幂函数的概念

第7讲 幂函数
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1. 了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝
了解它们的变化情况.
的图象，
1．幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα(α∈R) 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．对于 幂函数，一般只讨论α＝1,2,3， ，－1时的情形． 提示：y＝x2是幂函数． y＝2x不是幂函数，是指数函数． 二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置， 而指数函数的自变量在指数位置．
1．设α∈
，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有
α值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
解析：根据幂函数的定义和性质易得x＝1,3时，定义域为R且为奇函数．
答案：A
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象
限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
∴m＝1. 而y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a＋1) ＜(3－2a) 等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a ＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a. 解得a＜－1或 故a的取值范围为
变式2：方程 A．0
＝logsin 1x的实根个数是(
B．1
C．2
) D．3
解析：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y1 = 和y2 = y2=logsin 1x的图象，可知只有唯一交点(如右图所示)． 答案：B
对幂函数性质的考查，主要是幂函数的定义域、奇偶性及单调性的考查．
【例3】 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上
2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1的图象 分别如下图．
提示：幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不 尽相同．但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇 偶性决定．
3．幂函数的性质
特 征 函数 y＝x 性质
【方法规律】
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意 并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不 是幂函数．
2．在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记为“指大图低”)， 在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势，故函数只能说在定义域 的两个子集上分别为减函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0 ＜3－2a这种情况容易被忽略，应引起注意．
【规范解答】
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又∵函数图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数． 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数，
【例1】 比较下列各组值的大小：
(1)
和
；
(2)
；
(3)0.20.5和0.40.3.
思维点拨：利用性质、中间值作转化．
解：(1)
＝
，由于幂函数y＝
在(0，＋∞)上是减函数，
所以 (2)由于 因此
(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数， 所以0.20.5＜0.20.3. 又由于幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)是递增函数， 所以0.20.3＜0.40.3，故有0.20.5＜0.40.3.
幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用．
【例2】 点( ，2)在幂函数f(x)的图象上，点
在幂函数g(x)的
图象上，问当x为何值时，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．
思维点拨：由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，
再利用图象判断即可．
解：设f(x)＝xα，则由题意得2＝( )α，∴α＝2， 即f(x)＝x2，再设g(x)＝xβ，则由题意得 ＝(－2)β， ∴β= -2，即g(x)= ，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象， 如图所示． 由图象可知： ①当x＞1或x＜-1时，f(x)＞g(x)； ②当x=±1时，f(x)=g(x)； ③当-1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
是
减函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论函数φ(x)＝a
的奇偶性．
解：(1)∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3.又m∈Z， ∴m＝0,1,2，∴m2－2m－3＝－3或－4. 又∵f (x)为偶函数，∴f (x)＝x－4. (2)由(1)得φ(x)＝ －bx3，φ(－x)＝ ＋bx3. ①当a≠0，且b≠0时，φb (x)为非奇非偶函数； ②当a ＝0，且b≠0时，φ(x)为奇函数； ③当a ≠0，且b＝0时，φ(x)为偶函数； ④当a ＝0，且b＝0时，φ(x)既为奇函数又为偶函数．
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误．
答案：C
3．已知点
在幂函数f(x)的图象上，则fHale Waihona Puke Baidux)的表达式是( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：设幂函数f(x)＝xα (α∈R)，则
∴α＝
＝－3，∴f(x)＝x－3.
变式3：已知幂函数f(x)的图象过点( ，3 )，函数g(x)是偶函数， 且当x∈[0，＋∞)时，g(x)＝ .求f(x)与g(x)的解析式． 解：设f(x)＝xα，∵其图象过( ，3 )点， 故3 ＝( )α，即( )3＝( )α， ∴α＝3，故f(x)＝x3. 令x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)． ∴g(－x)＝ 又∵g(x)是偶函数，故g(－x)＝g(x)， ∴g(x)＝(－x) ，x∈(－∞，0)， ∴g(x)＝ 故g(x)＝ （x∈R).
定义域
R
值域
R
奇偶性
奇
单调性
增
定点
y＝x2
R
[0，＋∞)
偶
x∈[0，＋∞) 时，增
x∈(－∞，0] 时，减
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且 x≠0}
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且 y≠0}
奇 非奇非偶
奇
x∈(0，＋∞)
时，减
增
增
x∈(－∞，0)
时，减
(0,0)，(1,1)
(1,1)
已知幂函数y＝ 减函数，求满足
(m∈N*)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是 的a的取值范围．
【阅卷实录】
【教师点评】
解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关 于a的不等式组．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函 数必在定义域内是减函数的认识误区．从而误用性质产生错误，事实上由幂函数y＝
答案：B
4．若函数f(x)＝
，则f(f(f(0)))＝ _____________________.
解析：f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1. 答案：1
有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进 行比较．一般地，几种幂值的比较方法如下： ①幂的底数相同，指数不同型 可以利用指数函数的单调性进行比较． ②幂的底数不同，指数相同型 可以利用幂函数的单调性进行比较． ③幂的底数不同，指数不同型 常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小， 确定两个幂值的大小．