简单抽屉原理

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第24讲抽屉原理

让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!第24讲抽屉原理只在此山中，云深不知处。

——贾岛知识方法扫描美国一家杂志上曾刊登这样一幅漫画：三只鸽子同时往两只鸽笼子里飞. 这是一幅含义深刻的漫画，它有趣地说明了抽屉原理：三只鸽子要飞进两只鸽笼，则一定有一只笼子里至少飞进两只鸽子.抽屉原理一般可表述为：原理1 若将n＋1件物品任意放入n个抽屉里，则必有一个抽屉里，至少有两件物品．原理2 若将mn＋k (k≥1)件物品任意放入n个抽屉里，则必有一个抽屉里，至少有m＋1件物品．原理1是原理2在m=k=1时的特殊情形．它的正确性是显然的，可用反证法很容易证明．请同学们自证．抽屉原理尽管简单，但却有许多出人意料的应用，它是组合数学中一条重要的论证存在性的原理．应用抽屉原理解决问题的关键在于制造合适的抽屉．如何制造抽屉呢?基本的想法是有的放矢，围绕题设要求，在充分考虑问题自身特点的基础上制造抽屉，这往往要求我们认真观察，善于联想，努力想象，大胆尝试，并灵活运用数学、代数、几何等方面知识，本讲通过典型例题介绍几种常见的制造抽屉的方法．经典例题解析1．分割图形制造抽屉在讨论有关点在几何图形中的分布和性质时，我们常常将几何图形分割成若干部分，将每一部分看成一个“抽屉”．一般来说，采取均等分割图形制造抽屉，如等分正方形、等分矩形、等分线段、等分圆周等．例1在边长为1的正三角形内，有5个点．证明：其中至少有两个点，它1们的距离不大于.21分析与解只须证明至少有两个点在边长为的正三角形内即2可，如图连接正三角形各边的中点，将边长为1的正三角形分为四1个全等的边长为的小正三角形。

