矩阵分析-哈尔滨工业大学(深圳)年-考试重点知识交流
哈工大矩阵分析课件8
B ⊗ A = [3 A 3 12 −1 −4 . −1A ] = 0 6 0 −2
5
显然 A ⊗ B ≠ B ⊗ A , 即矩阵的 K ronecker 积 不 满 足 交 换 律 .
k k k
8
(8.9)
(6) 设 A ∈ C
m×m
, B∈C
−1
n×n
都是可逆矩阵,则 A ⊗ B (8.10)
(8.11)
mn×mn
也可逆,且有 ( A ⊗ B) = A ⊗ B
(7) ( A ⊗ B ) + = A+ ⊗ B +
−1 −1
(8) 设 A∈U (9) 设 A∈C
m×m m×m
, B ∈U , B ∈C
③ 酉不变性 两个酉矩阵的Kronecker乘积仍是酉矩阵. 酉矩阵.
18
§8.2 矩阵Kronecker积的特征值
定理 8.2 设 A ∈ C m×m 的特征值为 λ1 ,..., λi ,..., λm , B ∈ C n×n 的特征值为µ1 ,..., µ j ,..., µn , 则
(1) A ⊗ B 的 mn 个特征值 为 λi µ j (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n ) ;
( A ⊗ B) = A ⊗ B .
16
+
+
+
(8). 设 A ∈ U
m×m
, B ∈U
n×n
, 由 (4) 及 (5) 得
H H
( A ⊗ B)( A ⊗ B) = ( A ⊗ B)( A ⊗ B ) = ( AA )(BB ) = Im ⊗ In = Imn . H H H ( A ⊗ B) ( A ⊗ B) = ( A ⊗ B )( A ⊗ B)
矩阵分析的重点(升级版)
第一章 线性空间与线性变换1、 充分理解抽象线性空间的概念,掌握向量的线性表出,线性相关,线性无关的判断与性质.P5,例1.1.82、 掌握线性空间的基,维数,坐标的定义与求法,掌握基变换与坐标变换,明确过渡矩阵必可逆,会求过渡矩阵.P12,例1.2.63、 理解线性子空间的概念,重点掌握齐次线性方程组的解空间与生成子空间,理解线性子空间的交与和以及维数公式,了解子空间的直和与补子空间.P19,例1.3.54、 掌握线性映射(变换)的概念, 线性映射(变换)的矩阵表示以及一个线性变换在不同基下矩阵之间的(相似)关系.P30,例1.4.8,P35,例1.6.15、 会求线性映射的核与值域,理解秩与零度定理P33,例1.5.16、 理解线性变换不变子空间的定义与性质.7、 会求矩阵(线性变换)的特征值与特征向量,理解矩阵(线性变换)的特征值与特征向量的性质8、 掌握矩阵可对角化的条件,理解矩阵族同时可对角化的含义.第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan 标准形1、会求λ-矩阵的Smith 标准形2、会求λ-矩阵的不变因子,行列式因子和初等因子.明确三者之间的关系(特别是:初等因子+矩阵秩可决定不变因子) .P72,例2.2.1, 例2.2.23、理解λ-矩阵等价的几个充分必要条件.4、掌握矩阵Jordan 标准形的定义,会求矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵. P79例2.3.3第三章 内积空间, 正规矩阵, Hermite 矩阵1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质,掌握Hermite 矩阵的定义与性质,会求欧氏(酉)空间的度量矩阵(P94),明确欧氏空间的度量矩阵为实对称阵, 酉空间的度量矩阵为Hermite 矩阵. 例:在线性空间[]3x R 中定义内积()⎰-=11)()()(),(dx x g x f x g x f(1) 、证明[]3x R 是欧氏空间;(2) 、求基1,2,x x 的度量矩阵; (3) 、求21)(x x x f +-=与2541)(x x x g --=的内积.2、掌握线性无关向量组的Schmidt 正交化与单位化方法P100,例3.2.13、掌握酉矩阵和正交矩阵的定义与性质,理解酉变换与正交变换的定义与性质4、掌握Schur 引理的内容及实现过程,掌握正规矩阵的定义与性质P114,例3.5.1第四章 矩阵分解1、掌握矩阵满秩分解的定义以及具体分解方法,明确矩阵满秩分解表达式不唯一,及其应用于求矩阵广义逆.2、掌握矩阵正交三角分解的定义以及具体分解方法,理解矩阵正交三角分解与Schmidt 正交化与单位化方法之间的关系.P148,例4.2.1例:求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011110A 的正交三角(UR)分解.