量子力学_3.1力学量用算符表达
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学算符和力学量的关系
r[e
r a0
i
pr
e
r a0
i
pr
]dr
0
2i p(2a 0)3 / 2
2i p(2a 0)3 / 2
1i
1i
[
re
( a0
p)r
dr
re ( a0 p)r dr]
0
0
[1
1
]
(1 a0
i
p) 2
(1 a0
i
p) 2
2i p(2a 0)3/ 2
( 1 i p)2 ( 1 i p)2
1
e 2
r a0
i
e prx r 2drdxd
0 1 0
（积分次序是先对 ，再 x ，再对 r ）
2 (2a 0)3/ 2
r
r e
1
2
a0
0 1
i
e
prx
drdx
2 (2a 0)3/ 2
r
r 2ea0 dr
0
1 ipr
/
[e
i
pr
e
i
pr
]dr
2i p(2a 0)3 / 2
其中：Cn n dx ； C dx ；
Cn
2
C
2
d
1
；
n
Cn 为2 在 (态x)中测 得 F 旳几n率；
C 2 为d在 态(中x)测 得 F 在 范围 内d旳 几率；
平均值公式： F
n
Cn
2
； C
2
d
n
阐明：当 Cn 0 时为连续谱情况；C 0 时为分立 谱旳情况；Cn 0 ，C 0 时为一般情况。
量子力学中表示力学量的算符 Fˆ 都是线性厄米算符，它们
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件
ppt课件
﹟
4
2、算符的运算性质 （1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
ppt课件
5
交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
ppt课件
7
因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
ppt课件
2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；
量子力学中的力学量
注意 ①以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言； 对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 ˆ i 换成坐中的坐标变量 F (r P) r 换成坐标算符 r P ˆ ˆ , P) F (i , P) F (r 即 F (r , P) P
ˆy y
ˆz z
在量子力学中，能量用哈密顿算符表示。即:
2 2 ˆ H U (r ) 2
(4)力学量用算符表示的一般规则
哈密顿算符的构造:
将哈密顿函数
2 P H U (r ) 2
ˆ i PP
2 2 ˆ H U (r ) 2
③归一化系数的确定 两种情形归一化常数的求法 具有分立谱的本征函数的归一化常数： 2 * n (r ) d n (r ) n (r )d 1
具有连续谱的本征函数的归一化常数： 2 * p (r ) d p (r ) p (r )d ( p p)
由此可得：
ˆ d (O ˆ ) * d * O
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符 的定义
ˆ )] * [ d * (O
~ ˆ * d * O
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô + (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
（3）算符之和
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量用算符表达】
第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
3 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
6 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为
第三章力学量用算符表达
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i
量子力学03力学量用算符表达
量子力学03力学量用算符表达力学量用算符表达3.1算符的运算规则(一)算符定义(二)算符的一般特性(一)算符定义代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：1)du / dx = v , d / dx 就是算符，其作用是对函数u 微商，故称为微商算符。
u=v 表示把函数u 变成v, 就是这种变换的算符。
2)x u = v, x 也是算符。
它对u 作用是使u 变成v。
(二)算符的一般特性(1)线性算符(2)算符相等(3)算符之和(4)算符之积(5)对易关系(6)对易括号(7)逆算符(8)算符函数(9)复共轭算符(10)转置算符(11)厄密共轭算符(12)厄密算符(1)线性算符满足如下运算规律的算符称为线性算符动量算符单位算符是线性算符。
p i I(c1ψ1+c2ψ2)= c1ψ1+c2ψ2 其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ1是任意两个波函数。
例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。
注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
(2)算符相等若两个算符、对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ψ= ψ,则算符和算符相等记为= 。
(3)算符之和H T V Hamilton 表明算符H 等于T和若两个算符、对体系的任何波函数ψ 有：( + ) ψ= ψ+ ψ= ψ 则+ = 称为算符之和。
体系动能算符势能算符V 之和。
例如：体系Hamilton 算符显然，算符求和满足交换律和结合律。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。
