2021年高考数学第一轮专题复习- 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

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2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系教学案含解析新人教A版

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识梳理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.[常用结论与微点提醒]1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( )解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(新教材必修第二册P147例1改编)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则异面直线AC 和BC 1所成角的余弦值是( ) A.8525B.455C.855D.4525解析如图，连接AD 1，CD 1，则∠D 1AC (或其补角)就是异面直线AC 和BC 1所成的角，易知AC ＝5，AD 1＝25，CD 1＝13，由余弦定理得cos ∠D 1AC ＝AD 21＋AC 2－CD 212AD 1·AC ＝8525.答案 A3.(老教材必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG ＝90°，故四边形EFGH为矩形.答案 B4.(2019·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面或相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案 D5. (2020·重庆一中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.答案 D6.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析法一对于选项B ，如图(1)所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .因此A 项中直线AB 与平面MNQ 不平行.图(1) 图(2)法二对于选项A ，其中O 为BC 的中点(如图(2)所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行.答案 A考点一平面的基本性质及应用【例1】已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点. 证明 (1)连接EF ，GH ，如图所示，∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E ，F ，G ，H 四点共面.(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG .∴FH ，EG ，AC 共点.规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【训练1】如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明：四边形BCHG 为平行四边形； (2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD ，又BC 綉12AD ，所以GH 綉BC .所以四边形BCHG 为平行四边形.(2)解 C ，D ，E ，F 四点共面.理由如下：因为BE 綉12AF ，G 为FA 的中点，所以BE 綉FG .所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG 綉CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面. 又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面. 考点二空间两直线位置关系的判定【例2】 (1)(一题多解)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形的序号是________(填上所有正确答案的序号).解析 (1)法一由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交.若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾.故l 至少与l 1，l 2中的一条相交.法二如图(1)，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图(2)，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确.(2)图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，N ∉GH ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，G ∉MN ，因此GH 与MN 异面.所以在图②④中，GH 与MN 异面. 答案 (1)D (2)②④规律方法 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线. 其中正确的结论为________(填序号).解析直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误. 答案 ③④考点三异面直线所成的角【例3】 (1)(2019·湘潭二模)已知四棱锥P －ABCD 的底面边长都为2，PA ＝PC ＝23，PB ＝PD ，且∠DAB ＝60°，M 是PC 的中点，则异面直线MB 与AP 所成的角为______.(2)(2020·安阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，过O 点作一条直线l 与A 1D 平行，设直线l 与直线OC 1的夹角为θ，则cos θ＝________. 解析 (1)如图，连接AC 与BD ，相交于点N ，连接MN ，则MN ∥PA ，所以∠NMB (或∠NMB 的补角)为异面直线MB 与AP 所成的角，在△MNB 中，由题意得NB ＝1，MN ＝3，BN ⊥MN ，则tan ∠NMB ＝NBMN ＝33，∴∠NMB ＝30°，故答案为30°.(2)如图所示，设正方体的表面ABB 1A 1的中心为P ，容易证明OP ∥A 1D ，所以直线l 即为直线OP ，角θ即∠POC 1.设正方体的棱长为2，则OP ＝12A 1D ＝2， OC 1＝6，PC 1＝6，则cos ∠POC 1＝2＋6－62×2×6＝123＝36.答案 (1)30° (2)36规律方法用平移法求异面直线所成角的一般步骤： (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【训练3】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.56C.55D.22解析法一如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角.因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD＝——12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.法二以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，所以AD 1→＝(－1，0，3)，DB 1→＝(1，1，3).则cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.答案 C赢得高分立体几何中的截面问题用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面.截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B.233C.324D.32解析如图，依题意，平面α与棱BA ，BC ，BB 1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB 1C 符合题意，进而所有平行于平面AB 1C 的平面均符合题意.由对称性，知过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ .正六边形EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成6个边长为22的正三角形.故其面积为6×34×⎝⎛⎭⎪⎫222＝334.答案 A思维升华作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理.【训练】已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是______.解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin 60°×23＝3，AO1＝AD2－DO21＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos 30°＝1，∴OE＝O1E2＋OO21＝2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为22－（2）2＝2，面积为2π.答案2πA级基础巩固一、选择题1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )A.①B.①④C.②③D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案 B2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.答案 C3.(2020·福州月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.答案 C4.下列命题中正确的个数为( )①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；④若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；⑤空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.A.1B.2C.3D.4解析①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；②当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；在③中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故③正确；在④中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面内，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故④正确；在⑤中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故⑤错.答案 C5.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.答案 A二、填空题6.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条.解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.答案 67.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角.因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.答案 28.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE 与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.易知GH与EF异面，BD与MN异面.又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.答案②③④三、解答题9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綉DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形.又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.故D1，H，O三点共线.10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求直线A1C1与EF所成角的大小.解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B 1CA ＝60°.即直线A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即直线A 1C 1与EF 所成的角为90°.B 级能力提升11.平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32B.22C.33D.13解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1 ＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1， ∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小.又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)， ∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A. 答案 A12.(2019·江西百所名校模拟)已知△ABC 的边长都为2，在边AB 上任取一点D ，沿CD 将△BCD 折起，使平面BCD ⊥平面ACD .在平面BCD 内过点B 作BP ⊥平面ACD ，垂足为P ，那么随着点D 的变化，点P 的轨迹长度为( ) A.π6B.π3C.2π3D.π解析由题意知，平面BCD ⊥平面ACD ，且BP ⊥平面ACD ，那么随着点D 的变化，BP ⊥CD 始终成立，可得在平面ABC 中，BP ⊥CP 始终成立，即得点P 的轨迹是以BC 为直径的圆的一部分，由题知随着点D 的变化，∠BCD 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，可得点P 的轨迹是以BC 为直径的圆的13，即得点P 的轨迹长度为13×2π×1＝2π3.答案 C13.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________.解析如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF .因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 答案 12或3214.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值. 解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE 2＋EM 2＝MD 2， ∴△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°， ∴tan∠EMD ＝DE EM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63. C 级创新猜想15.(多选题)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折的过程中，下列命题正确的是( )A.BM 是定值B.点M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE解析取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE ，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值；因为B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球面上，可得A ，B 正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 且MF ∩BF ＝F 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，故D 正确；A 1C 在平面ABCD 中的投影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，所以DE 与A 1C 也不垂直，故C 不正确.答案 ABD。

2021年高考数学第一轮专题复习-直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥

．如图正三棱锥中，底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱上截取，过作棱柱的截面，（1）求证：截面侧面；（2）求截面与底面所成的角。
∴ ．
∵平面平面，∴ 平面，
∵ ∴ ，∴ 平面，
∵ 平面，∴平面平面，
即二面角是直二面角．
解(2)作，为垂足，则．∴ 是二面角的平面角．在中，，则
由，得
＝＝，
∴所求正切为＝．
(3)∵ ∴ 分别是的中点．
∴ ，．
∵ ＝＝，．
∴ ，∴几何体的侧面积
五．课后作业：
在中，斜高；
例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。
解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面与平面的交线，∵ //平面
(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱长、底面边长和斜高(见图)。
解：（1）作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则，，在与中，＝＝ (其中为与底面所成的角，设为 ) 故。
（2）在中，侧棱 = ，，
∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，
第81课时：第九章直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥
课题：棱柱、棱锥
一．复习目标：
了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。
二．知识要点：
1．叫棱柱
2．正棱柱的性质有
3．叫正棱锥
4．正棱锥的性质有

高三数学第一轮复习：空间直线与平面知识精讲

高三数学第一轮复习：空间直线与平面【本讲主要内容】空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系【知识掌握】【知识点精析】（一）平面的基本性质和空间的两条直线1. 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图3）推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图4）．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图5）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系，公理2是研究平面与平面的关系，公理3及三个推论是研究有关确定平面的条件. 公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”．2. 空间中两条直线位置关系平行——在同一平面内，没有公共点；相交——在同一平面内，有且仅有一个公共点；异面——不同在任何一个平面内．公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．说明：公理4反映了平行线的传递性，它是证明等角定理的基础，也是论证平行问题的主要依据之一．3. 异面直线的判定及异面直线构成的角与距离（1）异面直线的判定方法主要有：①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）求两条异面直线所成的角的一般步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点．②求相交直线所构成的锐角（或直角，）通常在三角形中，计算这个角的大小．（3）异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度. 公垂线的确定方法：既相交又垂直．（二）空间的直线与平面1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内；（2）直线与平面平行；（3）直线与平面相交；相关概念——直线与平面所成的角①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．②直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．③直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°的角．2. 直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．a∥α，a⊂β,α∩β=b⇒ a∥b 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．即：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒ a∥α.3. 直线和平面垂直的判定与性质（1）直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，且a,b相交，l⊥a, l⊥b⇒ l⊥α．（2）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．（3）三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线的射影垂直．即：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，a⊂α，a⊥AO⇔a ⊥PO．注：三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（三）空间的平面与平面1. 平面与平面的位置关系：（1）平行——没有公共点；（2）相交——有且仅有一条公共直线.2. 平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平面平行的方法：①根据定义——证明两平面没有公共点；②判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；③证明两平面同垂直于一条直线。

