高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练

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高一数学充分条件与必要条件练习题及答案详解

高一数学充分条件与必要条件练习题及答案详解Last revised by LE LE in 2021例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D⇒⇒⇔说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ] A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的必要条件，∴C D②∵是成立的充要条件，∴③C B C B⇔由①③得A C ④ 由②④得A D ．∴D 是A 成立的必要条件．选B ．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定．解解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件．例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A(B ∪C)，条件A B 是 [ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A(B ∪C)，但AB 不成立，综上所述：“A B ”“A(B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“AB ”．即“AB ”是“A(B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|；(3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．其中p 是q 的充要条件的有[ ]A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组分析使用方程理论和不等式性质．解 (1)p 是q 的必要条件 (2)p 是q 充要条件 (3)p 是q 的充分条件(4)p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112⎧⎨⎩+⎧⎨⎩x 269分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222⇒+⎧⎨⎩⎧⎨⎩x x x x x x 1212126933 说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩ ⇔⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)， ∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时，x ＝－．故排除、、选．12A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件分析画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s) r 是q 的充要条件；(r q ，q s r) p 是q 的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0AB A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ．解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y要条件分析将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y x xy- 则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩y xy故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011x y x y xy x yx y xy 0()x y xy 0⎧⎨⎩2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪1111x yx y说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ⇒⇒⇔解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥a b pq(p a b a4b 0)2ab21 11⎧⎨⎩⎧⎨⎩(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[ ] A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。

人教A版(2019)高中数学必修第一册1.4.1充分条件与必要条件课时训练

1.4.1 充分条件与条件必要1．设x ∈R ，则“02x <<”是“38x <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“0x ≠”是“0x <”的（）A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若a ，b ，c 是ABC 的三条边，则“222a b c ab bc ca ++=++”是“ABC 是等腰三角形”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合M ＝{2，m }，N ＝{1,2,3}，则“3m =”是“M N ⊆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，(],B a =-∞，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为（）A ．2a C ．2a ≥D ．2a ≤ 7．若,x y R ∈，则22x y >是1x y >成立的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．“0x ≥”是“20x x -≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设m 为给定的实常数，命题:p x ∀∈R ，2420x x m -+≥，则“m 1≥”是“p 为真命题”的（）. A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，“B C ∠=∠”是“ABC 是等腰三角形”的________条件12．已知条件p ：2k －1≤x ≤－3k ，条件q ：－1<x ≤3且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围是_______． 13．已知a ，b ，c ∈R ，则“22ac bc >”是“a b >”的________条件.14．已知曲线C ：()3f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.15．设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 16．已知集合{}|13A x x =-<<，集合(){}2|25250B x x k x k =+--<，k ∈R . （1）若1k =时，求B R ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.17．已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}24B x x =-≤≤（1）2a =时，求A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围．18．集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，（1）当1a =，集合A 是B 的什么条件？（2）若A 是B 的必要不充分条件，求a 的值.19．已知a R ∈，集合()(){}10A x x a x a =--+≤，函数y =B . （1）若A B φ⋂≠，求a 的取值范围；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围.20．已知2:60p x x --+≤，q ：3|1|2x m +-≤．（1）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）当1m=时，若()p q ⌝∨为真，()p q ⌝∧为假，求实数x 的取值范围.21．设命题:p 实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a >；命题:q 实数x 满足()3log 11x -<. （1）当1a =时，若命题p 和命题q 皆为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.22．设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2560x x -+≤. （1）若1a =，且p q ∧是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.23．已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系．24．已知0a >，1a ≠，()2:log 2119a p x x -+-有意义，:q 关于x 的不等式()22210x a x a a -+++<. （1）若p 是真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.25．设:p 实数a 满足不等式3113a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点.若p q ∧为真命题，并记为r ，且1:2t a m >+或a m <.若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.参考答案1．A【分析】由02x <<与38x <互相推出的情况结合选项判断出答案．【详解】38x <，2x ∴<由02x <<可以推出2x <，而2x <不能推出02x <<则“02x <<”是“38x <”的充分而不必要条件故选：A2．C【分析】由必要不充分条件的定义判断即可．【详解】由0x ≠不能推出0x <，而0x <可以推出0x ≠所以“0x ≠”是“0x <”的必要而不充分条件故选：C3．B【分析】分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或2x <-；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B4．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可.【详解】解：若“ABC 是等腰三角形”，则当=≠a b c ，则222a b c ab bc ca ++=++不一定成立，若222a b c ab bc ca ++=++，则222222222a b c ab bc ca ++=++，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，即0a b -=，0b c -=，0c a -=，则a b c ==，则“ABC 是等腰三角形”成立，即“222a b c ab bc ca ++=++”是“ABC 是等腰三角形”充分不必要条件，故选：A .【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键.比较基础. 5．A【分析】由M N ⊆求出m 得值，结合选项判断即可．【详解】若M N ⊆，则1m =或3m =即“3m =”是“M N ⊆”的充分而不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件，考查集合间的关系，属于基础题．6．A【分析】化简集合A ，利用x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，可得集合间的关系，进而求出实数a 的取值范围．【详解】(){}{}{}lg 2202A x y x x x x x ==-=->=<，(],B a =-∞，由于x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则A B ，2a ∴<．故选：A ．【点评】本题考查充分必要条件的应用，考查集合间的关系，考查对数函数的应用，属于基础题． 7．B 【分析】根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立．【详解】由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩，所以22x y >，反之不成立，例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立．所以22x y >是1x y >成立的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．B【分析】解一元二次不等式化简20x x -≤，利用定义法可得答案．【详解】20x x -≤等价于01x ≤≤，则“0x ≥”不能推出“01x ≤≤”；而“01x ≤≤”能推出“0x ≥” 即“0x ≥”是“20x x -≤”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查充分必要条件的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．9．B【分析】先分析命题p 成立时m 的取值范围，然后分析m 1≥与所求范围的关系，从而判断出是何种条件.【详解】当命题p 为真命题时，1680m ∆=-≤，所以2m ≥，又因为m 1≥不能推出2m ≥，如 1.5m =；但2m ≥可以推出m 1≥，所以“m 1≥”是“p 为真命题”的必要不充分条件，故选：B.【点评】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．A【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点评】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.11．充分不必要【分析】根据等腰三角形的概念，以及充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】若B C ∠=∠,则ABC 是等腰三角形；又ABC 是等腰三角形，则B 与C ∠不一定相等；故“B C ∠=∠”是“ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.12．{k |k ≤－1}【分析】由p 是q 的必要条件，可得两个命题所对应的集合的包含关系，列出不等式可得实数k 的取值范围．【详解】因为p 是q 的必要条件，所以{x |－1<x ≤3}⊆{x |2k －1≤x ≤－3k }，应满足：21133k k -≤-⎧⎨-≥⎩，解得k ≤－1，故答案为：{k |k ≤－1}13．充分非必要【分析】利用22ac bc >可推出a b >，而a b >不能推出22ac bc >，判断出命题的关系．【详解】由22ac bc >可推出a b >，而a b >不能推出22ac bc >，比如0c 时，22ac bc =则“22ac bc >”是“a b >”的充分非必要条件故答案为：充分非必要【点评】本题考查充分必要条件的应用，考查不等式的性质，属于基础题．14．充分不必要【分析】由已知可得，曲线C 与直线l 均过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断【详解】()231f x x '=-，直线l ：y ax a =-过点()1,0，曲线C 也过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，则切线为()2300312y x x x =--，则2030312x a x a ⎧-=⎨=⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩或01214x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题.15．必要不充分【分析】根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若a ∥b ，则cos 2θ－sin 2θ＝0，即cos 2θ－2sinθcosθ＝0.得cosθ＝0或tanθ＝12.所以“cosθ＝0或tanθ＝12”是“tanθ＝12”的必要不充分条件，即“a ∥b ”是“tanθ＝12”的必要不充分条件．【点评】本题考查了充分必要条件、向量平行的坐标表示，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于基础题.16．（1）[)5,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[)3,+∞. 【分析】（1）若1k =，化简集合B ，利用补集和并集的定义进行计算可得答案；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集，分52k <-，52k =-和52k >-分别求出集合B ，列出不等式可得实数k 的取值范围．【详解】（1）若1k =，{}25|2350|12B x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭则R B =[)5,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，A B =5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集，(){}()(){}2|25250|250B x x k x k x x k x =+--<=-+< 当52k <-时，5,2B k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不合题意；当52k =-时，B φ=，不合题意；当52k >-时，5,2B k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，只需3k ≥；综上可得：实数k 的取值范围是[)3,+∞．【点评】结论点睛：本题考查集合的交并补运算，考查充分不必要条件的应用，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．17．（1）{}|27A B x x ⋃=-≤<；（2）()1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）把2a =代入A 确定出A ，求出A B 即可；（2）由x A ∈是x B ∈成立的充分条件，得到A 为B 的子集，分A 为空集与A 不为空集两种情况求出a 的范围即可．【详解】（1）当2a =时，{}17A x x =<<，则{}|27A B x x ⋃=-≤<；（2）x A ∈是x B ∈成立的充分条件，A B ∴⊆，①若A =∅，则123a a ->+，解得4a ；②若A ≠∅，由A B ⊆得到，12312234a a a a -+⎧⎪--⎨⎪+⎩解得：112a -，综上：a 的取值范围是()1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于中档题．18．（1）既不充分也不必要条件；（2）0a =或13或15【分析】（1）当1a =时，分别化简集合A 和B ，利用定义可判断出集合A 是B 的既不充分也不必要条件；（2）分B φ=和B φ≠两种情况，利用A 是B 的必要不充分条件，求出a 的值．【详解】（1）当1a =时，{}2{|8150}3,5A x x x =-+==，{}{|10}1B x x =-== 则集合A 是B 的既不充分也不必要条件；（2）当0a =时，B φ=，满足题意；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A 是B 的必要不充分条件，则13a=或15a =，解得13a =或15 综上可得：0a =或13或15【点评】本题考查充分必要条件，考查集合间的关系，考查分类讨论思想，属于中档题． 19．（1）3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）化简集合A ，求出集合B ，由A B φ⋂≠可得a 的取值范围；（2）x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，即B 是A 的真子集，列不等式求出a 的取值范围即可．【详解】()(){}[]101,A x x a x a a a =--+≤=- 令()123log 230023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即3,22B ⎛⎤= ⎥⎝⎦（1）∵A B φ⋂≠，∴32a <且21a ≥-，即3,32a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）由题知B 是A 的真子集，故2a ≥且312a -≤，即52,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 20．（1）32m ≥；（2）(){}1,23⋃-. 【分析】（1）分别先计算,p q 中的不等式，然后根据p ⌝是q 的充分不必要条件转化为基本的包含关系，进行计算即可.（2）依据题意可知p ⌝与q 一真一假，根据（1）的条件进行计算即可.【详解】（1）2:60p x x --+≤，260x x ∴+-≥3x ∴≤-或2x ≥，∴p ⌝:{}|32A x x =-<< 记312x m +-≤的解集为B . 由312x m +-≤有 1212m x m ∴--≤≤-+ {}|1212B x m x m ∴=--≤≤-+要使p ⌝是q 的充分不必要条件12m 12123122m m m --≤-+⎧⎪--≤-⎨⎪-+≥⎩， 32m ∴≥ ∴ m 的取值范围是32m ≥（2）{}1|31m B x x =∴=-≤≤∴()p q ⌝∨为真，()p q ⌝∧为假∴p ⌝与q 一真一假当p ⌝真q 假时，()()1,2R A C B =；当p ⌝假q 真时，(){}3R C A B ⋂=-∴综上，实数x 的取值范围(){}1,23⋃-【点评】本题考查命题真假求解参数以及充分必要条件的应用，利用等价转化的思想，从集合的观点来进行计算，通俗易懂，便于计算，属中档题.21．（1）()1,2；（2）[]1,2【分析】（1）当1a =时，解出p 为真命题时x 的取值范围和q 为真命题时x 的取值范围，求交集即可得到结果；（2）因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，即p 为真命题时x 的取值范围是q 为真命题时x 的取值范围的真子集，由此即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，2320x x -+<，所以()()120x x --<，解得12x <<；即命题p 为真命题，则12x <<；因为()3log 11x -<，所以14x <<，即命题q 为真命题，则14x <<；若命题p 和命题q 皆为真命题，所以1214x x <<⎧⎨<<⎩，所以12x <<；即x 的取值范围()1,2（2）因为22320x ax a -+<，0a >，所以()()20x a x a --<，解得2a x a << ，因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，即(),2a a 是()1,4的真子集，则124a a ≥⎧⎨≤⎩，则12a ≤≤，经检验，当1a =或2a =时，都满足题意.即实数a 的取值范围[]1,2.【点评】本题主要考查了不等式的解法、充分条件与必要条件的应用，属于基础题.22．（1）[)2,3；（2）()1,2.【分析】（1）分别求两个命题,p q 中不等式的解集，再求交集；（2）根据题中是q 成立的必要不充分条件，转化为子集问题求参数a 的取值范围.【详解】（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<，当1a =时，p ：13x <<；由2560x x -+≤，得23x ≤≤，所以q ：23x ≤≤.若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以23x ≤<，故x 的取值范围是[)2,3.（2）设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤，∵p 是q 成立的必要不充分条件，∴B A∴0233a a <<⎧⎨>⎩，即12a <<，∴实数a 的取值范围是()1,2. 【点评】本题考查根据充分必要条件求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型. 23．充分不必要【分析】分10k -=和100k ->⎧⎨∆<⎩可求出当命题p 为真命题时对应的实数k 的取值范围，利用基本不等式求出2272x x --在2x >时的最大值，可求出当命题q ⌝为真命题时对应的实数k 的取值范围，再利用集合的包含关系可得出结论.【详解】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-． ()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+{}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件. 【点评】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了利用命题的真假求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.24．（1）91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】（1）解不等式221190x x -+->，即可求得符合条件的实数x 的取值范围；（2）解不等式()22210x a x a a -+++<得出1a x a <<+，由题意得出(),1a a + 91,2⎛⎫⎪⎝⎭，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为p 是真命题，所以221190x x -+->，即221190x x -+<，解得912x <<. 故x 的取值范围为91,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）因为()22210x a x a a -+++<，即()()10x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，所以1a x a <<+. 因为p 是q 的必要不充分条件，则(),1a a + 91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于0a >且1a ≠，所以1912a a >⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得712a <≤. 故a 的取值范围为71,2⎛⎤⎥⎝⎦. 【点评】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用必要不充分条件求参数，涉及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.25．512m ≤≤ 【分析】先求解p ，q 为真时，a 的范围，继而求解若p q ∧为真，a 的范围，又t 是r ⌝的必要不充分条件，列出不等式组限制条件，即得解.【详解】若p 为真，则3a ≤ 又()21'()333f x x a x =+-+，若q 为真，令0∆≤，则15a ≤≤若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m < 又t 是r ⌝的必要不充分条件，1511232m m m ≥⎧⎪∴∴≤≤⎨+≤⎪⎩【点评】本题考查了逻辑连接词和充分必要条件，考查了学生逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.。

