6.4(1)反正弦函数图像与性质2015.5
6.4(2)反余弦和反正切函数图像与性质2015.5
1.函数y cos x( x R)是否存在反函数? 如果有， 求出来； 如果没有， 说明理由. 余弦曲线 y
y cos x
2
1
-2 -
-1
oLeabharlann 3x1 1 2.已知 cos ； cos ( x R)如何表示、 ? 2 3
y
2
-
2 -
O
2
2
x
单调递增；
(1) y arctan x在R上 (2)奇函数： arctan( x ) arctan x
例2.填空： (1)arctan1 (2)arctan 3
. . . ; .
3 (3)arctan( ) 3
2 (4) tan x ，若x ( ， )，则x 2 2 2 3 若x ( ， )，则x 2 2 (5)若 tan x 0.2，x [0， ]，则x .
2 . 6.cos x x 2 . 8.cos x 1 x
4.反余弦函数的图像和性质.
y
(1) y arccos x在[1,1]上单调递减；
(2)cos(arccos x ) x，x [1， 1] (3)对称中心：， (0 ) 2 arccos( x ) arccos x (4)arcsin x arccos x
y
1
y cos x
o
-1
x
3.仿照反正弦函数定义反余弦函数. 定义： 函数y cos x， x [0， ]的反函数叫做反余弦 函数.记作： x arccos y， 习惯记作： y arccos x .
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们不仅在几何学和三角学中起着重要作用，还在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，记为y = sin(x)。
它的图像是一条连续的曲线，在坐标系中呈现周期性变化。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，y = sin(x)的值在0到2π之间循环变化。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足y = sin(-x) = -sin(x)。
这意味着正弦函数在原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
当x = 0时，sin(x) = 0，当x = π/2时，sin(x) = 1，当x = -π/2时，sin(x) = -1。
4. 单调性：在一个周期内，正弦函数先递增后递减。
当x = π/2 +2kπ（k为整数）时，取得极大值1；当x = -π/2 + 2kπ（k为整数）时，取得极小值-1。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，记为y = cos(x)。
它的图像也是一条连续的曲线，具有周期性变化。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期同样为2π，即在一个周期内，y = cos(x)的值在0到2π之间循环变化。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足y = cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域同样在[-1, 1]之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
当x = 0时，cos(x) = 1，当x = π/2时，cos(x) = 0，当x = π时，cos(x) = -1。
4. 单调性：在一个周期内，余弦函数先递减后递增。
当x = 2kπ（k为整数）时，取得极大值1；当x = π + 2kπ（k为整数）时，取得极小值-1。
反正弦函数定义
反正弦函数定义反正弦函数，即反函数为正弦函数的函数，是数学中的一种特殊函数。
在代数学和三角学中，正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。
而反正弦函数则是将正弦函数的定义域和值域互换，定义域为[-1,1]，值域为实数集。
在三角函数中，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，而反正弦函数则表示给定一个比值，求出对应的角。
它们之间存在着互为反函数的关系。
反正弦函数常用符号为sin^-1(x)或者arcsin(x)。
其中，sin^-1(x)表示反正弦函数的定义，而arcsin(x)表示反正弦函数的函数名。
在数学中，我们称反正弦函数为arcsin函数。
反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
这是因为正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]，而反正弦函数将其互换。
所以，当给定一个实数x，且x在[-1,1]之间时，通过反正弦函数可以求出对应的角θ，使得sin(θ) = x。
反正弦函数的图像是关于y=x对称的，即y=arcsin(x)的图像与y=sin(x)的图像关于直线y=x对称。
这也意味着反正弦函数的图像是一个关于直线y=x的反射图像。
这种对称性使得反正弦函数在解决三角方程、求解三角函数值等问题时非常有用。
反正弦函数在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，反正弦函数可以用于求解角度问题。
在工程学中，反正弦函数可以用于求解三角方程，解决各种与角度相关的问题。
在计算机图形学中，反正弦函数可以用于计算角度，进行图像旋转、变形等操作。
除了反正弦函数，还有反余弦函数和反正切函数等。
它们都是将对应的三角函数的定义域和值域互换得到的反函数。
反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]；反正切函数的定义域是实数集，值域是(-π/2,π/2)。
反正弦函数作为正弦函数的反函数，是一种常见的函数形式。
它在数学中有着广泛的应用，在解决角度问题、三角方程等方面起到重要的作用。
反正弦函数
-1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正弦曲线
2π
如何解决？ 可以限制自变量（角）的范围 问题：角的范围如何确定？
总结：为了使符合条件y=sinx的角有且只有一 个，选择闭区间[ , ]作为基本的范围.