2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质含解析

第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。

知识梳理1.直线与平面平行(1）直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行。

（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行,则过这条a∥α，a⊂β，α∩β直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行＝b⇒a∥b2。

平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α,b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于α∥β，a⊂α⇒a∥β理另一个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3。

与垂直相关的平行的判定(1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β。

[常用结论与易错提醒］1.平行关系的转化2。

平面与平面平行的六个性质(1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

(2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

(4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.（5）如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.(6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊断自测1.判断下列说法的正误。

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（)（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条。

浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质含解析

第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[常用结论与易错提醒]1.平行关系的转化2.平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误. 答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A. 答案 A3.下列命题中正确的是( )A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案 D4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC 的位置关系为________.解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案平行5.用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以是________(把你认为可能的结果都填上).解析由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.答案矩形或梯形6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线.(1)若α∥γ，β∥γ，则α与β的关系是________；(2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α与β的关系是________.解析(1)由α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β.答案(1)平行(2)平行考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】(1)(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面(2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析(1)若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.(2)法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.图(1) 图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.答案(1)B (2)A规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)(2020·杭州质检)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m ，n ，若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则“α∥β”是“m ∥n ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析 (1)可知当“α∥β”时有“m ∥n ”，反之，不一定成立，则“α∥β”是“m ∥n ”的充分不必要条件，故选A.(2)①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.答案 (1)A (2)②考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积. (1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM＝13×S △BCM ×PA 2＝453. 角度2 直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.(1)证明因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，PO ⊂平面PBD . 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高. 由AB ＝8，EB ＝2及EK ∥AD ，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3. 故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18.规律方法 (1)判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用反证法(线面平行的定义)；②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； ③利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； ④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【训练2】在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD .证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 的中点，∴BC 綉AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点，又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，又FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，又PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ， ∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，又∵AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面PAD . 考点三面面平行的判定与性质变式迁移【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，则GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面. (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1綉AB ， ∴A 1G 綉EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .【变式迁移1】如图，在本例条件下，若点D 为BC 1的中点，求证：HD ∥平面A 1B 1BA .证明如图所示，连接A 1B .∵D 为BC 1的中点，H 为A 1C 1的中点，∴HD ∥A 1B ，又HD ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ， ∴HD ∥平面A 1B 1BA .【变式迁移2】在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值.解连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 规律方法 (1)判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理.②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). (2)面面平行的性质定理①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面. ②若一平面与两平行平面相交，则交线平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【训练3】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 证明 (1)因为EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF ，如图①，连接DE .因为AE ＝EC ，D 为AC 的中点，图①所以DE ⊥AC .同理可得BD ⊥AC . 又BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDEF . 因为FB ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥FB .(2)如图②，设FC 的中点为I ，连接GI ，HI .图②在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.基础巩固题组一、选择题1.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.答案 A2.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B3.有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，又MN∩NP＝N.∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，NP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错.答案 B6.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中错误的是( ) A.AC ⊥BD B.AC ∥截面PQMN C.AC ＝BDD.异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确.又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确. 答案 C 二、填空题7.在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则MN 与平面ABD 的位置关系是________；与平面ABC 的位置关系是________. 解析如图，取CD 的中点E .连接AE ，BE ，由于M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，所以AE ，BE 分别过M ，N ，则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，即EM ∶MA ＝EN ∶BN ，所以MN ∥AB .因为AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以MN ∥平面ABD ， MN ∥平面ABC .答案平行平行8.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面PAD 的位置关系为________.解析取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，在△PCD 中，EF 綉12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ， ∴EF 綉AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.答案平行9.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为__________.解析若m⊂α，n∥α，则m，n可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，②正确；若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，③错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，④错误，则真命题个数为1.答案 110.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)三、解答题11.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .12.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，M 为边AD 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ABB 1.证明在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有B 1C 1∥BC 且B 1C 1＝BC ，又M 为边AD 的中点，所以BC ∥AM ，即B 1C 1∥AM ，又AD ＝2BC ，所以BC ＝AM ，即B 1C 1＝AM ，所以四边形B 1C 1MA 为平行四边形，则C 1M ∥B 1A ，又B 1A ⊂平面AA 1B 1B ，C 1M ⊄平面AA 1B 1B ，所以C 1M ∥平面AA 1B 1B .能力提升题组13.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1D.0解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γ l ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.答案 C14.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过EF 的平面与棱BB 1，DD 1分别交于点G ，H .设BG ＝x ，x ∈[0，1]. ①四边形EGFH 一定是菱形；②AC ∥平面EGFH ；③四边形EGFH 的面积S＝f (x )在区间[0，1]上具有单调性；④四棱锥A －EGFH 的体积为定值.以上结论正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1解析由正方体的性质易得D 1H ＝BG ＝x ，则四边形A 1D 1HE 、四边形ABGE 、四边形CBGF 、四边形C 1D 1HF 为四个全等的直角梯形，则HE ＝EG ＝GF ＝FH ，即四边形EGFH 为菱形，①正确；因为AC ∥EF ，EF ⊂平面EGFH ，AC ⊄平面EGFH ，所以AC ∥平面EGFH ，②正确；在线段DD 1上取DM ＝x ，则易得△HMG 为直角三角形，且HM ＝1－2x ，则GH ＝HM 2＋GM 2＝（1－2x ）2＋2，则菱形EGFH 的面积S ＝f (x )＝12EF ·GH ＝22（1－2x ）2＋2，易得其在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递增，在[0，1]上不具有单调性，③错误；V 四棱锥A －EGFH ＝V 三棱锥A －EFH ＋V 三棱锥A －EGF ＝V 三棱锥F －AEH ＋V三棱锥F －AEG＝13×1×12×1×12＋13×1×12×1×12＝16，为定值，④正确.综上所述，正确结论的个数是3，故选B. 答案 B15.如图所示，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________.解析设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ， ∴A 1B ∥OD ，∵四边形BCC 1B 1是菱形， ∴O 为BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点，则A 1D ∶DC 1＝1. 答案 116.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ∥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .则以上命题错误的是________(填序号).解析若m ∥α，m ∥β，则α，β可能平行或相交，①错误；若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β，②错误；若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ，③错误；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确.答案 ①②③17.(2020·无锡调研)如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF .(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求证：AC ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，因为DE ∩BD ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE .(2)如图，设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，所以，OG ∥DE 且OG ＝12DE .因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .18.如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 又AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理，得BD ＝3AD ，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，即AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1. 设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1. 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.。

考点26 空间直线、平面的平行-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

考点26空间直线、平面的平行【命题解读】空间直线、平面的平行是高考必考的重点知识，在立体几何部分，直线与平面的平行的判定与性质的应用在高考中出题比较灵活，在新高考的引领下，出题创新性比较强，更加注重了学生能力的考察。

【命题预测】预计2021年的高考对于空间直线、平面的平行考察还是以应用为主，线线、线面、面面之间的相互转化是重点，空间想象力和空间思维能力是考察的重点。

【复习建议】1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.2.能运用结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。

