1随机事件与事件间的关系与运算
1_1_2事件间的关系及运算
7. 事件的对立
AB , A B
—— A 与B 互相对立
B A
A
每次试验 不是A发生 就是 B发生（必然有 一个发生） 称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注：“A、B 互相对立”与“A、B 互 斥” 是不同的概念
8. 完备事件组
n
若 A , A ,, A 两两互斥，且
A B
6. 事件的互不相容(互斥)
A B —— A
与B 互斥
A
B
A、 B不可能同 时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j , (i, j 1, 2,, n)
A1 , A2 ,, An ,
两两互斥
Ai Aj , i j , (i, j 1, 2,)
—— A 与B 的和事件
A B
A
A B
B
发生 事件 A与事件B 至 少有一个发生
n
A1 , A2 ,, An
的和事件 —— A
i
or
A
i 1
n
i
A1 , A2 ,, An ,
的和事件 —— A
i 1
i 1
i
or
A
i 1
i
4. 事件的交(积) A B 或 A B
B
A
C
例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系
（1）
A ,B ,C 都不发生——
ABC A B C
（2）A
,B ,C 不都发生——
事件 A,B,C中至 少有一个不发生
ABC A B C
（3）恰有一个事件发生——
随机事件的关系与运算
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
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5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如，在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件；
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律:
概率论与数理统计笔记
AB = A ∪ B
设 A1, A2, …, An 是样本空间 Ω 的一个划分， B 是任意一 个事件，且 p(B)>0，则 P(Ai|B)=
P ( AB ) . P ( A)
P( Ai ) P( B | Ai) P( Ai ) P( B | Ai) = n , i=1,..,n P(B) P( Ak ) P( B | Ak)
k 1
概率的乘法公式： 当 P(A)>0 时，P(AB)= P(A)P(B|A) 当 P(B)>0 时，P(AB)= P(B)P(A|B) 乘法公式还可以推广到 n 个事件的情况：
n 重贝努利(Bernoulli)试验: Pn(k) =
C
k n
pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.(q=1-p)
k 1
Ak) =
k 1
P(Ak)
性质: (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, P (Φ) = 0 (2) P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(AB) 特别地，当 A 与 B 互不相容时，P(A∪B) = P(A) + P(B) 推广： 对于任意事件 A, B, C 有 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)
当 0 < P(A) < 1 时，A 与 A 就是 Ω 的一个划分，又设 B 为任一事件， 则全概率公式的最简单形式为 P(B)=P(A) P(B|A)+ P( A ) P(B| A ) 运算律: 交换律：A∪B = B∪A, A∩B = B∩A 结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
新高考数学A版讲义：概率初步 第1节 随机事件间的关系及运算
第1节随机事件间的关系及运算要点一：有限样本空间与随机事件知识点一随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.知识点二样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.知识点三随机事件、必然事件与不可能事件1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件.一、样本空间的求法例1写出下列试验的样本空间：(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.解(1)该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.(2)该试验，所有可能的结果如图所示，因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.(3)如图，用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.延伸探究本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？解如图，所以样本空间为Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}.反思感悟写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.跟踪训练1写出下列试验的样本空间：(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.解(1)如图，设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.(2)设正品为H，次品为T，样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.二、随机事件的表示例2试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.设事件A表示随机事件“甲乙平局”；事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；事件C表示随机事件“乙不输”.试用集合表示事件A，B，C.解设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j 表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.事件B表示“甲赢得游戏”，∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.反思感悟对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.跟踪训练2如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.解M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.三、随机事件的含义例3在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.解(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. (2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.(3)事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.反思感悟解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.跟踪训练3柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.解(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.(2)事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.(3)事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”.要点二：事件的关系和运算知识点一事件的关系知识点二交事件与并事件知识点三互斥事件和对立事件一、互斥事件和对立事件的判断例1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E 是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E 可能同时发生，故C与E不是互斥事件.反思感悟判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球答案D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.非互斥事件D.以上都不对解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.二、事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.解(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E.(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.三、随机事件的表示及含义例3设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.解(1)ABC (2)A∪B∪C(3)A B C(4)AB C(5)(A∪B)C(6)AB C∪A B C∪A BC延伸探究本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.(1)三个事件都不发生；(2)三个事件至少有两个发生.解(1)A B C(2)ABC∪AB C∪A B C∪A BC(或AB∪BC∪AC)反思感悟清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.跟踪训练35.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，A∩C，B∩C.解总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}. A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，A∩C＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，B∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.1.