数形结合在平面向量中的应用

2sin4
当=时， cr 2 2.
4
max
rr r
rr
2. 已知a， b， c为单位向量，且ab0，
r r r r
rrr
a-c b-c 0，则c-a-b的最大值是
1.
ab
B
D
b
C
aA
练一练
1.设 向 量 a r， b r， c r满 足 a r=b r=1， a rb r=-1， a r-c r， b r-c r =60o，
22c3os6c+ossin
令
f
3 6cos 2cos +sin
，
0, 2
f
'
3 6cos 2cos +sin
'
3 2 2 sin cos 2cos +sin 2
Q 0,2
f ' 0
即 f 在 0, 2 单 调 递 增
f f 0 3
m in
2
2 3 1 .
m in
22
小结
1.可从数和形两方面出发解决向量问题. 2.数形结合的关键是构造几何图形，关注向量 的大小（模）、方向（夹角）、可平移性.
转化思想 3.两个思想
建模思想
4.三个方法：坐标法、代数法、几何法
uuur uuur 2 ，OA，OB = 3 .
B
O
A
D
练一练
r r r r
r
4.已知平面向量a， b ab满足a2，且
rr r
rr
a， b-a =120o，tR，则1-tatb的取
值范围是 3，+）.
Br r
ab
b
D
O
A
a
3.构建函数模型，解决与向量有关的范围 问题
例 4. 正方形 ABCD 是边长为 4 ，动点 P 在以 AB
给自己一个目标，让生命为他燃烧！
数形结合在平面向量中的应用
高三平面向量复习
1.构建圆模型，解决与向量有关的范围问题
(2013年湖南理)
rr
r
例 1.已 知 a ， b 是 相 互 垂 直 的 单 位 向 量 ， 若 c 满
rrr
r
足 c-a-b= 1 ， 则 c的 取 值 范 围
A. 21，21 C.1，21
2sin4
当=时， cr 2 2.
4
max来自百度文库
C1 B
b
aA
思考：还有其它解答本题的方法吗？
Q 法cr 二-ar、-br
ar
r -b
cr
-ar
r -b
2
ar -br
2
即
c -a -b
2
-
a-b
2
=0
c-2a c-2b =0
rr
2b c
B1
C
C1
2b
2ar cr
2a
A1
r
c OA1 cossin2
为直径的圆弧 APB 上，则 PC PD 的取值范围
是
.
y
x O
练一练
y x
解：设A 0，0，B 1，0，C 1，1
D
0，1
，
E
1 2
，0
，
P
cos
，sin
uuur AP
cos，sin
uuur
，DE
1 2
， -1
Q
uuur AC
1 2
， -1
cos，sin
1，1
2co3ssi+nsin12cos3+sin
uuur
区 域 = P 0 r P Q R， r R .若 C I
为两段分离的曲线，则
A.1 r R 3 C .r 1 R 3
B.1 r 3 R D .1 r 3 R
Q( 2 , 2)
Q( 2 , 2)
练一练 (2014年湖南理)
3.在平面直角坐标系中，O是原点，A1， 0，
B. 21，22 D.1，22
C C1
B
D
b
C2
aA
r c 21
max
r c 21
min
思考：还有其它解答本题的方法吗？
变式提升：
rr
r
1.已 知 a， b为 单 位 向 量 ， 若 向 量 c满 足
c r-a r-b ra r-b r， 则 c r的 最 大 值 是 2 2 .
r
c 2OAcossin2
r
则 c的 取 值 范 围 是
1，2
2 .
r r r r r r r r r rr
2.已 知a， b， c满 足a=1， a-b=b， a-c b-c=0， 若
r
对 每 一 确 定 的 b， c的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 m和 n，
r
1
则 对 任 意 的 向 量 b， m-n的 最 小 值 为 2
.
(2014年安徽理)
例 2.在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 已 知 向 量
r r r r
uuur
rr
a = b =1，a b = 0 ， 点 Q 满 足 O Q 2 a b .
uuur r
r
曲 线 C P O P a c o s b s in ，0 2 ，
uuur
B 0，3 ，C3， 0，动点D满足CD=1，则
uuur uuur uuur
OAOBOD的最大值是
.
B D C
A
2.构建三角形模型，解决与向量有关的范围问题 uuur uuur
例3.已知OA 4，OB 6，AOB是钝角，
uuur uuur
若f tOAtOB的最小值是2 3，则
t的值是
1 3