考向一线面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行a∩α=⌀⇒a∥α证明直线与平面平行平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则平面外这条直线平行于这个平面a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α证明直线与平面平行性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a ∥α,a ⊂β, α∩β=b ⇒a ∥b证明直线与直线平行1. 【2019南宁市银海三美学校高二期末】如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G 分别是线段A 1C 1上的点，且A 1E ＝EF ＝FG ＝GC 1.则下列直线与平面A 1BD 平行的是（）A ．CEB ．CFC ．CGD ．CC 1【答案】B【解析】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，CF ，在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，由于111//,2A F AC A F AC =，又OC ＝12AC ，可得：11//,A F OC A F OC =，即四边形A 1OCF 为平行四边形，可得：A 1O ∥CF ，又A 1O ⊂平面A 1BD ，CF ⊄平面A 1BD ，可得CF ∥平面A 1BD ，故选：B.2. 【2020全国高三月考】在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，M 分别是棱BC ，1CC ，1BB 的中点，点1A ，M 到平面AEF 的距离分别为1h ，2h ，则（）A ．1222h h =B ．1232h h =C ．12h h =D ．122h h =【答案】C【解析】如图，取11B C 的中点N ，连接1A N ，MN ，易证//MN EF ．又因为EF ⊂平面AEF ，MN ⊄平面AEF ，所以//MN 平面AEF ，同理可证1//A N 平面AEF ．因为1A N ，MN ⊂平面1A MN ，且1A NMN N =，所以平面1//A MN 平面AEF ，又1A M ⊂平面1A MN ，所以1//A M 平面AEF ，所以12h h =，故选:C ．考向二面面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥β,b ∥β⇒α∥β证明平面与平面平行么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥a',b ∥b',a'⊂β,b'⊂β⇒α∥β垂直于同一条直线的两个平面平行a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面α∥β,a ⊂α⇒a ∥β证明直线与平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行1. 【2020浙江高三期中】已知直线a 与平面,,αβγ，能使//αβ的充分条件是（） ①,αγβγ⊥⊥ ②//,//αγβγ ③//,//a a αβ ④,a a αβ⊥⊥ A ．①② B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【解析】对①，若,αγβγ⊥⊥，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若//,//αγβγ，则//αβ，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若//,//a a αβ，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，,a a αβ⊥⊥，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确. 综上：②④正确，故选：D.2. 【2020湖南高一月考】如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，D 、E 、F 分别是所在棱的中点.则下列说法错误的是（）A ．面//DEF 面PBCB ．面PAB ⊥面ABC C ．PA BC ⊥D ．//DE PC 【答案】D 【解析】D 、E 分别是PA ，AB 的中点，//DE PB ∴，又DE ⊂/平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， //DE ∴平面PBC ，同理可得//DF 平面PBC ，又DE DF D ⋂=，∴平面//DEF 平面PBC ，故A 正确；PA AB ⊥，PA AC ⊥，ABAC A =，PA ∴⋂平面ABC ，PA BC ∴⊥，故C 正确，又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC ，故B 正确；假设//DE PC ，又//DE PB ，//PB PC ∴，与PB PC P ⋂=矛盾，故DE 与PC 不平行，故D 错误，故选：D3.【2020江苏高三期中】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD【答案】BD 【解析】如图，取1CC 的中点G ，连接1,D G EG ，可证1111,//A D EG A D EG =，得四边形11A EGD 为平行四边形，则11//A E D G ，若直线1//A E 平面1ACD ，则1D G //平面ACD 或1D G ⊂平面1ACD ，与1D G ⋂平面11ACD D =矛盾，故A 错误；由正方体的结构特征可得11A B ⊥平面11AA D D ，则111A B AD ⊥，又1111111,,AD A D A D A B A AD ⊥⋂=∴⊥平面11DA B ，得11AD B D ⊥，同理可证1AC B D ⊥，又1AD AC A =，∴直线1B D ⊥平面ACD 1，故B 正确;而BD ⊂平面11A B CD ，∴平面11A B CD ⊥平面ACD 1，故D 正确;连接1111,,AC A B BC ，由1111//,A A C C A A C C =，可得四边形AA 1C 1C 为平行四边形，则1111//,A C AC A C ⊂平面A 1BC 1，AC ⊄平面A 1BC 1，//AC ∴平面A 1BC 1，同理AD 1//平面A 1BC 1，又AC ∩AD 1=A ，∴平面A 1BC 1//平面ACD 1，若平面A 1 EF //平面ACD 1，则平面A 1EF 与平面A 1BC 1重合，则EF ⊂平面A 1BC 1，与EF //平面A 1BC 1矛盾，故C 错误．故选：BD题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．3. 【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长． 4. 【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．5. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B−EB1C1F的体积．6.【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．题组二1. 【2020全国高二】如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)2.【2020安徽六安一中高二月考】如图，在直角梯形ABCD 中，BC DC ⊥，AE DC ⊥，且E 为CD 的中点，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将ADE 沿AE 折起，则下列说法不正确．．．的是_______. ①不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ； ②不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有MN AE ⊥； ③不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN AB ； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥.3. 【2020湖南雅礼中学高三月考】已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是（）A ．若O 为ABC 的外心，则2PC =B ．若ABC 为等边三角形，则⊥AP BCC ．当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为24. 【2020四川省棠湖中学高三下学期第三学月考】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点．（I ）证明：PD //平面AEC ；（II ）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积．5.【2020全国高三专题练习（理）】如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，DE ＝3AF ＝3.证明：平面ABF ∥平面DCE .6. 【2020东台创新高级中学高一月考】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（1）求证：//AF 平面PCE ；（2）求异面直线PD 和EC 所成角的余弦值．题组一1.B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．2.（1）见解析；（2）105. 【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(13,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)MN =-．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --3. （1）见解析；（2）49；（3）87．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ．由题意，有224||1cos ,||||3432h h -⋅〈〉===+m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87．4. 见解析【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .5.见解析【解析】（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN 平面EB 1C 1F =PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN =AO =6，AP =ON =13AM =3，PM =23AM =23，EF =13BC =2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B −EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN =3．底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯=所以四棱锥B −EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．6. 见解析【解析】因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥.又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB , 所以平面1AB C ⊥平面1ABB .题组二1. 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)【解析】连接HN ，FH ，FN ，因为E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，所以MN ∥平面B 1BDD 1. 故答案为：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合).2. ③【解析】取AE 的中点Q ，连接MQ 、QN ，如下图所示：对于①，M 、Q 分别为AD 、AE 的中点，//MQ DE ∴，MQ ⊄平面DEC ，DE ⊂平面DEC ，//MQ ∴平面DEC ，同理可证//QN 平面DEC ，MQ QN Q =，所以，平面//MNQ 平面DEC ，MN ⊂平面MNQ ，//MN ∴平面DEC ，①正确；对于②，AE DE ⊥，//MQ DE ，MQ AE ∴⊥，同理可得QN AE ⊥，MQ QN Q =，AE ∴⊥平面MNQ ，MN ⊂平面MNQ ，AE MN ∴⊥，②正确；对于③，//AB QN ，若//AB MN ，由平行线的传递性可知//MN QN ，但MN 与QN 有公共点N ，这与//MN QN 矛盾，③错误；对于④，AE EC ⊥，若AD EC ⊥，由AE AD A =，可得出EC ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，可得EC DE ⊥，因此，只需在折起的过程中使得EC DE ⊥，就有EC AD ⊥，④正确. 故答案为：③. 3.ACD【解析】依题意，画图如下：若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ，可得PO OC ⊥，2OP OA OB ===，故222PC PO OC =+=，A 正确；ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥，BC 与PB 相交于平面PBC 内，可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥，由PO OC ⊥，2OP OA OB ===，可得36OC AC ==，故222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，B 错误; 若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ，由A 正确，知2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有222242AC BC AC BC d+⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 2，2sin 22dθ=，即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C 正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得，//ON AC ，//MN PC ，则平面//OKN 平面PAC ，由//OM 平面PAC ，可得M 在线段KN 上，即轨迹122KN PC ==，可得D 正确；故选：ACD4. 见解析【解析】（1）证明：连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，因为ABCD 是菱形，所以O 为DB 的中点，又因为E 为PB 的中点，所以//PD OE ，因为PD ⊄平面,AEC OE ⊂平面AEC ，所以//PD 平面AEC ．（2）解：取BC 中点M ，连接,AM PM ，因为四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，且PC PB =，所以,BC AM BC PM ⊥⊥，又AMPM M =，所以BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ，所以BC PA ⊥．同理可证：DC PA ⊥，又BCDC C =，所以PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ⋂平面ABCD AF =，所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为2AB =，因为E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，此时，F 为DC 的中点，即3AF =所以1123322PAF S PA AF =⋅=⨯=△ 所以13313P AFE E PAF V V --===5.见解析【解析】因为DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，所以DE ∥AF ，因为AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ，所以AF ∥平面DCE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，因为AB ⊄平面DCE ，所以AB ∥平面DCE ，因为AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面DCE . 6.见解析【解析】（1）取PC 的中点G ，连接FG 、EG ， ∴FG 为CDP 的中位线∴//FG CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴//AB CD ，∴//FG AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF //EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴//AF 平面PCE ；（2）取CD 的中点N ，连接GN ，AN ，AG ， ∴//AE CN ，所以//AN EC ，因为//GN PD ∴ANG ∠或其补角即为异面直线所成角， ∵2PA =，PA ⊥面ABCD ，45PDA ∠=︒， ∴2AB =，5AN =2GN =132AG PC ==∴10cos 5252ANF ∠==⨯⨯，即异面直线PD 和EC 10.。