高中数学第1章常用逻辑用语：充分条件与必要条件限时规范训练含解析新人教A版选修2_1

高中数学新人教A版选修2_1：第一章 1.2基础练习1．(2019年湖北恩施期末)使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0D．2x<1【答案】B【解析】∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．对于选项B，由x2≥－x得x≥0或x≤－1，故选项B是必要不充分条件．同理，选项C是充分不必要条件，选项D是既不充分也不必要条件．故选B．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立；当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．3.(2020年山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立.若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b ＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立.故选D.4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】a>b＋1⇒a>b，a>b⇒/ a>b＋1.5．已知两个命题A ：2x ＋3＝x 2，B ：x 3x ＝x 2，则A 是B 的____________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】命题A 就是x ∈{x |2x ＋3＝x 2}＝{－1,3}；命题B 就是x ∈{x |x 3x ＝x 2}＝{0,3}．由于{－1,3}⃘{0,3}且{0,3}⃘{－1,3}，∴A 是B 的既不充分也不必要条件．6．(2019年重庆期末)设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤0，12 【解析】∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：x >1；q ：x 2>1；(2)p ：a ＝3；q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a >2；q ：a >5.解：(1)p ：x >1；q ：x >1或x <－1，所以p 是q 的充分不必要条件． (2)p ：a ＝3；q ：a ＝－2或a ＝3，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)p 是q 的必要不充分条件．8．已知p ：1<2x <8，q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立．若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1<2x <8，即0<x <3. ∵p 是q 的充分条件，∴不等式x 2－mx ＋4≥0对任意x ∈(0,3)恒成立． ∴m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对任意x ∈(0,3)恒成立．∵x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，∴m ≤4. 能力提升9．无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n (n ∈N *)，则“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若{S n }为递增数列，则对于n ≥2且n ∈N *，恒有a n >0，可得a 2＝a 1＋d >0.若a 1＋d >0，则只能推得a 2>0，不能推得{S n }是递增数列．所以“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的必要不充分条件．10.(多选题)下列各选项中， p 是q 的充要条件的是( )A.p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B.p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数C.p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan βD.p ：A ∩B ＝A ，q ：【答案】AD【解析】对于A ，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0q ：m ＜－2或m ＞6p .对于B ，当f (x )＝0时，qp .对于C ，若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，则有cosα＝cos β，但没有tan α＝tan β，pq .对于D ，p ：A ∩B ＝Ap ：ABq ：11．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②已知a ≠0，“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R ”的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．【答案】①④【解析】①当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件．②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题．③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之不然，因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知真命题是①④.12．设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3x－1的定义域为集合B ．已知α：x ∈A ∩B ，β：x 满足2x ＋p ＜0，α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫3x－1≥0＝(0,3]，∴A ∩B ＝(2,3]．设集合C ＝{x |2x ＋p ＜0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，－p2，∵α是β的充分条件，∴A ∩B ⊆C ． ∴3＜－p2.解得p ＜－6.∴实数p 的取值范围是(－∞，－6)．。