第五章 向量与矩阵范数1、理解向量范数的定义,会判断所给定义是否可作为向量范数,会求向量的p-范数,1-范数,2-范数, ∞-范数,学习指导上例5.12、理解矩阵范数的定义,会判断所给定义是否可作为矩阵范数3、理解矩阵范数与向量范数的相容性,掌握诱导范数的定义,会求矩阵的1-范数(列和范数), 2-范数(谱范数),∞-范数(行和范数),谱半径,学习指导上例5.6,例5.7 4、理解矩阵序列极限与矩阵序列敛散性的含义,会求矩阵序列极限,会判断矩阵序列敛散性,学习指导上例5.185、掌握矩阵幂级数敛散性的含义,会判断矩阵幂级数的敛散性,并会求收敛幂级数的和,学习指导上例5.20,例5.21,例5.22。
矩阵分析5
Theorem 4. Let B = {x1, . . . , xn} be a basis of (V, · ). The function
g : Fn → V defined by g(λ1, . . . , λn) =
n j=1
λj
xj
is
continuous.
Proof.
n j=1
λj
xj
α \ β 1 √2 ∞ 1 1 n √n 2 11 n ∞ 11 1
5
Theorem 7. Let ϕ : (V, · V ) → (W, · W ) be a linear transformation between two normed spaces, then ϕ is continuous.
Examples:
• The dot product on Cn.
• For x = (x1, x2)t, y = (y1, y2)t ∈ Rn, we define x, y = x1y1 + 2R), we define A, B = tr AB∗.
• For f (x), g(x) ∈ Pk, we define f (x), g(x) = − 11f (x)g(x) dx. Theorem 8. (Cauchy-Schwarz inequality) | x, y | ≤ x 2 y 2. Hence we can define the angle between x and y.
If turns out that by a particular choice of a basis B, an inner product space can be identified with Cn or Rn under the usual Euclidean norm.
哈工大矩阵分析讲学课件6
矩阵分析教程(电子版)董增福哈尔滨工业大学数学系1第六章特征值的估计核心内容：1．特征值界的估计2．圆盘定理3．Hermite矩阵的正定条件与Rayleigh商4．广义特征值与商广义Rayleigh2§6.1特征值界估计的下面的定理给出矩阵的与它的F的:特征值范数关系定理6.1(Schur),...,,...,A(a)C不等式设为λλλ=∈1i n ij n n×n n ×的特征值,则有Schur不等式n n n(6.1)∑∑∑222λ≤=a Ai ij Fi1i1j1===等号成立的充要条件为A是正规矩阵.3n n n n××证由定理定理存在使3.25(Schur),A C,U U,∀∈∈HU A U R①=其中是对角元为的特征值的R(r)Aλ,...,λ,...,λ=ij n n1i n×上三角矩阵.②取共轭转置有H H HU A U R=上述②①二式相乘得H H H U(A A)U R R=H H这说明A A与R R,故它们的相等酉相似迹H Htr(A A)=tr(R R)(6.2)4因为R的为A的,故上三角阵对角元特征值n n n n∑∑∑∑222Hλ=≤=r r tr(R R) iii iji1i1i1j1====由式(6.2)n n n n∑∑∑∑2H H2a tr(A A)tr(R R)r,===ij ij i 1j1i1j1====n n n∑∑∑222故i a Aλ≤=ijFi1i1j1===.Schur的为不等式取等号充要条件n n n∑∑∑2r r=2 ,ii iji1i1j1===这说明是对角阵由定理知酉相似对角阵R, 3.26A()是正规矩阵.5注:任何一个阶复数矩阵都可表成一个nH e rm i te H e rm i te.