2021年高考数学复习第77课时第九章直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算名师精品教案

实用文档2021年高考数学复习第77课时第九章直线、平面、简单几何体-空间向量的坐标运算名师精品教案一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==， 1．；；；；2．；；3．；．4．。

三．基础训练：1．已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==,则向量与的夹角是（）2．已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则的最小值是（）3．已知为平行四边形,且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --,则点的坐标为______.4．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若，则，。

5．已知向量与向量共线，且满足，，则，。

四．例题分析：例1．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。

例2．已知，为坐标原点，（1）写出一个非零向量，使得平面；（2）求线段中点及的重心的坐标；（3）求的面积。

例3．如图，两个边长为1的正方形与相交于，分别是上的点，且，（1）求证：平面；（2）求长度的最小值。

实用文档五．课后作业：1．若向量(1,,2),(2,1,1),,a b a b λ==-夹角的余弦值为，则=（） 12．已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（）3．已知四面体中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（） ||||AB AC AD AB AC AD ++=+- 2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++ ()0AB AC AD BC ++⋅= AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅4．若2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（）5．设，则与平行的单位向量的坐标为，同时垂直于的单位向量 .6．设向量，计算及与的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.7．矩形中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，（1）求的值；（2）是上的一点，在平面上的射影恰好是的重心，求到平面的距离。

2021高考数学(理)大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第4节直线、平面平行的判定与性质

跟踪训练3:如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′, B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心. (1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;
(1)证明:分别连接 PA′,PB′,PC′并延长交 BC,AC,AB 于点 D,E,F,连接 DE,EF,DF.
因为点 A′,C′分别是△PBC,△PAB 的重心,所以 PA′= 2 PD,PC′= 2 PF,
第4节直线、平面平行的判定与性质
[考纲展示]
1.以立体几何的定义、公理和定理 2.能运用公理、定理和已获得的结
为出发点,认识和理解空间中线面论证明一些有关空间图形的平行关
平行的有关性质与判定定理.
系的简单命题.
知识梳理自测考点深度剖析核心素养提升
知识梳理自测
知识梳理
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
多维探究
[例1] 如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD, SD=CD,AB=AD,CD=2AD,M是BC中点,N是SA的中点. 求证:MN∥平面SDC.
证明:法一如图,取SB的中点T,连接NT,MT. 在△SAB中,SN=NA,ST=TB,所以NT∥AB, 又AB∥CD,所以NT∥CD. 在△SBC中,BM=MC,BT=TS,所以MT∥SC. 又因为NT∩MT=T,SC∩CD=C,所以平面MNT∥平面SDC, 又因为MN⊂平面MNT,所以MN∥平面SDC.
解析:因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
2.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中
(
)A
(A)不一定存在与a平行的直线

2021年高考数学一轮复习第八篇立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理新人

2021年高考数学一轮复习第八篇立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确．答案 D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾.答案 C3．(xx·浙江)下列命题中错误的是( )．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．答案 D4．(xx·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．A．12对 B．24对 C．36对 D．48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．答案3或4考向一平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】►(xx·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[审题视点] (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC 共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD . ∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC . 同理，P ∈平面ADC .∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．【防范措施】借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．【示例】►(xx·四川)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．实录甲同学：A 乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B【试一试】(xx·江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )．A．1条B．2条C．3条D．4条[尝试解答] 如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案 D。

高考数学一轮复习必备：第76课时：第九章直线平面简单几何体空间向量及其运算

高考数学一轮复习必备：第76课时：第九章直线平面简单几何体空间向量及其运算课题：空间向量及其运算一．复习目标：明白得空间向量的概念、把握空间向量的有关运算及其性质．二．要紧知识：1．,a b 向量共线的充要条件：； 2．三点共线：； 3．三向量共面：； 4．四点共面：； 5．两向量夹角的范畴； 1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

假设AB a =，AD b =，1AA c =，那么以下向量中与BM〔〕()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++()C 1122a b c --+ ()D c b a +-2121 2．有以下命题：①假如向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面； ③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是〔〕()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③3．以下命题正确的选项是〔〕()A 假设a 与b 共线，b 与c 共线，那么a 与c 共线；()B 向量,,a b c 共面确实是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向； ()D 假设//a b ，那么存在唯独的实数λ使得a b λ=；4．A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，以下条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是〔〕()A OC OB OA OM ++= ()B OC OB OA OM --=2 ()C 3121++= ()D 313131++=四．例题分析：例1．在正三棱锥ABC P -中，N M ,分不为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BC PG ⊥例2．H G F E ,,,分不是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点，（1）用向量法证明H G F E ,,,四点共面；〔2〕用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；〔3〕设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4OM OA OB OC OD =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 长为b ，且 1111120AA B AA D ∠=∠=︒，求〔1〕1AC 的长；〔2〕直线1BD 与AC 所成角的余弦值。

