3.2-函数模型及其应用课件
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高中数学人教版：3.2--数学模型及其应用(共73张PPT)
例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图 所示.
(1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与 时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.
所示.
(1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义;
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与
时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.
s/km
解: (2) 列表表示:
2350
2300
[0, 1)
s[1=, 2)
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 y2 y4.
分析: y1, y2, y3 都是 增函数, 增长速度最快的 是 y2, 所以 y2 最有可能 是指数型函数.
y4 是减函数, 画出 图象如图: y4 也可能是 指数形函数.
y
2048
y=2x
幂函数 y = x3
对数函数 y = log2x
x
5
8 10 11 1231
2x 32 256 1024 2048 1024
1000
x3 125 512 1000 1231
log2x 2.32 3 3.32 3.46 512
随着 x 的增大, 2x 的图象 几乎垂直向上, 增速很大.
口人增数(长1)率5如95(61精果确以50到6各030年.0人508702口41)增, 5用9长867马率尔的660萨6平2斯均6人5值164口作增为62长2我88模国型6这643建5一立时69我5期49国的这人60772
函数模型及其应用全课时PPT课件
天多回报10元； y=10x 方(x案∈三N*：) 第一天回报0.4元，以后每天的回报
比前一天翻一番。y=0.4×2x-1 (x∈N*
5
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：
x/天
方案一
y/元 增长量/元
方案二
y/元 增长量/元
方案三
y/元
增长量/元
1 40 0
10
0.4
2 40 0
20 10
0.8
外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆
发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利
亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大
利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿
只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭
到了极大损失。绝望之中，
人们从巴西引入了多发黏
液瘤病，以对付迅速繁殖
的兔子。整个20世纪中期，
澳大利亚的灭兔行动从未
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几种不同增长的函数模型
LOGO
1
1、利用函数图象及数据表格，比较指 数函数，对数函数及幂函数的增长差异; 2、结合实例体会直线上升，指数爆炸， 对数增长等不同增长的函数模型的意义; 3、体会数学在实际问题中的应用价值。
2
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从
y log 7 x 1 0.25 成立。
x
x
11
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用 计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递 减的，因此
f(x)<f(10) ≈-0.3167<0, 即 log7x+1<0.25x 所以，当x∈ [10,1000]，
比前一天翻一番。y=0.4×2x-1 (x∈N*
5
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：
x/天
方案一
y/元 增长量/元
方案二
y/元 增长量/元
方案三
y/元
增长量/元
1 40 0
10
0.4
2 40 0
20 10
0.8
外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆
发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利
亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大
利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿
只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭
到了极大损失。绝望之中，
人们从巴西引入了多发黏
液瘤病，以对付迅速繁殖
的兔子。整个20世纪中期，
澳大利亚的灭兔行动从未
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几种不同增长的函数模型
LOGO
1
1、利用函数图象及数据表格，比较指 数函数，对数函数及幂函数的增长差异; 2、结合实例体会直线上升，指数爆炸， 对数增长等不同增长的函数模型的意义; 3、体会数学在实际问题中的应用价值。
2
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从
y log 7 x 1 0.25 成立。
x
x
11
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用 计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递 减的，因此
f(x)<f(10) ≈-0.3167<0, 即 log7x+1<0.25x 所以，当x∈ [10,1000]，
函数模型及其应用 (共29张PPT)
本文首先通过选择题的形式，引导读者回顾了指数函数、对数函数和幂函数的基本性质，包括函数的增减性、增长速度以及图象变化特点。其中，指数函数y=ax(a>1)在(0, +∞)上为增函数，且增长速度越来越快；对数函数y=logax(a>1)同样为增函数，但增长速度越来越慢；幂函数y=xn(n>0)的增长速度则相对平稳。接着，文档比较了这三类函数的增长速度，指出指数函数的增长速度远快于幂函数和对数函数，对数函数的增长速度最慢。最后，文档通过实例展示了函数模型在解决实际问题中的应用，如根米的平均耗油量以及求解企业为获取最大利润应生产的商品数量等。这些实例不仅体现了函数模型的实用性，也帮助读者更好地理解和掌握函数模型的基本概念、性质及其计算方法。
高中数学人教高必修一同课异构教学课件32函数模型及其应用课件
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
天数
回报/元
7 8 9 10 11
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
（2）根据图3.2-7，有
50t 2004,
s
9800((tt
1) 2)
画出这两个函数的图象（图2）
y
y=2x
1.13E+15
1.10E+12 y=x2
O 50 100 x
从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增 长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.
2．探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的 对应值表（表3）.
