第四章——流体动力学分析基础
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流体力学第4章9
2014-10-1
28
通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
2014-10-1 11
第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
2014-10-1 31
2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是研究流体的运动规律和性质的科学，它是流体力学的分支之一，广泛应用于航空、航天、水力、能源等领域。
本文将介绍流体动力学的基础概念、基本方程以及常用方法。
一、流体动力学的基本概念1. 流体力学与流体静力学的区别流体力学研究流体在运动中的行为，包括流体的流动速度、压力、密度等参数的分布规律；而流体静力学则研究流体在静止状态下的平衡规律，主要关注流体的静压力和浮力等性质。
2. 流体的本构关系流体的本构关系描述了流体的应力与变形速率之间的关系。
常见的本构关系有牛顿黏性流体、非牛顿流体以及理想流体等。
3. 流体的运动描述流体的运动可以通过流体速度场来描述，流体速度场是空间中的矢量函数，它描述了流体的速度分布。
流体速度场的描述可以使用欧拉描述方法或者拉格朗日描述方法。
二、流体动力学的基本方程1. 连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理，即单位时间内通过某一截面的质量是恒定的。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，连续性方程可表示为流体密度与速度之积在空间中的量级是恒定的。
2. 动量方程动量方程是描述质点运动定律的基本方程，对流体来说，动量方程体现了运动流体的动力学行为。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，动量方程可表示为流体的密度乘以速度与压力梯度的叠加等于外力的结果。
3. 能量方程能量方程描述了热力学系统的能量守恒原则，对于流体来说，能量方程考虑了流体的流动对能量转移的影响，以及热源、做功所导致的能量变化。
三、流体动力学的常用方法1. 数值模拟方法数值模拟是流体动力学研究的重要工具，通过在计算机上建立流体动力学方程的数值解，可以模拟复杂流动现象，如湍流、多相流等。
2. 实验方法实验方法是流体动力学研究的另一重要手段，通过搭建实验平台，测量流体的压力、速度等参数，从而验证理论和数值模拟结果的准确性。
3. 理论分析方法理论分析方法是流体动力学研究中的基础，通过建立假设和推导数学表达式，可以得到流体动力学问题的解析解，为实验和数值模拟提供参考。
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
38
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体动力学基础工程流体力学闻建龙
z p p dy p p dz
y 2
z 2
y
x
第一节 理想流体的运动微分方程
x方向
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
Hale Waihona Puke dydzy方向p
p y
dy 2
dzdx
p
p y
dy 2
dzdx
z方向
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
p
p
根据牛顿第二定律建立欧拉运动微分程。
在运动的理想流体中，取一微元六面体，如图示。
理想流体不存在粘性，运动时 不产生切应力，只有正应力。
各方向所受压力为
1. 表面力 理想流体中没有切应力
p
p z
dz 2
p
p
dy
y 2
p p dx
x 2 dz A
p p dx x 2
dy dx
（摩擦力），作用在微元体 上的表面力只有重直指向作 用面的压力。
（2）沿同一微元流束（流线）积分。 因定常流动，流线与迹线重合，即
dx dt
vx ,
dy dt
vy,
dz dt
vz
（3）质量力只有重力。即
fx 0, f y 0, fz g
第二节 伯努利方程
将欧拉运动微分方程各式分别乘以同一流线上的微元线段矢 量ds的投影dx、dy、dz，然后相加得
fx
z方向
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
dxdy
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
第4章_流体动力学微分形式的基本方程
u z t
u x x
2u x ) 2 z 2u y ) 2 z 2u z ) 2 z
给出定解条件
初始条件
边界条件
理论上，方程组可解。
2. N－S方程组的特点 非线性
二阶
