高中数学(文)统考版复习课时作业 18三角函数的图象与性质

合集下载

三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习

(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象

三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k k πππ-上是增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意：周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

三角函数图像及性质的总结

第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

高三北师大文科数学课时作业第讲三角函数的图像与性质含解析

课时作业(十八) [第18讲三角函数的图像与性质](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一个对称中心是( )A ．(－π，0)B ．－3π4，0C.3π2，0D.π2，0 3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( )A ．3，1B ．－2，2C ．－3，32D ．－2，324．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11°能力提升5．已知a )图K18－16．[2013·杭州七校上学期期中联考] 函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π2，π 7．[2012·唐山模拟] 函数y ＝cos πx ＋π6的一个单调增区间是( )A ．－23，13 B.13，43C ．－16，56 D.56，1168．[2012·衡水检测] 将函数y ＝sin4x ＋π3的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π4，0 9．已知命题p ：函数y ＝2sin x 的图像向右平移π6个单位后得到函数y ＝2sin x ＋π6的图像；q ：函数y ＝sin 2x ＋2sin x －1的最大值为2，则下列命题中真命题为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．p ∨(綈q )10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．11．[2012·大连双基] 若函数y ＝2tan ωx 的最小正周期为2π，则函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的最小正周期为________．12．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．13．[2012·泉州四校联考] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π12<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是k π＋π6，k π＋2π3()k ∈Z ；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．14．(10分)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求a 的值．15．(13分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．难点突破16．(12分)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3. (1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2为偶函数，求θ的值．课时作业(十八)【基础热身】1．C [解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C.2．B [解析] ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，令x －π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝kπ＋π4(k ∈Z )．k ＝－1时，x ＝－34π得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0.3．C [解析] f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2sin 2x －sin x ＋14＋32＝－2sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3.4．C [解析] 因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.【能力提升】5．D [解析] 选项A 中函数的最大值小于2，故0＜a ＜1，而其周期大于2π，故选项A 中图像可以是函数f (x )的图像．选项B 中函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故选项B 中图像可以是函数f (x )的图像．当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应选项C 中图像．对于选项D ，可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图像中的周期大于2π，故选项D 中图像不可能为函数f (x )的图像．6．D [解析] y ＝2cos 2x ＝cos2x ＋1，检验知，选项D 正确．7．D [解析] 由余弦函数的单调区间知，函数y ＝cos πx ＋π6的单调增区间满足2k π－π≤πx ＋π6≤2k π，即2k －76≤x ≤2k －16，当k ＝1时，56≤x ≤116，所以选D.8．A [解析] 将函数y ＝sin4x ＋π3的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数为y ＝sin2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，解得x ＝k π2－π3.当k ＝1时，x ＝π6，选A.9．B [解析] 函数y ＝2sin x 的图像向右平移π6个单位后得到函数y ＝2sin x －π6的图像，命题p 是假命题；y ＝sin 2x ＋2sin x －1＝(sin x ＋1)2－2，当sin x ＝1时，此函数有最大值2，命题q 是真命题，故p ∨q 是真命题，所以选B.10．(1，3) [解析] 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π]，图像如图所示，由图像可得，若f (x )与y ＝k 1＜k ＜3.11．4π [解析] ∵函数y ＝2tan ωx 的最小正周期为2π，∴|ω|＝πT ＝π2π＝12，∴y ＝sin w x ＋3cos w x ＝212sin w x ＋32cos w x ＝2sin w x ＋π3，∴函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的最小正周期为2π12＝4π. 12.143 [解析] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，∴f (x )在x ＝π6＋π32＝π4处取得最小值，∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，∴ω＝8k －103(k ∈Z )． ∵ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内存在最大值．故ω＝143.13．①②③ [解析] 因为f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则θ＝π6，f (x )＝a 2＋b 2sin2x ＋π6；①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0正确；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π12<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5正确；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误． 14．解：(1)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1.当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和⎝⎛⎭⎫1＋a ＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋12＝32，∴a ＝0.15．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎫cos 2x ≠12. 因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫1，74∪⎝⎛⎦⎤74，52. 【难点突破】16．解：f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋23·1－cos2x2－3＝sin2x －3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，解得f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π3，根据三角函数图像性质可知y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值．即sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝±1，∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .又0＜θ＜π2，∴θ＝5π12.。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质2含解析

