弹塑性断裂力学基础

a a
# 2
3、材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 200 ~ 400MPa 时，低 1 碳钢取 f ( s b ) 代替 s 。其中 f 为流变应力。
b 为材料的抗拉强度。
2
综合考虑上述3部分内容

Dugdale模型的计算公式
a # (M ) ln sec[ ] E 2 f
例题： 直径 d=500mm ，壁厚 t=2.5mm 的圆筒，已知 E=200GPa, =0.3, ys=1200MPa，c=0.05mm。壳体的最大设计内压为 p=8 MPa, 试计算其可容许的最大缺陷尺寸。
解：受内压薄壁壳体中的最大应力是环向应力，且： =pd/2t=80.5/(22.510-3)=800MPa
J 积分守恒性的前提是：①不允许卸载；②变形为小
变形；③没有体积力。
由于J 与路径无关，所以可选择一条容易求积分的路
径（例如沿试样的周边，可能只有弹性应力和应变）， 简单地求得 J。
二、弹塑性裂纹尖端的应力场
与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力学发展
中的核心问题。1968年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson 、Rice 等人，导出了弹塑性材料裂尖应力应变场的表达式， 即 HRR 理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。 1、采用以下基本公式，导出应力函数 的控制方程 1）Airy 公式：
a2 M 1 Rt
取值如下：当圆筒的轴向裂纹时取1.61，当圆筒环向 裂纹时取0.32，球形容器裂纹时取1.93。
2、裂纹长度修正 压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹。 非贯穿裂纹
K I a
K I a
无限大板中心穿透裂纹
令非贯穿裂纹 K I 与无限大板中心穿透裂纹的 K I 相等，则等效穿透裂纹的长度为
well标准 e e 2 当 １时 ( ) es es e e 当 １时 es es
Burdekin 标准 当 e e 0.5时 ( ) 2 es es
e e 当 0.5时 0.25 es es
JWES 2805 标准 e 0.5( ) es
a 引起的。
( U P)
定义：
Π Π J lim a 0 a a
是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形变功定义。
可以看到： 1）J的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以J积 分适用于弹性体（线弹性体和非线性弹性体）和塑性体的单
第七章 弹塑性断裂力学
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服：端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸。 如，中低强度钢制成的构件
全面屈服：材料处于全面屈服阶段。 如，压力容器的接管部位
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力、应变场强度的参量。以
如果/ys<<1，则可将上式中 sec 项展开后略去高次项， 得到：
2 2 1 ln[sec( )] ln[1 ] 2 2 s 8 s
注意到当x<<1时有： 得到：
1 1+x ≈ 1+x ; ln(1+x)≈x = 1-x 1-x 2
2 2 2 2 ln[sec( )] ln[1 ( 2 )] 2 2 s 8s 8 s
应变能密度 路程边界上 的位移矢量
作用于路程边界上的力

ui J (Wdx2 Ti dS) (i 1,2) x1
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。
u ui J Γ dy T ds Γ dy ij n j ds x x
2 K 1 s E
=1，平面应力； =(1-2)/2，平面应变。
Dugdale模型不适用于全面屈服（ s ）。有限元计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 0.6时，上式的预 s 测是令人满意的。
Dugdale模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型。当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之 间有着一致性。 ) 按级数展开 将 ln sec( 2 s
调加载（无卸载）情况。
非线性弹性体和塑性体的曲线在加载时没有区别，但卸 载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性变形不可逆），差的能 量成热能放出。因此J 只可用于塑性体单调加载的情况。
2）由于不允许卸载，J 不再具有裂纹扩展能量释放率的物
理意义，而是功的吸收率。 3）从 J 的定义可见，在线弹性范围
U J G a a
性，而且适用于弹塑性。
根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。
1、形变功率定义 有两个几何形状和受力完全相同的单位厚度板，各含有一 个缺口，板 1中缺口长为 a ，此板的总势能为 ΠI ；板 II中缺口
长为 a Δa ，此板的总势能为ΠII。
二板总势能之差为： Π ΠII ΠI。这个差值是由

8 s a 1 2 1 4 ( ( ) ( ) ......) ' E 2 2 s 12 2 s
s
8 s a 1 2 2a ( ) ' E 2 2 s E s
K I2 K I a , GI ' E 4 K I2 4 GI 欧文小范围屈服时的结果 E s s Dugdale模型的适用条件
便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之
间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD理论和J积分理论
第一节 COD准则
一、COD
COD (Crack Opening Displacement)：裂纹张开位移 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开量——裂纹张开位移。表达材料抵抗延性断裂能力。
即 J 与 G 等价。所以J 是G 合理的延伸，是一种既适用于
线弹性又适用于弹塑性的较一般的参数。
2、线积分定义 设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作 用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕
裂纹尖端取回路下。始于裂纹下表面、终于裂纹上表面。 按逆时针方向转动
u J (Wdy T dS) x
y
COD
o
CTOD
2a 2aeff=2a+2rp
s
x
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题
平面应力条件下，在全面屈服之前净/ys<1 ，Dugdale 给出裂尖张开位移与间的关系为：
8s a E ln[sec(2 s )]
1 1 2 r 2 r r r 2
2 2 r
r
1 ( ) r r
即:
c ys E 0.05 1200 200 103 ac 2 =5.97mm 800 800 3.14
可容许的缺陷总长度为 2a=11.94mm。 故当/ys较大时，小范围屈服假设将引入较大的 误差，且结果偏危险。
第二节 J积分
一、J积分的定义和特性
COD准则的优点： 测定方法简单 经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力
c
—COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
COD准则需解决的3个问题：
的计算公式; c 的测定; COD准则的工程应用
二、小范围屈服条件下的CTOD准则
CTOD：裂纹尖端张开位移 1、平面应力的Irwin解
K k r 3 2I v [(2k 1) sin sin ] 4G 2 2 2
容器断裂分析问题
缺点： 不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征 参量。 Rice于 1968 年提出 J 积分概念， J积分主要应用于发电 工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。
J积分的两种定义： 形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率给出。 回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所 组成的围线积分。 J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹
对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和
COD 的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分 析的依据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何 和材料性能之间的关系。
用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD 2e a 与标称应变 e 的关系曲线。 e s
s

经验设计曲线
我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：
well标准 当 当 e e １时 ( ) 2 es es e 1 e １时 ( 1) es 2 es
四、COD准则的工程应用
实验测定结果：平板穿透裂纹 实际工程构件：压力容器、管道等必须加以修正
1、鼓胀效应修正 压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外 鼓胀，而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加 应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时，应 在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ。 Folias KI
22 4 K k2 4 12 I 2v E s s
—小范围屈服时的CTOD计算公式
2、平面应力的Dugdale解
Dugdale模型假设： 裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖 端两端延伸呈尖劈带状 。塑 性区的材料为理想塑性状态， 整个裂纹和塑性区周围仍为 广大的弹性区所包围 。塑性 区与弹性区交界面上作用有 均匀分布的屈服应力 s 。
2a K I2 GI E s E s s
平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 0.6 s 塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）