u u u u x x x x x y z ( u u u ) x y z t x y z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
yx u u u u x x x x xx zx ( u u u ) X x y z t x y z x y z
对于恒定流动： 0 , ( u ) 0 t
u 0 对于不可压缩流体：
u u u y x 或 z 0 x y z
柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：
1 ( ru ) 1 u u r z 0 r r r z
存在问题： 方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
xx
p 2 p 2 p 2
yx
yy
zz
xy
yz
zy
zx
xz
u x x u y y u z z u y u x ( ) x y u y u z ( ) y z u x u z ( ) z x
偏微分
方程组
一般情况下， N－S方程组难于求解。
3. 主要解法
（1）层流精确解 对于某些简单流动，非线性项为零， 可求得精确解。例如： ① 平行平板间的二维恒定层流运动
流体动力学
p60例4-7
(4-2)
4 倾斜式微压计 (p60)
当测量的压力很小时，由于在竖直的玻璃管中液面
高度变化很小，给读数造成困难，使测量误差增大。为 了提高测量的精确度，可以采用倾斜式微压计，如图411。当单管压力计的玻璃管倾斜角为α时，倾斜管中液 面高度由h1变为L
L h sin
由上式得知，
L比h1扩大了1/sin α倍。 由此可见，在相同的压
三、流体的压缩性与膨胀性 (p53)
流体的体积还随温度变化而变化，当温度升高，
则体积膨胀，这称流体的膨胀性。用膨胀系数表示，
它表示流体压力不变时，温度每增加1℃，单位体积的
增加量。即
v = (ΔV/V)/Δt v ——流体膨胀系数，1/K；
ΔV/V ——单位体积的膨胀量； Δt ——温度增加量，K。
g
由图可知，任一点的位置能头 与压力能头之和为一常数H， 即：
Z A hA ZB hB
Z A pA / g ZB pB / g
Z p / g 常数
(4-13)
5 静止液体的能头 (p61)
上式(式4-13)说明，容器内任一点的压力 能头与位置能头随点的位置不同而不同， 但是这两个能头的和却是一个常数。所以 液体内任一点位置发生变化时能头的和都 是一个常数。又因为如此，所以液体内任 一点位置变化时，其位置能头增加若干米， 则压力能头就减少若干米，反之，点的位 置能头减少若干米，则压力能头就增加若 干米。
由于液体所受压力和温度变化不大时，所引起的 液体体积变化量很小，故液体称不可压缩流体。
四、流体的黏滞性 (p54)
流体运动时，流体间产生内摩擦力的性质叫流体的黏 滞性。内摩擦力具有阻止运动的性质，是流体运动时产生 能量损失的原因。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学-第四章 流体动力学基础
Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入 或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流 入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
第四章 流体动力学微分形式的基本方程
第四章流体动力学微分形式的基本方程§4-1运动流体中的应力张量流体中的应力一、运动流体中的应力张量作微元四面体，如图()cos ,x n nA A n x A Δ=Δ=Δx n ()cos ,y n nA A n y A Δ=Δ=Δy n ()cos ,z n nA A n z A Δ=Δ=Δz n00当()00,0,0dv dx dy dz →→→→n x y zA A A A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p p n x n y n z nA n A n A n A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p pn n n =++x y zxx xy xzp p p =++n x y z x p p p p p i j k yx yy yzzx zy zzp p p p p p =++=++y z p i j k p i j k y 分量公式：nx ny nzp p p =++n p i j k nx x xx y yx z zxp n p n p n p =++ny x xy y yy z zynz x xz y yz z zz p n p n p n p p n p n p n p =++=++⎛xx xy xz p p p ⎞⎜⎟=为对称张量yxyyyz zxzy zz P p p p p p p ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 为对称张量P =++x y z ip jp kp x y z n n n P=++=i 依赖于通过某点的面元方位P是的函数n x y z p p p p n (),t 依赖于通过某点的面元方位，P是的函数.n p r二、理想流体中的应力00p αβαβ≠⎧=⎨1111222233330= nn nn nn p n n p p n n p p n n p βαβ≠⎩===112233nn p p p p ∴===理想流体任一方向应力分量都相等p P p δ=−=−n p n+∇i V =0()t ρ∂t∂:适用惯性坐标系,非惯性坐标系,理想流体和非理想流体.