热传导方程的初值问题

§2热传导方程的初值问题
一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)
⎪⎩
⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t
u ),()0,(0
,),,(2
2
2ϕ （）
偏导数的多种记号xx x t u x
u
u x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为
⎩⎨
⎧+∞
<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0
,,),(2ϕ.
Fourier 变换
我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上
可积，若积分
⎰
+∞
∞
-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1
+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{
}
∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰
+∞
∞
-dx x f f L L )(|
),(),(1
，称为可积函数空间.
连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,
{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分
),(ˆ)(21
λπ
λf dx e x f x i =⎰
+∞
∞
--
有意义,称为Fourier 变换, )(ˆ
λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰
+∞
∞
--=
=dx e x f f Ff x i λπ
λλ)(21)(ˆ)(
定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1
+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有
),()(ˆ21lim
x f d e f N
N
x i N =⎰
+-∞
→λλπ
λ
公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.
通常将由积分
)()(21
x g d e g x i ∨+∞
∞
-=⎰
λλπ
λ所定义的变换称为Fourier 逆变换.
因此亦可写成
()
f f =∨
ˆ
即一个属于),(),(1
+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.
在应用科学中经常把)(ˆ
λf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应
用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.
定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)
定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰
+∞
∞
--=dx e x f f
x i λπ
λ)(21
)(ˆ，则)(ˆ
λf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞
→λλf
在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.
Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),
,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则
(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧
2.（微商性质）
若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆ
f i dx df λ=⎪⎭
⎫
⎝⎛∧
证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞
→x f x ,
事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x
⎰'+=0
)()0()(,
因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有
⎰
±∞
±±∞
→'+==0
)()0()(lim dt t f f a x f x
又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .
由0)(lim =∞
→x f x ,利用分部积分公式
⎰
∞
+∞
--∧
'=
⎪⎭
⎫
⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎰
+∞
∞
--∞
+∞
--dx e i x f e x f x i x
i ))(()(21λλλπ
).(ˆ)(2λλπ
λλf i dx e x f i x i ==⎰
+∞
∞
--
附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常
系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）
若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ
)(λλ
f d d i
x xf =∧
. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆ
λf 是λ的连续可微函数,且有 []∧
+∞
∞
---=-=⎰
)()())((21
)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπ
λλ
附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()
(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f
x f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∧
m f i dx f
d m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m
Λ则
[
]
)1(,)(ˆ
)(≥=∧
m f d d i x f x m
m m
m
λλ
4．（平移性质）
若),,()(+∞-∞∈L x f 则
[])1()(ˆ)(≥=--∧
m f e a x f a i λλ
证明
[])
(ˆ)(21)(21
)()(λπ
π
λλλf e dy e y f y
a x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞
+∞
-+-+∞
∞
--∧==--=
-⎰
⎰
5.（伸缩性质）
若),,()(+∞-∞∈L x f 则
[])0(,)(ˆ1)(≠=
∧
k k
f k kx f λ
证明 无妨设,0<k 由定义
[]
)(ˆ11)(1211)(21)(21)(k
f k dy k
e y
f k dy k e
y f y kx dx
e kx
f kx f k
y
i k
y
i x i λππ
π
λ
λ
λ=⎪⎭⎫
⎝⎛-=
==
⎰⎰
⎰
∞
+∞--∞
-∞+-+∞
∞
--∧
6.（对称性质）
若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ
)(λλ-=∨
f f 证明⎰
+∞
∞
-∨
=dx e x f f x i λπ
λ)(21
)(⎰
+∞
∞
---=
dx
e x
f x i )()(21λπ
.)(ˆλ-=f
7.（卷积定理）
若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰
+∞
∞
--=
*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,
则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλg
f g f =*∧
证明 由积分交换次序定理
⎰⎰
⎰
+∞∞
-+∞
∞
-+∞
∞
--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞
∞-+∞
∞-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰
⎰+∞
∞
-+∞
∞-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理
()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππ
λλλλλλg
f dy e y f dt e t
g dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f y
i t i t x i t
i x
i =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞
---∞+∞-∞+∞
----+∞∞-+∞∞
--∧
下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.
例1 设 ⎪⎩⎪⎨
⎧>≤=A
x A x x f ,0,
1)(1,(其中常数0>A ).
求)(ˆ
1λf .
解 由定义
⎰
⎰
----=
=
A
A
x i A
A
x i dx e dx e x f f λλπ
π
λ21)(21
)(ˆ11
A
A
x i e i --⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨
⎧<≥=-0
,
00
,
)(2x x e x f x , 求)(ˆ
2λf . ⎰
+∞
--=
221)(ˆdx e
e f x
i x λπ
λ⎰
+∞
+-=
)1(21dx e x i λπ
∞
++-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
=
0)1(1121x i e i λλπλ
πi +=11
21
.
例3 设,)(3x
e
x f -=求)(ˆ3λf
⎰
+∞
∞
---=
dx e e
f x i x
λπ
λ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+=
⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e x
i x i λλπ ⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=
λλπi i 1111212
12
21λ
π+=
. 例4 设,)(2
4x e x f -=求)(ˆ4λf
⎰
+∞
∞
---=
dx e
e
f x
i x λπ
λ2
21)(ˆ4⎰
∞
+∞
---'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
dx e i e
x i x λλπ
1212
