§32 单位序列和单位序列响应

迭分：
∑k
δ
i = −∞
(i)
=⎩⎨⎧10,,
k <0 k ≥0
= ε(k)
3δ (k) 3
-2 -1 0 1 2 3
k
δ (k −1) + δ (k − 2)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 k
ε (k)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k
取样性质：
f (k )δ (k ) = f (0)δ (k )
由于单位序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而在k>0时，系统的单位序列响应与系统的 零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列 响应的问题转换为求解齐次方程的问题。而k=0处的 值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。
2.阶跃响应
当LTI系统的激励为单位序列ε(k)时，系统的 零状态响应称为阶跃响应，用g(k)表示。
迭分：
∑i
k = −∞
ε
(i
)
=
⎧0, ⎩⎨k +
1,
k<0 k≥0
= (k + 1)ε (k)
k
∑ε (i)
i = −∞
1
（3）δ (k) 与ε (k) 的关系：
δ (k) = ε (k) − ε (k − 1)
k
ε(k) = ∑δ (i) i = −∞
3.正弦序列：
f (k) = A cos(Ω0k + ϕ )
−1 0 1 2 3 4 5 k
ε
(k)
=
⎧1 ⎩⎨0
k≥0 k<0
f
(k
)
=
⎧e− ⎨
k
⎩0
k ≥ −1 其余
=
e−k
ε
(k
+
1)
（c）集合表示：
{L ，0，1，2，3，4，0，L }
k＝0
基本离散信号：
1. 单位序列(单位脉冲序列/单位样值序列/单位取样序列)：
δ
(k
)
=
⎧1 ⎩⎨0
k =0 k≠0
h(1) = h(0) − 2h(−1) + δ (1) = 1
⎬ ⎭
（2）求h(k)
当k>0时，h(k)满足齐次方程
h(k) − h(k −1) − 2h(k − 2) = 0
其特征方程为：
λ 2 − λ − 2 = (λ +1)(λ − 2) = 0
其特征根：λ1 = −1，λ2 = 2，得方程的齐次解
若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求 得系统的单位阶跃响应g(k)。此外
由于
k
∞
ε (k) = ∑ δ (i) = ∑δ (k − j)
i = −∞
j=0
由线性和移位不变性
k
∞
g(k) = ∑ h(i) = ∑ h(k − j)
i = −∞
j=0
由于
δ (k) = ∇ε (k) = ε (k) − ε (k −1)
整理得：
y(k) − y(k −1) − 2 y(k − 2) = f (k)
根据单位序列响应的定义，它应满足方程
h(k) − h(k −1) − 2h(k − 2) = δ (k)⎫
初始条件：h(−1) = h(−2) = 0
⎬ ⎭
由迭代得： h(0) = h(−1) − 2h(−2) + δ (0) = 1⎫
h(k) = C1(−1)k + C2 (2)k，k > 0
代入初始值得：
h(0) = C1 + C2 = 1
h(1) = −C1 + 2C2 = 1
注意：这时已将h(：
C1
=
1 3 , C2
=
2 3
于是，系统的单位序列响应
h(k) = 1 (−1)k + 2 (2)k，k ≥ 0
= A r k [cos(Ω0k + ϕ ) + j sin(Ω0k + ϕ )
可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数 规律变化的正弦序列。
如下页图所示
r >1时，f (k)的实 虚部均为指数增 长的正弦序列。
r <1时，f (k)的实 虚部均为指数减 小的正弦序列。
r ＝1时，f (k)的 实虚部均为正弦 序列。
