数理统计习题与解答(赵选民版)2 - 副本

习题一
1．设总体 X 服从泊松分布，即 X 的分布律为
P{X = k} = λ k e−λ , k = 0,1, 2 , λ > 0,
k!
X1, X 2 ,…, X n 是来自总体 X 的样本，试求：
(1) ( X1, X 2 ,…, X n )T 的联合分布律；(2) EX，DX，ESn2 , ESn*2. 解：（1） X1, X 2 ,…, X n 是来自总体 X 的样本， X 服从泊松分布
的分布密度。
T = X1 + X2 + + Xn
X2 n+1
+
X2 n+2
+
+
X
2 2n
解：由于 ( X1, X 2 ,…, X 2n )T 是来自正态总体 N (0,σ 2 ) 的一个样本，则
X1 + X2 + nσ
+
Xn
~
N (0,1) ，
X
2 n+1
+
X2 n+2
+
σ2
+
X
2 2n
~
χ 2 (n) ，且相互பைடு நூலகம்立，从而
0,
x≤0
解：（1）Y =
n
m∑ Xi
i =1
=
n+m
∑ n
X
2 i
i = n +1
n
∑ Xi
i =1
nσ
∑m+n ⎛
i = n +1 ⎜⎝
Xi σ
⎞2 ⎟⎠
m
∑ 因为 Xi 服从 N (0,σ 2 ) (i = 1, 2,…, n, n +1,…, n + m) 且相互独立，所以
1 nσ
n
X i 服从正
服从 N (0,1) 。
mn
又
mS12m σ2
~
χ 2 (m −1)
，
nS22n σ2
~
χ 2 (n −1)
且相互独立，所以，
V = mS12m + nS22n ~ χ 2 (m + n − 2) ，且U = α ( X − μ1) + β (Y − μ2 ) 与相互独立从而，由 t
σ2 σ2
σ α2 + β2
本，试求最小次序统计量 X (1) 、最大次序统计量 X (n) 、及第 k 个次序统计量 X (k ) 的分布密
度。
⎧ 0， x < 0
解：知
X
的分布函数为
F ( x)
=
⎪ ⎨
x
2，0
≤
x
<1
⎪⎩ 1， x ≥ 1
( ) ( ) [ ] fX(1) (x) = n 1− F (x) n−1 f (x) = n 1− x2 n−1 ⋅ 2x = 2n 1− x2 n−1 x, 0 < x < 1.
=
1 n
n i =1
X
2 i
是参数σ 2 的充分完备统计量。
2．设总体 X ~ N (μ,σ 2 ) ， μ ，σ 2 已知， ( X1, X 2 , , X N )T 是来自总体 X 的一个样本，
n
∑ 试求统计量T = ( Xi − μ)2 的分布密度。 i =1
∑ ∑ 解：记Yi
=
Xi − μ σ
mn
分布的定义得：
Z = α ( X − μ1) + β (Y − μ2 ) ~ t(m + n − 2) mS12m + nS22n α 2 + β 2 m+n−2 m n
8．设总体
X
的分布密度为
f
(x)
=
⎧2x,
⎨ ⎩
0,
0< x <1 其他
(X1, X2,
, X n )T 为来自总体 X 的样
i =1
∑ ∑ ∑ 态分布 N (0,1) ，又因为
m+n ⎛ i = n +1 ⎜⎝
Xi σ
⎞2 ⎟⎠
服从
χ
2 (m)
，且
1 nσ
n i =1
Xi
与
m+n i = n +1
⎛ ⎜⎝
Xi σ
⎞2 ⎟⎠
相互独
立，所以 Y =
n
m∑ Xi
i =1
~ t(m) 。
n+m
∑ n
X
2 i
i = n +1
(2)
P( X1 = x1, X 2 = x2 ,
n
∑ xi
∏ ∏ , Xn
= xn ) =
n i =1
P( X i
= xi ) =
n i =1
λ xi e−λ xi !
=
λ i=1 x1 !x2 !
e−nλ ， xn !
∑ EX
=
DX
=
λ，X
=
1 n
n i =1
Xi
，
∑ ∑ ∑ ∑ E (X ) = E(1 n
( ) ( ) fX(k)
(x)
=
(k
n!
− 1)!( n
−
k
)![F
] (x) k−1
[1 −
F
] (x) n−k
f
(
x)
=
(k
n!
− 1)!( n
−
k
)!
x2
k −1
1− x2
n−k ⋅ 2x, 0 < x < 1
因此，
( ) [ ] f X(n) (x) = n F (x) n−1 f (x) = n ⋅ x2 n−1 ⋅ 2x = 2nx2n−1, 0 < x < 1.
Sn
n +1
6. 设 ( X1, X 2 ,…, X m )T 和 (Y1,Y2 ,…,Yn )T 分别是来自两个独立的正态总体 N (μ1,σ 2 ) 和
N (μ2 ,σ 2 ) 的样本，α 和 β 是两个实数，试求
Z = α ( X − μ1) + β (Y − μ2 ) mS12m + nS22n α 2 + β 2 m+n−2 m n
, Xn
⎪⎩ 0, x ≤ 0,
为来自总体 X 的样本，证明样本均值 X 是参数θ 的充分完备统计量。
解：样本（X1, X 2 ,
,
X
）T 的联合分布密度为
n
n
∑ xi
（L x1,
x2 ,…,
xn ;θ）=
1 θn
−
e
i=1
θ
，则
（L x1,
x2 ,…,
xn ;θ）=
1 θn
− nT
eθ
为指数型分布族；
∑ （2） E
1 k
n
|
i =1
Xi
−
__
X
|=
n k
E|
Xi
−
__
X
| ，而
Xi
−
__
X
=
Xi
−
( X1
+
X2 + n
+
Xn)
=
(n −1) n
Xi
−
1 n
(X1
+
+ X i−1 + X i+1 +
+ Xn)
所以
E(Xi
−
__
X
)
=
0
，
D( X i
−
__
X)
=
(n −1)2 n2
σ
2
+
1 n2
(n
∑ T
=
1 n
n i =1
X
2 i
是参数σ 2 的充分完备统计量。
解：由于 ( X1, X 2 ,…, X n ) 是来自正态总体 N (0,σ 2 ) 的一个样本，则 ( X1, X 2 ,…, X n ) 的联
合概率密度函数为：
f
(
x1
,
x2
,…,
xn
;σ
2
)
=
⎛ ⎜⎝
∑ 1 ( ) 2π
⎞n ⎟⎠
χ 2 (m) 且相互独立，所以 Z =
i =1 n+m
~ F (n, m) 。
∑ n
X
2 i
i = n +1
5．设 (X1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n )T 是来自正态总体 Ν(μ,σ 2 ) 的样本，X 和 Sn2 是样本均值和样本方差；
又设 X n+1 ~ N (μ,σ 2 ) ，且与 X1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n 独立，试求统计量
n i =1
Xi) =
1 n
n
EX i
i =1
=
1 ⋅ n⋅λ = λ ， D(X ) = D(1
n
n
n i =1
Xi) =
1 n2
n
DX i
i =1
=λ n
n
n
∑ ∑ ( Xi − X )2 = Xi2 − nX 2 ，
i =1
i =1
n
n
∑ ∑ E( ( Xi − X )2 ) = EXi2 − nEX 2 = (n −1)DX = (n −1)λ
~
N (0, n +1σ 2 ) ， n
即
X n+1 − X
~ N (0,1)
，且
X n+1
−
X
与