2021年高考数学一轮复习 9.1 平面、空间两条直线教案

2021年高考数学一轮复习 9.1 平面、空间两条直线教案●网络体系总览●考点目标定位1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理.3.两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.4.点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离.5.空间向量及其加法、减法，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积.6.直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质，球的体积及表面积的计算.●复习方略指南1.立体几何不外乎两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等；另一类问题是空间量（空间角、距离、体积、侧面积）的计算，如线面角、二面角的求解.2.立体几何在高考中，选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题中可能会有难题.3.归纳总结，理线串点，从知识上可分为：（1）平面的基本性质；（2）两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；（3）三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，还要注意把空间向量贯彻、渗透其中，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用.4.抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化，并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量的求解.5.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果.9.1 平面、空间两条直线●知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.●点击双基1.若a，b是异面直线，则只需具备的条件是A.a平面α，b平面α，a与b不平行B.a平面α，b平面β，α∩β=l，a与b无公共点C.a∥直线c，b∩c=A，b与a不相交D.a⊥平面α，b是α的一条斜线答案：C2.如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条.答案：C3.（xx年北京朝阳区模拟题）如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA 所成角的余弦值是A. B. C. D.解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，∴∠BDE就是BD与SA所成的角.设SA=a，则BD=BE= a，DE= a，cos∠BDE== .答案：C4.如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么（1）哪些棱所在直线与直线BA 1成异面直线？______________________.（2）直线BA 1与CC 1所成角的大小为________.（3）直线BA 1与B 1C 所成角的大小为________.（4）异面直线BC 与AA 1的距离为________.（5）异面直线BA 1与CC 1的距离是________.答案：（1）D 1C 1、D 1D 、C 1C 、C 1B 1、DC 、AD（2）45° （3）60° （4）a （5）a5.（xx 年全国）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是_____________.解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得FE 1∥BC 1，在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =o 120cos 222⋅⋅-+ED EF ED EF =.在△EFE 1和△EE 1D 中，易得E 1F =E 1D ==，∴△E 1FD 是等边三角形，∠FE 1D =60°.而∠FE 1D 即为E 1D 与BC 1所成的角.答案：60°说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.●典例剖析【例1】如下图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点.证明：连结GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点，∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3，∴HF ∥AC .∴GE ∥HF .故G 、E 、F 、H 四点共面.又∵EF 与GH 不能平行，∴EF 与GH 相交，设交点为O .则O ∈面ABD ，O ∈面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD =BD .∴EF 、GH 、BD 交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】 A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角.（1）证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.（2）解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中，求得∠FEG =45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.特别提示①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，］.【例3】长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C .（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.（1）解：BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段，故AB 与CC 1的距离为b .AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段，故AB 与A 1C 1的距离为c .过B 作BE ⊥B 1C ，垂足为E ，则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线，BE ==，即AB 与B 1C 的距离为.（2）解法一：连结BD 交AC 于点O ，取DD 1的中点F ，连结OF 、AF ，则OF ∥D 1B ，∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.∵AO =，OF = BD 1=，AF =，∴在△AOF 中，cos ∠AOF ==))((2222222c b a b a b a +++-.解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG 、D 1G ，则AC ∥BG ，∴∠D 1BG （或其补角）为D 1B 与AC 所成的角.BD 1=，BG =，D 1G =，在△D 1BG 中，cos ∠D 1BG ==－))((2222222c b a b a b a +++-，故所求的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.●闯关训练夯实基础1.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：若l 和m 中至少有一条与β相交，不妨设l ∩β=A ，则由于l α，∴A ∈α.而A ∈β，∴α与β相交.反之，若α∩β=a ，如果l 和m 都不与β相交，由于它们都不在平面β内，∴l ∥β且m ∥β.∴l ∥a 且m ∥a ，进而得到l ∥m ，与已知l 、m 是相交直线矛盾.因此l 和m 中至少有一条与β相交.答案：C2.（xx 年天津，6）如下图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于A. B. C. D.解法一：取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H .在△FHD 1中，FD 1=，FH =，D 1H =.由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为.解法二：取BC 的中点G .连结GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角.在△OEH 中，OE =，HE =，OH =.由余弦定理，可得cos ∠OEH =.答案：B3.如下图，四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD =2AB =2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于_____________.解析：取AD 的中点G ，连结EG 、FG ，易知EG =1，FG =.由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG.在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即为EF与CD所成的角.答案：30°4.（xx年上海）在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_____________.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1.求证：AA1、BB1、CC1三线共点.证明：不妨设AB≠A1B1，AA1∩BB1=S，∵BC∥B1C1，∴BB1面BCC1B1，S∈面BBC1B1.同理，S ∈面ACC1A1.∴S∈CC1，即AA1、BB1、CC1三线共点于S.6.在三棱锥A—BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角.解：取AC的中点M，连结ME、MF，则ME∥BC，MF∥AD，所以∠EMF（或其补角）是直线AD与BC所成的角.在△EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cos∠EMF==－，∠EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的角为60°.培养能力7.如下图，在三棱锥P—ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2.（1）求证：PA⊥BC；（2）设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°.证明：（1）取BC的中点D，连结AD、PD.则BC⊥平面ADP，AP平面ADP，∴AP⊥BC.（2）在AC上取点G，使AG∶GC=3∶2，连结EG、FG，则EG∥PA，FG∥BC，从而∠EGF为PA与BC所成的角，由（1）知∠EGF=90°，而∠GEF、∠GFE分别是EF与PA、EF与BC所成的角α、β，∴α+β=90°.8.如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=== .试求的值.解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且==，所以AB∥A1B1，AC∥A1C1，BC∥B1C1.由平移角定理得∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，△ABC∽△A1B1C1，所以=（）2=.说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新9.如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角.解：取BC的中点E，连结EN、EM，∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角.在△EMN中，EN==3，EM==5，MN=7，cos∠MEN=－，∴∠MEN=120°.∴异面直线AC与BD所成的角是60°.●思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.●教师下载中心教学点睛首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判断、异面直线所成的角，其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤.拓展题例【例1】设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b 所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条?解：过点O作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1、b1确定一平面α.a1与b1夹角为50°或130°，设直线OA与a1、b1均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a1于点C，BD⊥b1于点D，记∠AOB=θ1，∠BOC=θ2（θ2=25°或65°），则有cosθ=cosθ1·cosθ2.因为0°≤θ1≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.当θ2=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；当θ2=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°.故当θ<25°时，直线l不存在；当θ=25°时，直线l有且仅有1条；当25°<θ<65°时，直线l有且仅有2条；当θ=65°时，直线l有且仅有3条；当65°<θ<90°时，直线l有且仅有4条；当θ=90°时，直线l有且仅有1条.说明：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点O与a1、b1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数.【例2】已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如下图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD 是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线.（2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EHBD.又F、G分别是BC、DC的三等分点，∴FGBD.∴EH∥FG，且EH＜FG.∴FE与GH相交.设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内.同理，O在平面ABC内.从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.。