矩阵与一个反矩阵之和n×n设∈则A C,,11H HA(A A)(A A)B C=++−=+22其中11H H B(A A),C(A A), =+=−22显然H HB B,C C==−.6用矩阵的m∞范数估计特征值11n n H H定理设6.2(),B(),C()A a C×A A A A=∈=+=−ij n n×22n nλλλ∈,...,,...,为的特征值则A C×, 1i n①λi n i j a ij m i n⋅m ax=A,=1,2,...,;≤,∞②R e()n⋅max b=B,i=1,2,...,n;λ≤i iji j m,∞③I m()n⋅max c=C,i=1,2,...,n.λ≤i iji j m,∞7证由定理有①.6.1n n n∑∑∑22 222i i a n max a,ij ij λ≤λ≤≤i,ji1i1j1===即λ≤==1,2...,i n max a A,i n.iji,j m∞则①得证.( 4.17(A)A,A.)若仅证由定理有故①ρ≤λ≤:i m∞此处证法同时证②,③.8H=,H H=H,,, 因由的定义U AU R U A U R B C于是有11H H H HU B U U[(A A)]U(R R),=+=+22U11H H H H C U U[(A A)]U(R R),=−=−22由于酉相似下矩阵的范数不变Frobenius,1所以(R R+2H)2F=B2F,1 22H(R R)C−=F2F.9因为λ00r r λ11121n0r r0λλ11H22n(R R)() +=+22122λλr rn1n2n n+r rRe()**λλλ111121n*Re()*λ1r rλ+λ212222n==2+**Re() r rλλλ12n n n n n10因为λ00r r λ11121n0r r0λλ11H22n12(R R)()−=−22200λλr rn n1n2nr ri I m()**λ−λλ111121n*i Im()*λ1r r −λ−λ2 12222n==2−−**i I m()λr rλ−λn 1n2n n n11所以有22()注意⋅≤⋅Fm∞n n n∑∑∑∑22222 11r b n max b,λ+λ+=≤4i i2i,ij j iji ji i<j i1j1=1==n n n∑∑∑∑22222 11r c n max c.λ−λ+=≤42,i i ij ij iji ji i<j i1j1=1==故n n∑∑22 2212Re()Re()n max b,λ≤λ=λ+λ≤i i4i i,iji ji1i==1n n∑∑22 2212Im()Im()n max c.λ≤λ=λ−λ≤i i4i i,jii ji1i==1此即②,③的等价不等式.■12推论(1)Hermite矩阵的特征值都是实数(定理2.18);(2).反零Hermite矩阵的特征值为或纯虚数H,, 6.2,(), 证当时由定理之③A A C O Im0==λ=ii i.n,1,2,..,;即为实数λ=H,, 6.2,(), 当时由定理之②A AB O Re0=−=λ=ii i n,1,2,...,.即为零或纯虚数■λ=13对于实矩阵特征值虚部的估计有比定理之③6.2更精细的结果.定理6.31n n T设则A R×,C(A A),∈=−A R ×,C(A A),2Im()λ≤n−nC12m∞这里为的任一特征值.λA证略14011例特征值范数6.1设A=,试论述A的与的关系.−10111−−0解显然为反对称矩阵所以有A,B1H=+=O,(A A) 2C1H=−=(A A) A. 2于是A3,B0,C 3.===m m m∞∞∞15由 6.2,对A的有定理任一特征值λλ≤λ=λ≤3,Re()0,Im() 3.31−由 6.3,Im()C 3.