由原理1，以这四个小正三角形2作为四个抽屉，5个点放入后必有一个小正三角形中至少有两个点，则这两个1点的距离不大于正三角形的边长.2评注这里是用等分三角形的方法来制造“抽屉”，用类似的作法，将5个点扩充为10个点，此题可推广为：在边长为1的正三角形内，有10个点，则其中至少有两个点，它们的距离让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!不大于.31如图（a ）将边长为1的正三角形分割为九个全等的边长为的小正三角形，31这样就制造出九个抽屉，再利用原理1即得证．若用正方形代替正三角形，并相应地把它分别等分为四个小正方形 (如图(b)) 和九个小正方形 (如图(c))，则立即得到下列两个命题：(1) 在边长为1的正方形内，有5个点，则其中至少有两个点，它们的距离不大于.22 (2) 在边长为1的正方形内，有10个点，则其中至少有两个点，它们的距离不大于.32例2 在面积为1的圆中有1993个点，求证：从中可以找到三个点，以这三点为顶点的三角形的面积小于0.0011.证明将已知圆等分为996个中心角为的全等扇形，则由原理9962π2，1993=2×996＋1个点放入996个扇形中，必有一个扇形中至少含有2＋1=3个点（包括在扇形边界上的点）．以这三个点为顶点的三角形当然完全含于这个扇形内，因此三角形的面积小于扇形的面积，而＜0.0011，故结论成99619961立．评注本题如果制造不同的抽屉，还可以证明更强的结论：能找到三个点，以这三点为顶点的三角形的面积小于0.00076. 事实上，由于1993=3×664＋1，故若将已知圆等分为664个中心角为的全等扇形，则必有一个扇形至少含6642π有3＋1=4个点．以这四个点为顶点的四边形的面积小于扇形的面积，于是6641可以从这四个点中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积小于四边形面积的一半，即小于＜0.00076.664121⋅ 由此可见，对同一个问题，考虑问题的角度不同，制造的抽屉不同，会产生不同的效果．2．按同余类制造抽屉让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!例3 求证：任意三个整数中，总有两个整数之差能被2整除 .分析与解要使两个整数的差被2整除，必须使这两个整数被2除余数相同．于是我们考虑把整数按除以2所得余数0或1分成两类，这两类即为两个“抽屉”，由原理1，将3个整数放入两个抽屉，总有两数被2除的余数相同，则此两数之差能被2整除.评注这里是利用同余类制造抽屉，即以2为除数，把整数分为余数为0，余数为1共两个抽屉．同样，以3为除数，可将全体整数分余数为0的，余数为1的，余数为2的共3类，即制造3个抽屉．一般地，可将全体整数分为余数为0的，余数为1的，余数为2的，……，余数为n －1的共n 类，即制造n 个抽屉，因此，任给n+1个整数，总有两个整数对n 同余，于是这两个整数的差能被n 整除．因此本题可推广为：任意n+1个整数中，总有两个整数之差能被n 整除．例4 设n 是大于1的奇数，证明在2－1，2－1，…2－1中至少有一121-n 个数能被n 整除．证明因为n 是大于1的奇数，所以n 不能整除1，2，2，…，2中的21-n 任何一个，又因为1，2，2，…，2共有n 个数，它们被n 除所得的余数均21-n 不为0，但至多只有n －1个余数，于是构造n －1个抽屉，由原理1知，必有两个数被n 除的余数相等. 例如设2与2（k ＞t ）被n 除的余数相等，于是n | k t (2－2)，即n | 2 (2－1)，由于n 2，故n | (2－1).k t t 1-k t t k -评注类似在证存在某些整数，使之满足和、差、倍等关系时，则用小于n 的m 个正整数构造m 个抽屉(特别地有m = n －1) 或把整数分组制造抽屉．例5 设自然数a ，a ，…，a 被某个自然数m 除的余数各不相同，且12n n ＞，试证：其中一定存在两个自然数a ，a ，对某个整数k ，使得2m i j a ＋a －k 被m 整除 .i j 分析直接运用抽屉原理受阻，注意到已知条件2n ＞m 及结论a ＋a －k=a －(k －a )被m 整除，由此启发我们构造2n 个数：a ，a ，…，a i j i j 12，k －a ，k －a ，…，k －a 并设计m 个抽屉，再利用抽屉原理证之.n12n 证明考虑2n 个数a ，a ，…，a ，k －a ，k －a ，…，k －a . 因为12n 12n 2n ＞m ，所以其中至少有两个数被m 除的余数相同．由题设条件，a ，a ，…，a 被m 除的余数各不相同，因此k －a ，k －a ，…，k －a 被12n 12n m 除的余数也不相同．于是余数相同的两个数只能是a ，k －a ，所以它们的i j 差a －（k －a ）= a ＋a －k 被m 整除．i j i j 3．将整数分组制造抽屉例6 任给7个不同的整数，求证：必有两个整数，其和或差是10的倍数．让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!分析与解任何整数被10除的余数有10个：0，l，2，…，9．如果利用余数把全体整数分成10类(即10个抽屉)，对给定的7个整数，不能运用抽屉原理．