22
四、反正弦函数的定义：
yx
y
y=arcsinx x-1,1
2
y=sinx x∈[-]
-1 0 1
x
2
y=arcsinx, x-1,1的图像和 y=sinx ,x∈[-]的图像关于直线 y=x成轴对称。
五、反正弦函数y=arcsinx的性质
1.定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数
4.单调性： 增函数
六、反正弦arcsinx记号的理解
例1
例2
一般地，对于等式sin x a ，
（1）若 x [ , ]，则 x arcsin a;
22 （2）若 x ( , ) ，则 x arcsin a;
2
（3）若 x ( , 3 ) ，则 x arcsin a arcsin | a |;
2
（4）若 x (3 , 2 ) ，则 x 2 arcsin a 2 arcsin | a | .
2
例3
例4
例5
一、问题导入
三角函数：已知任意角可以求得该 角的正弦函数值
问题：根据一个角的正弦函数值能 否求出这个角？怎样表示？
如果正弦值变了，角也跟着变，这就转化 为研究正弦函数的反函数的问题.
那么，正弦函数y=sinx有没有反函数呢？
二、复习回顾 什么样的函数有反函数？
三、正弦函数图像
1
正弦函数和余弦函数的图像与性质
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k ·2 )＝sin x (kZ) 可知： 正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，… ，－2 ， －4 ，… ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期．
2 是其最小正周期 .
(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
3 判断下列函数的奇偶性：
① f (x) sin x cosx ② f (x) 1 sin x cosx
1 sin x cosx
（答案：①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数）
图象
y=sinx
y
1
-2 - o
-1
2 3
4 x
y= cosx
y
1
-2 - o 2 3
2 偶函数
单调性
单调增区间:
[ 2k , 2k ](k Z)
2
2
单调减区间:
[ 2k , 3 2k ](k Z )
反正弦函数的定义及其求解方法
反正弦函数的定义及其求解方法正文：反正弦函数是三角函数中的一种，通常记作arcsin(x)或sin^(-1)(x)，其中x为实数。
反正弦函数是正弦函数的反函数，它的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
在解决三角方程、求解三角方程组以及在物理、工程等实际问题中，反正弦函数经常被使用。
一、反正弦函数的定义反正弦函数的定义如下：对于y = sin(x)，若x∈[-π/2, π/2]，则y∈[-1, 1]；对于y = arcsin(x)，若x∈[-1, 1]，则y∈[-π/2, π/2]。
二、反正弦函数的求解方法反正弦函数的求解方法主要有以下几种：1. 使用反正弦函数表格可以通过查找反正弦函数表格来求解反正弦函数的值。
表格中会列出不同输入值对应的反正弦函数值。
然而，使用表格的限制是它只提供了有限的数值，而且精度可能有限。
2. 使用计算器或电脑软件现代科技使我们能够轻松地使用计算器或电脑软件来求解反正弦函数。
这些设备上通常都会内置反三角函数的计算功能，只需输入对应的数值，即可得到准确的结果。
3. 使用三角恒等式反正弦函数与正弦函数之间存在着一个重要的三角恒等式：ar csin(x) + arcsin√(1-x^2) = π/2通过将该三角恒等式应用于给定的方程，可以将反正弦函数的求解转化为其他三角函数的求解问题。
4. 使用级数展开式反正弦函数的级数展开式是一种近似计算的方法。
通过将反正弦函数展开成无限级数的形式，可以使用有限项来逼近真实值。
这种方法在计算机程序中经常被使用，能够提供高精度的结果。
5. 使用图形求解利用正弦函数和反正弦函数的图像特性，可以通过绘制函数图像来求解反正弦函数。
通过观察正弦函数和反正弦函数的图像，可以得到它们的关系，从而求解特定输入值对应的反正弦函数值。
