离散数学试卷十试题与答案

试卷十试题与答案
一、 填空 10% （每小题 2分）
1、 若P ，Q 为二命题，Q P ↔真值为1，当且仅当 。

2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ∀∨∃∧∀中自由变元进行代入的 公
式
为 。

3、 ))
(()(x xG x xF ∃⌝∧∀的
前
束
范
式为 。

4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的，
则
被称为全称量词消去规则，记为US 。

5、 与非门的逻辑网络为。

二、 选择 30% （每小题 3分）
1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。

A 、R Q P ⌝∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨⌝))((。

2、 下列语句是命题的有（ ）。

A 、2是素数；
B 、x+5 > 6；
C 、地球外的星球上也有人；
D 、这朵花多好看呀！。

3、 下列公式是重言式的有（ ）。

A 、)(Q P ↔⌝；
B 、Q Q P →∧)(；
C 、P P Q ∧→⌝)(；
D 、P Q P ↔→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。

A 、 若C
B
C A ∨⇔∨，则B A ⇔； B 、若C B C A ∧⇔∧，则B A ⇔； C 、若B A ⌝⇔⌝，则B A ⇔；
D 、若B A ⇔，则B A ⌝⇔⌝。

5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。

A 、 在推演过程中可随便使用前提；
B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果；
C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；
D 、设)(A Φ是含公式A 的命题公式，A B ⇔，则可用B 替换)(A Φ中的A 。

6、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ ）。

设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y
A 、))),()(()((y x H y F y x M x →∀→∀；
B 、))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∀；
C 、))),()(()((y x H y F y x M x →∀→∃；
D 、))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃。

7、 公式),()),(),((y x xP z y Q y x P y x ∃∧∨∀∀换名（ ）。

A 、),()),(),((y x xP z u Q u x P u x ∃∧∨∀∀；
B 、),()),(),((u x xP z u Q u x P y x ∃∧∨∀∀；
C 、),()),(),((u x xP z y Q y x P y x ∃∧∨∀∀；
D 、),()),(),((y u uP z y Q y u P y u ∃∧∨∀∀。

8、 给定公式)()(x xP x xP ∀→∃，当D={a,b}时，解释（ ）使该公式真值
为0。

A 、P(a)=0、P(b)=0；
B 、P(a)=0、P(b)=1；
C 、P(a)=1、P(b)=0；
D 、P(a)=1、P(b)=1 9、 下面蕴涵关系成立的是（ ）。

A 、))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨∀⇒∀∧∀； B 、))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃； C 、))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∀； D 、),(),(y x xA y y x yA x ∃∀⇒∀∃。

10、下列推理步骤错在（ ）。

①),(y x yF y ∃∀ P ②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀ UG ③ ⑤),(y x xF y ∀∃
EG ④
A 、①→②；
B 、②→③；
C 、③→④；
D 、④→⑤。

三、 逻辑判断 28%
1、（8分）下列命题相容吗？A C B B A ),( ,∨⌝→
2、（10分）用范式方法判断公式 R Q P R P Q P ∧→→∧→,)()( 是否等价。

3、（10分）下列前提下结论是否有效？
今天或者天晴或者下雨。

如果天晴，我去看电影；若我去看电影，我就不看书。

故我在看书时，说明今天下雨。

四、 计算 12%
1、（5分）给定3个命题：P ：北京比天津人口多；Q ：2大于1；R ：15是素数。

求复合命题：)()(R P R Q ⌝∧↔→的真值。

2、（7分）给定解释I ：D={2，3}，L （x,y ）为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0 ,求谓词合式公式),(y x xL y ∀∃的真值。

五、 逻辑推理20%
1、（10分）所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。

2、（10分）符号化语句：“有些病人相信所有的医生，但是病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子”。

并推证其结论。

答案
一、 填空 15%（每小题3分）
1、P ，Q 的真值相同；
2、),()),(),((v x xR z u zQ y u yP ∀∨∃∧∀；
3、
))()((x G x F x ⌝∧∀；4、)()(y A x xA ⇒∀；5、。

二、 选择 30%（每小题 3分）
三、 逻辑判断 28% 1、（8分） ①B A → P ②A P ③B T ①②I ④)(C B ∨⌝ P ⑤C B ⌝∧⌝
T ④E
⑥B ⌝ T ⑤I ⑦F
T ③⑥I
所以A C B B A ),( ,∨⌝→不相容。

2、（10分）
110
101100110
101100)()()()()()())()(())()(()()()()()()())()(())()(()()()()(M M M R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q R P R R Q P R P Q P R Q P R Q P M M M R Q P R Q P R Q P Q Q R P R R Q P R P Q P R P Q P ∧∧=∨∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝⇔⌝∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔∧∨⌝⇔∧→∧∧=∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝⇔⌝∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔→∧→
所以两式等价。

3、设P ：今天天晴，Q ：今天下雨，R ：我不看书，S ：我看电影 符号化为：Q R R S S P Q P →⌝⇒
→→∨, ,
①S P → P ②R S → P ③R P → T ①②I ④P R ⌝→⌝ T ③I ⑤Q P ∨ P ⑥Q P →⌝ T ⑤E ⑦Q R →⌝ T ④⑥I
结论有效。

四、 计算 12%
1、（5分）解：P ，Q 是真命题，R 是假命题。

010)11()01()()(=↔=∧↔→=⌝∧↔→R P R Q
2、（7分）
00)10()01())3,3()3,2(())2,3()2,2(()),3(),2((),(=∨=∧∨∧⇔∧∨∧⇔∧∃⇔∀∃L L L L y L y L y y x xL y
五、
逻辑推理 20%
1、（10分）解：设R(x)：x 是实数，Q(x)：x 是有理数，I(x)：x 是整数 符号化：前提：))()((x R x Q x →∀，))()((x I x Q x ∧∃结论：))()((x I x R x ∧∃ ①))()((x I x Q x ∧∃ P ②)()(c I c Q ∧ ES ① ③))()((x R x Q x →∀ P ④)()(c R c Q → US ③ ⑤)(c Q T ②I ⑥)(c R T ④⑤I ⑦)(c I T ②I ⑧)()(c I c R ∧ T ⑥⑦I ⑨))()((x I x R x ∧∃
EG ⑧
2、解：F(x)：x 是病人，G(x)：x 是医生，H(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y
符号化：前提：))),()(()((y x L y G y x F x →∀∧∃))),()(()((y x L y H y x F x ⌝→∀→∀ 结论：))()((x H x G x ⌝→∀ ⑴))),()(()((y x L y G y x F x →∀∧∃ P ⑵)),()(()(y a L y G y a F →∀∧ ES ⑴ ⑶)(a F
T ⑵I ⑷)),()((y a L y G y →∀
T ⑵I ⑸))),()(()((y x L y H y x F x ⌝→∀→∀ P ⑹)),()(()(y a L y H y a F ⌝→∀→ US ⑸ ⑺)),()((y a L y H y ⌝→∀ T ⑶⑹I ⑻))(),((y H y a L y ⌝→∀ T ⑺E ⑼),()(z a L z G → US ⑷ ⑽)(),(z H z a L ⌝→ US ⑻ ⑾)()(z H z G → T ⑼⑽I ⑿))()((x H x G x ⌝→∀ UG ⑾。