因此，考虑把这10个抽屉合并成6个大“抽屉”：{0}，{5}，{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}．这里{1，9}表示被10除余数1或9的全体整数，其他类似．于是至少有一个抽屉里有7个数中的2个，如果这两个数同在抽屉{0}或{5}内，其差是10的倍数；如果这两个数在{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}内的某一个之中，其和或差是10的倍数．例7 在1到3n这些整数中，任取n＋2个数．试证当n＞1时，在这n＋2个数中必可找到两个数，使它们的差比n大，比2n小．证明如果在这n＋2个数中不出现3n，那么把其中最大的一个数增大到3n，而其余各数也增大相同的值，则它们任两数之差的值不变．所以，只需考查在选取的数中有一个是3n的情形．如果在所选取的数中有n＋1，n＋2，…，2n－1诸数中的一个，则它与3n的差便大于n而小于2n，如果在所选取的数中没有上列数中的任何一个，那就表明除3n外，其余n＋1个数是在1，2，3，…，n，2n，2n＋1，2n＋2，…，3n－1中选取的．将上述2n个数分为n组：(1，2n)，(2，2 n＋1)，(3，2 n＋2)，…，(n，3 n－1)，要从中取n＋1个数，由抽屉原理，总有某一组中的两个数全被取到，而此两数之差等于2 n－1，正好大于n (因为n＞1) 而小于2 n.评注上述两题都是针对题目本身的需要，将整数适当分组来制造抽屉．4．利用染色制造抽屉染色实质上是对分类的一种形象描述，对点、线段、区间、区域、图形等按要求染上颜色，按不同颜色制造不同的抽屉，可化为利用抽屉原理证题．例8 世界上任意六个人中，一定有三个人或者互相认识或者互相不认识．分析与解用平面上无三点共线的六个点A，A，…，A表示世界上任126意六个人. 如果两个人互相认识，就在这两个点之间连一条红线，由点A连出的5 = 2×2＋1条线段A A，A A，A A，A A，A A放入红、蓝两个1213141516“抽屉”，必有2＋1=3条同色. 不妨设A A，A A，A A皆为红色. 考虑线121314段A A，A A，A A，分两种情况讨论：（1）若三条都是蓝色，则△232434A A A三边同是蓝色，即A，A，A互相不认识；（2）若三条中有一条234234是红色，不妨设为A A，则△A A A三边同是红色，即A，A，A互相34134134认识.评注此例实质上是著名的同色三角形问题，即任给六个点，其中任三点不共线，每两点都用线段相连(共连15条线)，并且每条线段上任意染上红、蓝两色中一种，则其中必有一个三边同色的三角形．让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!由若干个不同的顶点与连结其中某些（或全部）顶点的边所组成的图形称n n为图.如果图中有个顶点，每两点之间都有一条边，则称之为点完全图，记K K为，将每条边都染上红蓝两色之一，称之为二染色；每条边都染上种颜色nK n m mK之一，称之为染色.将的个顶点中选出个顶点，则这个顶点连同它nm们之间的连线所构成的图形称为原图的一个有个顶点的完全子图.如果以图中三个顶点为顶点的三角形的三条边染有同种颜色，则称之为同色三角形.K在二染色的中，总存在同色三角形（这就是例8的图论表述）.6例9平面上有六个点，其中任何三点不共线．以这六个点为顶点，构成三角形．求证：一定存在一条线段，它既是某个三角形的最短边，同时又是另一个三角形的最长边．分析例8中使用的染色方法及结论对本题的解决有极大的启示．证明将每一个三角形的最短边染成红色，其余的未染色的边一律染成蓝色(如果某个三角形有两条最短边，那么从中任选一条边染上红色).根据例8的证明知，一定存在一个三条边同色的三角形.根据染色规则知，每个三角形至少有一条红边，即不存在三条边都是蓝色的三角形，从而一定存在一个三条边都是红色的三角形.这个三角形有最长边，由于这条边染红色，所以这条边一定是某个三角形的最短边.这条线段符合题目要求.同步训练1. 边长为1的正方形内，任意放入九个点，则至少存在三个点，其所形成1的三角形面积不超过.82. 在边长为1的正方形内，任取101个点，同时任三点不共线.证明：存在以这些点为顶点的三角形，它的面积不大于0.01.3. 在边长为1的正方形内有51个点.证明：其中存在某三个点，可以被半1径为的圆纸片覆盖.74. 假设a，b，c，d是四个整数，证明：b－a，c－a，d－a，d－c，d－b，c－b的乘积能被12整除.P5. 设a，a，…，a都是整数，则这些整数中必有一些相邻的，如12100a，a，…，a(1≤n≤n+k≤100)，使它们的和被100整除.n+n1+n k6. 对任给的97个互异的正整数a，a，…，a，试证：其中一定存在四1297个整数，仅用减号、乘号和括号将它们适当组合成为一个算式，其结果是1984的倍数.7.“夹角（见右图）只能是300, 600或900. 问: 至多有多少条直线？8. 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，则在这5条直线两两相交让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!所成的角中，至少有一个角不超过36度. 说明理由.9. 小明有张卡片，每张上写有两个不超过的正整数，一个用红笔写在2n n 左边，另一个用蓝笔写在右边。

