP，∴∠AEP＝∠CEP+∠AEC＝90°+2∠ECP，∵EN平分∠AEP，∴∠NEP＝∠AEN═，∵∠CEP＝90°，∴∠ECP+∠EPC＝90°，又∵∠EMC＝90°，∴∠MEP+∠EPC＝90°，∴∠ECP＝∠MEP，∴∠NEP＝∠NEM+∠MEP＝∠NEM+∠ECP，又∵∠NEP＝45°+∠ECP，∴∠NEM＝45°．。

2020 八年级上册第11章《三角形》同步练习及答案(11.1)

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第11章《三角形》同步练习（§11.1 与三角形有关的线段A）班级学号姓名得分1、填空题：(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．(2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示．(3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．(4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜______．(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是____________，其中x可以取的整数值为____________．2．已知：如图，试回答下列问题：(1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.(2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.(3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________．(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题：(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )．(A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm(C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm(2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )．(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜164.(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．(3)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．(4)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．5．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点．(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，确定AB 与)(21DB CD 的大小关系.(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．7．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．第11章《三角形》同步练习（§11.1 与三角形有关的线段B ）班级学号姓名得分1．填空题：(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线．如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______21EC(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________．如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝21______或∠BAC ＝2______＝2______．2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．(∠A为锐角) (∠A为直角) (∠A为钝角)(2)这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?4．(1)分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?6．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．7．(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________.(2)四边形是否具有这种性质?8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．(2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．9．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．参考答案（§11.1 与三角形有关的线段A ）1．(1)不在同一直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三角形的角．(2)△ABC ，三角形ABC ，BC ，a ；AC ，b ；AB ，c (3)三角形两边之和大于第三边，小于第三边． (4)＞，＜，a －b ，a ＋b(5)1cm ＜x ＜9cm ，2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 、7cm 、8cm ． 2．(1)六，△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ACD 、△ACE 、△ADE ． (2)△ABD 、△ACD 、△ADE ． (3)△ACE ，∠CAE ． (4)BC ：CD ：DE ．3．(1)C ，(2)D ，(3)A ，(4)D4．(1)6，6，6；(2)20cm ，22cm ；(3)12cm ，12cm ；(4)5cm ，5cm ，2cm ． 5．(1)3＜x ＜17；(2)2＜x ＜6；(3)10≤x ＜17；(4)4＜e ＜8； (5)3，3，4或4，4，2 6．(1))(21DB CD AB +>． (2)提示：对于△ADC ，∵AD ＋AC ＞DC ， ∴(AD ＋DB )＋AC ＞CD ＋DB ，即AB ＋AC ＞CD ＋DB ．又∵AB ＝AC ，∴2AB ＞CD ＋DB ．从而AB ＞21(CD ＋DB )． 7．提示：延长BP 交AC 于D ．∵在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ＝BP ＋PD ，① 在△DPC 中，DP ＋DC ＞PC ，② 由①、②，∴AB ＋(AD ＋DC )＋DP ＞BP ＋PC ＋DP ．即AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．证明：延长BP 交AC 于D ，延长CE 交BD 于F ．在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ． ① 在△FDC 中，FD ＋DC ＞FC ． ② 在△PEF 中，PF ＋FE ＞PE ． ③①＋②＋③得AB ＋AD ＋FD ＋DC ＋PF ＋FE ＞BD ＋FC ＋PE ，即：AB ＋AC ＋PF ＋FD ＋FE ＞BP ＋PF ＋FD ＋FE ＋EC ＋PE ，所以AB ＋AC ＞BP ＋PE ＋EC ．（§11.1 与三角形有关的线段B ）1．(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD 的长． (2)所对的边的中点、线段，＝，AC(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．＝，∠BAC ，∠BAD ，∠DAC 2．略．3．(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．4．(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM ＝2ME ．5．(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N 到△ABC 三边的距离相等． 6．提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解．⎩⎨⎧===,11,8BC AC AB 或⎩⎨⎧===.7,10BC AC AB 7．(1)三角形的稳定性，(2)不具有稳定性． 8．(1)(2)下列各图是答案的一部分：9．它的长为5，或4．提示：设S △ABC ＝S ，第三条高为h ，则△ABC 的三边长可表示为：hSS S 212242、、，列不等式得：12242212242SS h S S S +<<- ∴3＜h ＜6．教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。