下列事件中不可能事件的个数为()①抛一石块下落；②如果a>b，那么a－b>0；③没有水分，种子能发芽；④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；⑤在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化.A.1B.2C.3D.4答案 B 解析①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件.2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为()A.2B.4C.6D.8答案 B 解析设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点.3.已知A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，从A，B中各取一个元素分别作点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间Ω为__________________________________________.答案{(－1,1)，(－1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)}4.从100个同类产品中(其中2个次品)任取3个.①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少有一个次品；⑥至少有一个正品.其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________.答案⑥④①②③⑤解析从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”.5.下列各组事件中，不是互斥事件的是()A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%答案B6.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为()A.至多做完三套练习题B.至多做完二套练习题C.至多做完四套练习题D.至少做完二套练习题答案B解析至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.7.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.相等C.互斥但不对立事件D.以上说法都不对答案C解析因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件并不是必有一个发生，所以它们不是对立事件.8.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件A B用样本点表示为()A.{(5,5)}B.{(4,6)，(5,5)}C.{(6,5)，(5,5)}D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}答案D9.设A，B为两事件，则(A∪B)(A∪B)表示()A.必然事件B.不可能事件C.A与B恰有一个发生D.A与B不同时发生答案C解析A∪B表示事件A，B至少有1个发生，A∪B表示事件A，B至少有一个不发生，∴(A∪B)(A∪B)表示A与B恰有一个发生.10.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件AB C的含义是________________.答案该生是大三男生，但不是运动员11.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为________.答案B∪D∪E解析由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.12.从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：(1)A∩B∩C表示什么事件？(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)如果A＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？解(1)A∩B∩C＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.(3)是.A＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.同时A＝B又可等价成B＝A，因而也可以解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书.13.盒子里有3个红球，2个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？(3)把红球记为1,2,3，白球记为a，b，试用集合的形式表示A∪C，C∩D.解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A ＝A.(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)}.14.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A.A⊆DB.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D答案D15.(多选)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”答案AD解析对于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故AD是互斥事件.16.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是()A.至少有1个白球，至多有1个白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.至少有1个白球，没有白球D.至少有1个白球，红球、黑球各1个答案D解析当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.17.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)答案(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)18.如果A，B是互斥事件，那么()A.A∪B是必然事件B.A与B一定是互斥事件C.A与B一定不是互斥事件D.A∪B是必然事件答案A解析由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B为不可能事件，所以A∪B是必然事件，故A正确；C选项中，当B＝A时，A与B互斥，故C错误；D和B可举反例，如投掷骰子试验中，A表示向上数字1，B表示向上数字为2，A∪B不是必然事件，A与B不是互斥事件，故B，D错误.19.投掷一枚均匀的硬币，连续投掷3次.A i表示第i次正面朝上，试用文字叙述下列事件.(1)A1∪A2；(2)A1∪A2∪A3；(3)A2A3；(4)A1∪A2；(5)A1∩A2；(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.解(1)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上.(2)A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中至少有1次正面朝上.(3)A2A3表示第2次投掷硬币反面朝上且第3次正面朝上.(4)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.(5)A1∩A2表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.(6)3次投掷硬币中至少有2次正面朝上.。
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
事件的运算与关系解读
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。
随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。
事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。
事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。
1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。
A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。
2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。
A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。
3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。
A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。
比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。
4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。
如果A和B互斥，则它们的交集为空集。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。
事件间的运算包括概率加法和概率乘法。
1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。
2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。
需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。
此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。
1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
四
事件间的运算法则
1）幂等律: A A A,
AA A
2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律: 4）分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
2
A3
( 2 ) A1 A
2
A3 A 1 A2 A3 A 1 A2 A3
(3 ) A 1 A 2 A3
(4) A1 A2 A3
(5) (3) (2)
例2：已知A表示事件“全班学生英语成绩都及格”，则
A 表示什么含义？
§1
随机事件的概率
练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1) A 发生，B 与 C 都不发生.
AB C .
(2) A ,B , C 都发生.
ABC .
(3) A ，B , C 至少有一个发生.
A B C.
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(5) A ，B , C 都不发生.
ABC .