⎛()()200v e ,t ,A A t 2φφφττ⎞==×=+==⎜⎟⎝⎠V, r V ，d d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V VD ∫∫∫∫∫∫∫∫ A Dt ττD ⎛⎞V ∴0d Dt τρρτ−−∇=⎜⎟⎝⎠∫∫∫f P i1yz xz zz z P P w w w w P u v w f t x y z x y z ρ∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂+++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠=+各项物理意义y x dx dy ∂⎛⎞∂⎛⎞⎟⎟P P z dxdydz+dydz+dxdz x y D +dz dxdy dxdydz ρρ⎜⎜∂∂⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞ =f P V （牛顿第二定律）z Dt ⎜⎟∂⎝⎠2Dt ⎝⎠()()()221122R V V e e +q T t λρρ⎛⎞⎛⎞∂++∇+=∇+∇∇⎜⎟⎜⎟∂i i i i i V f V +P V 或⎝⎠⎝⎠§4-5 方程组的封闭性三大方程连续方程动量方程（个）能量方程：连续方程、动量方程（3个）、能量方程。
流体力学_04_流体动力学-1
u x u x u x u x ＝dxdydz t u x x u y y u z z
质量力 时变加速度
u x u x u x 1 p u x X ux uy uz x t x y z
表面力
Y
1 p ux uy uz y t x y z
速度水头
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ伯 努 利 方 程
****************
u2 H z 2g
总水头
14
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
总机械能不变，并 不是各部分能量都保 持不变。三种形式的 能量可以各有消长， 相互转换，但总量不 会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力 学中的具体体现，故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立，也可认为 在元流上成立，所以伯努利方程也就是 理想流体恒定元流的能量方程。
u2 gz Cl 2 p
流线
2
1 o o
或
u2 z Cl 2g p
对同一流线上任意两点 1 和 2 利用 伯努利积分，即有 伯 努 p1 u12 p2 u22 利 z1 z2 2g 2g 方 程 这是流体力学中普遍使用的方程。
10
第三节 理想流体的伯诺里方程
**************** 实际使用中，在测得 h，计算流速 u 时，还 要加上毕托管修正系数 c，即 u c 2 gh
实用的毕托管常将测压 管和总压管结合在一起。
Ⅱ管 Ⅰ管 Ⅰ管测压孔
Ⅱ管测压孔
18
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
补充例题一 测量流速的皮托管如图所示，设被测流 体密度为ρ，测压管内液体密度为ρ1，测压管中液面高 差为h。试证明所测流速 p
质量力 时变加速度
u x u x u x 1 p u x X ux uy uz x t x y z
表面力
Y
1 p ux uy uz y t x y z
速度水头
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ伯 努 利 方 程
****************
u2 H z 2g
总水头
14
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
总机械能不变，并 不是各部分能量都保 持不变。三种形式的 能量可以各有消长， 相互转换，但总量不 会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力 学中的具体体现，故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立，也可认为 在元流上成立，所以伯努利方程也就是 理想流体恒定元流的能量方程。