定理λ≤=23m×∞对于的估计定理明显优于定理Im(λ), 6.3 6.2.16以下计算A的:特征值λ−−112λ−=λ−=λλ+I A11(3).11λ故的特征值为A λ=λ=λ=−0,3i,3i. 123(A,);是反对称矩阵其特征值为零或纯虚数另有A 2F332∑∑==aiji1j1==6,于是3∑226A 6. =λ≤=iFi1=因为A是正规矩阵,等号成立,与定理6.1结论一致.17显然ρ=(A)3,且有A6,A6,A3;===mF m1∞A A==1∞2 ,再计算的A2范数λ−−211H2λ−=−λ−−=λλ−I A A121(3).112−λ−故可见≤A2=3,ρ(A)A();任一范数又是正规矩阵有□18 A,ρ(A)=A=3.2§6.2圆盘定理定义n n6.1设A(a)C ×,=∈ij n n×nR a a...a a...a(i1,...,n)(6.8) =∑=+++++= ii j i1ii1ii1i n−+j1,j i=≠称复平面上的圆域G{z z a R,z C}(i1,2,...,n)(6.9)=−≤∈= i ii i为矩阵的第个圆盘简称盖尔圆称为盖尔圆A i Gershgori n,,RiG i 的半径 .19圆盘定理定理n n n×特征值6.4(Gershgorin1)矩阵A C的个都在∈它的个盖尔圆的并集中即为的特征值n.∪G,A,λ∈λi i ii1,2,...,n..=简称此定理为圆盘定理T n 证设为的任一特征值为λ=∈A,x(x,...,x,...,x)C1j n A,Ax x,xθ.的属于特征值的特征向量故λ=λ≠设则由于x max x,x0.=≠k j kjn n∑∑a x x,i1,2,...,n;a x=λ==λ所以x k .ij j i k j jj1j1==20。
矩阵分析期末总结
矩阵分析期末总结引言：在矩阵分析这门课程中，我们系统学习了矩阵的基本概念、运算、性质和应用等知识。
通过学习矩阵分析，我们能够更好地解决线性方程组、矩阵特征值和特征向量、矩阵的相似性等问题。
本文将对我在矩阵分析课程中的学习内容和收获进行总结与归纳。
一、矩阵的基本概念与性质矩阵作为线性代数的基础概念，具有以下基本性质：1. 矩阵的定义与表示，包括行矩阵、列矩阵、方阵和零矩阵等。
2. 矩阵的大小与维度，用行数与列数来表示矩阵的大小，例如m x n矩阵表示有m行n列的矩阵。
3. 矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
4. 矩阵的转置与共轭转置，将矩阵的行与列进行互换，并对矩阵元素取共轭得到的转置矩阵。
5. 矩阵的逆与伴随，如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
二、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
2. 特征值与特征向量的计算方法，通过解方程(A-λI)x=0可以求得特征值λ和特征向量x。
3. 特征值与特征向量的性质，特征值与特征向量满足一系列重要的性质，例如特征值的重数与特征向量的线性无关性等。
4. 对称矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵的特征值都是实数，并且存在一组相互正交的特征向量。
5. 正交矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵的特征值的模长都等于1，特征向量是正交归一化的。
三、矩阵的相似性与对角化1. 相似矩阵与对角化，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A与D相似，且称A可对角化。
2. 相似矩阵的性质，相似矩阵具有一系列重要的性质，例如特征多项式、迹、行列式等。
3. 矩阵的谱分解与Jordan标准形，对于n维方阵A，如果存在P使得P^(-1)AP=J，其中J 是一个Jordan标准形矩阵，则称矩阵A可谱分解。
四、矩阵分析的应用矩阵分析在实际应用中具有广泛的应用，例如：1. 线性方程组的求解，可以通过矩阵分析中的逆矩阵、伴随矩阵等方法求解线性方程组。
矩阵分析
所以 E11, , Eij , , Emn 线 性 无 关.
■
21
§ 1.2 线性空间的基与坐标
定义1.2 线性空间V (F )中的向量组x1, x2 ,..., xn 称为V (F )的基或基向量组,如果它满足
① x1, x2 ,..., xn 线性无关; ②V (F)中的任一向量x皆可写成x1, x2,..., xn
2
问题二 线性常系数齐次,非齐次微分方程组初值问题
ddxt = Ax, x(t0) = x0.
ddxt = Ax+ f (t), x(t0) = x0.