抽屉原理的三个公式

抽屉原理的三个公式引言抽屉原理，又称鸽笼原理，是数学中常用的一个基本原理。

它是由德国数学家伊尔迈尔提出来的，用来解决集合论问题。

抽屉原理的应用非常广泛，特别在计算机科学、密码学和概率论中有着重要的地位。

本文将介绍抽屉原理的三个公式，并探讨其在实际问题中的应用。

第一个公式：抽屉原理抽屉原理的首个公式是：对于任意的正整数n和正整数m，如果n个物体放入m个抽屉中（n>m），则至少有一个抽屉中至少有两个物体。

这个公式的直观意义是，如果我们有n个物体需要分配到m个抽屉中，而n 大于m，那么至少有一个抽屉中必然会装有至少两个物体。

这个公式的证明非常简单。

假设每个抽屉中最多只能放置一个物体，那么n个物体最多只能分配到n个抽屉中。

由于n大于m，所以至少有n-m个物体不能放置在抽屉中，这与假设矛盾。

因此，至少有一个抽屉中必然会装有至少两个物体。

第二个公式：广义抽屉原理广义抽屉原理是抽屉原理在更一般情况下的推广。

它的表述如下：如果将n个物体分配到m+1个抽屉中（n > m），则至少有一个抽屉中至少有⌈n/m⌉个物体。

其中，⌈n/m⌉表示不小于n/m的最小整数。

这个公式的证明可以通过数学归纳法来完成。

当n=1时，结论显然成立。

假设当n=k时，结论成立，即将k个物体分配到m+1个抽屉中至少有⌈k/m⌉个物体在某个抽屉中。

当n=k+1时，根据归纳假设，k个物体分配到m+1个抽屉中至少有⌈k/m⌉个物体在某个抽屉中。

如果将第k+1个物体分配到这个抽屉中，那么该抽屉中至少有⌈k/m⌉+1个物体。

如果将第k+1个物体分配到其他抽屉中，根据抽屉原理，至少有一个抽屉中至少有两个物体。

综合起来，将k+1个物体分配到m+1个抽屉中至少有⌈(k+1)/m⌉个物体在某个抽屉中。

第三个公式：生日悖论生日悖论是抽屉原理在概率论中的一个应用。

它的表述如下：在一个房间里，如果有至少两个人，他们的生日相同的概率至少为50%，当房间里的人数超过23人时，这个概率将超过50%。

第十讲简单抽屉原理

例题6：国王让阿凡提在8×8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒．结果每个格子里至少放一粒米，无论怎么放都至少有3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒？
巩固练习
1、口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？
练习4：口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？
例题5：大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4 枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的 4 枚棋子的顺序）
2、小钱的存钱罐中有 4 种硬币： 1分、 2 分、5 分、1角，这四种硬币分别有 5 个、10个、 15 个、20个。小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有 5 分硬币也有 1 角硬币？
3、如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有 10 根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）
第十讲简单抽屉原理
知识精讲
抽屉原理 I
把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．
抽屉原理 II 把m个苹果放入n个抽屉（m 大于 n），结果有两种可能：（1）如果 m÷n 没有余数，那么就一定有抽屉至少放了 “ m÷n ” 个苹果；（2）如果m÷n 有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商再加 1”个苹果。

抽屉原理及其简单应用

抽屉原理及其简单应用一、知识要点抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。

这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。

用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1:把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2:把m个元素任意放入n(n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。

其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1(当n不能整除m时)，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

原理2也可以变为：把m个元素任意放入n(n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。

其中k＝〔m/n〕,这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分.二、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意.分清什么是“东西",什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉.这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。

根据题目条件和结论，结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。

第三步:运用抽屉原理.观察题设条件，结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。

"因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数.三、应用抽屉原理解题例举：1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个,若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把３种颜色看作３个抽屉,若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