三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.函数y＝lgcos x的定义域为( )A. (2k π，＋2kπ)(k∈Z)B. (－＋2k π，＋2kπ)(k∈Z)C. (k π，＋kπ)(k∈Z)D. (－＋k π，＋kπ)(k∈Z)2.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上的全部点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最终得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3.将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A. B.C. D.4.函数y＝cos－2x的单调递增区间是()A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)5.函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.6.函数在定义域内零点的个数为A. 3B. 4C. 6D. 77.下列函数中最小值为8的是（）A. B. C . D.18.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象的一条对称轴是直线，则ω的最小值为．9.函数的单调减区间为（）A. B.C. D.10.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】9.【答案】A10.【答案】解：（1），∴函数的最小正周期为．令，得，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为，（2），．，且在上单调递增，，即．3。

高三数学专题复习-三角函数图像及其性质

三角函数及其图像性质精讲精练〔2〕【知识点回忆】【考向一】三角函数的定义域【例1】函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_____。

【精练1】．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠kπ－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2kπ－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠kπ＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2kπ＋π4，k ∈Z【解析】 ∵π4－x ≠π2＋kπ，∴x ≠－π4－kπ，又∵k ∈Z ，∴A 正确．【答案】 A【考向二】三角函数的单调性【思路点拨】 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 解析式确实定与性质的研究借助图象或文字表达，先求A 、ω、φ、B 的值后，再依据解析式研究三角函数的单调性、值域、最值及周期性、奇偶性等性质是高考的常见题型．【例1】〔2012湖南文18〕已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>∈+=20,0,sin πϕωϕωR x x A x f 的部分图像如图5所示。

〔Ⅰ〕求函数()x f 的解析式；〔Ⅱ〕求函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212ππx f x f x g 的单调递增区间。

【精练1】3．(2013·佛山模拟)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x x ∈[0，π]为增函数的区间为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，712πC.⎣⎡⎦⎤π3，56πD.⎣⎡⎦⎤56π，π 【解析】因为y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤32π＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤56π＋k π，k ∈Z ，即函数在R 上的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，56π＋k πk ∈Z ，当k ＝0时增区间为⎣⎡⎦⎤π3，56π.故选C. 【答案】 C【精练1】〔2012全国新课标9〕已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

高考数学一轮复习课时作业18 三角函数的图象与性质文-人教版高三全册数学试题

课时作业18 三角函数的图象与性质[基础达标]一、选择题1．下列函数中，周期为π的奇函数为( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确．答案：A2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得， k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．答案：B3．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝－13π6＋k π，∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6. 答案：A4．[2020·某某调研]函数y ＝sin(x ＋π6)图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π2 B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝－π6解析：解法一由x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以函数y ＝sin x ＋π6的一条对称轴方程是x ＝π3，故选C. 解法二因为sin(π3＋π6)＝sin π2＝1，所以x ＝π3是函数y ＝sin(x ＋π6)的一条对称轴方程，故选C.解法三因为将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin x ＋π6的图象，所以y ＝sin x 图象的一条对称轴x ＝π2向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin(x ＋π6)图象的一条对称轴x ＝π3，故选C. 答案：C5．[2019·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由f (x )＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·(1－cos x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.答案：B二、填空题6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：>7．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 8．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在[0，π3]上单调递增，在[π3，π2]上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：32三、解答题9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解析：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解析：(1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1.(2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6. [能力挑战]11．[2020·某某某某一中月考]函数y ＝cos 2x ＋sin x (－π6≤x ≤π6)最大值与最小值之和为( )A.32B ．2C ．0 D.34解析：y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，设t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤t ≤12，∵y ＝－t 2＋t ＋1在区间[－12，12]上是增函数，∴当t ＝－12时，y 最小为14，当t ＝12时，y 最大为54，∴最大值与最小值的和为32，故选A. 答案：A12．[2020·某某瓦房店三中月考]函数y ＝2sin (π3－2x )的单调递增区间是( ) A ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) C ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) D ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ) 解析：通解由2n π＋π2≤π3－2x ≤2n π＋3π2(n ∈Z )，得－n π－7π12≤x ≤－n π－π12(n ∈Z )，令k ＝－n ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，又区间[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )和区间[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )相差一个周期π，∴函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )，故选B. 解法一 ∵y ＝2sin(π3－2x )＝－2sin(2x －π3)，∴求函数y ＝2sin π3－2x 的单调递增区间即求函数t ＝sin(2x －π3)的单调递减区间，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )，故选B. 解法二函数y ＝2sin(π3－2x )单调递增区间的左端点值对应的函数值是函数的最小值，区间长度为一个周期π，经验证每一个选项的区间长度均为一个周期π，只有区间左端点x ＝k π＋5π12(k ∈Z )的相应函数值是函数的最小值－2，∴函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )，故选B. 答案：B13．[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④ B．②④C ．①④ D．①③解析：通解 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.优解 ∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.答案：C。