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ
222121
[]∧
-=
2
2x xe i
λ
)(ˆ
24λλ
λf d d -
= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ
2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得
4
42
2
1)(ˆλλ-
=e
f .
例5 设,)(2
5Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .
由性质5
()()
A
e
A A f A x A f x f f 444552
21)(ˆ1)()()(ˆλλλ-
∧∧====.
例6 ),(
)(462
2
B
x f e
e
x f B x B
x ===⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--(0>B )
()4
4662
2
)/1(
ˆ/11()(ˆλλ
λB e
B B
f B
x f f -
∨=
=
=.
()()⎰+∞
∞
-∨*=
*λλπ
λd e g f x g f x
i )(21)( ⎰⎰+∞
∞-+∞
∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
λλπ
λd e dy y g y f x i )()(21
dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞
∞-+∞
∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
λλπ
λ)()(21
dy d e y f e y g x
y i iyx ⎰⎰+∞
∞-+∞
∞--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
λλπ
λ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,
()()g f g
f
g f ⋅==
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛*∨
∨
∨
∧∧ˆˆ22121ππ
π,
于是()∧∧∧
*=
⋅g f g f π
21,
因为()g
f g f ˆˆ2⋅=
*∧π, 所以()
()[]
g f g f g f *=
*=
⋅∨
∧∨
π
π
2121ˆˆ
.
最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识
定义 设),(),,,()(21n
n R L x x x f x f ∈=Λ那么积分
())(ˆ)(21
λπλf dx e x f n
R
x i n
=⎰
⋅-,
有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆ
λf 称为)(x f 的Fourier 变式.
定理（反演公式）若)()()(1n
n R L R C x f ⋂∈,则有
(
))()(ˆ21lim
x f d e f
N
x i n
N =⎰
≤⋅∞
→λλλλπ
. ()⎰
⋅∨=
n
R
x i n
d e g x g λλπλ)(21
)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.
定理表明()()f f f f ＝∧
∨∨
=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier
变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有
)(ˆ)(ˆ1
i
i n
i f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数2
2
1
)(i Ax n
i x
A e e
x f -=-∏==的Fourier 变式.
事实上(
)
A
Ax i i e
A
e
42
2
21λ-
∧
-=
,
()
(
)
A
n
A
n
i Ax n
i Ax n
i e
A
e A
e e
f i i
i 441
112
2
2
22121
)(ˆλ
λλ-
-
=∧
-=∧
-==
∏
=∏=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∏=.
Poisson 公式
在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题
⎪⎩
⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t
u ),()0,(0
,),,(2
2
2ϕ （）
在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,
⎰
+∞
∞
--=dx e t x u t u
x i λπ
λ),(21),(ˆ ,
利用性质1和性质2,得到
⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ02
2λϕ
λλt u t f u
a dt u d 其中 ⎰
+∞
∞
--=dx e
t x u t u
x
i λπ
λ),(21),(ˆ,⎰
+∞
∞
--=dx e x x i λϕπ
λϕ
)(21
)(ˆ
[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.
解之得
⎰---+=t t a t a d e f e t u 0
)(2
222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,
现在对上式两边求反演,由反演公式,得
(
)
(
)
⎰
∨
--∨
-+=t
t a t
a d e f e t x u 0
)(2222),(ˆˆ),(ττλϕ
τλλ （）
由()
,21
42
2
A
Ax e A
e
i
λ-
∧
-=
取t a A 241
=则t
a x t a e t
a e 2222241211λ-∧
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛, 即t a x t a e
e t a 222241
21λ-∧
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛, 令2
2
4121),(x t
a e
t
a t x g -
=
,[]t a e t x g 2
2),(λ-∧
=,
从而有(
)
()g g e t
a *21
ˆˆˆ22ϕπ
ϕ
ϕλ==∨
∨
- ⎰
+∞
∞
--=
ξξξϕπ
d x g )()(21
⎰
∞
+∞
---=
ξξϕπξd t a
t
a x 224)()(21 （）
同理我们有
(
)(
)
g f t g f e
f t a *21
),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22π
τλτλτλτλ=
-=∨
∨
-- ⎰∞+∞
----
-=ξτξτπτξd e f t a t a x )
(4)(22),()(21
（）
于是得
⎰⎰⎰
∞
+∞
----
∞
+∞
---
-+=
ξτπτξτξξϕπτξξd e
t a f d d t a
t x u t a x t t
a x )
(4)(0
4)(2222)
(21
)
,()
(21),(
在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰
∞
+∞
---
=
ξξϕπξd e
t a
t x u t
a x 224)()(21),(
在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，
),(t x u 是问题⎪⎩
⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x x
u a t u ),()0,(0
,,022
2ϕ的解,
即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00
x t x u x x t ϕ=→→+
. ⎰
∞
+∞
---
=
ξξϕπξd e
t a
t x u t
a x 224)()(21),(
⎰
+∞
∞
--+-=ηηϕπ
ξηηd e t a x t
a x 2
)2(1
2/)(
特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.
例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x
u
x u a
t u t sin ,022
2
解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2
-=是解. 2、⎰
+∞
∞
--+=
ηηϕπ
ηd e t a x t x u 2
)2(1
),(
⎰
+∞
∞
--+=
ηηπ
ηd e t a x 2
)2sin(1
()
⎰
+∞
∞
---+=
ηηηπηηd e t a x e t a
x 2
22sin cos 2cos sin 1
⎰+∞∞
--=
ηηπ
ηd e
t a x 2
2cos sin 1
⎰
+∞
∞
---=ηπ
ηη
d e e x t a
i 2
2212
sin
4
422
12
sin t a e x -=4
422
12
sin t a e x -=x e t a sin 2
-=, ()
4
2
2
2
1λη
-
∧
-=
e e .
例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x u
x u a
t u t cos ,022
2的解x e t x u t a cos ),(2-=.
例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1
,
2
02
x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2
221),(++= 2. []
⎰+∞∞
--++=
ηηπ
ηd e t a x t x u 2
1)2(1
),(2
[]
⎰+∞∞
--+++=
ηηηπ
ηd e t a t ax x 2
1441
222
t a x 2221++=
从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.
⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,
2
2
x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，
),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，
令 ⎰∞
+∞
---
=
ξξϕπξd e
t
a
t x u t
a x 224)()(21),(⎰⎰∞
+∞
----
-+
ξτ
τξτπ
τξd e t f d a t a x t )
(4)(0
221
)
,(21
，
其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+
→→；(,)u x t 问题
⎪⎩
⎪⎨
⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0
,),,(22
2ϕ
的解。