方法与工具 矩阵的Jordan 标准形
矩阵微分与矩阵积分
向量 矩阵的Laplace变换
3
问题三 Lyapunov 矩阵方程 AX + XB = F
■
26
定义1.3 设 α1, α2 ,..., αn 及 β1, β2 ,..., βn 是
线性空间的两个基，且
β1 β2
= =
p11α1 p12α1
+ +
p21α2 p22α2
+ +
βn = p1nα1 + p2nα2 +
+ pn1αn + pn2αn
+ pnnαn
(1.1)
dX (t) = AX (t) + X (t)B 矩阵微分方程 dt
X (0) = X0 方法与工具 矩阵的Kronecker 积
矩阵的按行拉直列向量vecX
矩阵方程转化成线性方程组 ( A ⊗ In + Im ⊗ BT )vecX = vecF
矩阵微分方程的解 X (t) = eAt e X0 Bt
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
哈工大 严质彬 矩阵分析 讲义(二)
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r
n× n
U (λ )V (λ ) = V (λ )U (λ ) = I n . (1.1.1)
n× n
[λ ]
( A(λ )) −1 =
计算逆矩阵 然而这样求得的逆矩阵一般情况下会是一个有理分式矩阵. 定理 1.1.1 (单位模阵的行列式刻画) 多项式矩阵 U (λ ) ∈ F [λ ] 是单位模阵, 当且仅当行列式 det( A(λ )) ∈ F[λ ] 为非零常值多项式. 证明: “当”部分. 易见, adj(U (λ )) ∈ F [λ ] 为多项式矩阵(不含分母为次数 ≥ 1 的多项式的不可约分式为元
i i +1 i i +1 11
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 , (1.1.3) O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r di (λ ), i = 1,2,K, r , 1 i = 1,2,K, r − 1 . : A(λ ) , . A(λ )
第一章 λ矩阵与矩阵的 Jordan 标准型
1.1 λ矩阵及其 Smith 标准型
记号 F[λ ] 表示系数在 F 中的λ的多项式的全体; 而 F(λ ) 表示系数在 F 中的λ的有理分式的全体. 显然, F[λ ] ⊂ F(λ ) . 我们知道, 两个多项式相除, 结果不一定是多项式(只在整除时才是). 因此, 作为运算系统, 加、减、乘三法在 F[λ ] 中总能进行, 而除法不是总能. 这样的运算系统称为环, 而 F[λ ] 称为多项式环. 另一 方面, 在 F(λ ) 中, 四则运算皆能进行, 这样的运算系统称为域, F(λ ) 称为有理分式域. 定义 1.1.1 (多项式矩阵) 以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵, 简称为λ矩阵. 记号 F [λ ] 表示所有 m 行 n 列的λ矩阵的集合, 矩阵的元素是系数在 F 中的λ的多项式 . 也就是说 , A(λ ) ∈ F [λ ] 表示 A(λ ) = [a (λ )] , 其中 ,
矩阵分析考试重点综述
1, 2, , n 1,2 ,n P
2
习题1-5
3
4
5
2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数
设V1,V2是线性空间V的两个子空间， V1 V2 ={a | a V1且a V2｝交空间
V1＋V2＝a a1 a2 | a1 V1且a2 V2 和子空间
同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是
D1() D2() Dn1() 1 d1() 1, d2() 1, , dn1() 1, dn() ( a)n
所以A与B相似。
22
2-3 设 0 证明 n 阶矩阵
a 1
A
a
1
a
与
a 1
B
a
1
不相似。
a
23
证明：对矩阵A而言，因det(I - A) ( a)n, 故Dn () ( a)n ,
10
设：V1 V2的线性映射，dimV1 n, dimV2 m
a1, a2 , , an与1, 2 , , m分别为V1,V2的基， 在这对基下的矩阵为Amn =(1, ,n ),则
R( ) span（{ 1, 2, , m）1, （, 1, 2, , m）n}
x1
x2
N
(
A)
{x
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
J
t
i
即有可逆矩阵 Q 使得
Q1AQ J
由于 A2 A ，所以有
J 2 (Q1AQ)2 Q1A2Q Q1AQ J 29
从而
J
2 i
Ji ,
i 1,2,
哈工大矩阵分析课件6
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第六章 特征值的估计 特征值的估计 核心内容：
特征值界的估计 1．特征值界的估计 2．圆盘定理 3．Hermite矩阵的正定条件与 Rayleigh商 广义特征值与 特征值与广义Rayleigh商 4．广义特征值
2
§6.1 特征值界 特征值界的估计
1 2 i< j i =1 j =1 1 2 2 n n 2 2 i, j
2
∑
i =1
n
1 4
λi − λi + ∑ rij = ∑∑ cij ≤ n max cij .