高三数学一轮复习课时作业18：三角函数的图象与性质

§4.3 三角函数的图象与性质1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0 答案 B解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.3．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D.4．(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈『－1,1』，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 答案 B解析函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2017·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴 D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 答案 D解析函数f (x )的周期为2π，A 错；f (x )的值域为『0，＋∞)，B 错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，C 错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，D 正确． 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为__________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 解析因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以令2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 8．(2018·福州质检)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最小值为____________．答案 1－22解析令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．答案 6π5解析由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 10．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12. (2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈『0，π』时，函数f (x )的值域是『5,8』，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0， ①当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5；②当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.13．(2018·太原模拟)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1，所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D. 14．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是________．答案『2,3) 解析 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， ∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12<1，∴2≤a <3.15．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3答案 C解析由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.16．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈『－2a ，a 』， ∴f (x )∈『b,3a ＋b 』，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)；单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性奇偶奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

高考数学总复习课时作业(十八)第18讲三角函数的图像

课时作业(十八)第18讲三角函数的图像与性质基础热身1.已知函数y=cosωx-的周期为π,则ω的值为()A.1B.2C.±1D.±22.已知函数f(x)=2sin-2x,则函数f(x)的单调递减区间为()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)3.已知函数f(x)=-sin x+(x∈R),则下面结论中错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数4.[2017·天水二中期中]下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=对称的是()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin5.函数y=的定义域是.能力提升6.[2017·太原五中段考]给出下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=sin2x+,④y=tan|x|.其中周期为π的所有偶函数为()A.①②B.①②③C.②④D.①③7.[2017·枣庄八中月考]已知函数f(x)=2sin的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则b-a的值不可能是()A.B.2πC.D.8.[2017·许昌二模]若函数y=sin(2x+φ)0<φ<的图像的对称中心在区间,内有且只有一个,则φ的值可以是()A.B.C. D.9.