高中数学第三讲充分条件和必要条件练习北师大版选修21

高中数学第三讲充分条件和必要条件练习北师大版选修21一、考试说明理解必要条件、充分条件的意义，会分析四种命题的相互关系二、基础知识建构1、“若p则q”是真命题，即p⇒q；“若p则q”为假命题，即p⎭q.2、(1)若①，则p是q的充分不必要条件.(2)若p⎭ q, 但p⇐q,则p是q的②.(3)若③,则p是q的充分条件，也是必要条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件)(4)若④,则p是q的既不充分也不必要条件.3、证明p是q的充要条件,分两步：证明：①充分性,把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.②必要性,把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以,p是q的充要条件.4、充分条件、必要条件常用判断法(1)定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断；(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题的逆否命题进行判断；(3)集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B、，则：若A⊆B,则p是q的充分条件；若A B,则p是q的充分非必要条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A B,则p是q的必要非充分条件；若A=B,则p是q的充要条件若A∑B,且A⎛B,则p是q的非充分又非必要条件.5、当p⇒q时,称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立,具备条件p就足够了，“充分”即“足够”的意思,当p⇐q时,也称条件p是条件q的必要条件，因为q⇒p等价于非p⇒非q,即若不具备q,则p必不成立,所以要使p成立必须具备q .“必要”即“必须具备”的意思. “若p则q”形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：(1)p⇒q但q⇒p 不一定成立：这时,p是q的充分而不必要条件；(2)q⇒p但p⇒q不一定成立：这时,称p是q 的必要而不充分条件；(3)p⇒q且q⇒p：这时,称p是q的充分且必要条件；(4)p⇒q不一定成立且q⇒p不一定成立：这时,称p是q的既不充分也不必要条件.6、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断7、一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

推出与充分条件、必要条件提升作业练习含答案解高中数学析北京海淀

作业三推出与充分条件、必要条件一、选择题(每小题5分,共10分)1.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p: l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.2.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解题提示】小集合推出大集合.【解析】选A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上, S△OAB=·sin∠AOB=sin∠AOB,因此∠AOB必为直角,所以S△OAB=的充要条件是k=±1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设a,b都是非零向量,则下列四个条件:①a=-b;②a∥b;③a=2b;④|a|=|b|,其中可作为使成立的充分条件的有__________.【解析】⇔a与b共线且同向⇔a=λb且λ>0,只有③满足.答案:③4.(2018·广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是____________.【解析】由题意知函数f(x)=|log2x|=要使f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数,则0≤m-2<1<2m,所以2≤m<3.答案:2≤m<3三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}(a>0),所以解得a≥2,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,即(-∞,2).6.(2018·宝鸡高二检测)已知集合A=,B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得y=+.因为x∈,所以y∈.所以A=.由|x-m|≥1,解得x≥m+1或x≤m-1.所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.因为命题p是命题q的充分条件,所以A⊆B.所以m+1≤或m-1≥2,解得m≤-或m≥3.故实数m的取值范围是∪[3,+∞).。