证明 由于ηηϕπ
η⎰
+∞
∞
--+=
d e t a x t x u 2
)2(1
),(ητηττπ
η⎰
⎰+∞
∞
---++
d e t a x f d t 2
),2(1
，
利用控制收敛定理，得),(lim 0,0t x u t x x +
→→)(0)(1
002
x d e x ϕηϕπ
η=+=
⎰
+∞
∞
--；
22()4(,)())x a t
u x t d t t ξϕξξ
--
+∞
-∞∂∂=∂∂
⎰22()4()
(,))x t a t d f d t ξττξτξ--+∞
--∞
∂∂⎰
(,)f x t +；
22()2
2
422(,)())x a t
u x t d x x ξφξξ
--
+∞
-∞
∂∂=∂∂
⎰22()2
4()
20
(,)
)x t
a t d f d x ξττξτξ--
+∞
--∞
∂∂⎰
，
显然成立2
22
(,)u u a f x t t x ∂∂-=∂∂，结论得证。

定理 假设函数),(t x f ，)(x ϕ关于x 都是解析的，则问题
⎪⎩
⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t
u ),()0,(0
,),,(2
2
2ϕ
的解可以写成
∑⎰∑∞=∞
=-+=0
0)2(20)
2(2),(!)]([)(!)(),(n t n x n n n n d x f n t a x n t a t x u τττϕ
其中)()
2(x n ϕ
和),()2(τx f n x 分别是)(x ϕ和),(τx f 关于x 的n 2阶导数。