(6) A ，B , C 不多于一个发生.
ABC
AB C A BC A B C.
(7) A ，B , C 不多于两个发生.
A B A B , 且 B A.
例：若A=“不大于7的整数”，B=“小于或者等于7 的整数”，则A=B。
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称 为A与B的和事件，记为 例：某产品分为一，二，三，四 等品，其中一、二等品为合格品， 三、四等品为不合格品。若 Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）; B=“合格品”，C=“不合格品”， B A 则: B= A1+ A2 ， C= A3+ A4
事件间的关系与事件的运算
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
概率论与数理统计教程第四版课后答案-文档资料
1 i j k n
,A 若事件 A 1,A 2, n 互不相容，则
P A A A P A P A P A 4 1 2 n 1 2 n
m m n m n
其中 pq1 。
6
第一章
一、几种概率
1、统计概率
2、古典概率
随机事件及其概率
M P( A) N
随机事件 A 所占的几何度量 （ A ） 3、几何概率 P 试验的总的几何度量 P (AB ) P (A| B ) 4、条件概率 P (B )
( m ) C p q 5、贝努利概率 P n n
3.事件运算的性质
(1). A A ,
A A , A A ;
B C AB AC , (2). A
(3). A B AB , AB A B .
i 1 n n
Ai Ai ,
i 1
i 1
Ai Ai .
i 1
n
n
3
(三) 概率的定义 概率的定义 事件 A 发生的可能性大小 概率的统计定义
第一章
一、基本内容
随机事件及其概率小结
(一)随机试验与样本空间 1.随机试验 具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): （1）试验在相同的条件下可重复进行； 并且可能的结果不止一个； （2）试验前知道试验的所有可能结果， （3）试验前不知道那一个结果会出现。 2.样本空间与样本点
样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合， 记作Ω； 样本点 样本空间Ω中的每个元素， 即试验的每一可能的结果， 记作ω。
考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)
三 二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤：1）画图（为了了解不不等式）
2）讨论
3）代入入（注意端点）
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点：一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
要注意是一一维的（是用用一一个变量量表示）
4.离散+连续（一一定是使用用全概率公式的）
定义：X为离散型，Y为连续型，且相互独立立
六 全概率公式与⻉贝叶斯公式（关键在于完备事件组）
1.完备事件组：互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式：由因到果（推导，画图）（全部路路径）
3.⻉贝叶斯公式：由果到因（推导，画图）（所占的比比例例）
Note：关键是1.完备事件组必须完备；2.要画图3注意抽签原理理
题型一一：概率的基本计算
1.事件决定概率，但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1）具体就是边缘分布函数求导（详⻅见笔记）
Note：注意边缘的公式，在求时，注意取值范围，以及上下限（一一根直线传过去）（类似于 二二重积分的先积部分——后积先定限，限内画条线）
2）G是从几几何看出来的，不不要死记公式，要结合图像（G为非非零区域）
Note：1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0，即要先确定范围
〖2021年整理〗《《事件的关系和运算》》优秀教案
《事件的关系和运算》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1随机事件是如何定义的？2如何列举随机试验的样本空间？教师提出问题，引导学生回忆学生回忆、叙述通过复习相关的概念，加深对样本空间的理解，为引入事件的关系和运算做准备概念形成1包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B A⊇或()A B⊆如图所示：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A⊇且A B⊇，则称事件A与事件B相等，记作A B=2并事件师：现在开始做掷骰子试验，说出试验中的事件，同时我们先定义：iC=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6学生掷一枚骰子，讨论记录：1D=“点数不大于3”；2D=“点数大于3”；1E=“点数为1或2”；2E=“点数为2或3”；通过掷骰子的试验，让学生说出试验中的事件，并讨论它们之间的关系，从而给出事件的一些关系根据教材一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，称这个事件为事件A与事件B 的并事件（或和事件），记作A B⋃（或A B+）如图所示：3交事件一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，称这样的一个事件为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作A