- = +(-)。
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
(4)算符之积一般来说算符之积不满足交换律，即≠ 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。
例如：算符x p x i 不对易。
若( ψ ) = () ψ =ψ 则= 其中ψ是任意波函数。
(5)对易关系若≠ ,则称与不对易。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符３.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1）ˆF 称为算符。
ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。
例如，11du v dx =,22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2）算符的相加：对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 （１）单位算符对于任意涵数u,若ˆIｕ=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与１是等价的。
(2)线性算符对于任意函数ｕ与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu x af x =，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。
第3章 力学量用算符表达
证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两 边分别对 x y z 求偏导数得：
量子物理学10-力学量的算符表示20210622(1)
⎝ H r 一、力学量的算符表示力学量的算符表示是量子力学的又一基本假设：在量子力学中，系统的任何力学量均 对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值。
例如（1）动量算符：（2）坐标算符：（3）动能算符：p r → p r ˆ = −i h ∇ r r → r r ˆ = r r（4）能量算符：E ˆk = p r ˆ ⋅ p r ˆ = 2m − h 2∇2 2mp r 2 E = 2m+U (r r ) ˆ = − h 2 ∇2 + (r ) U r（5）角动量算符： 2mr r r ˆ r r ˆ i j k L = r × p = x y z p ˆx p ˆy pˆz 一般来说，将一个算符作用在一个函数上，会将其变成另一个函数；而这里动量算符的作用结果仅仅相当于乘以一个常量。
算符作用结果相当于乘以一个常量的函数称为该算符的本征函数（eigen function ），该常量称为该算符的本征值（eigen value ）。
例如，将算符 ∂ i pxp ˆx = −i h ∂x作用于波函数ϕ(x )= e h ，则 ∂ ⎛ i px ⎞ i px p ˆx [ϕ(x )]= −i h ∂x ⎜⎜e h ⎟ = p ⋅e h ⎠= p ⋅ϕ(x )二、算符的对易性设ϕ(x )为任意波函数，将动量算符 p ˆx 作用于 x ⋅ϕ(x )，得到p ˆ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ∂ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ⎛1+ x ⋅ ∂ ⎞ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x )+ x ⋅ p ˆ ϕ(x ) x ∂x ⎜ ∂ ⎟ x⎝ x ⎠ (p ˆx x − x pˆx )ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x ) 位置变量 x 也可以看做是一个算符xˆ ，那么p ˆx x − x pˆx = −i h ≠ 0 可见，算符的“乘积”一般不满足交换律，或者说算符的顺序一般是不可对易的。
量子力学 第三章
ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并，所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ)， ± 是常数 lm l
物理上认为： 描述同一方位， ϕ 物理上认为：ϕ与 + 2π 描述同一方位，
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时， 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ，对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ； ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值)； 2. F
3.1 表示力学量的算符
1.波函数如何完全地描述一个量子态？ 波函数 量子态 粒子的物理量的几率分布 粒子的物理量的平均值 实验测量结果
2.那么给了波函数之后怎么算平均值？ 3.力学量用算符表示的实质是什么？或力学量与算符 的关系是什么？ 通过力学量用算符表示，可以算出力学量的平均值。
如果算符Ô作用于一个函数ψ ，结果等于一 个常数λ乘以这个函数ψ
Ôψ=λψ
则称λ为Ô的本征值，ψ为属于λ的本征函数， 上式是算符Ô的本征方程。
2.算符的构造
（1）动量算符
三维动量算符 pˆ i
分量形式
pˆ x
i x
pˆ y
i y
pˆ z
i z
（2）坐标算符
rˆ r
（3）能量算符
Hˆ 2 2 V (r)
2
（4）量子力学的力学量在经典力学中有对应量 将F(r, p)中的 p 换为算符 pˆ 而得出，即
Fˆ Fˆ (rˆ, pˆ) Fˆ (r,i)
例：
L
r
p
Lˆ rˆ pˆ ir
（5）量子力学的力学量在经典力学中没有有对应量
3.算符的本征值与力学量
假设：
如果算符Fˆ 表示力学量F，那么当体系处于Fˆ 的本征态Φ时， 力学量F有确定值，这个值就是 Fˆ 在Φ态中的本征值λ。
Fˆ