高考数学专项：充分条件与必要条件(习题作业)解析版

1.4充分条件与必要条件一、单选题1．已知:02p x ，:13q x ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将,p q 相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由:02p x ，可得出:13q x ，故p q ，由:13q x ，得不出:02p x ，所以p 是q 的充分而不必要条件，故选：A.2．设R a ，则“1a ”是“21a ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由21a 得1a 或1a ，因此“若1a ，则21a ”是真命题，“若21a ，则1a ”是假命题，所以“1a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选：A3．“2x 且3y ”是“5x y ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.【详解】2x 且3y 能够推出5x y ，反之5x y 不能推出2x 且3y ，所以“2x 且3y ”是“5x y ”的充分不必要条件.故选:A .4．已知a 、b 、R c ，则“a b ”是“22ac bc ”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】当0c =时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.【详解】若a b ，当0c =时，220ac bc ，故不充分；若22ac bc ，则0c ，故a b ，必要性.故“a b ”是“22ac bc ”的必要非充分条件.故选：B5．设,R x y ，则“0x y ”是“0xy ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.【详解】解：充分性：若0x y ，则可得,x y 有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以0xy 或0xy 或0xy ，故0x y 不是0xy 的充分条件；必要性:若0xy ，则0,0x y 或0,0x y ，故0x y 或0x y ，故“0x y ”不是“0xy ”的必要条件.综上，“0x y ”是“0xy ”的既不充分也不必要条件.故选：D.6．已知集合M ，P ，则“x M 或x P ”是“ x M P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】x M 或x P 即()x M P ，再利用 x M P 与()x M P 之间的关系即可判断出结论.【详解】由x M 或x P 得()x M P ，又 ()M P M P ∩ ，∴x M 或x P 不能推出 x M P ， x M P 能推出x M 或x P .则“x M 或x P ”是“ x M P ”的必要不充分条件.故选：A.7．设x R ，则“2x ”是“24x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当2x 时24x ，故充分性成立，由24x 可得2x 或2x ，故必要性不成立，所以“2x ”是“24x ”的充分不必要条件.故选：A8．若,R a b ，则“2()0a b a ”是“a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式2()0a b a ，可得0a b ，可得a b ，即充分性成立；反之：由a b ，可得0a b ，又因为20a ，所以2()0a b a ，所以必要性不成立，所以2()0a b a 是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．若,,R a b c ，则“ac bc ”是“a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若0c =，令2,1a b ，满足ac bc ，但a b ¹；若a b ，则ac bc 一定成立，所以“ac bc ”是“a b ”的必要不充分条件.故选：B10）A ．0,0a bB ．0,0a bC ．0,0a bD ．0,0a b 【答案】BA中，0b ，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；选项C、D中，由0a 可知，C、D不是充分条件；选项B，由0,0a bB是充分条件.【详解】对于选项A，因为0b项A不是充分条件；对于选项B，当0,0a ba≥0，b>0.根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；对于选项C、D，由0a没意义，所以选项C、D不是充分条件；故选：B.11．已知a，b为非零实数，则“1ba”是“b a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b aa a a，即b a成立，故充分性成立；取2b ，1a ，则b a成立，但1ba不成立，故必要性不成立.因此，“1ba”是“b a”的充分不必要条件.故选：A12．设命题121,:1.xpx命题12122,:1.x xqx x则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断p ，q 间关系可得答案.【详解】当1211x x ，则121221x x x x ，故p 是q 的充分条件；当121221x x x x ，则可令1250.3x x ，不能得到1211x x ，则p 不是q 的必要条件.则p 是q 的充分不必要条件.故选：A二、多选题13．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b ”是“22a b ”的充要条件C ．“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件D ．“1a ”是“11a”的必要不充分条件【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m ”的必要不充分条件，A 正确；当0a b 时，22a b 成立，而当22a b 时，有可能0a b ，所以“0a b ”是“22a b ”的充分不必要条件，B 错误；当3x 时，2230x x 成立，而当2230x x 时，3x 或=1x ，所以“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件，C 正确；当1a 时，11a 成立，而当11a 时，有可能a<0，所以“1a ”是“11a”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC14．设全集为U ，在下列选项中，是B A 的充要条件的是（）A ．AB B B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B UÈ=ð【答案】BCD【分析】利用维恩图解决集合运算问题.【详解】由维恩图可知，A 不是B A 的充要条件，B ，C ，D 都是B A 的充要条件，故选：BCD ．15．下列命题中叙述不正确．．．的是（）A ．“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C ．“4x ”的一个充分不必要条件可以是“3x ”D ．若集合A B ，则“x A ”是“x B ”的充分而不必要条件【答案】BCD【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可.【详解】由关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根可得240b ac ，由240b ac 可得关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根，所以“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”，A正确；由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B 错误；由3x 不能推出>4x ，所以“3x ”不是“4x ”的充分条件，C 错误；当A B 时，若x A ，则x B ，若x B ，则x A ，所以“x A ”是“x B ”的充要条件，所以若集合A B ，则“x A ”可能是“x B ”的充要条件，D 错误；故选：BCD.16．下列说法正确的是（）A ．a P Q 是a P 的必要不充分条件B ．U UP Q痧（U 是全集）是P Q 的充分不必要条件C ．a b 是22a b 的充分不必要条件D ．a b 是33a b 的充要条件【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.【详解】对于A ，若a P Q ，则可能a Q 且a P ，不能推出a P ，若a P ，则必有a P Q ，故a P Q 是a P 的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，若U UP Q 痧,则Q P ，故U UP Q痧（U 是全集）是P Q 的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ，若a b ，取2,1a b ,则22a b ，若22a b ，取1,2a b ，则a b ，故a b 是22a b 的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D ，因为33a b a b ，所以a b 是33a b 的充要条件，故D 正确.故选:AD.17．对任意实数,,a b c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b ”是“ac bc ”的充要条件B ．“5a ”是“3a ”的必要条件C ．“a b ”是“22a b ”的充分条件D ．“5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】AC【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.【详解】对于A ，如果a b ，则必定有ac bc ，是充分条件，如果ac bc ，则 0c a b ，得0c =或a b ，不是必要条件，所以“a b ”是“ac bc ”的充分不必要条件，错误；对于B ，如果3a ＜，必定有5a ＜，是必要条件，正确；对于C ，如果a b ＞，比如1,2a b ， 2212 ＜，不能推出22a b ＞，不是充分条件，错误；对于D ，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，所以“a +5是无理数”必定有a 是无理数，是充分条件，如果“a 是无理数”则“a +5也是无理数”，是必要条件，所以“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，正确；故选：AC.18．若关于x 的方程 2110x m x 至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）A ．13mB ．24m C ．4m D ．12m 【答案】BC【分析】利用 2110x m x 的判别式0 ，求出m 的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程 2110x m x 至多有一个实数根，所以方程 2110x m x 的判别式0 ，即：2(1)40m ，解得13m ≤≤，利用必要条件的定义，结合选项可知，13m ≤≤成立的必要条件可以是选项B 和选项C.故选：BC.19．已知集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ，则A B 的必要不充分条件可能是（）A ．7a B ．6a C ．5a D ．4a 【答案】AB【分析】分别在A 、A 的情况下，根据A B ∩求得a 的范围，即为A B ∩的充要条件，再根据选项即可得解．【详解】解：因为集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ，当A 时，123a a ，解得4a ，此时A B ∩，当A时，123a a ，解得4a ，若A B ∩，则12237a a，解得15a ，又4a ，则45a ，则A B ∩的充要条件为5a ，所以A B ∩的必要不充分条件可能是7a ，6a ，故选：AB ．三、填空题20．已知集合 3A x x ，集合 B x x a ，若命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a 【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.【详解】因为命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，又集合 3A x x ，集合 B x x a ，所以3a .故答案为：3a 21．设：14x ，：x >m ，是的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【答案】,1 【分析】设 14,A x x B x x m ，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m 的取值范围.【详解】设 14,A x x B x x m ，因为是的充分条件，所以集合A 是集合B 的子集，所以1m £.故答案为：,1 22．已知:p x a ，:3q x ，p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3, 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为:p x a ，:3q x ，因为p 是q 的必要不充分条件，所以3a .所以实数a 的取值范围为 3, .故答案为： 3, .23．:x 是2的倍数，:x 是6的倍数，则是的______条件．【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当4x 时，满足x 是2的倍数,但不满足x 是6的倍数，充分性不成立；若x 是6的倍数，则x 一定是2的倍数，必要性成立.则是的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.24．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件.【答案】必要不充分【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙.故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.故答案为：必要不充分四、解答题25．已知集合2126A x a x a ， 04B x x ，全集U R .(1)当1a 时，求 U A B ∩ð；(2)若“x B ”是“x A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 48U A B x x ð(2)1,1 【分析】（1）化简集合A ，根据补集运算、交集运算求解；（2）由题意转化为BA ，列出不等式组求解即可.【详解】（1）当1a 时，集合 08A x x ，{0U B x x ð或4}x ，故 48U A B x x ð（2）由题知：BA ，即BA 且B A ，当B A 时，210264a a ，解得11a ，当B A 时，210264a a，解得1a ，由B A 得，1a ；综上所述：实数a 的取值范围为 1,1 .26．已知集合 310A x x ，29140B x x x ， 32C x x m ，(1)求A B ，A B ， A B R ∩ð；(2)若x C 是 x A B ∩的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) |37x x ； 210x x ；23x x (2)7,2【分析】（1）先解出集合B ，再由集合间的运算性质求解即可;（2）由题意可得C A B ∩，分C 和C 两种情况讨论即可.【详解】（1）2|9140|270|27B x x x x x x x x ∵， |37A B x x ， 210A B x x ，又 R =3A x x ð或 10x ，R 23A B x x ð.（2）x C ∵是 x A B ∩的充分而不必要条件，C A B ∩，当C 时，有23m ，即32m；当C 时，有2327m m ，即3722 m ，综上所述，实数m 的取值范围为7,2.27．已知集合 121,P x a x a a R ， 25Q x x .(1)若3a ，求 P Q R ð；(2)若“x P ”是“x Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[2,4)(2) 2 ，【分析】（1）由交集，补集的概念求解；（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.【详解】（1）当3a 时，[4,7]P ，{|25}Q x x ，则,47,P R ð, 2,4P Q R ð，（2）由题意得P 是Q 的真子集，当P 是空集时，121a a ，解得a<0；当P 是非空集合时，则012215a a a且12a 与215a 不同时成立，解得02a ，故a 的取值范围是 2 ，28．已知集合 114A x x ， 23B x x ， 2121C x a x a .(1)若x C 是“x A ”的充分条件，求实数a 的取值范围.(2)若 A B C ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a (2)31,2【分析】（1）解不等式得到集合A x C 是x A 的充分条件列不等式求解即可；（2）根据交集的定义得到 23A B x x ，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）因为 114A x x ，所以 25A x x .因为x C 是x A 的充分条件，所以221532122a a a a ，解得322a ，3,22a .（2）因为 23A B x x ， A B C ∩，所以212213a a ，解得312a .故a 的取值范围为31,2.29．已知{|1A x x 或1}x ，{|21}B x a x a (B 为非空集合)，记:p x A ，:q x B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】1(,2][,1)2【分析】根据题意，转化为B 是A 的非空真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，{|1A x x 或1}x ，{|21}B x a x a (B 为非空集合)，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的非空真子集，可得2121a a a 或2111a a a ，解得2a 或112a ，所以实数a 的取值范围是1(,2][,1)2.30．已知集合 121,24A xa x a B x x ∣∣.在①A B B ；②“x A ”是“x B ”的充分不必要条件；③A B 这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当3a 时，求 R A B ð；(2)若______，求实数a 的取值范围.【答案】(1) R {2A B xx ∩∣ð或4}x (2)答案见解析【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件.【详解】（1）当3a 时， 27A xx ∣，而 24B x x ∣，所以 24A B x x ∩∣，则 R {2A B xx ∩∣ð或4}x .（2）选①：因为A B B ，所以A B ，当A 时，则121a a ，即2a ，满足A B ，则2a ；当A 时，2a ，由A B 得12214a a ，解得312a ；综上：2a 或312a，即实数a 的取值范围为 3,21,2；选②：因为“x A ”是“x B ”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当A 时，则121a a ，即2a ，满足题意，则2a ；当A 时，2a ，则12214a a ，且不能同时取等号，解得312a ；综上：2a 或312a，即实数a 的取值范围为 3,21,2；选③：因为A B ，所以当A 时，则121a a ，即2a ，满足A B ，则2a ；当A 时，2a ，由A B 得212a 或14a ，解得32a 或5a ，又2a ，所以322a 或5a ；综上：32a 或5a ，实数a 的取值范围为 3,5,2.31．设U R ，已知集合 |25A x x ， |121B x m x m ．(1)当4B 时，求实数m 的范围；(2)设:p x A ；:q x B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围．【答案】(1)532m (2)3m 【分析】（1）由题意知，4是集合B 的元素，代入可得答案；（2）由题可得B 是A 的真子集，分类讨论B 为空集和B 不为空集合两种情况，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）由题可得1421m m ，则532m ；（2）由题可得B 是A 的真子集，当B ，则1212m m m ；当B ，2m ，则21512m m （等号不同时成立），解得23m 综上：3m .32．已知集合 13A x x ，集合 21B x m x m ．(1)若A B ，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ，命题:q x B ，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 0mm ∣(2) 2mm ∣【分析】（1）讨论B ，B 两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；（2）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出A 是B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．【详解】（1）由A B ，得①若21m m ³-，即13m 时，B ，符合题意；②若21m m <-，即13m 时，需1311m m 或1323m m，解得103m ．综上，实数m 的取值范围为 0mm ∣．（2）由已知A 是B 的真子集，知122113m m m m两个端不同时取等号，解得2m ．由实数m 的取值范围为 2mm ∣．33．已知集合 12A x x ，22B x m x m (1)当2m 时，求A B ；(2)若______，求实数m 的取值范围．请从①x A 且x B ；②“x B 是“x A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)12A B x x (2)答案见解析【分析】（1）先求两个集合，再求交集；（2）若选择①，则A B ，再分集合B 和B ，两种情况，列式求解；若选择②，则A B ，列式求m 的取值范围.【详解】（1）当2m 时， 04B x x ，所以 12A B x x （2）若选择条件①，由x A 且x B 得：A B ，当B 时，22m m ，即2m ；当B 时，22m m ，即2m 22m 或21m ，即4m 或12m ，所以4m 或122m ，综上所述：m 的取值范围为：4m 或12m ．若选择条件②，由“x B ”是“x A ”的必要条件得：A B ，即2122m m，所以13m ．34．已知全集R U ，集合 |11A x m x m ， |4B x x .(1)当4m 时，求A B 和 R A B ð；(2)若“x A ”是“x B ”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) |5x x ，|45x x (2)3m 【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当4m 时，集合 ||35A x x x ，因为 |4B x x ，所以 R |4B x x ð.所以 |5A B x x ，R |45A B x x ð（2）因为“x A ”是“x B ”所以A 是B 的真子集，而A 不为空集，所以14m ，因此3m .。