5-抽屉原理

第四讲抽屉原理
4. 抽屉原理
抽屉原理又称鸽巢原理,是组合数学中两大基本原理之一,是一个极其初等而又应用广泛的数学原理. 其道理并无深奥之处,且正确性也很明显.但若能灵活运用,便可能得到一些意料不到的结果.
4.1 抽屉原理的简单形式
例在多于12个人中必有两个人在同一个月份出生. 例将多于7个球任意地放入7个抽屉中,必有一个抽至少含有两个球. 例箱子中放有10双手套，从中任取11只，则至
4.2 抽屉原理的加强形式
存在一个 (m + 1) 项的递增子序列或(n + 1) 项的递减子序列。证明：某个序列 bn n = 1,2,L, n 是递增的，是指该序列满足：b1 个不同实数构成的序列{ai i = 1,2,L, mn+ 1}中必例由 mn+ 1
{
}
< b2 < L< bn ;
则以 aki 为首的递增子序列比以 ak j 为首的递增子序列至少多一项，即 t ki > t k j ，所以矛盾。命题得证。
4.2 抽屉原理的加强形式
特例：特例： m = n. 实际问题为：实际问题为：不同高度的 n2 + 1个人随意排成一行，个人随意排成一行，那么总能从中挑出 n + 1 个人，让其出列后，让其出列后，他们恰好是由低向高（或由高向低）排列的。或由高向低）排列的。
(i = 0,1,L,50)
,则 A0 , A1 ,L, A50 构成了51个抽屉，
从而存在一个抽屉 Ak，使得 Ak ≥ 2. 设 a, b ∈ Ak , 则 a, b 除以100，其余数要么相同，要么其和为100。如果余数相同，则这两数之差是100的倍数；如果余数其和为100，则这两数之和是100的倍数。

简单抽屉原理

简单抽屉原理
抽屉原理一：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果。

抽屉原理二：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：
1、如果m÷n没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n”个苹果。

2、如果m÷n有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商加1”个苹果。

例1：一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？
例2：一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。

现在闭着眼睛从中摸球，请问：（1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？
（2）至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？
练习：
1、有13个人参加聚会，其中a说，至少有两个人是同一个月出生，对吗？
2、任意1830人中，至少有多少人同一天生日？
3、有红黄绿蓝四种颜色的球，且每种球都有四个，至少要摸出多少个球，才能保证四种颜色的球都有？。

第十一讲简单的抽屉原理

第十一讲简单的抽屉原理把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里。

尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。

由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了。

由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。

不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔…等十二种生肖）相同。

怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。

事实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13个人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

例1：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。

请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉，由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

例2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况。

小学奥数抽屉原理

第十二讲简单抽屉原理参考书目：导引（三年级下学期第20讲）知识要点：简单的抽屉原理：把多于n 个的苹果随意放进n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

例1：任意13个人中，至少有2个人的属相相同。

（12种属相看作12个抽屉）例2：任取5张扑克牌（不包括大、小王），至少有两张牌花色相同。

（扑克牌一共有四种花色：红桃、黑桃、梅花、方块，把这四种花色看作是四个抽屉）例3：某校的小学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少任选几个学生就一定能保证其中有两个学生的年龄相同？（答：任选9个）（6—13岁这8个不同的年龄看作是8个抽屉）加强的抽屉原理：把多于m ⨯n 个苹果随意放进n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有(m+1)个或(m+1)个以上的苹果。

例4：任意25个人中，至少有3个人的属相相同。

3米例5：在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。

（如右图，9例6：在一次数学竞赛中，获奖的87名学生来自12所小学，证明：至少有8名学生来自同一所学校。

（12个抽屉，371287⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，7+1=8 ）重点与难点：○1构造“抽屉” 、识别“苹果” 。

例7：篮子里有苹果、橘子、梨和西红柿四种水果各若干个。

如果每个小朋友都从中任意拿出两个水果，那么至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿出的水果品种一样？怎样构造抽屉：注意“拿出的水果品种”这几个字。