总结：反正弦函数是一个重要的三角函数，在数学和实际应用中都具有广泛的用途。
对于小于等于1的实数x，反正弦函数可以准确地求解其对应的角度值。
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
二、正弦余弦函数的性质
y
-
1-
-
-
-
-
-
6
4
-
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦函数y=sinx的图 象
每隔2 ，图象重复出现y
即 对 x ， y 任 s（ ix n 意 2 ） sixn 1-
-
4
-
6
-
4
4、正弦函数余弦函数的奇偶性
2
-
y
正弦函数y= si nx的图象
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
y
余弦函数y = c osx的图象
2
-
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
-
-
1）奇偶性 正弦函数y＝sinx：奇函数；余弦函数y＝cosx：偶函数 2）对称性： 正弦函数关于原点对称；余弦函数关于y轴对称。
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
正弦函数的图像和性质
y 解： max = 5 +1 = 6
ymin = 5 1 = 4
T = 2π
取得最大值的x的集合是 使y= 5+sinx取得最大值的 的集合是 取得最大值的 的集合是:
π + 2kπ , k ∈ Z x x = 2
π x x = + 2kπ , k ∈ Z 取得最小值的x的集合是 使y= 5+sinx取得最小值的 的集合是 取得最小值的 的集合是: 2
π π 在x ∈ 2kπ , 2kπ + 上是增函数； 2 2 π 3π 在x ∈ 2kπ + , 2kπ + 上是减函数； 2 2
最值
2 3π 当x = 2kπ + 时，ymin = 1 2
当x = 2 k π +
π
时，ymax = 1
1 求函数 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数 的最大值、 的最大值 最小值和周期， 取最大值、最小值的x值的集合 值的集合。 取最大值、最小值的 值的集合。 解： ymax = 2 + (sin x)max = 2 +1 = 3
sinx 3Sinx
0
2 1
3
π
3π 2
2π
0 0
0 0
-1 -3
y
3
0
1 o
π
2
π
3 π 2
2π
y = sin x, x ∈ [0,2π ]
二、正弦函数的性质
y 1
y =1
π
2
2π
π
π
2
O
1
π
3π 2
2π
3π
4π
三角函数的像与性质
三角函数的像与性质三角函数是高中数学中重要的概念，在数学、物理、工程和计算机科学等领域中广泛应用。
本文将讨论三角函数的像（图像）和性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、正弦函数的像与性质正弦函数（sine function）是最基本的三角函数之一，通常表示为sin(x)，其中x为自变量，取值范围为实数。
1. 像：正弦函数的图像可以用一条连续的波浪线表示，它在坐标轴上呈现周期性变化。
在每个周期内，正弦函数的图像从最低点（谷底）上升到最高点（峰值），然后再下降回到谷底。
2. 性质：- 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个2π的范围内，函数的图像完整地重复一次。
这一性质使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用。
- 奇函数：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)，这意味着正弦函数的图像以原点为对称中心，左右对称。
- 取值范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的值在此范围内变化。
二、余弦函数的像与性质余弦函数（cosine function）也是一种常见的三角函数，通常表示为cos(x)，其中x为自变量，取值范围为实数。