高中数学《必修第一册》课后习题word1.4 充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件A级必备知识基础练1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(多选题)对于任意实数a,b,c,下列命题中的假命题为()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件5.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.6.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.B级关键能力提升练7.已知实数a,b,c,则b2=ac是ab =bc成立的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.(2022安徽合肥一六八中学高一期末)若ab>0,则a<b是1a >1b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知命题p:x+y≠-2,q:x≠-1且y≠-1,则p是q的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件10.(2022广东深圳宝安高一期末)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁U C)”是“A∩B=⌀”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是;若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是.12.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.C级学科素养创新练13.已知a≥12,设二次函数f(x)=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:当0≤x≤1时,均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤34.1.4 充分条件与必要条件1.B 由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.B 若a=1,b=-4,满足a>b ,此时a 2>b 2不成立; 若a 2>b 2,如a=-4,b=1,此时a>b 不成立.3.A 当“a=2”时,显然“A ∩B={4}”;但当“A ∩B={4}”时,a 可以为-2,故不能推出“a=2”.4.ACD 由充分条件、必要条件的定义知选A,C,D .5.{m|m>2} 因为q 是p 的必要不充分条件,即p ⫋q ,则m+1>3,解得m>2,即实数m 的取值范围是{m|m>2}.6.证明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y ≠0;②x ≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|. 如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0, 当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x )+(-y )=|x|+|y|,总之,当xy ≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x ,y ∈R ,得(x+y )2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,得|xy|=xy ,所以xy ≥0,故必要性成立. 综上,原命题成立.7.C 由ab =bc 可得b 2=ac ,反之不成立,如b=c=0时,满足b 2=ac ,但ab =bc 不成立,故b 2=ac 是ab =bc 成立的必要不充分条件,故选C . 8.C 当ab>0时,1a−1b=b -a ab ,当a0,则1a −1b =b -a ab >0,即1a>1b 成立,反之当1a >1b成立时,b-a>0,则a1b 的充要条件,故选C . 9.B10.A ∵A ⊆C ,B ⊆(∁U C ),即A ⊆C 且B ∩C=⌀, ∴A ∩B=⌀.则“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C )”是“A ∩B=⌀”的充分条件.当A ∩B=⌀,存在一个集合C=A 使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C ),则“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C )”是“A ∩B=⌀”的必要条件.故“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C )”是“A ∩B=⌀”的充要条件.故选A . 11.{a|a ≤0} {a|a ≥0} 因为x ∈A 是x ∈B 的充分条件,所以a ≤0;因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件,所以a ≥0.12.证明因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a 3+b 3+ab-a 2-b 2=(a+b )(a 2-ab+b 2)-(a 2-ab+b 2)=(a+b-1)(a 2-ab+b 2)=0. 因为a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0,即(a+b-1)(a 2-ab+b 2)=0,又ab ≠0,所以a ≠0且b ≠0. 因为a 2-ab+b2=(a -b 2)2+34b 2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab ≠0时,a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0.13.证明因为a ≥12,所以函数f (x )=-a 2x 2+ax+c 图象的对称轴为直线x=a 2a 2=12a,且0<12a≤1,所以f (x )≤f (12a )=14+c.因为c ≤34,且f (x )≤f (12a )=14+c ≤14+34=1,所以f (x )≤1.因为f (x )≤1,所以只需f (12a )≤1即可.即14+c ≤1,从而c ≤34.综上可知,当0≤x ≤1时,均有f (x )≤1成立的充要条件是c ≤34.。

推出与充分条件、必要条件基础作业练习含答案解高中数学析北京海淀

作业三推出与充分条件、必要条件一、选择题(每小题5分,共25分)1.x=1是x2-3x+2=0的( )A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件【解析】选A.若x=1,则x2-3x+2=1-3+2=0成立,即充分性成立,若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,此时x=1不一定成立,即必要性不成立,故x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件.2.设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】等比数列的单调性不但与公比q有关,也与首项a1有关. 【解析】选D.当a1<0,q>1 时,{a n}是递减数列;当{a n}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1.因此,“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【解题指南】通过正弦定理,可以把三角形中“大角对大边”看得一清二楚. 【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理=,知分子大的分母也大,故“a ≤b”是“sin A≤sin B”的充分必要条件.4.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.|a-3b|=|3a+b|等价于|a-3b|2=|3a+b|2,即(a-3b)2=(3a+b)2,等价于a2+9b2-6a·b=9a2+b2+6a·b,又因为a,b为单位向量,所以a2=1,b2=1, 所以1+9-6a·b=9+1+6a·b,即a·b=0,等价于a⊥b.所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.5.若A:a∈R,|a|<1,B:关于x的二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一个根小于零,则A是B的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先求得命题A,B为真时,参数的范围,再利用四种条件的定义,即可得结论.【解析】选A.A:a∈R,|a|<1,可得-1<a<1;B:关于x的二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零,所以f(0)=a-2<0,所以a<2;当-1<a<1时,a-2<0,所以A是B的充分条件,当a<2时,不能得出-1<a<1,比如a=1.5,所以A不是B的必要条件;所以A是B的充分不必要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.“函数f(x)=cos x在R上是偶函数”可表述为f(x)是R上的偶函数是f(x)=cos x的____________条件.【解析】f(x)是R上的偶函数是f(x)=cos x的必要条件.答案:必要7.(2018·九江高二检测)已知p:≥1,q:a-1<x<a+1,若p是q的充分不必要条件.则实数a的取值范围是__________.【解析】由≥1,得2<x≤3,又因为p是q的充分不必要条件,则a-1≤2且a+1>3,解得2<a≤3.答案:(2,3]8.下列命题:①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的充要条件;③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;④“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要而不充分条件.其中真命题的序号为__________.【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0.故②为假命题;③当a=2时,两直线平行,反之,两直线平行,=,所以a=2,因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.所以“lg x+lg y=0”成立,xy=1必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是④.答案:④三、解答题(每小题10分,共20分)9.若p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,则p是q的什么条件?【解析】若a=-1,b=,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p 不能推出q.若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0<x1<x2<1,则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.所以,p是q的必要不充分条件.【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以即⇒-2<a<0,0<b<1,即q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.10.设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充分不必要条件是A=90°.【解题指南】证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什么,然后证明p⇒q(充分性)和q⇒p(必要性)成立.【证明】充分性:因为A=90°,所以a2=b2+c2,所以x2+2ax+b2=0可化为:x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a)2-c2=0,(x+a+c)(x+a-c)=0,所以x1=-a-c,x2=-a+c.同理,x2+2cx-b2=0可化为:x2+2cx-a2+c2=0即(x+c)2-a2=0(x+a+c)(x+c-a)=0,所以x3=-a-c,x4=a-c.所以两个方程有公共根-a-c.必要性:设两个方程有公共根α,则两式相加得α2+(a+c)α=0.若α=0,代入任一方程得b=0,这与已知a,b,c为△ABC的三边相矛盾.。

人教B版高中数学选修推出与充分条件、必要条件同步练习

1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查任意角的三角函数值． “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos2α＝12”，“cos2α＝12”“α＝π6＋2k π”(k ∈Z )因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴选A. 2．(2009·湖南)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A.3．(2009·福建，7)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.4．(2009·浙江，2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本小题主要考查不等式的性质及充要条件．当a>0且b>0时，a＋b>0且ab>0；当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，∴a>0，且b>0.故选C.5．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0<x<5，x∈R}，则( )A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件[答案] A[解析] P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0<x<5，x∈R}，x∈P⇒x∈Q.但x∈Q x∈p，∴x∈P是x∈Q的充分不必要条件．故选A.6．.(2010·福建文，8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．(2010·广东理，5)“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件[解析] 一元二次方程式x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，∴m ≤14，故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的充分不必要条件．8．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ①∵a <0，ax 2＋1＝0⇒x 2＝－1a>0.∴ax 2＋1＝0有一个负根． ∴充分性成立．②若ax 2＋1＝0有一个负根，那么x 2＝－1a>0，可是a <0.∴必要性成立．故选B.9．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 充分性：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0垂直；必要性：若直线x ＋y ＝0和x －ay ＝0垂直，由－1·1a＝－1，∴a ＝1，故选C.10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m ⊂α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β， ∵m ⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β. ∴α⊥β是l ⊥β的必要不充分条件．故选B. 二、填空题11．条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的__________条件． [答案] 充要[解析] a >1⇒a >a 成立反之：a >a 时即a 2－a >0解得a >1.12．“lg x >lg y ”是“x >y ”的______________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由lgx >lgy ⇒x >y >0⇒x >y 充分条件成立．又由x >y 成立，当y ＝0时，lgx >lgy 不成立，必要条件不成立． 13．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________． [答案] a ≥0[解析] ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a (a ＋3)<0⇒a >0.∴由①②得a ≥0.14．函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________． [答案] b ≥0[解析] 对称轴为x ＝－b2，要使y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上单调，只需满足－b2≤0，即b ≥0.三、解答题15．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，－p4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．16．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}依题意：p ⇒q ，但是q 不能推出p ，说明A B .于是有⎩⎨⎧a >01＋a ≤101－a ≥－2(说明“1＋a ≤10”与“1－a ≥－2”中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.17．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[解析] 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2，于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0， ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0，∴该方程有两个根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样，另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即x 2＋2cx －(a －c )(a ＋c )＝0， ∴[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两个根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )，可以发现x 1＝x 3， ∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，则⎩⎨⎧β2＋2aβ＋b 2＝0 ①β2＋2cβ－b 2＝0 ②，由①＋②得：β＝－(a ＋c )或β＝0(舍去)，将β＝－(a ＋c )代入①并整理可得：a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.18．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析] 由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax 2＋2x ＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．(1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求；(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a ≥0从而a ≤1；又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x 1·x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1·x 2＝1a.①因而方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤11a<0⇒a <0；②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1－2a<01a >0⇒0<a ≤1，综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.。