4. 厄密算符
力学量都是实数
力学量算符的本征值是这 个力学量算符的可能值
力学量算符的本征值是实数
厄密算符的定义
对于任意两个函数ψ和Φ，算符 Fˆ满足下列等式：
Fˆdx
(
Fˆ
) dx
Fˆ 就是厄密算符
证明：1.厄密算符的本征值是实数 2.坐标算符、动量算符都是厄密算符
3.1表示力学量的算符
§3.1 表示力学量的算符一、算符的定义：算符是指作用一个函数上得出另一个函数的运算符号。
v u F =表示F 把函数u 变成 v ，F就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
算符的本征值和本征函数：λψψ=F本征值方程，ψ叫本征值λ的本征函数。
二、算符的一般特性 1、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。
2、单位算符：对波函数运算后保持不变的算符称为单位算符。
ψψ=I (4-2)式中ψ为任意波函数，简记为I3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆAB C += (4-3)称为算符之和。
ˆˆˆˆA B B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A B C A B C ++=++4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= (4-4) ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
但算符之积的结合律仍然成立，即)()(C B A C B A =5、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ， 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAAA A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (4-8) 推论1： 若[]I B A=,（或[]I A B =,,则1-=A B推论2：若Â,ˆB均存在逆算符, 则)(B A的逆算符也存在，且 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= (4-9) 证明：因为Â,ˆB均存在逆算符，则 I A A A I A A B B A A B B A====------111111)())((6、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ (4-1) 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(d) 逆算符 设
ˆ ,
1 ˆ ˆ ,则可以定义算符 之逆 为
能够唯一地解出
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
还可以证明:
lˆ ˆ ε ip ˆ , , p ˆ ε ilˆ lˆ , l
即角动量各分量的对易式为:
lˆx , lˆx 0,
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d , V ( r ) , , 2 dx
讨论
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
ˆ 称为线性算符， 凡满足下列规则的算 c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符. ※
x, p x ,
l , V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一
ˆ, ˆ 0 (可对易). 般不是厄米算符, 除非
关于厄米算符的重要定理: 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: ˆ 的平均值为 在 态下厄米算符
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学 量 A 的本征态. 在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零, 即 必须满足
或
ˆA 0 A
ˆ 常数 A
3.1 算符的运算规则
量子力学教程(第二版)
一般, 把常数记为 An ,并把本征态记为 n , 得到
c11 c2 2 , c1* 1, c2* 2 ,
式中
c1
与
c2
为任意常数.
(f) 转置算符
ˆ 的转置算符 ˆ 定义为 算符
ˆ d ˆ * d
*
即
ˆ * , ˆ * ,
则量子力学中最基本的对易关系可以化成:
x , p iδ
角动量对易式 角动量算符:
ˆ r p, ˆ l
ˆ yp ˆ ˆ l zp i y z x z y z y
各分量表为
ˆ zp ˆ ˆ l xp i z x y x z z x
以上是关于算符的一般规律和定则, 在 接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算 符-------厄米算符, 及其本征值与本征函数!
量子力学教程(第二版)
3.2 厄米算符的本征值与本征函数 对于都用 来描述其状态的大量完全相同的 体系(系综), 如进行多次测量, 所得结果的平 均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结 果则围绕平均值有一个涨落. 涨落定义为 涨落
lˆx , lˆy ilˆz , lˆy , lˆy 0, lˆy , lˆz ilˆx ,
lˆz , lˆz 0,
lˆz , lˆx ilˆy
可以写成
ˆ, l ˆ il ˆ l
定义:
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与 的标积 *
, d
d
是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,
*
,
, c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
n 0
n!
n
ˆ 的函数 则可定义算符
ˆ F
为
n!