1. 像：余弦函数的图像可以用一条连续的波浪线表示，与正弦函数的图像非常相似。
余弦函数的最低点（谷底）对应正弦函数的最高点（峰值），而余弦函数的最高点（峰值）对应正弦函数的最低点（谷底）。
2. 性质：- 周期性：余弦函数的周期也为2π，与正弦函数相同。
它在每个2π的范围内，图像完整地重复一次。
- 偶函数：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)，这意味着余弦函数的图像以y轴为对称中心，左右对称。
- 取值范围：余弦函数的值域也为[-1, 1]，即函数的值在此范围内变化。
三、正切函数的像与性质正切函数（tangent function）是三角函数中的另一个重要函数，通常表示为tan(x)，其中x为自变量，取值范围为实数。
正切函数可以通过正弦函数与余弦函数的比值来定义，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
反正弦函数图像
反正弦函数图像反正弦函数（arcsin函数）是一种三角函数，也称为反正弦。
它是正弦函数的反函数，表示为y = arcsin(x)。
在数学中，反三角函数用于找到一个角的弧度，使得它的正弦（sin）等于给定的值。
反正弦函数可以用来求解三角方程，以及在几何和物理领域中的各种应用。
反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2，π/2]。
这意味着它的输入值必须在-1到1之间，而输出值位于-π/2到π/2之间。
这是因为正弦函数在这个区间内是单调递增的，所以它的反函数存在。
反正弦函数的图像在坐标平面上是一条曲线，它穿过点(-1, -π/2)、(0, 0)和(1, π/2)，并且关于y = x对称。
这条曲线在x = -1和x = 1处有垂直渐近线，而在x = 0处有水平渐近线。
当x的值在-1到1之间变化时，反正弦函数的图像在[-π/2，π/2]之间变化。
当x = 0时，反正弦函数的值为0。
当x = 1时，反正弦函数的值为π/2。
当x = -1时，反正弦函数的值为-π/2。
反正弦函数的图像的特性还包括：在定义域内，它是单调递增的；在x = -1和x = 1处有垂直渐近线；在x = 0处有水平渐近线；图像关于y = x对称。
相比于正弦函数，反正弦函数的图像更为陡峭，曲线在接近渐近线的地方变得非常陡峭。
这意味着反正弦函数对于接近极限值的输入有着较大的响应。
反正弦函数在数学中有着广泛的应用。
它可以用于求解三角方程，帮助计算角度的具体值。
它还在几何和物理领域中用于处理各种问题，如测量角度、定位物体的位置等。
总之，反正弦函数是一种常见的三角函数，它的图像是一条关于y = x对称的曲线。
它的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2，π/2]。
反正弦函数在数学中有着广泛的应用，可以帮助解决三角方程和处理几何、物理问题。
三角函数的反函数与反三角函数的性质
三角函数的反函数与反三角函数的性质三角函数是数学中一类重要的函数，它们广泛应用于物理、工程和其他科学领域。
而与三角函数相关的还有其反函数和反三角函数。
本文将讨论三角函数的反函数与反三角函数的性质。
一、三角函数的反函数1. 正弦函数的反函数正弦函数的反函数被称为反正弦函数，一般记作arcsin(x)或sin⁻¹(x)。
它的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的性质如下：性质1：定义域和值域反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
也就是说，反正弦函数的输入是[-1, 1]之间的任意实数，输出是[-π/2, π/2]之间的某个角度。
性质2：奇函数反正弦函数是一个奇函数，即满足arcsin(-x) = -arcsin(x)。
性质3：单调性反正弦函数在定义域上是单调递增的。
也就是说，如果x1 < x2，则arcsin(x1) < arcsin(x2)。
2. 余弦函数的反函数余弦函数的反函数被称为反余弦函数，一般记作arccos(x)或cos⁻¹(x)。
它的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