取两个水果的品种搭配有如下10种情况：苹苹、橘橘、梨梨、西西、苹橘、苹梨、苹西、橘梨、橘西、梨西。

把上面的10种情形看作是10个抽屉，根据抽屉原理，至少应有11个小朋友，才能保证……○2考虑“最坏（运气最差、极端糟糕）” 情况。

（袋中取球问题）例8：在一副新买的扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”每种花色的牌至少有2张？最不利的情况是：三种花色的牌已取完，大、小王也取了，已取出了412313=+⨯（张）牌，此时只需再取2张牌，即共取出41+2=43张牌，就可以保证每种花色的牌至少有2张。

抽屉原理

1基本介绍编辑本段鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。

其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。

另一种为：若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。

拉姆齐定理是此原理的推广。

2常见形式编辑本段2.1第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。

原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

2.2第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

3基本应用编辑本段3.1基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。

许多有关存在性的证明都可用它来解决。

例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。

解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。

“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。

”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。

”上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。

抽屉原理

抽屉原理（又名鸽笼原理）什么是“抽屉原理”？举个简单例子来说明：把3个苹果分放在2个抽屉里，必定有1个抽屉里放了2个或2个以上苹果。

这就是“抽屉原理”。

道理很简单，谁都能理解，很容易用反证法证明。

用数学语言表达如下：抽屉原理一：把多于n个物体(n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放2个或2个以上的物体。

抽屉原理二：把多于m×n个物体（m、n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放m+1个或m+1个以上的物体。

以上原理是德国数学家狄利克雷首先发现的，所以也叫狄利克雷原理。

它是一个重要而又基本的数学原理。

应用它可以解决一些有趣的看起来相当复杂的问题。

举两个简单的例子：1．第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。

试证明：在我国至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。

解：50年的秒数约等于15.8亿秒，设2秒为1个抽屉，抽屉总数小于8亿个，所以至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。

2．某工厂生产一种天平托盘1000付，要求每付两个托盘的重量相差≤1毫克，而该厂的冲床设备生产的产品重量误差是±5毫克，问该厂用这种冲床设备，至少要生产多少个托盘才能配出1000付符合要求的托盘？解：设10个重量相差为1毫克以内的抽屉：（－5＜－4），（－4＜－3），（－3＜－2）……（+3＜+4），（+4≤+5）。

最差的情况是每一个抽屉都是奇数，那么有10个托盘不能配对，所以只要生产2010个合格托盘，就能配出1000付符合要求的托盘。

以下几道题，请读者自己解：1．证明：在25人中，至少有3人属相相同。

2．6个小朋友，每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个小朋友有相同数量的书。

（提示：如果每人的书数量都不相同，至少要21本书。

）3．在2行5列的2×5的方格子中，随意用红、绿两种颜色染上，证明：不管怎样染，至少有两列着色完全相同.关于抽屉原理关于整除问题a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

抽屉原理和最不利原则

抽屉原理和最不利原则一、抽屉原理抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是数学中一种基本原理，它是由鸽笼和抽屉的类比而得名。

根据抽屉原理，如果n+1个物体被放置到n个容器之中，那么至少有一个容器内含有两个或者更多的物体。

换句话说，抽屉原理表明，当物体数量超过容器数量时，至少有一个容器将会装有多个物体。

这个原理可以应用于各种场景，例如，如果有11个学生坐在一排座位上，而只有10个座位，那么至少有一个学生将会没有座位坐。

抽屉原理在数学和计算机科学中有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来证明哈希函数的碰撞概率、证明图的着色问题等等。