2021届高考数学一轮复习资料

2021届⾼考数学总复习⼀轮复习资料⽬录专题1 集合与常⽤逻辑⽤语1§1.1 集合的概念与运算1§2 命题及其条件、充分条件与必要条件2§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词3专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ5§1 函数及其表⽰5§2 函数的单调性与最值7§3 函数的奇偶性与周期性8§4 ⼆次函数与幂函数9§5 指数与指数函数11§6 对数与对数函数12§7 函数的图像15§8 函数与⽅程17§9 实际问题的函数建模18专题3 导数及其应⽤20§1 导数的概念及运算20§2 导数的应⽤222.1 导数与函数的单调性222.2 导数与函数的极值、最值23§3 定积分与微积分基本定理26专题4 三⾓函数、解三⾓形27§1 任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数27§2 同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式29§3 三⾓函数的图像与性质31§4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应⽤32§6 简单的三⾓恒等变换35§7 正弦定理、余弦定理36§8 解三⾓形的综合运⽤37 专题5 平⾯向量39§1 平⾯向量的概念及线性运算39§2 平⾯向量基本定理及坐标表⽰41§3 平⾯向量的数量积42§4平⾯向量应⽤举例43专题6 数列44§1 数列的概念与简单表⽰法44§2 等差数列及其前n项和46§3 等⽐数列及其前n项和47§4 数列求和49专题7 不等式50§1 不等关系与不等式50§2 ⼀元⼆次不等式及其解法52§3 ⼆元⼀次不等式（组）与简单的线性规划问题53§4 基本不等式及其应⽤55专题8 ⽴体⼏何与空间向量57§1 简单⼏何体的结构、三视图和直观图57§2 空间图形的基本关系与公理59§3 平⾏关系61§4 垂直关系64§5 简单⼏何体的⾯积与体积66§6 空间向量及其运算68§7 ⽴体⼏何中的向量⽅法707.1 证明平⾏与垂直707.2 求空间⾓和距离72专题9 平⾯解析⼏何74§1 直线的⽅程74§3 圆的⽅程78§4 直线与圆、圆与圆的位置关系80§5 椭圆82§6 抛物线84§7 双曲线86§8 曲线与⽅程88§9 圆锥曲线的综合问题90专题10 计数原理99§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理99§2 排列与组合100§3 ⼆项式定理102专题11 统计与统计案例104§1 随机抽样104§2 统计图表、⽤样本估计总体106§3 变量间的相关关系、统计案例108专题12 概率、随机变量及其分布110§1 随机事件的概率110§2 古典概型113§3 ⼏何概型115§4离散型随机变量及其分布列116§5 ⼆项分布及其应⽤118§6离散型随机变量的均值与⽅差、正态分布120专题13 推理与证明、算法、复数122§1 归纳与类⽐122§2综合法与分析法、反证法124§3 数学归纳法126§4 算法与算法框图128§5 复数130专题14 系列4选讲132§1 ⼏何证明选讲1321.1 相似三⾓形的判定及有关性质1321.2 直线与圆的位置关系133§2 坐标系与参数⽅程1342.1 坐标系1342.2 参数⽅程135§3 不等式选讲1363.1 绝对值不等式1363.2 不等式的证明138专题1 集合与常⽤逻辑⽤语§1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、⽆序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，⽤符号∈或∉表⽰.(3)集合的表⽰法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.集合的运算4.集合关系与运算的常⽤用结论(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的⼦集个数为2n 个，⾮空⼦集个数为2n －1个，真⼦集有2n －1个. (2)A ⊆B A ∩B ＝A A ∪B ＝B . 典例例　设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.易易错分析　集合B 为⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易易忽视⽅方程⽆无解，即B ＝∅的情况，导致漏漏解. 解析　因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关集合⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋(或N *)ZQR关系⾃然语⾔符号语⾔Venn 图⼦集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B (或 B=A )真⼦集集合A 是集合B 的⼦集，且集合B 中⾄少有⼀个元素不在集合A 中A ⊊B集合相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为⼦集A ＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.遗忘空集致误解得a＝1；②当B≠∅且B A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满⾜足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案　(－∞，－1]∪{1}温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是⾼考的⼀个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考⽣很容易忽视A＝∅⽽造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进⾏讨论.[⽅方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是⽆无序性和互异性在解题时经常⽤用到.解题后要进⾏行行检验，要重视符号语⾔言与⽂文字语⾔言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进⾏行行合理理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的⼜又⼀一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的⼦子集，是任何⾮非空集合的真⼦子集，时刻关注对空集的讨论，防⽌止漏漏解.3.解题时注意区分两⼤大关系：⼀一是元素与集合的从属关系；⼆二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进⾏行行集合交、并、补运算的常⽤用⽅方法，其中运⽤用数轴图示法时要特别注意端点是实⼼心还是空⼼心.§2 命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与⽅法系1.等价转化思想在充要条件中的应⽤列典例例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成⽴的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成⽴立；当a≠0时，由得0<a≤4，∴q：0≤a≤4.∴p是q成⽴立的充分不不必要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|x>a}⊊{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.答案　(1)A　(2)A温馨提醒　(1)本题⽤到的等价转化①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对⼀些复杂、⽣疏的问题，利⽤等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常⽤到.[⽅方法与技巧]1.写出⼀一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的⼏几种判断⽅方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利利⽤用A B与┐B ┐A；B A与┐A ┐B；A B与┐B ┐A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，⼀一般运⽤用等价法.(3)利利⽤用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当⼀一个命题有⼤大前提⽽而要写出其他三种命题时，必须保留留⼤大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，⼀一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的⽅方向，正确理理解“p的⼀一个充分⽽而不不必要条件是q”等语⾔言.§3 简单的逻辑连接词、全称量量词与存在量量词1.全称量量词与存在量量词(1)常见的全称量词有“所有”“每⼀个”“任何”“任意⼀条”“⼀切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“⾄少有⼀个”“有⼀个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“⾮”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：p q┐p┐q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假1.常⽤逻辑⽤语及其应⽤⼀一、命题的真假判断典例例　已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成⽴，则－4<m<0，那么( )A.“┐p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析　由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成⽴立，所以命题q为假命题.综上可知：┐p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案　C温馨提醒　判断与⼀元⼆次不等式有关命题的真假，⾸先要分清是要求解⼀元⼆次不等式，还是要求⼀元⼆次不等式恒成⽴(有解、⽆解)，然后再利⽤逻辑⽤语进⾏判断.⼆二、求参数的取值范围典例例　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案　[e,4]温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要⾸先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利利⽤用逻辑推理理解决实际问题典例例　(1)甲、⼄、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市⽐⼄多，但没去过B城市；⼄说：我没去过C城市；丙说：我们三⼈去过同⼀城市.由此可判断⼄去过的城市为________.(2)对于中国⾜球参与的某次⼤型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国⾮第⼀名，也⾮第⼆名；⼄：中国⾮第⼀名，⽽是第三名；丙：中国⾮第三名，⽽是第⼀名.竞赛结束后发现，⼀⼈全猜对，⼀⼈猜对⼀半，⼀⼈全猜错，则中国⾜球队得了第________名.解析　(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但⽐比⼄乙去的城市多，⽽而丙说“三⼈人去过同⼀一城市”，说明甲去过A ，C 城市，⽽而⼄乙“没去过C 城市”，说明⼄乙去过城市A ，由此可知，⼄乙去过的城市为A .(2)由上可知：甲、⼄乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对⼀一半者也说了了错误“命题”，即只有⼀一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国⾜足球队得了了第⼀一名. 答案　(1)A (2)⼀温馨提醒　在⼀些逻辑问题中，当字⾯上并未出现 “或”“且”“⾮”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题⽬进⾏逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从⽽解决问题.[⽅方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字⾯面上未出现“或”、“且”时，要结合语句句的含义理理解.2.要写⼀一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律律是“改量量词，否结论”. [失误与防范]1.p 或q 为真命题，只需p 、q 有⼀一个为真即可；p 且q 为真命题，必须p 、q 同时为真.2.两种形式命题的否定p 或q 的否定：⾮非p 且⾮非q ；p 且q 的否定：⾮非p 或⾮非q . 3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定⽽而得到的命题，它既否定其条件，⼜又否定其结论；“命题的否定”即“⾮非p ”，只是否定命题p 的结论.专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ§1 函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念函数映射两集合 A 、B设A ，B 是两个⾮空数集设A ，B 是两个⾮空集合对应关系 f ：A →B 如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都存在唯⼀确定的数f (x )与之对应集合A 与B 间存在着对应关系f ，⽽且对于A 中的每⼀个元素x ，B 中总有唯⼀的⼀个元素y 与它对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A →B 是⼀个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作⾃变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表⽰法表⽰函数的常⽤⽅法有列表法、图像法和解析法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同⼦集上，因对应关系不同⽽分别⽤⼏个不同的式⼦来表⽰，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由⼏个部分组成，但它表⽰的是⼀个函数. 4.常⻅见函数定义域的求法典例例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成⽴的x 的取值范围是________. (2)(2015·⼭山东)设函数f (x )＝则满⾜f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞) 解析　(1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8].(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥，∴≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥，故选C.答案　(1)(－∞，8]　(2)C温馨提醒　(1)求分段函数的函数值，⾸先要确定⾃变量的范围，然后选定相应关系式代⼊求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求⾃变量的值或⾃变量的取值范围时，应根据每⼀段解析式分别求解，但要注意检验所求⾃变量的值或取值范围是否符合相应段的⾃变量的值或取值范围. (3)当⾃变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同⼦集进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]类型x 满⾜的条件，n ∈N ＋f (x )≥0与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋，k ∈Z2.分类讨论思想在函数中的应⽤1313x2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进⾏行行.3.函数解析式的⼏几种常⽤用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数⽆无论分成⼏几段，都是⼀一个函数，求分段函数的函数值，如果⾃自变量量的范围不不确定，要分类讨论.§2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值典例例　(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨　(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能⽤用定义.应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0⽐比较⼤大⼩小.(2)将函数不不等式中的抽象函数符号“f ”运⽤用单调性“去掉”是本题的切⼊入点.要构造出f (M )<f (N )的形式. 规范解答(1)证明　设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分]f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0 f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数.[6分](2)解　∵m ，n ∈R ，不不妨设m ＝n ＝1，增函数减函数定义在函数f (x )的定义域内的⼀个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是减少的图像描述⾃左向右看图像是上升的⾃左向右看图像是下降的前提函数y ＝f (x )的定义域为D条件(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(3)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (4)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最⼤值M 为最⼩值1.确定抽象函数单调性解函数不等式∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1 －3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]解函数不不等式问题的⼀一般步骤：第⼀一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第⼆二步：(转化)将函数不不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运⽤用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成⼀一般的不不等式或不不等式组；第四步：(求解)解不不等式或不不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易易错点及解题规范.温馨提醒　本题对函数的单调性的判断是⼀个关键点.不会运⽤条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破⼜.第⼆个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.[⽅方法与技巧]1.利⽤定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常⽤⽅法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利⽤单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常⽤求法：单调性法、图像法、换元法.[失误与防范]1.分段函数单调性不不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不不同的区间上单调性相同，⼀一般要分开写，⽤用“，”或“和”连接，不不要⽤用“∪”.§3 函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，⼀般都按照定义严格进⾏，⼀般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既⾮奇⾮偶函数.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在⼀个⾮零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最⼩正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在⼀个最⼩的正数，那么这个最⼩正数就叫做f (x )的最⼩正周期.典例例　(1)若函数f (x )＝在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝则满⾜不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________. 易易错分析　(1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了了1－x 2>0导致解答失误. 解析　(1)∵f (－x )＝＝， ∴f (－x )＋f (x ) ＝＝.由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则即得x ∈(－1，－1).答案　(1)±1　(2)(－1，－1)温馨提醒　(1)已知函数的奇偶性，利⽤特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应⾼度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的⼤⼩关系.③弄清最终结果取并集还是交集.[⽅方法与技巧]1.判断函数的奇偶性，⾸先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的⼀个必要条件.2.利⽤函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应⽤. [失误与防范]1.f (0)＝0既不不是f (x )是奇函数的充分条件，也不不是必要条件.应⽤用时要注意函数的定义域并进⾏行行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进⾏行行判断，不不可以利利⽤用函数在定义域某⼀一区间上不不是奇偶函数⽽而否定函数在整个定义域的奇偶性.§4 ⼆二次函数与幂函数1.⼆二次函数(1)⼆次函数解析式的三种形式 22.忽视定义域致误②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)⼆次函数的图像和性质 2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是⾃变量，α是常数. (2)幂函数的图像⽐较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 典例例　已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最⼩值.思维点拨　参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开⼝口⽅方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答解　(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开⼝口⽅方向向上，且对称轴为x ＝. ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在[0，]上递减，在[，1]上递增. 解析式f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x ∈上单调递减；在x ∈上单调递增在x ∈上单调递增；在x ∈上单调递减对称性函数的图像关于x ＝－对称思想与⽅法系列3.分类讨论思想在⼆次函数最值中的应⽤②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开⼝口⽅方向向下，且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，f (x )min ＝温馨提醒　(1)本题在求⼆次函数最值时，⽤到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进⾏讨论，又对对称轴进⾏讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：⼀是分类的标准要⼀致，⼆是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不⽆原则的分类讨论.(2)在有关⼆次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]1.⼆二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜⽤用⼀一般式.(2)已知⼆二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最⼤大(⼩小)值有关的量量时，常使⽤用顶点式. (3)已知⼆二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选⽤用零点式求f (x )更更⽅方便便. 2.研究⼆二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析；(2)含参数的⼆二次函数，要进⾏行行分类讨论. 3.利利⽤用幂函数的单调性⽐比较幂值⼤大⼩小的技巧在⽐比较幂值的⼤大⼩小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进⾏行行⽐比较.[失误与防范]1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是⼆二次函数，就必须满⾜足a ≠0，当题⽬目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2.幂函数的图像⼀一定会出现在第⼀一象限内，⼀一定不不会出现在第四象限，⾄至于是否出现在第⼆二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点⼀一定是原点.§5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质 (0),,m mn na a a m n +=>∈N m na −y ＝a x a >10<a <1图像典例例　(1)函数y ＝x －x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为__________________________．思维点拨　(1)求函数值域，可利利⽤用换元法，设t ＝x ，将原函数的值域转化为关于t 的⼆二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进⾏行行探求．解析　(1)因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝x ，则t ∈，故y ＝t 2－t ＋1＝2＋.当t ＝时，y min ＝；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝u 在R 上为减函数，∴函数的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．⼜又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案　(1)　(2)(－∞，1]温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利⽤换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[⽅方法与技巧]1．通过指数函数图像⽐较底数⼤⼩的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进⾏⽐较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，⼀定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合⽽成． [失误与防范]1．恒成⽴立问题⼀一般与函数最值有关，要与⽅方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，⼀一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的⽅方程或不不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．§6 对数与对数函数1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)是R 上的增函数(7)是R 上的减函数4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应⽤用2211()()2x x f x −++=2211()()2x x f x −++=作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (2)对数的性质①＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝ (a ，b 均⼤于零且不等于1)； ②log a b ＝，推⼴log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝x 对称. 典例例　(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <c D.a <c <b(2)设a ＝log 2π，b ＝，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b思维点拨　(1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或⽐比商法确定a ，b 的⼤大⼩小关系，然后利利⽤用中间值⽐比较a ，c ⼤大⼩小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利利⽤用中间变量量和c ⽐比较.(3)化为同底的指数式. 解析　(1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；log m n a M log a Na a >10<a <1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数2.⽐比较指数式、对数式的⼤大⼩小12log π2log3.454log 3.653log 0.31()5。