例如 不难看出
ˆ F
n 0
ax
F
0 ˆn
d n n d a dx a d F e . n dx n 0 n ! dx
F x e , 可定义
a d dx
e x x a
不难证明, 对易式满足下列代数恒等式:
ˆ ˆ ˆ ˆ , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , C , , C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , C , C , C
ˆ2 lˆ2 lˆ2 lˆ2 l x y z
ˆ 2 , lˆ 0, l
则容易证明:
x, y , z
在球坐标系中 lˆ , 各分量可表示成
lˆx i sin cot cos ˆ l y i cos cot sin ˆ lz i
(c) 算符之积
ˆ ˆ ,定义为 ˆ 与 ˆ 之积,记为 算符
ˆ ˆ ˆ ˆ
任意.
一般说来,算符之积不满足交换律,即
ˆ ˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
由下列关系式:
ˆx p ˆ x x i, xp
ˆy p ˆ y x 0, xp
lˆz , y ix,
lˆx , z iy,
lˆy , z ix,
lˆz , z 0.
lˆz , x iy,
推出
lˆ ε ix , x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,C ˆ ˆ,C ˆ ,C ˆ
ˆ ˆ, ˆ , ˆ , ˆ C ˆ, ˆ,C ˆ , C ˆ 0(Jacobi恒等式）
算符 e
a
d dx
的物理意义, 是与体系沿 x 方向平移 a 有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义. 令 则
F
n ,m
n m x, y n m F x, y , x y
ˆ, B ˆ F
F
n,m
n , m0
n !m !
0, 0 ˆ nB ˆ m.
c1 与 c2 是 其中 1 和 2是任意两个波函数， ˆ i 两个任意常数（一般为复数）.例如 p 就是线性算符.
注 意 量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复 共轭),但刻画可观测量的算符都是线性算符.
I ,
I 为单位算符
ˆ A 与 B 两个算符相等
ˆ B ˆ , A
其中, 是任一波函数.
(b) 算符之和 对于任意波函数 , 有
ˆ ˆ ˆ ˆ
显然, 算符的求和满足交换律和结合律:
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C ˆ C
所以, 两个线性算符之和仍为线性算符.
ˆ 之逆存在,则 若算符
ˆ, ˆ 1 0
ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ I,
ˆ 与 B ˆ 之逆均存在,则 设
ˆB ˆ
1
ˆ 1 ˆ 1 B
(e) 算符的函数 设给定一函数 F x , 其各阶导数均存在, 幂级数展开收敛 n F 0 n F x x
ˆy p ˆ y y i, yp
ˆz p ˆ z z i, zp
ˆz p ˆ z x 0 xp
概括
量子力学中最基本的对易关系:
ˆ p ˆ x iδ x p
, x, y, z, 或1, 2,3
定义:
对易式(commutator)
ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆˆ
式中 与 是任意两个波函数.
ˆ ˆ ˆ ˆ
~
(g) 复共轭算符与厄米共轭算符
ˆ 的复共轭算符 ˆ * 定义为 算符 * * * ˆ ˆ
ˆ 的复共轭 ˆ 的表达 ˆ * ,可如下构成, 即把 通常算符 式中所有量换成其复共轭.
ˆ ˆ y yp ˆ x i x lz xp y y x
由代数恒等式, 不难证明
lˆx , x 0,
lˆy , x iz,
lˆx , y iz ,
lˆy , y 0,
ˆ A , A A n, A n n n n n
推出 定理1 厄米算符的本征值必为实.
3.1 算符的运算规则
量子力学教程(第二版)
厄米算符的本征函数的一个基本性质: 定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数, 彼此 正交. ˆ A A , 证明如下: 设
*
ˆ * * , * *,
* ˆ ˆ
ˆ p ˆ* p ˆp ˆ p
例如: 可以证明
ˆ C ˆ ˆ ˆC ˆ ˆ
(h) 厄米算符 满足下列关系的算符
ˆ ˆ , , 或 ˆ ,
ˆ ˆ , , ˆ ,
定理
*
*.
逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算 符. 实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此, 相应的算符必须是厄米算符.