证明：⎰
+∞
∞
--+=
ηηϕπ
ηd e
t a x t x u 2
)2(1
),(
⎰⎰
+∞
∞
---++t d d e t a x f 02
),2(1
τητητπ
η
⎰∑
∞+∞
--∞
==
ηηϕπ
ηd e t a k x k k k 2
)()2(!
)
(1
⎰⎰∑
∞+∞
--∞
=-+
t k k k x d d e t k x f 00
)(2
)(!
),(1
τηηττπ
η ∑⎰∑∞=∞
=-+=0
0)2(20)
2(2),(!)]([)(!)(n t n x n n n n d x f n t a x n t a τττϕ。

例 求解定解问题2
22
,(,0),
(,0)cos ,().u u a Ax x t t x
u x x x θ⎧∂∂-=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩
其中,A θ是常数。

解
方法一：2
(,)cos (2)u x t x e
d ηθη+∞
--∞
=
+⎰
⎰⎰
+∞
∞
---++
t
d d
e t a x A 02
)2(1
τηητπ
η
2
cos cos2x a e d Axt ηθθη+∞
--∞
=
⋅+
22cos a t
e
x Axt θθ-=+；
方法二：2(2)0
()(,)(cos )!n
n n a t u x t x Axt n θ∞
==+∑ 220
()(1)cos !n
n n a t x Axt n θθ∞
==-+∑
22
cos a t e x Axt θθ-=+。

解的性质与物理解释（对齐次方程⎪⎩
⎪⎨⎧==∂∂-∂∂),()0,(,022
2x x u x u a t u ϕ
1.（奇偶性与周期性）
若ϕ是奇（偶,周期为l 的）函数,则解⎰
∞
+∞
---
=ξξϕπξd e
t a
t x u t
a x 224)()(21),(亦是x 的奇（偶,
周期为l 的）函数. 2.（无限传播速度）
如果杆的初始温度)(x ϕ只在小段),(00δδ+-x x 上不为零,不妨假设0)(>x ϕ,即
),(,0)(00δδϕ+-∈>x x x x ,其它处0)(=x ϕ.那么当0>t ,杆上各点的温度0)(21)(21),(0022224)(4)(>=
=
⎰
⎰
+---
∞
+∞
---
δ
δ
ξξξξϕπξξϕπx x t
a x t
a x d e
t a
d e
t a
t x u
也就是说在顷刻之间,热量就传递到杆上的任意一点,当然在0x 附近的点所受到的影响较大（t
a x e
224)(ξ--来定）,而离0x 较远的点受到的影响较小.这与我们知道的物理现象一致.
初值问题解的渐近性态
讨论当+∞→t 时,热传导方程初值问题解的渐近性态.由前面的讨论可知,当)(x ϕ为有
界连续函数时,热传导方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===)(,
2
x u u a u t xx t ϕ的解的唯一性,由下列Possion 积分给出
⎰
∞
+∞
---
=
ξξϕπξd e
t a
t x u t
a x 224)()(21),(.
为了讨论解的渐近性态,还需要对)(x ϕ加进一步的条件. 如果
⎰
+∞
∞
-dx x )(ϕ收敛,则称),(1R L ∈ϕ并记⎰+∞
∞
-=dx x R L )()
(1ϕϕ
.
定理设ϕ是有界连续函数,且),(1
R L ∈ϕ则初值问题的唯一经典解（古典解）具有如下的渐近
性态：对一切0,>∈t R x 当+∞→t 时,一致地成立
0),(2
1→≤-
Ct
t x u ,（+∞→t ）.
其中C 为一个仅与a 与
)
(1R L ϕ
有关的正常数.
证明 由⎰
∞
+∞
---=
ξξϕπξd e
t a
t x u t
a x 224)()(21),(,
⎰
∞
+∞
---≤
ξξϕπξd e t a
t x u t
a x 224)()(21),(
⎰
+∞
∞
-≤
ξξϕπd t a
)(21
2
12
1)
(121--==Ct
t a R L ϕπ
证毕.
物理现象符合,高温→变低温,以至冷却到0. 热的不可逆性：
⎪⎩
⎪⎨⎧=<+∞<<∞-=∂∂-∂∂),()0,(0
,,022
2x x u t x x u a
t
u ϕ
对一般的)(x ϕ,解不存在,说明热的逆现象是不确定的.。