B⋂（或AB）如图所示：4互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A B⋂是一个不可能事件，即A B⋂=∅，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）如图所示：5对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B⋃=Ω，且F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；…师：用集合的形式表示事件1C=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，它们分别是{}11C=和{1,3,5}.G=类比集合与集合的关系与运算，你能发现它们之间的关系与运算吗？学生思考、讨论教师提出的问题教师形成事件的包含与相等关系的概念师：请同学们类比集合的并，看一下事件12E E⋃与1D的关系学生思考、讨论并回答：211{1,2,3},{1,2,3},E DE⋃==121E E D⋃=师：非常正确，由此我们可以归纳出并事件的概念师：请同学们类比集合的交，看一下事件12E E⋂与2C的关系学生思考、讨论并回答：212{2},{2},EE C⋂==122E E C⋂=讲解事件的顺序逐步提出问题，让学生思考并回答，达到解决问题的目的通过与集合的运算的类比，形成事件的关系与运算的概念，培养学生数学抽象的数学素养A B ⋂=∅，的对立事件记为A 如图所示：师：非常正确，由此我们归纳出交事件的概念师：下面请同学们继续思考事件3C 与4C 是否可以同时发生？用集合如何表示？学生思考，回答事件3C 与事件4C 不可能同时发生，用集合表示为{3}{4},⋂=∅即34C C ⋂=∅教师归纳出互斥事件的概念师：阅读教材，思考对立事件的概念与表示学生阅读思考，回答 教师及时发现学生回答中存在的问题，并进行指导，归纳对立事件的概念概念深化1事件的关系或运算的含义，以及相应的符号列表如下：2多个事件的和事件及积事件对于三个事件,,,A B C A B C⋃⋃（或A B C++）发生当且仅当,,A B C中至少一个发生，A B C⋂⋂（或ABC）发生当且仅当,,A B C同时发生；对于多个事件的和事件及积事件依次类推教师引导学生阅读教材（表）学生阅读、理解、记忆师：学习了关于两个事件的关系与运算，对于多个事件的和事件以及积事件如何定义呢学生分组讨论通过列表，有利于学生对知识的比较记忆通过小组合作学习，提升学生的团队精神应用举例例1 （1）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A至多有一次中靶教师课件展示例1内容，引导学生思考学生思考、讨论、回答展示问题，让学生解：（1）用12,x x分别表示甲、乙两个灯泡的状态，则可以用()12,x x表示这个并联电路的状态以1表示灯泡亮，0表示灯泡不亮，则样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.Ω=（2）依据题意，可得{(1,0),(1,1)},{(0,1),(1,1)}A B==，{(0,0),(0,1)},{(0,0),(1,0)}.A B==（3）{(0,1),(1,0),(1,1)},A B⋃={(0,0)};A B⋂=A B⋃表示电路工作正常，A B⋂表示电路工作不正常；A B⋃与A B⋂互为对立事件巩固训练教材第233页练习第1，2题习题部分先让学生独立思考、逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评巩固所学知识归纳小结1事件的包含与相等关系2并事件与交事件的概念与表示3互斥事件与对立事件的区别与联系学生思考回答，其他同学补充培养学生自觉回顾、善于总结的习惯，构建方法体系；关注与培养板书设计教学研讨本案例的特点是紧密结合教材，教师引导学生阅读教材，发现结果，归纳总结事件的关系与运算对于教材中的例题应突出样本空间的地位，通过写出试验的样本空间，再结合事件的运算，判断事件间的关系因为时间的关系，例6作为课后作业的形式出现，如果能在课堂上进行讲解则效果会更好。
ch1-1随机事件_事件的关系与运算
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
事件的关系和运算
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
概率论与数理统计知识点总结
连
续
型
密度函数
分
布
分布函数
期望
（ EX ） 方差（ DX ）
均 匀 分
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0, x a
0, 其他
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
EX a b 2
(b a)2 DX
12
布
1, x b
记作 X ~U[a,b]
n
n
n
P Ai 1 P(Ai ) 1 (1 P(Ai ))
i1
i1
i1
（4）伯努利概型
伯努利定理：在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在 n 重伯努利试验中，事
件 A 恰好发生 k 次的概率为： b(k; n, p) Ckn pkqnk ，其中 q 1 p . 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，“事件 A 在第 k 次试验中才首
数 n 有关），如果 n 时， npn （ 0 为常数），则对任意给定的 k ，有
lim
n
b(k; n,
pn
)
k k!
e
.
当二项分布 b(n, p) 的参数 n 很大，而 p 很小时，可以将它用参数为 np 的泊松分布来近
似，即有
b(k; n, p) (np)k enp . k!