2021年高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量第4节直线平面

2021年高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量第4节直线平面第4节直线、平面平行的判定与性质【选题明细表】知识点、方法平行关系的基本问题直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质题号 1,2 3,4,5,6,7,9,10,13,14 8,11,12,13 基础巩固(时间:30分钟)1.平面α∥平面β的一个充分条件是( D ) (A)存在一条直线a,a∥α,a∥β (B)存在一条直线a,a?α,a∥β(C)存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α (D)存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α解析:若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a?α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D. 2.已知α,β是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④α内存在两条相交直线a,b,a∥β,b∥β.可以推出α∥β的是( C ) (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③解析:对于②,平面α与β还可以相交;对于③,当a∥b时,不一定能推出α∥β,所以②③是错误的,易知①④正确,故选C.3.(2021・合肥市二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( C ) (A)0条 (B)1条(C)2条 (D)1条或2条解析:如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.因为EF?平面BCD,GH?平面BCD, 所以EF∥平面BCD.因为EF?平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD, 所以EF∥CD,所以CD∥平面EFGH. 同理AB∥平面EFGH.故选C.4.导学号 38486145下面四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的是( A )和任何人呵呵呵(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④解析:由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.5.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( B )(A)BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形(B)EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形(C)HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形(D)EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形解析:由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF∥BD,且EF=BD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG∥BD,且HG=BD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.6.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1, D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件时,有MN∥平面B1BDD1.解析:由题意,得HN∥平面B1BDD1,FH∥平面B1BDD1.因为HN∩FH=H,所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时,有MN∥平面B1BDD1. 答案:M∈线段HF7.空间四面体ABCD的两条对棱AC,BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是 .感谢您的阅读，祝您生活愉快。

考点29 空间向量解决空间直线、平面位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

考点29空间向量解决空间直线、平面位置关系【命题解读】空间中直线、平面的位置关系，可以借用空间向量这一工具来解决，空间向量的运用使得空间立体几何问题转化为了计算问题，把几何问题转化为了代数的计算，因此在复习过程中既要要求学生的空间思维能力又要要求学生学会数学转化思想。