反余弦函数的性质如下：性质1：定义域和值域反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
也就是说，反余弦函数的输入是[-1, 1]之间的任意实数，输出是[0, π]之间的某个角度。
性质2：偶函数反余弦函数是一个偶函数，即满足arccos(-x) = arccos(x)。
性质3：单调性反余弦函数在定义域上是单调递减的。
也就是说，如果x1 < x2，则arccos(x1) > arccos(x2)。
3. 正切函数的反函数正切函数的反函数被称为反正切函数，一般记作arctan(x)或tan⁻¹(x)。
它的定义域为整个实数集，值域为[-π/2, π/2]。
反正切函数的性质如下：性质1：定义域和值域反正切函数的定义域为整个实数集，值域为[-π/2, π/2]。
反正切函数图像与性质
反正切函数图像与性质
求反正切函数图像及其性质
1、反正切函数图像
反正切函数（Inverse tangent y = tan-1x）是一类特殊函数，它的定义域
为x∈ℝ、x∈(−x/2, x/2)，值域是x∈ℝ；函数图像曲线类型为双
曲线，它的图像关于y轴对称，图像的最低点在(0，-π/2)，最高点在(0，π/2)。
2、反正切函数的图象性质
（1）性质一：角度性质
反正切函数的值域基本可以看做两个半轴的夹角角度，反正切函数的
输入值x与其函数图像对应点在坐标系中的角度表示属于同一元素。
（2）性质二：对称性质
因为反正切函数图像是关于y轴对称的，所以x的值可正可负，但它
们在图中所描绘的轨迹及性质是完全相同的。
（3）性质三：奇偶性质
当x的值翻转后，反正切函数y的值不会发生变化，只要x翻转180°，反正切函数y的值也会翻转180°，它显示出一定的奇偶性质。
（4）性质四：增减性质
反正切函数y的值在x变化时会出现增减现象；当x从x1到x2时增大，
函数图像从y1到y2，则函数f（x）在x1终点处为增函数，，在x2端点处为减函数。
反三角正弦函数
嘿，朋友们，你们有没有遇到过那种一看就懵，再想就晕的数学概念？别告诉我你没有，因为今天我们要聊的这个话题——反三角正弦函数，绝对能让你怀疑自己是不是投错了胎，为啥对数学这玩意儿一窍不通呢！你可能听说过正弦函数，就是那个在三角函数里混得风生水起的大佬，一画图像个波浪似的，特别有规律。
但反三角正弦函数呢？听起来就像是正弦函数突然叛逆了，决定不走寻常路，非要给你来个360度大转弯，让你摸不着北。
说实话，我第一次听说这玩意儿的时候，心里那个忐忑啊，就像是小时候偷吃糖被爸妈逮个正着，生怕他们问我糖从哪儿来的那种紧张感。
我心想：这反三角正弦函数，是不是就像是个调皮的孩子，非得跟你唱反调，你说东它偏往西？但其实呢，反三角正弦函数也没那么调皮捣蛋。
它就像是正弦函数的逆操作，就像是你在玩拼图时，已经把大部分碎片拼好了，但有一块怎么也找不到合适的位置，这时候反三角正弦函数就像是那个神秘的提示，告诉你：“嘿，哥们儿，这块儿得这么放！”不过，要说它简单，那可真是个大笑话。
这反三角正弦函数啊，就像是个深藏不露的高手，你得先学会一套复杂的拳法（也就是那些数学公式和定理），才能勉强摸到它的门道。
不然的话，你就像是个新手小白，一进拳馆就被打得鼻青脸肿，连东南西北都分不清了。
而且啊，这反三角正弦函数还特别爱跟你绕弯子。
你明明觉得已经掌握了它的规律，它却突然给你来个急转弯，让你瞬间迷失方向。
就像是你在玩迷宫游戏，好不容易找到了一条出路，却发现前面还有无数个岔路口等着你。
但话说回来，虽然反三角正弦函数让人头疼不已，但它在数学和物理领域里可是个香饽饽。
就像是个低调的富豪，虽然平时不怎么显山露水，但关键时刻总能派上大用场。
所以嘛，咱们还是得好好学它，毕竟谁也不想在关键时刻掉链子，对吧？总而言之呢，反三角正弦函数就像是个让人又爱又恨的小伙伴。
它虽然有点调皮捣蛋，但只要你愿意花时间和精力去了解它、掌握它，它就能成为你数学征途上的得力助手。
所以啊，朋友们，别被它的外表吓倒了，勇敢地迎接挑战吧！。
arcsinx的图像是什么
arcsinx的图像是什么
y=arcsinx是反正弦函数，表⽰⼀个正弦值为x的⾓，该⾓的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。
arcsinx是（主值区）上的⼀个⾓（弧度数）。
这个⾓（弧度数）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.