数学人教B版选修2-1课后导练：1.3.1推出与充分条件、

课后导练基础达标1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B2.设x ∈R ，则x>2的一个必要不充分条件是（）A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3 答案：A3.条件p:“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍”，条件q:“直线l 的斜率为-2”，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.充要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B4.对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是…( )A.“ac ＞bc”是“a ＞b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac ＞bc”是“a ＞b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件答案：B5.“cosα＝23-”是“α=2kπ+65π,k ∈Z ”的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A6.函数y=x 2+bx+c,x ∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是______________.答案：b≥07.设p 、r 都是q 的充分条件,s 是q 的充分必要条件,t 是s 的必要条件,t 是r 的充分条件,那么p 是t 的____________条件,r 是t 的__________条件.答案：充分充要8．“tanα=1”是α=4π的______________. 答案：必要不充分条件 9．已知:p:|5x-2|>3;q:5412-+x x >0,则⌝p 是⌝q 的什么条件. 解：p:|5x-2|＞3,所以5x-2＞3，或5x-2＜-3,所以x ＞1,或x ＜-51, 所以p:-51≤x≤1. 因为q:5412-+x x ＞0. 所以x 2+4x-5＞0.即x ＞1,或x ＜-5.所以q:-5≤x≤1(如下图所示)所以p 是q 的充分非必要条件.综合运用10.求函数f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件.解析：若a 2+b 2=0,即a=b=0,此时f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x),∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的充分条件.又若f(x)=x|x+a|+b 为奇函数，即f(-x)=-f(x),∴(-x)|-x+a|+b=-x|x+a|-b,则必有a=b=0,即a 2+b 2=0,∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的必要条件.∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的充要条件.11.设p ：x 2-x-20>0,q:2||12--x x <0,则p 是q 的什么条件？解析:p:x 2-x-20＞0,化简p:x ＞5或x ＜-4. q:2||12--x x ＜0, 化简q:-1＜x ＜1或x ＜-2或x ＞2.作数轴易得p ⇒q 但q p.∴p 是q 的充分不必要条件.拓展探究12.设a 、b ∈R ，已知命题p ：a=b;命题q:（2b a +）2≤222b a +,则p 是q 成立的什么条件？解析：充分性：当a=b 时，22a a b a +=+=a, 即(2b a +)2=a 2. 又222b a +=222a a +=a 2, ∴(2b a +)2=222b a +.故当a=b 时，(2b a +)2≤222b a +. 必要性：当(2b a +)2≤222b a +, 展开得42a -2ab +42b ≥0,即(a-b)2≥0a=b.∴p:a=b;q:(2b a +)2≤222b a +,p 是q 的充分不必要条件.。

充分条件与必要条件课后作业高一上学期数学+人教A版(2019)必修第一册

1.4 充分条件与必要条件一、选择题。

1.已知实数a,b,c ,则a >b 的充分不必要条件是( ) A.ab >1 B.a 2>b 2 C.ac 2>bc 2 D.ac >bc2.已知集合A,B 是非空集合,命题p:A ∪B =B ,命题q:A B,那么q 是p 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设x,y ∈R,则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．“a b >”成立的一个充分不必要条件是（）A ．11a b C ．3223a ab a b b +>+D ．22ac bc >5．已知命题p ：12x -<，q ：14x -<<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不充分也不必要条件7.若“x >a ”是“x >b ”的充分不必要条件，则( )A.a b C ．a ≤b D ．a ≥b8.“122x -<<”的一个充分不必要条件可以是（）A ．1x >-B ．01x <<C ．1122x -<< D ．2x < 9.一元二次方程220x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件为（）A ．1m <B ．1mC ．m 1≥D ．2m <10.设集合A ＝{x|x ＞2}，B ＝{x|x ＞3}，那么“x ∈A 或x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知a ，b 为实数，则“a ＋b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.不等式“x>y ”成立,是不等式“|x|>|y|”成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件13.设a ,b ∈R,则“a>b ”是“|a|≥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14．(多选题)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（）A ．对角线相等的菱形B ．邻边相等的矩形C ．对角线相等的平行四边形D ．有一个角是直角的菱形15.(多选题)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，下列结论正确的有( )A.Δ＝b 2－4ac ≥0是这个方程有实数根的充要条件B.Δ＝b 2－4ac ＝0是这个方程有实数根的充分条件C.Δ＝b 2－4ac ＞0是这个方程有实数根的必要条件D.Δ＝b 2－4ac ＜0是这个方程没有实数根的充要条件16.(多选题)对任意的实数,,a b c ，在下列命题中的假命题是（）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要不充分条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分不必要条件17.(多选题)下列说法正确的是________(填序号)①“x ＞0”是“x ＞1”的必要条件；②“a 3＞b 3”是“a ＞b ”的必要不充分条件；③在△ABC 中，“a ＞b ”不是“A ＞B ”的充分条件．A.x >0 B ．x >2 C ．x <0 D ．x <2二、填空题。

高中数学必修一充分条件与必要条件课后训练巩固提升【附解析答案】

充分条件与必要条件课后训练巩固提升A组1.下列语句不是命题的是()A.3是15的约数B.x2+2x+1≥0C.4不小于2D.你准备考北京大学吗?2.若p是q的充分条件,则q是p的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.既是充分条件又是必要条件3.如果“若x>2,则p”为真命题,那么p不能是()A.x>3B.x>1C.x>0D.x>-12的实数不一定大于3,故选A.4.“x>0”是“x≠0”的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立.5.设p:-1≤x<2,q:x<a,若q是p的必要条件,则a的取值范围是()A.a≤-1B.a≤-1或a≥2C.a≥2D.-1≤a<2q是p的必要条件,所以p⇒q,在数轴上画出-1≤x<2,借助数轴可知a≥2.6.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的条件,“x∈B”是“x∈A”的条件.A ⊆B ,由子集的定义知x ∈A ⇒x ∈B ,故“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件;“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件.必要7.已知“若q ,则p ”为真命题,则p 是q 的条件.“若q ,则p ”为真命题, 所以q ⇒p ,即p 是q 的必要条件.8.若“x>1”是“x>a ”的充分条件,则a 的取值范围是 .≤19.将下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并判断其真假.(1)末位数字是0或5的整数,能被5整除;(2)方程x 2-x+1=0有两个实数根;(3)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等.若一个整数的末位数字是0或5,则这个整数能被5整除.是真命题.(2)若一个方程是x 2-x+1=0,则它有两个实数根.是假命题.(3)若一个多边形是正n 边形(n ≥3),则这个正n 边形的n 个内角全相等.是真命题.10.试判断下列各题中,p 是q 的什么条件.(1)p :x-2=0,q :(x-2)(x-3)=0;(2)p :m<-3,q :方程x 2-x-m=0无实根;(3)p :a>b ,q :a>b+1. 解:(1)因为x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0x-2=0,所以p 是q 的充分条件,不是必要条件.(2)因为x 2-x-m=0无实根时,Δ=(-1)2-4×(-m )=1+4m<0,即m<-14,所以q :m<-14.所以p ⇒q ,q p ,即p 是q 的充分条件,不是必要条件.(3)因为a>b+1⇒a>b ,而a>b a>b+1,所以p 是q 的必要条件,不是充分条件.1.已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素;②M 中有不属于P 的元素;③M 中有属于P 的元素;④M 中的元素不都是P 的元素.A.1B.2C.3D.4“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题,所以M 中有不属于P 的元素,也可能有属于P 的元素,故②④正确,因此选B .2.二次函数y=x 2+mx+1的图象在x>1上随x 的增大而增大的一个充分条件是( )A.m=-3B.m=-2C.m=-4D.m=-5 解析:选项A,当m=-3时,y=x 2-3x+1=x-322-54在x>32上随x 的增大而增大在x>1上随x 的增大而增大;选项B,当m=-2时,y=x 2-2x+1=(x-1)2在x>1上随x 的增大而增大;选项C,当m=-4时,y=x 2-4x+1=(x-2)2-3在x>2上随x 的增大而增大在x>1上随x 的增大而增大; 选项D,当m=-5时,y=x 2-5x+1=(x -52)2−214在x>52上随x 的增大而增大在x>1上随x 的增大而增大.故选B .答案:B3.若“x>1或x<-2”是“x<a ”的必要条件,则a 的最大值是( )A.2B.-2C.-1D.1“x>1或x<-2”是“x<a ”的必要不充分条件,∴x<a ⇒x>1或x<-2,但x>1或x<-2x<a.如图所示,∴a ≤-2,∴a 的最大值为-2.4.“|x|<3”是“x<3”的条件.解析:由|x|<3,解得-3<x<3,由-3<x<3⇒x<3,但由x<3-3<x<3,故“|x|<3”是“x<3”的充分条件.5.已知p :A={x|-1≤x ≤5},q :B={x|-m<x<2m-1},若p 是q 的充分条件,则实数m 的取值范围是 .p 是q 的充分条件,所以A ⊆B ,如图,则{-m <-1,2m -1>5,解得m>3. 综上,m 的取值范围为m>3.36.若不等式-1<x-a<1成立的充分条件是12<x<32,求实数a 的取值范围.-1<x-a<1,知a-1<x<a+1.记A={x |12<x <32},B={x|a-1<x<a+1},由已知A ⊆B ,得{a -1≤12,a +1≥32,解得12≤a ≤32. 综上,实数a 的取值范围为12≤a ≤32.7.已知p :x 2+x-6=0和q :mx+1=0,且p 是q 的必要条件但不是充分条件,求实数m 的值.:x ∈{x|x 2+x-6=0}={2,-3},q :x ∈{x|mx+1=0},因为p 是q 的必要条件但不是充分条件,所以{x|mx+1=0}⫋{2,-3}.当{x|mx+1=0}=⌀,即m=0时,符合题意;当{x|mx+1=0}≠⌀时,由{x|mx+1=0}⫋{2,-3},得-1m =2或-1m =-3,解得m=-12或m=13.综上可知,m=0或-12或13.。