u2 gz Cl 2 p
流线
2
1 o o
或
u2 z Cl 2g p
对同一流线上任意两点 1 和 2 利用 伯努利积分，即有 伯 努 p1 u12 p2 u22 利 z1 z2 2g 2g 方 程 这是流体力学中普遍使用的方程。
10
第三节 理想流体的伯诺里方程
**************** 实际使用中，在测得 h，计算流速 u 时，还 要加上毕托管修正系数 c，即 u c 2 gh
实用的毕托管常将测压 管和总压管结合在一起。
Ⅱ管 Ⅰ管 Ⅰ管测压孔
Ⅱ管测压孔
18
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
补充例题一 测量流速的皮托管如图所示，设被测流 体密度为ρ，测压管内液体密度为ρ1，测压管中液面高 差为h。试证明所测流速 p
第4章流体动力学基本方程
h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6
工程流体力学-第四章
p
p x
dx
dydz
X
dxdydz
dxdydz
dux dt
X 1 p dux
x dt
X 1 p dux
x dt Y 1 p duy
y dt Z 1 p duz
z dt
——Euler运动方程Βιβλιοθήκη f 1 p u (u )u
t
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表 面力之代数和等于其加速度。 （2）适用条件：理想流体。
z p C
g
急变流：流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面：
1－1、4－4
急变流断面：
2－2、3－3
这样，即可得到：
1
gQ
A (z
p )gudA g
1
gQ
(z
p
g
)
A
gudA
z
p
g
动能修正系数
引入目的： 解决积分
1，
u 2 gudA
gQ A 2g
代之以 V 表达的关系式。
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点
2gQ
A
u3A 2gQ
1
3
u
A
2
dA
u2A
u2 2g
1 3
u
A
2
dA
u2A
动能修正
系数
则
1
u 2 gudA u 2
gQ A 2g
2g
令
hw12
1
gQ
A2 A1
hw 12 gudA
则（2）式变成：
z1
p1
g
1
u12 2g
流体力学第四章 涡旋动力学基础
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。
涡度为零时，流体运动为无旋的；
涡度不等于零时，则对应流体的涡旋运动。
Chen Haishan NIM NUIST
一般情况：流体运 动可以表示为： V Vr V 无旋运动
涡旋运动
重点讨论涡旋部分 Vr 的变化特征及其产生的原因。
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
Chen Haishan NIM NUIST
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V • dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
Chen Haishan NIM NUIST
第四章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大 量存在于自然界中，如大 气中的气旋、反气旋、龙 卷、台风等，大气中的涡 旋运动对天气系统的形成 和发展有密切的关系。
台风 龙卷
Chen Haishan NIM NUIST
大尺度海洋环流
Chen Haishan NIM NUIST
1
p
dt
l
dV dt
.l
l
F .l
l
1
p.l
环流变化方程：
d dt
l
dV dt
l
l l
l
1
p l
l
l
1
p
右端项的处理主要涉及到 P 与 的关系
Chen Haishan NIM NUIST
正压流体：
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。
涡度为零时，流体运动为无旋的；
涡度不等于零时，则对应流体的涡旋运动。
Chen Haishan NIM NUIST
一般情况：流体运 动可以表示为： V Vr V 无旋运动
涡旋运动
重点讨论涡旋部分 Vr 的变化特征及其产生的原因。
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
Chen Haishan NIM NUIST
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V • dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
Chen Haishan NIM NUIST