4.常用的连续型分布
k
N2 N
nk
.这一近似关系的严格
数学表述是：当 N
时， N1
， N2
，且
N1 N
p，
N2 N
1
p ，则对任意给
北京师范大学432统计学真题
目录I 考查目标 (2)II 考试形式和试卷结构 (2)III 考查内容 (2)IV. 题型示例及参考答案 (3)北京师范大学应用统计硕士专业学位统计学考试大纲I 考查目标北京师范大学应用统计硕士专业学位《统计学》考试是为北京师范大学所招收应用统计硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。
其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读应用统计专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的统计专业人才。
考试要求是测试考生掌握数据收集、处理和分析的一些基本统计方法。
具体来说。
要求考生：1．掌握数据收集和处理的基本方法。
2．掌握数据分析的基本原理和方法。
3．掌握基本的概率论知识。
4．具有运用统计方法分析数据和解释数据的基本能力。
II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。
二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
允许使用计算器（仅限具备四则运算和开方运算功能、不带有公式和文本存储功能的计算器），但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。
三、试卷内容与题型结构统计学120分，有以下三种题型：单项选择题20题，每小题2分，共40分计算与分析题4题，每小题20分，共80分概率论30分，有以下三种题型：单项选择题5题，每小题2分，共10分计算与分析题2题，每小题10分，共20分III 考查内容一、统计学1．调查的组织和实施。
2．概率抽样与非概率抽样。
3．数据的预处理。
4．用图表展示定性数据。
5．用图表展示定量数据。
6．用统计量描述数据的水平：平均数、中位数、分位数和众数。
7．用统计量描述数据的差异：极差、标准差、样本方差。
8．参数估计的基本原理。
9．一个总体和两个总体参数的区间估计。
10．抽样调查中样本量的确定。
11．假设检验的基本原理。
简述随机事件之间的关系。
简述随机事件之间的关系随机事件之间的关系可以通过概率论中的概念来描述。
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生或不发生的结果。
这些事件之间的关系可以从以下几个方面来理解：1. 独立性：如果两个随机事件A和B的发生互不影响，即A的发生不影响B的发生，B的发生也不影响A的发生，那么我们称A和B是独立的。
数学上，如果P(A)和P(B)是事件A和B的概率，且P(A ∩ B) = P(A)P(B)，则A和B是独立的。
2. 条件概率：在给定一个事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A 在B发生的条件下的条件概率，记为P(A|B)。
条件概率反映了在一定的背景下，事件A发生的可能性。
3. 互斥性：如果两个事件A和B不能同时发生，即它们没有共同的样本点，那么我们称A和B是互斥的。
互斥事件的关系可以通过概率加法公式来描述，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
4. 包含关系：如果一个事件A的发生必然导致事件B的发生，那么我们称B是A的子事件，或者说A包含B。
这种关系可以用来描述事件之间的层次结构。
5. 并事件和交事件：事件的并是指两个或多个事件中至少有一个发生的情况，而事件的交是指两个或多个事件同时发生的情况。
并事件的概率不小于任何参与事件的概率，而交事件的概率小于等于任何参与事件的概率。
6. 对立事件：如果两个事件A和B互斥且并事件的概率为1，即P(A ∪ B) = 1，那么A和B是对立事件。
对立事件的概率和为1，即P(A) + P(B) = 1。
这些关系帮助我们理解和分析随机事件之间的相互作用，并在实际应用中如统计学、概率论、随机过程等领域中有着重要的应用。
通过这些关系的运用，我们可以更好地预测和理解随机现象。
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2) 随 机 事 件
(1)事件： 试验的结果 (2)随机事件 : 在试验中可能发生也可能不发生的事件。可 用 A, B, C 等字母表示。
例 (i) 抛一枚硬币，观察正面出现正面还是反面，可用H表 示正面（Head），T表示出现反面（Tail）
(ii)抛一颗骰子，观察出现的点数。可以用ei表示出现i点 (i=1，2，3，4，5，6）
(3)基本事件 :不能分解成其他事件组合的最简单的事件。
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例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若用ei (i=1，2，3，4，
5，6）表示出现i点，用A表示出现偶数点，B表示奇数点。则 A与B 都不是基本事件，而ei 是基本事件。这是因为
A={e2 } U{e4} U{e6}， B={e1} U{e3} U{e5}。
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，
称为A与B的和事件，记为A B或者A B
例：某产品分为一，二，三，四
等品，其中一、二等品为合格品，
三、四等品为不合格品。若
Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）;
B=“合格品”，C=“不合格品”， A
B
则: B= A1+ A2 ， C= A3+ A4
S
n
注： Ai表示A1, A 2 , , An的和事件， 即A1i,1A 2 , , An中至少发生一个发生.