5.Z序列：
f (k ) = zk z为复数
类比：连续与离散基本信号的对应关系
单位冲激信号：
δ (t) ↔ δ (k)
单位脉冲序列
单位阶跃信号：
ε (t) ↔ ε (k)
单位阶跃序列
正弦信号： Acos(ωt + ϕ) ↔ Acos(Ω0k + ϕ) 正弦序列
虚指数信号：
Ae jωt ↔ Ae jΩ0k
A : 振幅 Ω0：数字角频率（rad） ϕ ：相位(rad或度)
连续正弦信号是周期信号，但正弦序列不一定是周期序列。
f (k) = A cos(Ω0k + ϕ ) = Acos(Ω0k + 2mπ + ϕ )
=
A
⎡ cos⎢Ω
⎣
0
⎜⎜⎝⎛
k
+
2mπ
Ω0
⎟⎟⎠⎞
⎤
+ϕ⎥
⎦
=
A cos[Ω0 (k
+
N
+
4 3
(2)k
−
12 ，k
≥
0
解法II
h(k) = 1 (−1)k + 2 (2)k，k ≥ 0
定义
3
3
∑ ∑ ∑ g(k) = k h(i) = 1 k (−1)i + 2 k (2)i
i = −∞
3 i=0
3 i=0
由级数求和公式得：
∑k (−1)i = 1− (−1)k+1 = 1 [1+ (−1)k ]
i=0
1− (−1) 2
∑k (2)i = 1− (2)k+1 = 2(2)k −1
i=0
1− 2
考虑到k≥0，得：
g(k)
=
1 3
•
1 [1+ 2
(−1)k
]+
2 3
[2(2)k
−1]
=
1 6
(−1)k
+
4 3
(2)k
−
12 ，k
≥
0
本节小结
单位序列和单位阶跃序列——单位序列和单位阶 跃序列的定义、性质及相互关系
=
2
⎬ ⎭
容易求得其特解为：
于是，得：
g
p
(k)
=
−
1 ，k 2
≥
0
g(k) = C1(−1)k + C2
(2)k
-
12 ，k
≥
0
代入初始值得：
g (0)
=
C1
+
C2
−
1 2
=
1
g (1)
=
−C1
+
2C2
−
1 2
=
2
由上式可解得：
C1
=
1 6
, C2
=
4 3
于是，系统的阶跃响应
g(k)
=
1 6
(−1)k
f (tk)
序列
序列
f (k T)
值
f (k )
序号
…
…
…
…
…
…
t-3 t-2 t-1 o t1 t2 t3 tk －3T －2T －T o T 2T 3T kT
－3 －2 －1 o 1 2 3
k
(a)
(b)
(c)
（tk－t(k－1)） K在图a中为变数；在图b，c中为常数。
（b）解析表示：
ε (k)
δ (k)
k
位移单位脉冲序列：
δ
(k
−
k0
)
=
⎧1 ⎩⎨0
k = k0 k ≠ k0
δ (k − k0)
1
0
k0 k
运算：
加：δ (k ) + 2δ (k) = 3δ (k )
乘： δ (k) ⋅δ (k) = δ (k)
延时：
δ (k − 1) + δ (k − 2)
δ (k − 1) ⋅ δ (k − 2) = 0
那么
h(k) = ∇g(k) = g(k) − g(k −1)
例3-2-1求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃 响应g(k)。
y(k)
f (k)
y(k −1)
y(k − 2)
（1）列写差分方程，求初始值
由加法器的输出可列出系统的方程为
y(k) = f (k) + y(k −1) + 2 y(k − 2)
3
3
（3）求 g(k)
解法I
根据阶跃响应的定义，它应满足方程
g(k) − g(k −1) − 2g(k − 2) = ε (k)⎫
初始条件：g(−1) = g(−2) = 0
⎬ ⎭
由迭代得：g(0) = g(−1) − 2g(−2) + ε (0) = 1⎫
g (1)
=
g(0) −
gh(−1) + ε (1)
)
+ϕ]
式中，m、N 均为整数，只有满足 N = 2mπ 为整数，或者
Ω0
当 2π = N 为有理数时，正弦序列才是周期序列；
Ω0 m
否则为非周期序列。 如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦信号