第四章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大 量存在于自然界中，如大 气中的气旋、反气旋、龙 卷、台风等，大气中的涡 旋运动对天气系统的形成 和发展有密切的关系。
台风 龙卷
Chen Haishan NIM NUIST
大尺度海洋环流
Chen Haishan NIM NUIST
1
p
dt
l
dV dt
.l
l
F .l
l
1
p.l
环流变化方程：
d dt
l
dV dt
l
l l
l
1
p l
l
l
1
p
右端项的处理主要涉及到 P 与 的关系
Chen Haishan NIM NUIST
正压流体：
理想流体动力学基本方程
一、动量方程——流体的运动方程 二、能量方程——伯努利方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
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4.1 系统与控制体 1. 基本物理定律
质量守恒定律 ——连续性方程
动量守恒定律（牛顿运动定律） ——动量方程和动量矩方程 ——内维尔·斯托克斯方程
能量守恒定律（热力学第一定律） ——伯努利方程 ——能量方程
1
4.1 系统与控制体 2. 微分方法和积分方法
微分方法：将基本物理定律应用到流体微元或微元控制体上, 可得到微分形式的基本方程，求解方程可得到物理 量的空间分布规律。
壁面上（V·n）=0,截面1上
（V1·n1）=-V1，截面2上 （V2·n2）=V2，因此
V2dA2 V1dA1 0
4-13
12
4.3 流体流动的连续性方程
对于任意有限截面的流管，如果 和V1 为VA21、A2两个有效 截面上的平均流速，则有
V1 A1 V2 A2
4-13
——不可压缩流体一维流动的连续性方程。
G VA ( / 4)d12V1 53.4(kg / s)
13
4.3 流体流动的连续性方程 3. 可压缩流体定常流动的连续性方程
对于可压缩的定常流动，由式4-11:
r V
gnr
dA 0
c.s
4-14
——对可压缩流体定常流动，通过控制面净流出的质量流量 恒为零
对于任意有限截面的流管，如果 和V1 为VA21、A2两个有效截
适用于任何流体的定常和不定常流动。
11
4.3 流体流动的连续性方程
2. 不可压缩流体的连续性方程
对于定常流动或者不可压缩流体，式（4-11）可以简化为：
r V
gnr
dA
0
c.s
4-12
——对不可压缩流体的流动，通过控制面净流出的体积流量 恒为零
考虑图4-4所示的微元流管内
不可压缩流体的流动，在流管
【例4-1】已知油的密度为850kg/m3，在内径为0.2m 的输
油管道截面上的流速为2m/s，求另一内径为0.05m 的截面上
的流速及管道内的质量流量。
【解】由不可压缩流体连续性方程 V1A1 V有2 A2
V2 V1 d1 / d2 2 20.2 / 0.052 32(m / s)
其质量流量
量的物理量β=dB/dm=1，雷诺输运方程为：
由质量守恒ddmt定律s 知t，c系.v 统d内的c.质s 量Vr不gnr变d，A （dm/dt）4s=-100，所
以
d
r V
gnr
dA 0
t c.v
c.s
4-11
——积分形式的连续性方程，表示通过控制面的净质量流出率
等于控制体内部质量的减少率。
积分方法：将基本物理定律应用到有限体积控制体上，可得 积分形式的基本方程。求解方程可得到物理量在 有限体积区域上的总体量的变化规律。
2
4.1 系统与控制体 3. 系统和控制体
系统：一定质量的流体质点的集合, 相当于热力学中的闭口系
控制体：流场中确定的空间区域 。相当于热力学中的开口系, 其边界面称为控制面.
其中
5
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
所以：
展开后有：
II III I
控制体内B的变化率 B通过控制面 B通过控制面
净流出率
净流入率 6
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
II III I
控制体内物理量B随时间变化率：
由于控制体相对静止且固定不变
7
4.2 雷诺输运定理
I
dAi
II
r Vi
III
r dAo Vo
dE dt
s
t
ed
c.v
e
c.s
r V
nr
dA
联立式（4-15）得
ed
e
r V
nr
dA Q&W&
t c.v
c.s
4-16 4-17
——单位时间内输入系统的热量与环境对系统作功之和，等于控
制体内能量对时间变化率加上通过控制体表面的能量流率。
通常条件下，不考虑系统与外界的热交换，即认为Q=0
no
t
ni
单位时间内通过微元控制面的流出的体积通量为：
单位时间内通过微元控制面的流入的体积通量为：
物理量B的净流出率：
8
4.2 雷诺输运定理 得到雷诺输运方程
dB dt
s
t
d
c.v
c.s
r V
r n
dA
4-8
式中B是系统内任一物理量，β是单位质量的该物理量，即β