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它 符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利 润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
成立.
y log7 x 1 0.25
（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面 积的实际含义；
（2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.
最新高中数学必修课件-3.2.2函数模型及其应用(二)
只需将销售单价定为最新1高1中.数5学元必修，课件就-3.2.可2函数获得最大的利润。 模型及其应用（二）
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现， 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营 部怎样定价才能获得最大利润？
最新高中数学必修课件-3.2.2函数 模型及其应用（二）
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利 润为y元，则有日均销售量为
y 4 8 0 4 0 (x 1 ) 5 2 0 4 0 x （桶）
而 x 0 ,且 5 2 4x 0 0 0 ,即 0 x 13
y ( 5 4 2 x ) x 0 0 2 0 4 x 2 0 0 5x 2 2 0 0 4 ( x 0 0 6 .5 ) 2 14
当x6.5时， y有最大值
3.2.2函数模型及其应用(二）
最新高中数学必修课件-3.2.2函数 模型及其应用（二）
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为
最新高中数学必修课件-3.2.2函数 模型及其应用（二）
3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果
用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现， 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营 部怎样定价才能获得最大利润？
最新高中数学必修课件-3.2.2函数 模型及其应用（二）
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利 润为y元，则有日均销售量为
y 4 8 0 4 0 (x 1 ) 5 2 0 4 0 x （桶）
而 x 0 ,且 5 2 4x 0 0 0 ,即 0 x 13
y ( 5 4 2 x ) x 0 0 2 0 4 x 2 0 0 5x 2 2 0 0 4 ( x 0 0 6 .5 ) 2 14
当x6.5时， y有最大值
3.2.2函数模型及其应用(二）
最新高中数学必修课件-3.2.2函数 模型及其应用（二）
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为
最新高中数学必修课件-3.2.2函数 模型及其应用（二）
3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果
用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形
高中数学必修一3.2函数模型(共23张PPT)
解:每次过滤杂质含量降为原来的
2 3
,过滤n次后杂质含量
为 2%（ 2） n 2 (2)n
3 1003
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学
模型．依题意，得 2(2)n 1 ,即 (2)n1
100 3 10003 20
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用
例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
y1
y2
y3
其中x呈对数函数型变化的变量是 y2 呈指数函数型变化的变量是 y3
，f(x)＝mlogax＋n ，f(x)＝abx＋c
呈直线函数型变化的变量是 y1 ． f(x)＝kx＋b
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量 的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式，不要忘记考察函数的定义域；
3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函 数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；
4、还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符 合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结 论，作出回答．
∴该函数在[20,30]上单调递减，即
3.2函数模型及其应用
思考:这三个函数模型增长的快慢情况如何？
指数函数y=2x最快,对数函数y=log2x最慢.. 如何观察曲线变化的快与慢呢？
变化快→线陡峭→接近平行于y轴 y
变化慢→线平缓→接近平行于x轴
o
x
由缓变陡,加速变化. 由陡变缓,减速变化.
y=ax
yo 12 4
x
y=ax
y
y=xn
成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日 均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才 能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶。 ②销售利润怎样计算较好？
y=logax
1
o 12 4
x
1.当x越来越大时，增长速度最快的是
( D)
A.y 100x B.y 100ln x
C.y x100
D.y 100 2x
P982;P1122,4;P1131
P982 P112
（万台）
【总一总★成竹在胸】
常数函数 一次函数 指数函数 对数函数 没有增长 直线上升 指数爆炸 “慢速”增长
(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。 (2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越
来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。 (3)、随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越 来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。
指数函数y=2x最快,对数函数y=log2x最慢.. 如何观察曲线变化的快与慢呢？
变化快→线陡峭→接近平行于y轴 y
变化慢→线平缓→接近平行于x轴
o
x
由缓变陡,加速变化. 由陡变缓,减速变化.
y=ax
yo 12 4
x
y=ax
y
y=xn
成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日 均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才 能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶。 ②销售利润怎样计算较好？
y=logax
1
o 12 4
x
1.当x越来越大时，增长速度最快的是
( D)
A.y 100x B.y 100ln x
C.y x100
D.y 100 2x
P982;P1122,4;P1131
P982 P112
（万台）
【总一总★成竹在胸】
常数函数 一次函数 指数函数 对数函数 没有增长 直线上升 指数爆炸 “慢速”增长
(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。 (2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越
来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。 (3)、随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越 来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。
3.2函数模型及其应用2
x
x
令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000]. 利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）
y
O -50 -100 -150 -200 -250 -300
200 400 600 800 1000 1200 x
由图象可知它是递减的，因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0
画出这两个函数的图象（图2）
y
y=2x
1.13E+15
1.10E+12 y=x2
O 50 100 x
从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增 长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.