2 i< j i =1 j =1 i, j
n n
2
故 Re(λi ) ≤ ∑ Re(λi ) = ∑ λi + λi ≤ n max bij ,
= 3.
3 −1 Im(λ ) ≤ C 2×3
m∞
对于 Im(λ ) 的估计, 定理 6.3明显优于定理 6.2.
16
以下计算A的特征值 :
λ −1 −1 λ I − A = 1 λ −1 = λ (λ 2 + 3). 1 1 λ 故 A的特征值为 λ1 = 0, λ2 = 3i, λ3 = − 3i .
下面的定理给出矩阵的特征值与它的F 范数 的关系:
定理 6.1(Schur不等式) 设λ1,..., λi ,..., λn为 A = (aij )n×n ∈ C n×n 的特征值, 则有Schur不等式
∑λ
i =1
n
2
i
≤ ∑∑ aij = A F
2 2 i =1 j =1
n
n
(6.1)
等号成立的充要条件为 A是正规矩阵.
哈工大2010矩阵分析试题
2010年秋季学期研究生《矩阵分析》课程考试试题注意行为规范遵守考场纪律一．填空题（每小题5分，共30分）3081.132005.Jordan矩阵的标准形为轾犏犏=-犏犏臌A20112101,110..---设=则轾犏犏=犏犏臌A AT,,=dd,3().fn n f.设为阶实对称矩阵为维列向量则=xx x x xA A500194020,,det()=01002..设则轾-犏轾-犏犏==犏犏-臌犏臌A B A BÄ105.01,11.设则的最小奇异值为轾犏犏=犏犏臌A A,6.,,().m m n n m nvec∈∈∈+=设则创A CBC X CAX XB(8分)..,1011,0012λ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦===求广义特征值问题的广义特征值与广义特征向量其中Ax BxA B三(10分)1212..(),1,2,...,,:dim span(,,...,)rank{,,...,}im mi m∈==设求证αV Fαααααα二3112.[]((),())()()1,,.P x f x g x f x g x dx x x -=⎰设欧氏空间中的内积为求基的度量矩阵四 ． (10分) 1(,),,...,,...,,...,..n n j i Hermite Hermite 设为酉空间中的线性变换求证是变换的充要条件为它在标准正交基下的表示矩阵是矩阵V C U εεεεA 五A A (12分) .()()()(0)d t t t dt 1001=+0-2-1010=0-1求解矩阵微分方程的初值问题X X X X 六ì轾轾ïï犏犏ïï犏犏ï臌臌ïíï轾ï犏ïï犏ï臌ïî(10分)101111231,114531..-=---=--设轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌A b 七 求：①A 的满秩分解；②+A ；③用广义逆矩阵的方法判断线性方程组=Ax b 的相容性； ④用广义逆矩阵的方法解线性方程组.=Ax b (16分)H H .C ,()().m n +++´?A A A A A 八设求证 (4分)。
矩阵分析理论的基础知识
前言 1、自我介绍2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用） 矩阵特征值的估算（第五章） 非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识§1 线性空间与度量空间一、线性空间：1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2．线性空间—设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素。
存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应，称δ为k 与α的乘积。
记为αδk = 并满足：①αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯ 同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
矩阵分析复习知识点整理
一、定义设V 是一个非空集合， F 为数域．上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 F 上的线性空间．[ V, F, “+”, “.”, 8 ]判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．R[X]n 是次数不超过n 的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……, X n ]。
P[X]n 是次数不超过n-1的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……,X n-1]。
Q[X]n 是次数不超过n 的多项式，其中an 不等于0，不构成了向量空间,。
Ax=0的解空间，称为矩阵A 的核（零）空间，记N （A ）设A 为实数（或复数）m*n 矩阵，x 为n 维列向量，则m 维列向量集合V={y ∈R m (C m )|y=Ax,x ∈R n (C n ),A ∈R m*n (C m*n)}构成实（或复）数域R （或C ）上的线性空间，称为A 的列空间或A 的值域，记R （A ）。