最不利原则是指在做决策时，应该假设每一项决策都是以对自己最不利的方式进行的。

也就是说，在进行决策时，应该考虑最不利的情况，并希望能够在最不利的情况下找到最好的解决方案。

最不利原则在决策分析和优化问题中具有重要作用。

通过考虑最不利的情况，可以防止决策者产生过于乐观或者主观的判断，从而更好地制定决策方案。

最不利原则可以应用于各种领域，例如商业决策、政治决策和战略决策等。

在商业决策中，经营者应该考虑到市场环境变化和竞争对手的行动，以保持企业的竞争力。

在政治决策中，政府领导者应该考虑到各种社会和经济因素，以制定合理的政策。

在战略决策中，军事指挥官应该考虑到敌方的最强势和最危险的行动，以便做出战略部署。

最不利原则帮助我们克服幻觉和假设，从而更加客观地进行决策。

通过考虑最不利的情况，我们能够更好地准备好应对各种风险和挑战，并找到最佳的解决方案。

总结：抽屉原理和最不利原则都是数学领域中的重要原则，它们在不同的背景下有着不同的应用。

抽屉原理通过简单的类比，帮助我们理解当物体数量超过容器数量时，必然会有一些容器装有多个物体的情况。

最不利原则则在决策分析和优化问题中起着重要的作用，通过考虑最不利的情况，可以制定出最佳的决策方案。

这两个原则都帮助我们在面对不同的问题和情境时，能够更加准确地进行分析和决策。

简单的抽屉原理

抽屉原理（一）如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。

抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

说明这个原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。

这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。

从最不利原则也可以说明抽屉原理1。

为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。

这就说明了抽屉原理1。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。

把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。

这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。

因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。

我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。

一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。

将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。

这两个数的差必能被3整除。

一、抽屉原理简介

一、抽屉原理简介抽屉原理又称鸽巢原理，“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。

原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。

原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。

在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。

现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。

二、运用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。

分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。

这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。

根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用原理。

观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

三、理解抽屉原理要注意几点（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。

（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

四、教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。

小学抽屉原理公式

小学抽屉原理公式
抽屉原理，又称鸽巢原理，是离散数学中的一个重要概念，它指出如果有n个
物体要放到m个箱子中，那么至少有一个箱子里至少有两个物体。

这个原理在日
常生活中也有很多应用，比如在抽屉里放衣服的时候，如果抽屉的数量少于衣服的数量，那么必然会有至少一个抽屉里放了两件或两件以上的衣服。

在小学阶段，抽屉原理虽然不会以公式的形式出现，但是它的概念却贯穿了很
多数学问题的解决过程。

下面就让我们来看看小学阶段的抽屉原理公式。

首先，我们来看一个简单的例子，小明有5双袜子，但是他的抽屉只有3个，
那么根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两双及以上的袜子。

