数学中的哲学思想

数学与哲学

何晓川

材料学院材料1005班 201065041

摘要：本文首先介绍了数学与哲学的本源关系，然后讲述了数学与哲学在东西方发展进程中的表现，以及数学的三大危机，接下来介绍了数学与哲学研究所面临的六大问题，最后形象化总结数学与哲学的关系。

一：数学与哲学

现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。

任何一门学问，必然是反映着哲学的探索与诉求，数学作为一种同经验无关的人类思维的结晶，更需要哲学的支撑。

哲学是人类认识世界的先导，哲学关心的首先是科学的未知领域，哲学倾听着科学的发现，准备提出新的问题。哲学，从某种意义上说，是自然学科的望远镜，数学就产生在哲学已探索的未知领域。数学本身源于自然哲学，虽然在历史的进程中，数学学科逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍带有浓厚的哲学味道。

柏拉图有句名言：“没有数学就没有真正的智慧。”智慧是被运用于生活中的哲学，是哲学的生活化、实际化。历史上，许多著名的学者，如英国的罗素、德国的数学家康托尔，正是踏着数学的阶梯步入哲学堂奥的。

二：数学与哲学在东西方的表现

哲学与数学在东西方世界的表现有着不同。

西方哲学与数学有着密切的关系。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。在古希腊罗马时期，哲学尚未与其他的学科明确分开，许多哲学家本身就是自然数学家，哲学与数学是一个学科，无疑他们是联系在一起的。这个时期的哲学家探讨的主要是自然哲学和本体论的问题，为了搞清客观世界及其原因和规律究竟是什么，人们创造了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思维的萌芽时期。

亚里士多德后，哲学与其他学科分开了，但西方哲学与数学仍然紧密联系，近代西方的许多哲学家，其本身也是数学家。而中国的哲学与数学联系很少，历史上鲜有集数学家与哲学家于一身的人。中国传统哲学子孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起。这实际上体现了东西方哲学思维方式的一种不同。

这种不同的表现，对近代的科学在东西方的兴起发展起了不同的影响作用。对于今天的我们，又该如何看待呢？我们国家正处于社会主义现代化建设时期，个人认为，我们应该学习西方的哲学思想，并改造中国的传统哲学，努力养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯。

在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。

三：数学的三大危机

从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。

1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此后各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学问题。

从哲学的角度上来看，矛盾无处不在，数学中就存在着大大小小的矛盾。回首整部数学史，矛盾的斗争与解决贯穿其中，当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容，新的发展，甚至引起革命性的变革。

第一次数学危机

现代意义下的数学，来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派。他们认为认为“万物皆数”，但是无理数的发现，却引起了第一次数学危机，对于全部依靠整数的毕式哲学，是一次致命的打击。从此希腊人开始从“自明”的公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。

第二次数学危机

十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机，从哲学的观点，它的发生带有必然性。牛顿和莱布尼茨被公认为是微积分的奠基者，由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分称为当时解决问题的重要工具。同时，微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？从而造成了第二次数学危机。

第三次数学危机

1902年，罗素发现了一个悖论，其主要讲的内容是某村理发师的困境；这个集合性中的悖论的发现自然引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。以罗素为代表的逻辑主义，以布芬威为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。

四、对现代数学哲学围绕的问题探究

英国数学家哲学家赖特（C.Wright）就曾提出，现代数学哲学即是围绕以下六个问题展开的：

（1）纯粹数学的命题是否应当用“真“和”“假“这样两个概念去进行评价？如果是的话，这又是一种什么样的“真“和”“假“的概念？

（2）如果认为真理性的概念为纯粹数学命题的评价提供了实质性的标准，那么，这种命题在这种标准下是否为真？

（3）如果对问题（1）和（2）作肯定的答复，那么，是什么使得数学命题成为真的？（4）我们是怎样获得关于真的数学命题的认识？

（5）在纯粹数学中，真理能否超出可证明的范围？

（6）数学为什么能应用于普通的事物？数学命题由证明而获得的可靠性是怎样转移到它的应用之中的？

以上六个问题，正是数学哲学研究的主要困难所在，即：我们无法发展出一个在本体论上和认识论上都能令人满意的数学哲学理论。

它们与一般哲学有着密切的联系，对此研究感兴趣的往往是哲学家而并非是数学家。我个人认为，当今的数学研究，更需要哲学理论体系的支撑，数学哲学应贯穿于数学学习、