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4) 积（交）事件: “事件A与B同时发生”，称为A与B的 乘积（交）事件，记为A•B ，或AB，或者 AB 。
§1.1 随机事件与事件间的关系与运算
一 随 机 事件 二 事件间的关系与运算
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一 随机试验
1）随机试验
简称试验，是指对事物的某一特征的观察过程。
特点： (1)可以在相同的条件下重复进行
(2)每次试验结果有多种可能，所有的可 能 结果是事先知道的 。
生”，称为A与B的差事件，记为 A-B。
性质：A-B=A-AB
A B
A B
A AB
S
A
B
S
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6) 互不相容（互斥）：若A和B不能够同时发生，
即 A B ，则称A和B互不相容。
A B
S
注：同一个样本空间中的任意两个基本事件一定互不 相容的。
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相互对立
互不相容
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BA
15
三 样本空间的一个划分
定义：若 A1, A2 ,, An
两两互斥，且 A1 A2 An S
，
则称A1, A2 ,, An 构样本空间S的一个划分，或者 说组。A1, A2 ,, An 构成S的一个互斥事件的完备
（3）每次试验只能出现其中的某一种结果， 在试验之前不能断定究竟出现哪种结果。
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2
E1：（抛T一ai枚l）硬出币现，的观情察况正。面H（Head）、反面T E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某批电子元件的寿命。
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（ii）样本空间S是所有基本事件的集合，样本空间可视 为必然事件。 （2)空集：不包含任何样本点的集合，记为。
注:空集可视为不可能事件。
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例（T（ai1l））E出1：现抛的一情枚况硬。币则，E1观的察样正本面空H（间Hea：d）、反面T
S1 ={ H , T }
8
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系
如果事件A发生必导致事件B 发生，则称B包含A，或者说 A是B的子事件。记为：
A B 或 BA
A B S
例：若A=“老王能活到85岁”，B=“老王能活
到80岁”，则 AБайду номын сангаасB （填 或 ）
2）相等关系 A B A B,且 B A.
例：若A=“不大于7的整数”，B=“小于或者等于 7的整数”，则A=B。
7
（4）E4：观察某一电子元件的寿命。 则E4的 样本空间 S4 = { t | t 0 }
1）要求：会写出随机试验的 样本空间。
2）注意到概率论中的样本点、样本空间、空集的概 念与集合论中的元素、全集、空集的概念是分别对应 的。
思考一下，这种对应关系对于学习概率论具有什么 好处？
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例：某圆柱产品的直径与长度同 时合格才算是合格品。
若A=“直径合格” ， B=“长度
合格” C=“合格品” 。则:C=A • A
B
B
S
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注：
AB A A B AB B A B
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5) 差事件：“ A 发生同时 B 不发
（2）E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。若
e的i=“样出本现空i点间”，：(i=1，2，3，4，5，6）表示。则 E2
S2 ={e1, e2, e3, e4, e5, e6 }
（用3N）表示E3：车观辆察数某。一则时E间3的段通样过本某空一间路口：的车辆数。若
S3 = {N|N为非负整数}
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7) 相互对立（互逆、互补）：
若 A • B 且 A BS,
则称A和B相互对立（互逆、互
A
补），B叫做A的逆（补）事件，
记做： A, 即 A B 。
S
同样， B A 。
逆运算的性质：
(1) AA , A A S. A S-A.
(2) A A, (3)A-B AB
请注意互不相容与对立事件的区别：
（4）必然事件 :在试验中一定发生的事件，记为S 。（5） 不可能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为。
例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若A=“出现的点数小于7”，B
=“出现的点数大于7” ，则 A是必然事件，而B不可能事件。
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3) 样本空间(Space)
（1）样本空间：试验 E 的每一个基本事件称为一个样本 点，所有样本点的集合称为 E 的样本空间， 记为 S 。 注:（i）我们称一个事件发生当且仅当至少有一个 它所 包含的一个样本点在试验中出现。