这个例子可以用数学公式表示为，n > m，则至少有一个抽屉里有两个及以上的物体。

其中，n代表物
体的数量，m代表抽屉的数量。

再举一个例子，小红有7本书，但是她的书架只有4层，那么根据抽屉原理，
至少有一层书架上有两本及以上的书。

这个例子同样可以用数学公式表示为，n > m，则至少有一层书架上有两本及以上的书。

在解决实际问题的时候，我们可以利用抽屉原理公式来快速判断是否存在某种
情况。

比如在排队的时候，如果人数大于座位数，那么必然会有至少一个座位上有两个人；在分糖果的时候，如果糖果的数量大于盒子的数量，那么必然会有至少一个盒子里有两个糖果。

总的来说，小学抽屉原理公式虽然简单，却贯穿了很多数学问题的解决过程，
它不仅可以帮助我们快速判断某种情况是否存在，还可以培养我们的逻辑思维能力。

希望同学们能够在日常生活中多加利用抽屉原理，让数学变得更加有趣和生动。

简单的抽屉原理

简单的抽屉原理把3个苹果放入2个抽屉中，无论怎样放，必然有一个抽屉中有2个苹果，或者2个以上的苹果，也即不少于2个苹果。

也就是说，如果苹果比抽屉多，那么即使每个抽屉放一个苹果后，剩下1个的苹果无论放在哪个抽屉里，这个抽屉都会有至少2个苹果。

苹果越多，那就更可以保证了。

把41个苹果放入10个抽屉中，不管怎么放，必然有一个抽屉中有5个苹果，或者5个以上的苹果。

也就是说，如果苹果比抽屉的指定倍数还多，那么每个抽屉放入这么多个苹果后，剩下的苹果无论放在哪些抽屉里，这些抽屉都会有多于这个“指定倍数”的苹果。

当然，实际问题可能不是“苹果”和“抽屉”那么简单了。

那么，我们要把一些东西做成抽屉，再把“苹果”填进去。

实际问题当中，所谓的“苹果”可能是人，可能是物品，也可能是某些事件，等各种东西。

[例1] 四年级一班有38人在同一年出生。

证明他们中至少有四个人在同一月过生日。

分析与解答：在同一年中，不同的出生月份最多有12种情况，我们把12个月份做成12个抽屉。

在同一年出生的学生人数大于3×12=36。

因此至少有四个人被塞进同一个抽屉里，他们的出生月份相同。

这是最简单的抽屉原理问题。

不同的出生月份是“抽屉”，学生是“苹果”。

“苹果”比“抽屉”的3倍多的时候，至少有四个苹果在同一个抽屉中。

[例2] 在一米长的线段上任意点六个点。

证明这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。

分析与解答：把一米长的线段平均分成5份，每份长20厘米。

把这一份当作一个抽屉，那么同一个抽屉里任意两点的距离都不大于20厘米。

六个点中至少有两个点在同一个抽屉里。

这两个点的距离不大于20厘米。

[例3] 在一副52张的扑克牌中（不包括大小王牌），最少要拿出几张，才能保证四种花色都有？分析与解答：设想我们今天运气很差，很倒霉：如果取39张牌，最坏情况为39张牌中只有三种花色，每种13张。

这是，我们再取一张，肯定是第四种花色了。

因此至少取40张牌。

四年级秋季班第五讲简单抽屉原理、最不利原则

第五讲简单抽屉原理、最不利原则知识框架一、对抽屉原理两个版本的认识抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。

只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。

（2）物品是“任意放”到抽屉中。

（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。

（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。

原理讲解：只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。

当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。

n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。

最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。

此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。

例子：4只鸽子飞回三个鸟笼，有几种方法？1号鸟笼2号鸟笼3号鸟笼方法一400方法二310每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。

在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。

抽屉原理2（加强版的抽屉原理）将m件物品任意放入n个抽屉（m>n），（1）当m是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于m÷n 件；（2）当m不是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于[m÷n]+1件。

注：若m÷n =a…b，那么就说[m÷n]=a，也就是只要商，余数不要了。

称这个过程为取整。

原理要点：（1）物品数比抽屉数多，抽屉原理1的情形包含于这个原理中；（2）解决的是抽屉的存在性；（3）在解题时，遇到“有一个抽屉中的物品数不少于A件”，其中A>2时，应使用抽屉原理2。

（4）原理的结论也可以理解为：“总有不少于m÷n件（或[m÷n]+1件）物品在同一个抽屉中。

四年级下册奥数——简单抽屉原理

第01讲简单抽屉原理知识点、重点、难点抽屉原理1把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.抽屉原理2把m 个苹果放入n 个抽屉（n m >），则（1）如果n m ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“n m ÷”个苹果；（2）如果n m ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“1+÷n m ”个苹果.例题精讲例1如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了_________个苹果.如果把97片培根放在8个盘子里，那么一定有盘子至少放了________片培根.如果把98只鸽子放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了________只鸽子.例2一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条.至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？例3一个布袋里有大小相同颜色不同的木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个.现在闭着眼睛从中摸球，请问：（1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？例4将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里.请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（3）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）例5口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个.要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？例6小明把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4枚棋子的顺序）精选习题1.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同的彩球？2.爷爷给小明买了一盒糖，这些糖有苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗.小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？3.袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只.现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？4.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜.至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？。

简单抽屉原理

第24讲抽屉原理

抽屉原理的三个公式

第十讲 简单抽屉原理

抽屉原理及其简单应用

5-抽屉原理

简单抽屉原理

第十一讲 简单的抽屉原理

小学奥数抽屉原理

抽屉原理

抽屉原理

抽屉原理和最不利原则

简单的抽屉原理

一、抽屉原理简介

小学抽屉原理公式

简单的抽屉原理

四年级秋季班第五讲简单抽屉原理、最不利原则

四年级下册奥数——简单抽屉原理

第十讲简单抽屉原理

第十一讲简单的抽屉原理