线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵例 1.1.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ,4321224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++k k k k E k E k E k E k 有,0000 224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+++O E k E k E k E k 因此 03321====⇔k k k k .,,,22211211线性无关即E E E E()(),,,,,,, 2121P n n αααβββ =基变换公式矩阵P 称为由基n ααα,,,21到基n βββ,,,21 的过渡矩阵．坐标变换公式 ,'''2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x P x x x 例1.2.6略P11设V l ，V 2是线性空间V 的两个子空间， 可以验证: 21V V 构成V 的线性子空间．称为 21V V 为V l 与 V 2 的交空间．可以验证: 21V V + 构成V 的线性子空间．称21V V +为 V l 与 V 2 的和空间例1.3.5◆{}{}2122112121,span ,,span ,1,3,5,1,1,3,5,4,1,31,1,131,2ββααββαα==-=-=--==V V T TT T ）（）（），（），，（试求；(1)V l +V 2的基与维数；(2) 21V V 的基与维数● [解] (1)由定理3知{}212121,,,span ββαα=+V V 121,,βαα是极大无关组．故它是V 1+V 2的基，维数＝3，于是且，即）设（21212V V V V ∈∈∈ααα 24132211ββαααk k k k +=+=把2121,,,ββαα的坐标代入上式，解之得4342132,35,0k k k k k -===于是. 35,5,35,35214的向量表示为V V k T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α其维数=l线性映射：设V1，V2是数域F 上的两个线性空间，映射T ：V1->V2,如果对于任何两个向量a1,a2∈V1和任何数Ｋ∈Ｆ，都有T （a1+a2）=T(a1)+T(a2)；T （Ka1）=KT(a1)便称为映射。
矩阵分析考试重点
2-2 设 0 ，证明： n 阶矩阵
a 1
A
a
1
与
a
相似。
a
B
a
a
20
证明 ： 计算A的行列式因子。显然
Dn () ( a)n
下面看 n 1 阶行列式因子。有一个 n 1
阶子式要注意，即
1
a 1
(1)n1
a 1
21
容易计算出 Dn1() 1 从而 D1() D2() Dn1() 1 d1() 1, d2() 1, , dn1() 1, dn() ( a)n
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
矩阵表示,则
(a1，a2， ，an ) (1, 2 , , m )A
9
定义：R( )= (V1)＝｛（）V2 | V1｝
——的值域，dimR( )称为的秩 N ( ) 1(0)｛ V1 | （） 0｝
——的核，dim N( )称为的零度 定理：（1）R( ) span( (a1), (a2), , (an )) （2）dimN( ) dimR( ) dimV1
阵相似且主对角线上的元素均为 n 次单位根。
证明：设 的Jordan标准形为
A
J1
J
J2
i 1
,
Ji
i 1
根据矩阵知识点总结及题型归纳
根据矩阵知识点总结及题型归纳
1. 矩阵简介
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，是线性代数中的重要概念。
矩阵可以表示向量和线性变换，并在各个领域中得到广泛应用。
2. 矩阵的基本操作
- 矩阵加法：两个矩阵的对应元素相加，结果仍为矩阵。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘并相加，结果为新矩阵。
- 矩阵转置：将矩阵的行与列互换，得到新矩阵。
3. 矩阵的性质
- 矩阵的零元素：所有元素都为零的矩阵。
- 矩阵的单位元素：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的矩阵。
- 矩阵的逆：满足乘法交换律，矩阵乘以其逆矩阵等于单位矩阵。
4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵运算题：根据矩阵加法、矩阵乘法等基本操作进行计算。
- 矩阵转置题：要求将给定矩阵转置，并给出转置后的结果。
- 矩阵的性质题：涉及矩阵的零元素、单位元素、逆矩阵等性
质的题目。
- 矩阵应用题：将矩阵应用于实际问题，如线性方程组的求解、向量空间的表示等。
总结：矩阵是线性代数中的基本概念，具有基本操作和性质。
在题型归纳中，常见的包括矩阵运算、矩阵转置、矩阵的性质和矩
阵应用题。
掌握矩阵的知识点和解题技巧，对于理解线性代数和解
决实际问题具有重要意义。
Matrix Note 4
1
1
1.1