[2017·龙岩六校联考]已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤f对任意x∈R恒成立,且f>0,则f(x)的单调递减区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),其图像相邻的两条对称轴方程为x=0与x=,则()A.f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数B.f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数C.f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数D.f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数11.[2017·昆明三模]已知函数f(x)=sinωx+(ω>0),A,B是函数图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2,则f(1)= .12.[2017·荆州中学二模]已知函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,则|φ|的最小值为.13.(15分)[2017·衡水冀州中学月考]已知函数f(x)=sin2x-.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)当x∈0,时,求函数f(x)的最小值,并求出使y=f(x)取得最小值时相应的x值.14.(15分)[2017·安阳林州一中期中]已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<的最小正周期为π,且f=-.(1)求ω和φ的值;(2)若f(x)>,求x的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·湖北部分重点中学模拟]设函数f(x)=4cos(ωx+φ)对任意的x∈R,都有f(-x)=f+x,若函数g(x)=sin(ωx+φ)-2,则g的值是()A.1B.-5或3C. D.-216.(5分)[2017·安阳林州一中期中]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<,其图像与直线y=3相邻两个交点的距离为,若f(x)>1对任意x∈-,恒成立,则φ的取值范围是()A.B.C.D.课时作业(十八)1.D[解析] 由T==π,得ω=±2.2.D[解析] 函数的解析式即f(x)=-2sin2x-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).3.D[解析] 由题意知f(x)=-cos x,可得A,B,C正确.因为f(-x)=-cos x=f(x),所以f(x)是偶函数,即D错误.4.B[解析] 由y=f(x)的最小正周期为π,可排除D.下面验证图像是否关于直线x=对称.对于A,f=sin=≠±1,故A不满足;对于B,f=sin-=sin=1,故B满足;对于C,f=sin+=sin=≠±1,故C不满足.故选B.5.,k∈Z[解析] 由tan x-1≥0,得tan x≥1,∴+kπ≤x<+kπ,k∈Z.∴函数y=的定义域是+kπ,+kπ,k∈Z.6.A[解析] 对于①,y=cos|2x|=cos 2x为偶函数,且周期为=π,满足条件;对于②,y=|cos x|的周期为π,且是偶函数,满足条件;对于③,y=sin2x+=|cos 2x|的周期为×=,且是偶函数,不满足条件;对于④,y=tan|x|不具有周期性,不满足条件.故选A.7.D[解析] 由题意可得b-a的值不可能超过一个周期,而函数f(x)=2sin的周期为4π,故b-a的值不可能是.8.D[解析] 根据题意,令2x+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-2x,k∈Z.又函数f(x)图像的对称中心在区间,内有且只有一个,∴x∈,,∴-2x∈-,-,∴φ=kπ-2x∈kπ-,kπ-,k∈Z.当k=1时,φ∈,,又0<φ<,∴φ的一个可能取值是.9.C[解析] 由题意可得函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,故有2×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ,k∈Z .又f=sin+φ>0,所以φ=2nπ,n∈Z,所以f(x)=sin(2x+2nπ)=sin 2x.令2kπ+≤2x ≤2kπ+,k∈Z,求得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+,k∈Z,故选C.10.D[解析] f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sinωx+φ+.因为其图像的两条相邻对称轴方程为x=0与x=,则T=π,即ω=2,所以f(x)=2sin2x+φ+.当x=0时,得2sin=±2,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos 2x,则f(x)在上为减函数.11.[解析] 由题意可得=2,∴ω=,∴函数f(x)=sin x+,∴f(1)=.12.[解析] ∵函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,则|φ|的最小值为.13.解:(1)对于函数f(x)=sin2x-,它的最小正周期T==π.(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ(k∈Z).(3)因为0≤x≤,所以0≤2x≤,所以-≤2x-≤.所以函数f(x)的最小值是-,此时2x-=-或2x-=,即x=0或x=.14.解:(1)因为函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2.因为f=cos2×+φ=-,0<φ<,所以2×+φ=,解得φ=.(2)因为f(x)=cos2x+>,所以2kπ-<2x+<2kπ+,k∈Z,所以kπ-<x<kπ+,k∈Z,即x∈kπ-,kπ+,k∈Z.15.D[解析] ∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)对任意的x∈R都有f(-x)=f+x,∴函数f(x)=4cos(ωx+φ)的图像的一条对称轴为x=,∴ω×+φ=kπ(k∈Z),∴g=sin(kπ)-2=-2.16.B[解析] 由题意可得函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1的最大值为3.∵f (x)的图像与直线y=3相邻两个交点的距离为,∴f(x)的周期T=,∴=,解得ω=3,∴f(x)=2cos(3x+φ)+1.∵f(x)>1对任意x∈-,恒成立,∴2cos(3x+φ)+1>1,即cos(3x+φ)>0,对任意x∈-,恒成立,∴-+φ≥2kπ-且+φ≤2kπ+,k∈Z,解得φ≥2kπ-且φ≤2kπ,k∈Z,即2kπ-≤φ≤2kπ,k∈Z.结合|φ|<可得当k=0时,φ的取值范围为-,0.。