1.4.1充分条件与必要条件课后练习-上学期高一数学必修第一册

充分条件与必要条件课后练习一、单选题1．“1a >且0b >”是“1b a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是（） A ．r 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的充分不必要条件 C ．r 是q 的必要不充分条件D ．r 是s 的充分不必要条件3．若a R ∈，则“2a a >”是“1a >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题:2p x y +=，命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩；则p 是q 的（） A ．充要条件 B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件5．可以作为“若R a b ∈，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（） A ．0ab > B ．0a >或0b > C ．0a >且0b > D ．1ab >6．已知a b c d ，，，为实数，且c d >.则“a b >”是“a c b d ->-”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．102a <，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（） A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件10．华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩X 楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．“||2x <”是“260x x --<”的___________条件.12．若“3x >”是“x m >”的必要条件，但“3x >”不是“x m >”的充分条件，则m 的取值范围是________．13．已知条件p ：2k －1≤x ≤－3k ，条件q ：－1<x ≤3且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围是_______．14．“1a ≠或2b ≠”是“3a b +≠”成立的_____________条件.15．下列不等式：①1x <；①01x <<；①10x -<<；①11x -<<；①1x >-.其中可以作为21x <的一个充分不必要条件的所有序号为___________.三、解答题16．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？哪些命题中的p 是q 的必要条件？（1）p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除. （2）p ：x >1，q ：x 2>1. （3）p ：b 2=ac ，q ：a b =b c. （4）p ：A ∩B =A ，q ：.参考答案1．A解：充分性：当1a >时，xy a =为增函数，所以当0b >时，有1b a >成立，故充分性满足；必要性：当1b a >时，取1==12a b -，,满足1b a >但是不符合1a >且0b >，故必要性不满足.所以“1a >且0b >”是“1b a >”的充分而不必要条件. 故选：A 2．B解：由题意,p r q r s q ⇒⇐⇒⇒，但是r 不能推出p 成立，则r s q r ⇒⇒⇒，所以,,r q s 是等价的，因此ACD 都错误，B 正确．故选：B ． 3．B 解：a R ∈，当2a a >时，即1a >或0a <，1a >不一定成立当1a >时，2a a >成立，∴由充分必要条件定义可判断：“2a a >”是“1a >”的必要不充分条件，故选：B ． 4．B解：因为当2x y +=时，y 可取任意实数，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的充分条件；因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=，所以p 是q 的必要条件. 故选：B. 5．C解：A.0ab >，只能推出,a b 同号，不能推出一定是正数，故不是充分条件，故A 不正确；B.4,3a b =-=，满足0a >或0b >，但此时0a b +<，故B 不正确；C.0a >且0b >，能推出0a b +>，反过来，4,3a b ==-，满足0a b +>，但不能推出0a >且0b >，所以0a >且0b >是0a b +>的一个充分而不必要条件，故C 正确；D.3,4a b =-=-，满足1ab >，但不能推出0a b +>，所以不是充分条件，故D 不正确. 故选：C 6．B解：a b >推不出a c b d ->+；但a c b d a b c d b ->-⇒>+->，故选：B 7．B 解：①p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，且p 是q 的充分不必要条件， ①[],11,12a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+，则1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，且两不等式中的等号不同时成立．解得：102a ≤≤．故选：B ． 8．B 解：1:1p x<等价于1x >或0x <，则p 是q 的必要不充分条件故选：B 9．D解：对于A ，a b>a b >⇔22a b >，故“a b >”是“22a b >”的充分条件为假命题；对于B ，22a b >a b ⇔>a b >，故“a b >”是“22a b >”的必要条件为假命题；对于C ，当2c =0时，a b>22ac bc >,故“a b >”是“22ac bc >”的充分条件为假命题；对于D ，()2220ac bc a b c >⇒>≠，故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件为真命题.故选：D 10．A解：“还”能推出“破楼兰”，所以是充分条件， “破楼兰”不一定能推出“还”，所以是不必要条件，所以“还”是“破楼兰”的充分不必要条件，故选：A.11．充分不必要条件.解：由不等式||2x <，解得22x -<<，构成集合{}|22A x x =-<<又由不等式26(2)(3)0x x x x --=+-<，解得23x -<<，得到{}|23B x x =-<<，可得集合A 是B 的真子集，所以“||2x <”是“260x x --<”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 12．3m >解：由题意可知，“3x >”是“x m >”必要不充分条件，则{}3x x > {}x x m >，所以，3m >. 故答案为：3m >. 13．{k |k ≤－1}解：因为p 是q 的必要条件，所以{x |－1<x ≤3}⊆{x |2k －1≤x ≤－3k }，应满足：21133k k -≤-⎧⎨-≥⎩，解得k ≤－1，故答案为：{k |k ≤－1} 14．必要不充分解：3a b +=，不能推出1a =且2b =，反过来，1a =且2b =能推出3a b +=，所以3a b +=是1a =且2b =的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知1a ≠或2b ≠是3a b +≠的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 15．①①解：由21x <，解得11x -<<，对①，1x <是必要不充分条件，对①，01x <<是充分不必要条件，对①，10x -<<是充分不必要条件，对①，11x -<<是充要条件，对①，1x >-是必要不充分条件，故选：①①.16．（1）充分条件；（2）充分条件；（3）必要条件；（4）充要条件.解：（1）数a 能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立.即p ①q ，q 推不出p ，所以p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件. （2）因为x 2>1①x >1或x <1-，所以p ①q ，且q 推不出p .所以p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件. （3）b 2=ac 推不出a b =b c ，如b =0，c =0时，b 2=ac ，而a b b c ，无意义.但a b =bc①b 2=ac ，所以p 是q 的必要条件，但p 不是q 的充分条件. （4）画出Venn 图(如图).结合图形可知，A ∩B =A ①A ⊆B ①⊆A ，反之也成立，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件.B C U U C。

高中数学课时分层作业5推出与充分条件必要条件含解析新人教B版选修211018351

高中数学课时分层作业5推出与充分条件必要条件含解析新人教B版选修211018351课时分层作业(五) 推出与充分条件、必要条件(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选A.]2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( )①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin x；②若x>5，则x>2；③若x2－9＝0，则x＝3.A．0 B．1 C．2 D．3B[①中，周期函数还有很多，如y＝cos x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.]3．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d 不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.]4．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.] 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合(图略)可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.] 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.－23 [x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.] 7．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．[3，＋∞) [p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3.q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q p ，如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.]8．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x ＜m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]三、解答题9．设x ，y ∈R，求证：“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”．[证明] 充分性：若xy ≥0，则有xy ＝0和xy ＞0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当xy ＞0时，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0.又当x ＞0，y ＞0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y .∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当x ＜0，y ＜0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y .∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．∴当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上，可知“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． 10．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}．∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴A B . 结合数轴有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ＜10，1－m ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ＞－2，解得0＜m ≤3. 即m 的取值范围是(0,3]． [能力提升练] 1．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 C [因为圆心C (1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|1＋3＝2，若半径r ＝3，则圆C 上恰有三个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1.故若0<r <3，则圆C 上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；反之也成立．故选C.]2．给出如下三个命题：①“2a >2b ”是“ma >mb ”的充要条件；②在△ABC 中，“∠A >60°”是“sin A >32”的充要条件；③已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若綈q是綈p的充分不必要条件，则m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．其中正确的命题是________．③[若2a>2b，则a>b，而此时ma>mb不一定成立，若ma>mb，当m>0时，则a>b，此时2a>2b，当m<0时，此时a<b，此时2a<2b，所以“2a>2b”是“ma>mb”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△ABC中，∠A＝150°时，sin A<32，故命题②错误；若綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．由p：－1≤x≤4，所以由一元二次方程根的分布可得，(－1)2－6×(－1)＋9－m2≤0，解得m≤－4或m≥4.故正确的命题是③.]。