2．探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的 对应值表（表3）.
y
1
x2
x 2
log 1
2
x
最后探究y ax (0 a 1), y xn (n 0), y loga x(0 a 1) 在区间(0,)上的衰减情况.
在区间(0,+∞)上，总存在一个x0,当x>x0时，总有 xn>ax>logax（n<0,0<a<1）.
x
0
y=2x
1
10 1024
20
பைடு நூலகம்
30
40
1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12
y=x2
0
100
400
900
1600
x
50
相关主题
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可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分 别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的， 从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这 种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
3.2-函数模型及其应用
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在 第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个 方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿 元.
3.2-函数模型及其应用
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
3.2-函数模型及其应用
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据 这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同 时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目 标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公 司总的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检 验三个模型是否符合公司要求即可.
3.2-函数模型及其应用
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报
的增长情况（表3-4）。
x
方案一
方案二
方案三
/ y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 天
1 40
10
0.4
2 40
0
20
10
0.8
0.4
3 40
0
30
10
1.6
0.8
4 40
0
40
10
3.2
1.6
5 40
0
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
3.2-函数模型及其应用
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
50
10
6.4
3.2
3.2-函数模型及其应用
x/
方案一
方案二
方案三
天 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
6 40
60
12.8
7 40
0
70
10
25.6 12.8
8 40
0
80
10
51.2 25.6
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
3.2-函数模型及其应用
例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
3.2-函数模型及其应用
3.2-函数模型及其应用
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万 元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖 金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有 三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中 哪个模型能符合公司的要求？
问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？
问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？
问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？
3.2-函数模型及其应用
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的 函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择 投资方案提供依据.
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象， 得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
3.2-函数模型及其应用
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 y=0.25x 7 6 5 4 3 2 1
y=1.002x
y=5 y=log7x+1
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
3.2-函数模型及其应用
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
3.2-函数模型及其应用
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
3.2-函数模型及其应用
解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是 递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们 的增长情况进行分析.
下面通过计算确认上述判断.
3.2-函数模型及其应用
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满 足1.00x20 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此 当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
3.2-函数模型及其应用
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
பைடு நூலகம்
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
3.2-函数模型及其应用
天数
回报/元
7 8 9 10 11
O 200 400 600 800 1000 x
3.2-函数模型及其应用
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型 y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的 上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方， 这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司 的要求.
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樊成河 蒲世吉
3.2.1 几类不同增长的函数模型
（1）
3.2-函数模型及其应用
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一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生 对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的 认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数 比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长 得快.（底数a>0）
3.2-函数模型及其应用
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在 第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个 方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿 元.
3.2-函数模型及其应用
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
3.2-函数模型及其应用
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据 这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同 时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目 标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公 司总的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检 验三个模型是否符合公司要求即可.
3.2-函数模型及其应用
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报
的增长情况（表3-4）。
x
方案一
方案二
方案三
/ y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 天
1 40
10
0.4
2 40
0
20
10
0.8
0.4
3 40
0
30
10
1.6
0.8
4 40
0
40
10
3.2
1.6
5 40
0
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
3.2-函数模型及其应用
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
50
10
6.4
3.2
3.2-函数模型及其应用
x/
方案一
方案二
方案三
天 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
6 40
60
12.8
7 40
0
70
10
25.6 12.8
8 40
0
80
10
51.2 25.6
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
3.2-函数模型及其应用
例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
3.2-函数模型及其应用
3.2-函数模型及其应用
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万 元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖 金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有 三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中 哪个模型能符合公司的要求？
问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？
问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？
问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？
3.2-函数模型及其应用
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的 函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择 投资方案提供依据.
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象， 得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
3.2-函数模型及其应用
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 y=0.25x 7 6 5 4 3 2 1
y=1.002x
y=5 y=log7x+1
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
3.2-函数模型及其应用
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
3.2-函数模型及其应用
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
3.2-函数模型及其应用
解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是 递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们 的增长情况进行分析.
下面通过计算确认上述判断.
3.2-函数模型及其应用
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满 足1.00x20 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此 当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
3.2-函数模型及其应用
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
பைடு நூலகம்
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
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天数
回报/元
7 8 9 10 11
O 200 400 600 800 1000 x
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观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型 y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的 上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方， 这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司 的要求.
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3.2.1 几类不同增长的函数模型
（1）
3.2-函数模型及其应用
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一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生 对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的 认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数 比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长 得快.（底数a>0）