y=arcsinx反正弦函数，图像详细见下图：
反正弦函数
在数学中，反三⾓函数（antitrigonometric functions），偶尔也称为⼸形函数（arcus functions），反向函数（reverse function）或环形函数（cyclometric functions））是三⾓函数的反函数（具有适当的限制域）。
具体来说，它们是正弦，余弦，正切，余切，正割和辅助函数的反函数，并且⽤于从任何⼀个⾓度的三⾓⽐获得⼀个⾓度。
反三⾓函数⼴泛应⽤于⼯程，导航，物理和⼏何。
反正弦函数（反三⾓函数之⼀）为正弦函数y=sinx（x∈[-½π,½π]）的反函数，记作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。
由原函数的图像和它的反函数的图像关于⼀三象限⾓平分线对称可知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于⼀三象限⾓平分线对称。
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例3.求y sin x在以下各区间上的反函数. p p p 3p 7p (1)[ , ]； (2)[ , ]； (3)[ , 4p ] 2 4 2 2 2
例4.求下列函数的定义域和值域： 2 ①y arcsin(2 x 1)；②y arcsin( x )； ③y sin(arcsin x )
-2
例1.口答： 1 1 3 ① arcsin ；② arcsin( )；③ sin[arcsin( )] 2 2 5 3 p 3 ④ arcsin( )；⑤ sin(arcsin )；⑥ sin(arcsin ) 2 4 2
例2.用反正弦函数表示满足下列条件的角 2 p p ① sin 2 x ，x [ , ]； 2 4 4 3 p ② sin x ，x [ , p ]； 5 2 2 p 3p ③ sin x ，x [ , ]. 5 2 2
1 -p/2 O 1 p/2 p 3p/2 2p x
2.5
2
p 2 p 2 -1
-1
hx = x
1.5
gx = sin-1x
1
fx = sinx
0.5
-2
1
1 -0.5
234源自5-1-1.5
注意：① arcsin x表示一个角； ②
-2
p
2 2 ③ sin(arcsin x ) x .
例5.求值： 2 p ① sin(arcsin )； 3 3 3 1 ② cos(arcsin arcsin ) 5 3 3 12 ③ tan(arcsin arcsin ) 5 13
arcsin x
p
；
2.5
2
p 2 p 2
-2
hx = x
1.5
gx = sin-1x
1
fx = sinx
0.5
-1
-1 -0.5
1
1
2
3
4
5
-1
-1.5
反正弦函数的性质： (1) y arcsin x在 1,1 上是增函数； (2) y arcs in x , x 1,1 是奇函数,即 arcsin( x ) arcsin x , x [1,1].
6.4(1) 反正弦函数的
图像与性质
一、反正弦函数的定义 回顾：反函数的定义、求反函数的步骤：
①用y表示x； ②互换x、y; ③注明反函数的定义域.
思考：正弦函数是否存在反函数？ y y=sinx x∈R 1 0 -1 2p
x
p p 反正弦函数定义： 函数y sin x , x [ ， ]的 2 2 反函数叫做反正弦函数.记作：x arcsin y， 习惯上表示成：y arcsin x p p y arcsin x定义域：[ 1， 1], 值域： [ ， ] 2 2 y