=dB/dm；s——系统，c.v ——控制体，c.s ——控制面，V —
通过控制面的作功W&
c.s
面上的平均流速，1 2为两个有效截面上的密度，有
1V1A1 2V2 A2
4-14a
或者
Qm1 Qm2
4-14b
14
4.4 理想流体的能量方程
能量守恒定律——热力学第一定律：系统内的能量变化率等于
单位时间内外界对系统所做的功加上单位时
间内外界传递给系统的热量
dE Q&W& dt
4-15
dE 系统能量对时间的变化率，是空间和时间的函数（状态量） dt
Q& 系统热量随时间的变化率，是时间的函数（过程量）
系统吸热，Q为正值；系统放热，Q为负值。 系统与外界作功随时间的变化率，是时间的函数（过程量）
W& 环境对系统作功，W为正值；系统对环境作功，W为负 Nhomakorabea值。
15
4.4 理想流体的能量方程
对式中4-15系统能量变化率应用雷诺输运方程，则B=E，
β=dE/dm=e
—速度，n ——控制面的外法线方向
——雷诺输运方程。表示了系统内物理量B随时间的变化率， 等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物 理量的静流出率。
9
4.2 雷诺输运定理 2. 雷诺输运方程的物理意义 流体质点参数B的随体导数 = 当地导数 + 迁移导数
——以流体质点和空间坐标点为研究对象，适用于微分分析
3
4.2 雷诺输运定理 1. 雷诺输运方程
描述了系统内流体参数变化与控制体内流体参数的变化之 间的关系。 定义B为系统内任一物理量，β为单位质量的该物理量，则
dB 或者
dm
B dm dV
CV
S
ur
ur
t
t t
4
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
II III I
系统内物理量随时间变化可以表示为：
流体系统参数B的随体导数 = Bc.v对时间的导数 + B的净流出率 ——以系统和控制体为研究对象，适用于控制体分析
定常条件下
dB dt
s
c.s
r V
gnr
dA
4-9
定常条件下系统内物理量B的变化仅与通过控制面的流动有关，
与其内部状态无关，可以得到积分形式的控制方程
10
4.3 流体流动的连续性方程 1. 连续性方程 质量守恒定律——系统内的流体在流动过程中质量不发生变化。 令雷诺输运方程中的物理量B为系统的质量m, 则单位质
质量守恒定律 ——连续性方程
动量守恒定律（牛顿运动定律） ——动量方程和动量矩方程 ——内维尔·斯托克斯方程
能量守恒定律（热力学第一定律） ——伯努利方程 ——能量方程
1
4.1 系统与控制体 2. 微分方法和积分方法
微分方法：将基本物理定律应用到流体微元或微元控制体上, 可得到微分形式的基本方程，求解方程可得到物理 量的空间分布规律。
壁面上（V·n）=0,截面1上
（V1·n1）=-V1，截面2上 （V2·n2）=V2，因此
V2dA2 V1dA1 0
4-13
12
4.3 流体流动的连续性方程
对于任意有限截面的流管，如果 和V1 为VA21、A2两个有效 截面上的平均流速，则有
V1 A1 V2 A2
4-13
——不可压缩流体一维流动的连续性方程。
G VA ( / 4)d12V1 53.4(kg / s)
13
4.3 流体流动的连续性方程 3. 可压缩流体定常流动的连续性方程
对于可压缩的定常流动，由式4-11:
r V
gnr
dA 0
c.s
4-14
——对可压缩流体定常流动，通过控制面净流出的质量流量 恒为零
对于任意有限截面的流管，如果 和V1 为VA21、A2两个有效截
适用于任何流体的定常和不定常流动。
11
4.3 流体流动的连续性方程
2. 不可压缩流体的连续性方程
对于定常流动或者不可压缩流体，式（4-11）可以简化为：
r V
gnr
dA
0
c.s
4-12
——对不可压缩流体的流动，通过控制面净流出的体积流量 恒为零
考虑图4-4所示的微元流管内
不可压缩流体的流动，在流管
【例4-1】已知油的密度为850kg/m3，在内径为0.2m 的输
油管道截面上的流速为2m/s，求另一内径为0.05m 的截面上
的流速及管道内的质量流量。
【解】由不可压缩流体连续性方程 V1A1 V有2 A2
V2 V1 d1 / d2 2 20.2 / 0.052 32(m / s)
其质量流量
量的物理量β=dB/dm=1，雷诺输运方程为：
由质量守恒ddmt定律s 知t，c系.v 统d内的c.质s 量Vr不gnr变d，A （dm/dt）4s=-100，所
以
d
r V
gnr
dA 0
t c.v
c.s
4-11
——积分形式的连续性方程，表示通过控制面的净质量流出率
等于控制体内部质量的减少率。
积分方法：将基本物理定律应用到有限体积控制体上，可得 积分形式的基本方程。求解方程可得到物理量在 有限体积区域上的总体量的变化规律。
2
4.1 系统与控制体 3. 系统和控制体
系统：一定质量的流体质点的集合, 相当于热力学中的闭口系
控制体：流场中确定的空间区域 。相当于热力学中的开口系, 其边界面称为控制面.