高三数学一轮复习课时作业18 三角函数的图象与性质新

课时作业(十八) [第18讲三角函数的图象与性质][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R2．[2011·枣庄模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x3．[2010·江西卷] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 4．[2010·上海卷] 函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.能力提升5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在a ∈(0，π)，使得f (x ＋a )＝f (x －a )恒成立，则a 的值是( )A.π6B.π3C.π4D.π27．若x 为三角形中的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x 的值域是( )A ．(1，2] B.⎝⎛⎦⎥⎤0，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 8．函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3C ．π D.4π310．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为________．11．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．12．设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是________．13．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2； ④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0.其中正确命题的序号是________．14．(10分)[2011·朝阳二模] 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．15．(13分)[2011·湖南省“六校联考”] 已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为6.(1)求常数m 的值及函数f (x )图象的对称中心；(2)作函数f (x )关于y 轴的对称图象得函数f 1(x )的图象，再把函数f 1(x )的图象向右平移π4个单位得到函数f 2(x )的图象，求函数f 2(x )的单调递减区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．课时作业(十八)【基础热身】1．C [解析] 由题意得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故选C.2．B [解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.3．C [解析] y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，故选C. 4．π [解析] 由周期公式得T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【能力提升】5．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.6．D [解析] 设x －a ＝t ，得x ＝t ＋a ，则f (x ＋a )＝f (x －a )可化为f (t ＋2a )＝f (t )，即函数f (x )是周期为2a 的周期函数，又f (x )的最小正周期为π，且a ∈(0，π)，∴a ＝π2，故选D.7．A [解析] 因x 为三角形中的最小内角，故x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，由此可得y ＝sin x ＋cos x >1，排除错误选项B ，C ，D ，故选A.8．C [解析] 如图所示，画出函数y ＝sin πx 和y ＝14x 的图象，在[0，＋∞)上，两个函数图象有4个交点，∴在(－∞，＋∞)上，方程sin πx ＝14x 的解有7个，即函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是7，故选C.9．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.10．π [解析] f (x )＝(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.11.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z [解析] 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z. 12．(99,0) [解析] 由12πx ＝π2＋k π，k ≥0且k ∈Z ，得图象的对称中心横坐标为x＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得A 50的坐标是(99,0)．13．④ [解析] ①正切函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0.14．[解答] (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 15．[解答] (1)f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋m＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋m ， ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.∴m ≤f (x )≤3＋m ，∴3＋m ＝6，m ＝3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4. 所以函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，4，k ∈Z . (2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4，得f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＋4. 所以f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＋4＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋4. 因为－π2＋2k π≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z .所以π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，所以函数f 2(x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z . 【难点突破】16．[解答] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4， ∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数．综上得ω＝23或ω＝2.。

2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练18三角函数的图像与性质文北师大版08

k∈
Z.]
28
三、解答题 9．(2016 ·北京高考 ) 已知函数 f ( x) ＝ 2sin ω xcos ω x＋ cos 2 ωx( ω >0) 的最小正周期为
π. (1) 求 ω 的值；
(2) 求 f ( x) 的单调递增区间． [ 解 ] (1) 因为 f ( x) ＝ 2sin ω xcos ω x＋ cos 2 ω x
π
π
π
7．已知函数 f ( x) ＝ 2sin( ω x＋φ ) ，对于任意 x 都有 f 6 ＋ x ＝ f 6 － x ，则 f 6 的值为
第 2页共 6页
会当凌绝顶，一览众山小
________ ．
2 或－ 2
[ ∵f
π 6＋
x
＝f
π 6－
x
，
∴ x＝ π 是函数 f ( x) ＝ 2sin( ω x＋ φ ) 的一条对称轴， 6
2x
＋
π 4
，最小正周期为
π，为非奇非偶函数，不
符合题意；
D 项， y＝ sin x＋ cos x＝ 2sin
x＋ π 4
，最小正周期为
2π ，为非奇非偶函数，不符
合题意． ]
4．若函数
y＝ cos
π ωx＋ 6
( ω ∈ N*) 图像的一个对称中心是
π 6
，
0
，则 ω 的最小值为
(
)
A． 1 C． 4
D． R
C
[ 由 cos
3 x－ 2 ≥0，得
cos
x≥
3 2 ，∴
2kπ
－
π 6
≤x≤２kπ
π ＋6
，
k∈
Z.]

高中数学(文)统考版 复习 课时作业 18三角函数的图象与性质