Determinant
Permutation
Definition 1. A permutation π on 1, . . . , n is simply a bijection on {1, . . . , n}, 1 2 ··· n usually denotede by . pi(1) π (2) · · · π (n) A transposition π = (i, j ) is the permutation interchanging i and j . A even permutation (respectively odd permutation) is a permutation which can be expressed as a composition of even (respectively odd) number of transpositions. A permutation is either even or odd, but not both. The sign of a permu1, π is even; . tation π is sgn(π ) = −1, π is odd Examples: • Identity permutation (1) = (1 2)(1 2) is an even permutation. • A cycle (i1 i2 · · · ik ) is the permutation i1 → i2 , i2 → i3 , . . . , ik−1 → ik , ik → i1 . Note that (i1 i2 · · · ik ) = (i1 ik )(i1 ik−1 ) · · · (i1 i2 ). Hence a cycle is an odd permutation if and only if k is even. • Every permutation can be written as a product of disjoint cycles and hence a product of transpositions. For example: 1 2 3 4 5 2 5 4 3 1 is an odd permutation. = (1 2 5)(3 4) = (1 5)(1 2)(3 4)
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
哈工大矩阵分析课件7
由 A−的定义即可验证①, ② .
11
−
③ rank A ≤ rank A − 证 由 A A − A = A , 立知 rank A ≤ rank A − , 这表明 减 号 逆 A −的 秩 不 小 于 A 的 秩 .
(1,2) A− = A ∈ A{1, 2}, 称 为 自反 广义 逆; r
A l− = A (1,3) ∈ A{1, 3}, 称 为 最 小 二 乘 广 义 逆 ;
A =A
− m
(1,4)
∈ A{1, 4}, 称为极小范数广义逆 广义逆;
A+ = A(1,2,3,4) ∈ A{1, 2, 3, 4}, 称为A的加号 逆, 或叫Moore - Penrose广义 逆.
Ir K B = Q (7.6) L M n×m 这里 K ∈ C r ×( m − r ) , L ∈ C ( n − r )× r , M ∈ C ( n − r )×( m − r ) 是
任意矩 阵 , I r 是 r 阶 单 位矩阵.
6
证 由式(7.5)有 Ir A= P O
矩阵分析教程
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第七章 广义逆 广义逆矩阵
核心内容：
1. A−与相容线性方程组 Ax = b 的通解
− 2. Am 与相容线性方程组 Ax = b 的极小范数解
3. Al−与矛盾线性方程组 Ax = b 的最小二乘解 4. A+ 及其在解线性方程组 Ax = b 中的应用
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证明一个映射是线性映射。
（P24,例1.4.9）
给定入口基及出口基，写出线性映射对应的矩阵表示。
求线性映射在不同基上的矩阵表示。
求最简形。
先通过初等行列变换化为阶梯形。
同时记录行变换（相当于左乘），列变换（右乘）。
即对In做变换。
记住Q是m*m，P是n*n，同时化为最简形时得到的是Q逆，还需要再进行变化得到Q。
所得结果也是该最简形在不同线性空间的基。
λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子。
单位模阵。
求λ矩阵的Smith标准型。
两个矩阵相似的定义。
矩阵相似的三个条件。
求复数域上的矩阵的Jordan标准型。
内积-欧几里德空间
证明*是内积空间（欧几里得空间）
证明一个向量组是正交向量组。
施密特正交化化标准正交组。
复矩阵的奇异值和奇异值分解
复矩阵的奇异值分解
总结下：
A = UDV H ；AA H求U，A H A求V，注意维数问题，D和A同维度。
此外不够记住还有特征值为0的特征向量。
V=A H UD-H
（对于复数问题，记得转置；求λI n-AA H时,注意符号，对角线不为0的变负）
点到平面的距离：
A是平面（α1α2）投影矩阵得P，P=A（A T A）-1A T b，b表示一个向量，接着b-P即为距离，再套用距离公式计算长度。
正规矩阵酉相似对角化。