高中数学 1.4 充分条件与必要条件课后练习、课时练习

一、单选题1. 若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值可能有几个（）A．0 B．1 C．2 D．32. 若a，b为实数，则成立的一个充分不必要条件是（）．A．B．C．D．3. 下列结论错误的是（）A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”4. 已知，则“”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5. 若集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件6. “”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题7. 下列说法中正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”的必要不充分条件是“”C．“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”D．“”是“”的充分条件8. 不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．或三、填空题9. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．10. “两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．11. 不等式成立的充要条件是______.12. 用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空：（1）“是有理数”是“是实数”的______；（2）“”是“”的______；（3）“”是“”的______；（4）“”是“”的______．四、解答题13. 判断下列命题的真假:(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)是的必要不充分条件;(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.14. 已知命题，，，.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.15. 已知集合，集合，.（1）若“”是真命题，求实数取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16. 已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．(1)若，则是的什么条件？(2)若是的必要条件，求的取值范围．。

新教材高中数学课时跟踪检测五充分条件与必要条件新人教A版必修第一册(含答案)

新教材高中数学新人教A版必修第一册：充分条件与必要条件层级(一) “四基”落实练1．若p是q的充分条件，则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不正确解析：选B 由充分条件和必要条件的概念知选项B正确．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上均不正确解析：选A ∵x＞0⇒x≠0，∴x＞0是x≠0的充分条件．故选A.3．已知条件p：－1＜x＜1，条件q：x≥－2.则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不对解析：选B 由题意，得－1＜x＜1⇒x≥－2.即p⇒q，所以q是p的必要条件．4．(多选)以下选项中，是a＜0，b＜0的一个必要条件的为( )A．a－b＞0 B.ab<－1C．a＋b＜0 D．a＋2b＜1解析：选CD 由a＜0，b＜0，可得：a＋b＜0，a＋2b＜0＜1.而a与b大小关系不确定，ab＞0，因此是a＜0，b＜0的一个必要条件的为C、D.5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( ) A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}解析：选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，∵p是q的充分条件，∴p⇒q，即A⊆B，∴m≥4.故选D.6．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．答案：(1)必要条件(2)充分条件7．已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________．解析：∵条件p ：2k －1≤x ≤1－k ，q ：－3≤x ＜3，且p 是q 的必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1≤－3，3≤1－k ，解得k ≤－2.则实数k 的取值范围是{k |k ≤－2}．答案：{k |k ≤－2}8．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．解：(1)p ：x 2>0则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y 且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．层级(二) 能力提升练1．(多选)若不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，则实数a 的取值范围可以是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≥1}C ．{a |3＜a ≤5}D ．{a |a ≤2} 解析：选ABC 不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，设x －2＜a 的解集为A ，则{x |0<x <3}是集合A 的真子集，∵A ＝{x |x <2＋a }，∴2＋a ≥3，解得a ≥1，则A 、B 、C 均正确．2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，集合B ＝{x |－a ＜x －b ＜a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．{b |－2≤b ＜0}B ．{b |0＜b ≤2}C ．{b |－2＜b ＜2}D ．{b |－2≤b ≤2}解析：选C A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |b －a ＜x ＜b ＋a }．∵a ＝1⇒A ∩B ≠∅，又a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1＞－1，b －1＜1，解得－2＜b ＜2.∴实数b 的取值范围是{b |－2＜b ＜2}．故选C.3．已知圆B 在圆A 内，点M 是平面上任意一点，请从“充分”“必要”中选出适当的一种填空．(1)“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的________条件．(2)“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的________条件．解析：圆B 在圆A 内，将圆A ，圆B 内部的点组成的集合分别记为A ′，B ′，则有B ′A ′.(1)如图①，因为B ′A ′，所以x ∈B ′⇒x ∈A ′，但x ∈A ′x ∈B ′，所以“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的充分条件．(2)如图②，因为B ′A ′，所以∁U A ′∁U B ′，其中U 为整个平面区域内所有点组成的集合，故x ∈∁U A ′⇒x ∈∁U B ′，但x ∈∁U B ′x ∈∁U A ′，所以“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的充分条件．答案：充分充分4．设α：0≤x ≤1，β：x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1，m ∈R ，若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{x |x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1}．因为α是β的充分条件，所以A ⊆B .①当2m －1＞－2m ＋1，即m ＞12时，B ＝R ，满足A ⊆B ； ②当m ≤12，即B ≠R 时，1＜2m －1或0＞－2m ＋1，m 无解．综上可得，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＞12.层级(三) 素养培优练1．(1)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件？解：(1)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件，只需⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，只需－m 2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，当m ≥2时，“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件．(2)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件，只需{x |x ＜－1或x ＞3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件．2．某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，特开设了一些社会活动小组，现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中，设计了如下两个电路图．并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识，提出了下面两个问题：(1)①中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？(2)②中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗？解：(1)充分条件．(2)必要条件.。

高中数学课时跟踪训练五推出与充分条件必要条件新人教B版选修149

课时跟踪训练(五) 推出与充分条件、必要条件1.(天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.6．设a ，b ，c 为实数，“a >0，c <0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点”的________条件．7．已知p ：{|x ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋2≥0，x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．8．求使函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且仅有一个零点的充要条件．答案1．选A 由不等式2x 2＋x －1>0，即(x ＋1)(2x －1)>0，得x >12或x <－1，所以由x >12可以得到不等式2x 2＋x －1>0成立，但由2x 2＋x －1>0不一定得到x >12，所以x >12是2x 2＋x －1>0的充分不必要条件．2．选A 点(2，－1)在直线l ：x ＋y －1＝0上，而直线l 上的点的坐标不一定为(2，－1)，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分不必要条件．3．选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙．如图．综上有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．4．选A 由已知得綈p ：－1≤x ≤1，綈q ：－2≤x ≤1，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．5．解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－236．解析：当a >0，c <0时，f (x )是二次函数，且Δ＝b 2－4ac >0，故f (x )有两个零点；当f (x )有两个零点时，不一定有a >0，c <0.答案：充分不必要7．解：因为p ：{x |－2≤x ≤10}，所以綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，同理可得綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈p ⇒/ 綈q 且綈q ⇒綈p ，所以B A ，用数轴表示如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.所以m 的取值范围是{m |m ≥9}．8．解：使函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且仅有一个零点，即使方程ax 2＋(a －1)x －1＝0有且仅有一个解．①当a ＝0时，x ＝－1，显然只有一解；②当a ≠0时，由Δ＝(a －1)2＋4a ＝(a ＋1)2＝0，可得a ＝－1.综上可知：当a ＝0或a ＝－1时，函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且仅有一个零点．所以函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且仅有一个零点的充要条件为a ＝0或a ＝－1.。

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高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
3．直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件．
A．充分不必要
B．既不充分也不必要
C．必要不充分
D．充要
5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
6．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ) A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，(1)
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2)
求方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件．
参考答案
1.答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．
2.答案：C
3.答案：B 当k1＝k2时，直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1，k2一定相等．故选B.
4.答案：A
5.答案：B 由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立．故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
6.答案：C 因{a n}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{a n}是递增数列，数列{a n}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{a n}是递增数列的充要条件．
7.答案：必要不充分
8.答案：充分不必要a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
9.答案：分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“B A”，
最后利用数轴分析，得关于a的不等式解决问题．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，B＝{x||x|＜a}，∵p是q的必要不充分条件，∴B A.
当a≤0时，B＝∅，满足B A；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使B A，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
10.答案：分析：方程(1)(2)的根都是整数即方程(1)(2)有实数根且为整数，因此先求出方程(1)(2)有实数根的充要条件，得到m的取值范围，由m∈Z，再逐一验证．解：方程(1)有实根Δ＝4－4m≥0，即m≤1，方程(2)有实根Δ＝(2m)2－4(m2－m －1)＝4m＋4≥0，即m≥－1，所以(1)(2)同时有实数根－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程(1)无整数根；
当m＝0时，方程(1)(2)都有整数根；
当m＝1时，方程(2)无整数根．
综上所述，方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件是m＝0.。