其中
5
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
所以：
展开后有：
II III I
控制体内B的变化率 B通过控制面 B通过控制面
净流出率
净流入率 6
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
II III I
控制体内物理量B随时间变化率：
由于控制体相对静止且固定不变
7
4.2 雷诺输运定理
I
dAi
II
r Vi
III
r dAo Vo
dE dt
s
t
ed
c.v
e
c.s
r V
nr
dA
联立式（4-15）得
ed
e
r V
nr
dA Q&W&
t c.v
c.s
4-16 4-17
——单位时间内输入系统的热量与环境对系统作功之和，等于控
制体内能量对时间变化率加上通过控制体表面的能量流率。
通常条件下，不考虑系统与外界的热交换，即认为Q=0
no
t
ni
单位时间内通过微元控制面的流出的体积通量为：
单位时间内通过微元控制面的流入的体积通量为：
物理量B的净流出率：
8
4.2 雷诺输运定理 得到雷诺输运方程
dB dt
s
t
d
c.v
c.s
r V
r n
dA
4-8
式中B是系统内任一物理量，β是单位质量的该物理量，即β
=dB/dm；s——系统，c.v ——控制体，c.s ——控制面，V —
通过控制面的作功W&
c.s
面上的平均流速，1 2为两个有效截面上的密度，有
1V1A1 2V2 A2
4-14a
或者
Qm1 Qm2
4-14b
14
4.4 理想流体的能量方程
能量守恒定律——热力学第一定律：系统内的能量变化率等于
单位时间内外界对系统所做的功加上单位时
间内外界传递给系统的热量
dE Q&W& dt
4-15
dE 系统能量对时间的变化率，是空间和时间的函数（状态量） dt
Q& 系统热量随时间的变化率，是时间的函数（过程量）
系统吸热，Q为正值；系统放热，Q为负值。 系统与外界作功随时间的变化率，是时间的函数（过程量）
W& 环境对系统作功，W为正值；系统对环境作功，W为负 Nhomakorabea值。
15
4.4 理想流体的能量方程
对式中4-15系统能量变化率应用雷诺输运方程，则B=E，
β=dE/dm=e
—速度，n ——控制面的外法线方向
——雷诺输运方程。表示了系统内物理量B随时间的变化率， 等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物 理量的静流出率。
9
4.2 雷诺输运定理 2. 雷诺输运方程的物理意义 流体质点参数B的随体导数 = 当地导数 + 迁移导数
——以流体质点和空间坐标点为研究对象，适用于微分分析
3
4.2 雷诺输运定理 1. 雷诺输运方程
描述了系统内流体参数变化与控制体内流体参数的变化之 间的关系。 定义B为系统内任一物理量，β为单位质量的该物理量，则
dB 或者
dm
B dm dV
CV
S
ur
ur
t
t t
4
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
II III I
系统内物理量随时间变化可以表示为：
流体系统参数B的随体导数 = Bc.v对时间的导数 + B的净流出率 ——以系统和控制体为研究对象，适用于控制体分析
定常条件下
dB dt
s
c.s
r V
gnr
dA
4-9
定常条件下系统内物理量B的变化仅与通过控制面的流动有关，
与其内部状态无关，可以得到积分形式的控制方程
10
4.3 流体流动的连续性方程 1. 连续性方程 质量守恒定律——系统内的流体在流动过程中质量不发生变化。 令雷诺输运方程中的物理量B为系统的质量m, 则单位质