求函数值域的几种方法

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4. 利用反函数的定义域求函数的值域 若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就 是原函数的值域 . 2x 3 例5 求函数 y 的值域. 3x 1 2x 3 解：由 y 3 xy y 2 x 3 3x 1 2 y3 y . x , 3 3y 2 2 所以函数的值域为 y y R , 且 y 3. 注：对于分式函数，如果它的分子和分母都 是 x 的一次式，一般用这种方法求值域比较方便 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
1 t2 x ( t 0) . 2 1 t2 1 2 1 y x 1 2x t t t 2 2 2 1 2 1 1 (t 2t ) (t 1)2 1 . 2 2 2 (t 1)2 0, 且当 t 1 时， (t 1)2 0,
求函数值域的几种方法
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求函数值域的问题，也是高中数学中常见的题型， 下面举例说明求函数值域的几种常用的方法. • 1. 利用配方法求函数的值域 • 对函数 y = f (x)，如果 f (x) = a [ (x)]2 + b，并且 (x) = 0 有实根，则当 a > 0 时，f (x) 的值域是 [ b， +∞）；当 a < 0 时，它的值域是（- ∞，b ] . 例1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x R) 的值域 .
y1.
函数的值域为（- ∞，1 ] .
注：若把函数改为y x 1 2 x , 仍令 t 1 2 x (t 0), 1 t2 1 得 y t (t 1)2 1 2 2 这时若得 y 1，则是错误的 . 事实上，因为 t 0，所以 (t + 1)2 1 .
因函数的定义域非空集，故上述关于 x 的一元二 次方程一定有实根 .
所以判别式 (2 3 y)2 4(2 y 1)( y 2) 0 .
整理得 y 2 3 y 2 0 y 1 或 y 2 .
函数的值域为 y y 1 , 或 y 2 .
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注 ： 若一个函数是分式函数，且其分子分母 都是不超过二次的多项式函数，且其中至少有一 个是二次多项式，则这样的函数就可以用上述方 法求值域 . • 另外，等我们学习了不等式一章之后，还可 以用基本不等式求函数的值域 .
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .

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6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
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5. 利用函数单调性求值域 设函数 y = f (x) 在某一区间上是单调的，且函数 在两个端点处的函数值（或左、右极限）为 a、b， 则 a、b 就是这个函数的最大、最小值（或上、下确 界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域.
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）. 当 x 1 时，函数单调递增 .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
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3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
解：y = 2(源自文库x –1 )2 + 3，
由于 2( x –1 )2 0 ， y 3 .
函数的值域为 [ 3，+ ∞）. 注：对于二次函数，都可以用这种配方的方法 求函数的值域 .
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2. 利用换元法求函数的值域
例2 求函数 y x 1 2 x 的值域.
解：令 1 2 x t，则 1 2 x t 2 ,