【命题预测】预计2021年的高考对于空间直线、平面的位置关系的考察还是一个必考题，充分运用空间向量让立体几何问题转化为数学的代数计算问题。

【复习建议】1.掌握空间向量的有关知识点，及空间向量解决空间直线、平面位置关系的有关定理.2.能运用结论解决空间直线、平面的位置关系问题。

考向一空间共线、共面向量定理1. 共线向量定理：对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b ⇔存在λ∈R,使a =λb2. 共面向量定理：若两个向量a ,b 不共线,则向量p 与向量a ,b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a +y b3. 空间向量基本定理：如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p = x a +y b +z c1.【2019江苏鼓楼南京师大附中高二期中】已知空间三点坐标分别为()1,1,1A ，()0,3,0B ，()2,1,4C --，点()3,,3P x -在平面ABC 内，则实数x 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．–1【答案】A【解析】因为()1,1,1A ，()0,3,0B ，()2,1,4C --，()3,,3P x - 所以()1,2,1BA =-，()2,4,4BC =--，()3,3,3BP x =--因为空间三点坐标分别为()1,1,1A ，()0,3,0B ，()2,1,4C --，点()3,,3P x -在平面ABC 内所以设BP yBA zBC =+，则有2324343y z y z x y z -=-⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩.解得111z y x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故选：A2. 【2020上海高二课时练习】已知直线1l 和2l 不重合，12,d d 分别是12,l l 的方向向量，则12=d d 是12l l //的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】因为直线1l 和2l 不重合，所以12=d d 可以推出12l l //，而12l l //只能推出1d 与2d 共线，不一定相等，所以12=d d 是12l l //的充分非必要条件. 故选：A.考向二利用空间向量证明平行与垂直a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3)1. a ∥b ⇒ a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R,b ≠0)2. a ⊥b ⇔ a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=01. 【2020绥德中学高二期末（理）】已知向量(245)a =，，，3)b x y =（，，，分别是直线1l 、2l 的方向向量，若12l l ，则（）A ．6x = ，15y =B ．3x = ，15y =C ．83x =，103y = D ．6x = ，152y =【答案】D【解析】∵1l ∥2l ， ∴a ∥ b ， ∴3452x y ==， ∴156,2x y ==．选D ． 2.【2019浙江南湖嘉兴一中高二期中】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆5 ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影面积为3则上述四个命题中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-， ∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，2222(1)(21)MH GH MG a a =+=-+-2562a a =-+，∴211156222BCM S BC MH a a ∆=⨯⨯=⋅-+21311155()25525a =-+≥= 当35a =时，min 5()BCM S ∆=，①正确；对于11//D C DC ，DC 平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为26sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为22336663443a ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．④对．故选C ．题组一（真题在线）1. 【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．2. 【2019年高考浙江卷】（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.3. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．4. 【2020年高考天津】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．题组二1. 【2019山西太原高二期末（理）】已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C 三点，()1,1,1n =，则以n 为方向向量的直线与平面ABC 系是（）A ．垂直B ．不垂直C ．平行D ．以上都有可能2. 【2019福建南平高二期末】已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =，()2,4,4AB =---，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．//AB α B ．AB α⊂C ．相交但不垂直D ．AB α⊥3. 【2020宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在线段11A B 上，且11A P PB λ=.（1）求证：不论λ取何值，总有AM PN ⊥；（2）当1λ=时，求平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值.4. 【2020天津高三一模】如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点.（1）求证：CE PE ⊥；（2）求二面角M CE D --的大小；（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长. 5. 【2020全国高二课时】练习棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，DB 的中点，G 在棱CD 上，且CG 13=CD ．（1）证明：EF ⊥B 1C ；（2）求cos EF ＜，1C G ＞．题组一1. （1）见解析；（2）49；（3）87．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ．由题意，有224||1cos ,||||3432h h -⋅〈〉===+m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87．2. （1）见解析；（2）35．【解析】（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，23），B （3，1，0），1(3,3,23)B ，33(,,23)22F ，C (0，2，0)．因此，33(,,23)22EF =，(3,1,0)BC =-．由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得3030x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取n (131)=，，，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 3. 见解析【解析】设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内．（2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ．设2n 为平面1A EF 的法向量，则 22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为1212127cos ,||||7⋅〈〉==-⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --的正弦值为427．4. 见解析【解析】依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6．（Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 题组二1.A【解析】由题意，()()1,1,0,0,1,1AB BC =-=-，0,0n AB n BC ⋅=⋅=，所以以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 垂直，故选A. 2.D【解析】根据已知条件容易得到：=-2AB n →，所以AB n →；故直线AB 与平面α垂直故选：D 3.见解析【解析】以点A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()10,0,2A ，()12,0,2B ，()0,2,1M ，()1,1,0N .（1）()11111A P PB A B A P λλ==-，()11122,0,0,0,0111A P A B λλλλλλ⎛⎫∴===⎪+++⎝⎭， ()11220,0,2,0,0,0,211AP AA A P λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()21,1,0,0,2,1,2111PN AN AP λλλλ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-.()0,2,1AM =，0220AM PN ∴⋅=+-=，因此，无论λ取何值，AM PN ⊥；（2）当1λ=时，()1,0,2P ，()0,1,2PN =-，()1,2,1PM =--，而平面ABC 的法向量()0,0,1n =，设平面PMN 的法向量为(),,1x y m =，则21020m PM x y m PN y ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，则()3,2,1m =，设α为平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则14cos 14m n m nα⋅==⋅. 因此，平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值是1414. 4. 见解析【解析】依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以PA ⊥面ABCDE ，又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AE →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,,，()2,3,1M ，（1）证明：由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →=-，因为0CE PE →→⋅=，所以CE PE ⊥.（2）解：()2,1,1ME →=---，()2,1,1MC →=--，设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量，则00n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩，不妨令1y =，可得()0,1,1n →=-，平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →=，因此有2cos ,2n APn AP n AP→→→→→→⋅==-，由图可得二面角M CE D --为锐二面角，所以二面角M CE D --的大小为45︒. （3）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ，所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-，令AN n →→⊥，即0AN n →→⋅=，解得12λ=，即N 为PE 的中点，因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB AN A =，所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ，此时即()0,1,1N ，2220112AN →=++=，所以线段AN 的长为2. 5.见解析【解析】分别以三直线DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：E （0，0，1），F （1，1，0），B 1（2，2，2），C （0，2，0），C 1（0，2，2），（1）证明：∵()()1111202EF B C =-=--，，，，，， ∴12020EF BC ⋅=-++=，∴1EF B C ⊥， ∴EF ⊥B 1C ；（2）∵13CG CD =，∴4003G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ∴12023C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，， ∴1240233EF C G ⋅=-+=，121033EF C G ==，，∴11143EF C G cos EF C G EF C G⋅===＜，＞．。

2021高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第3节空间直线、平面的平行练习

第3节空间直线、平面的平行［A级基础巩固］1．“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析:由直线m∥平面α，可得直线m与平面α内无数条直线平行,反之不成立．所以“直线m与平面α内无数条直线平行"是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．故选C。

答案：C2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( ）A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：平行、相交、异面都有可能．故选D.答案：D3．（2020·洛阳联考)设l，m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面，且l⊂α,m⊂β,下列结论正确的是（)A．若α⊥β，则l⊥β B．若l⊥m，则α⊥βC．若α∥β，则l∥β D．若l∥m，则α∥β解析：对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β,则α与β可能平行,也可能相交但不垂直，所以B错误;对于C，若α∥β,l⊂α，由面面平行的性质可知,l∥β，所以C正确;对于D，若l∥m,l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误．答案：C4．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( ）A．4条B．6条C．8条D．12条解析:如图所示，H，G，F，I是相应线段的中点,故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH,HI，HF，GI共6条直线，故选B.答案:B5．（2020·东莞调研)已知平面α，β,γ两两垂直，直线a，b，c 满足a⊂α，b⊂β,c⊂γ，则直线a,b，c的位置关系不可能是( ) A．两两平行B．两两垂直C．两两相交D．两两异面解析：假设a，b，c三条直线两两平行，如图所示,设α∩β＝l,因为a∥b，a⊄β，b⊂β,所以a∥β.又知a⊂α，α∩β＝l，所以a∥l，又知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，所以l⊥γ，又知a∥b，a∥l，所以a⊥γ,又知c⊂γ，所以a⊥c,所以假设不成立．故三条直线a，b，c不可能两两平行．答案：A6．(2020·豫北名校联考）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则错误!＝_____．解析：如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，所以错误!＝错误!。

2021年高考理数：立体几何与空间向量

核心考点解读——立体几何与空间向量平面的基本性质(I)空间点、线、面的位置关系（II）空间直线、平面平行的判定定理与性质定理（II）空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理（II）空间向量在立体几何中的应用（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直，利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等.2.从考查内容来看，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中有关角与距离的问题.3.从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要注意结合空间几何体的特征严格推理论证.1.平面的基本性质(1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断.(2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面.2.空间直线、平面的位置关系(1)空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况.理解平行公理与等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交判断依据：直线与平面的公共点的个数.理解直线与平面平行的定义.(3)空间两个平面的位置关系：相交、平行判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交. 3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理 (1)线面平行的判定定理与性质定理1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.符号语言：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒.要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行. 符号语言：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号语言：//,//,,,//a b a b ab P ααββαβ⊂⊂=⇒.要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线.4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：//,,//m n m n αβαγβγ==⇒.5)平行关系的转化−−−→−−−→←−−−←−−−判定判定性质性质线线平行线面平行面面平行 (2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直. 符号语言：,,,,l a l b a b ab P l ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥.要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可. 2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//a b a b αα⊥⊥⇒.此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直. 符号语言：,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥.要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线. 4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥.要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.5)垂直关系的转化−−−→−−−→←−−−←−−−判定判定性质性质线线垂直线面垂直面面垂直 4.空间向量在立体几何中的应用 (1)空间向量的坐标运算设123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，则112233(,,)a b a b a b ±=±±±a b ，123(,,)()a a a λλλλλ=∈R a ，112233a b a b a b ⋅=++a b ，112233,,()b a b a b a λλλλλ⇔=⇔===∈R ab b a ，1122330a b a b a b ⊥⇔⋅=++=a b a b ，2222123a a a ==++a a ，112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b . 空间111222(,,),(,,)A x y zB x y z 两点间的距离为222121212()()()AB d x x y y z z =-+-+-.注意上述空间向量坐标运算公式的正确应用. (2)直线的方向向量与平面的法向量i)直线的方向向量：与直线l 平行的向量，记作l .ii)平面的法向量：若直线l α⊥，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作α.iii)平面法向量的求法：设平面的法向量为(,,)x y z =α.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，根据定义建立方程组，得到00⋅=⎧⎨⋅=⎩a b αα，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. (3)利用空间向量证明空间线面平行、垂直设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为,αβ. 若//l m ，则()λλ⇔=∈R lm l m ；若l m ⊥，则0⊥⇔⋅=l m l m ；若//l α，则0⊥⇔⋅=l l αα；若l α⊥，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，可利用上述求法向量的过程证明.若//αβ，则()λλ⇔=∈R αβαβ；若αβ⊥，则0⊥⇔⋅=αβαβ. (4)利用空间向量求直线、平面所成的角设直线,l m 的方向向量分别为l,m ，平面,αβ的法向量分别为,αβ. 直线,l m 所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：cos θ⋅=l m l m；直线l 与平面α所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：sin θ⋅=l l αα；平面,αβ所成的二面角为θ，则0πθ≤≤，计算方法：cos θ⋅=αββα，然后观察直观图中所表示的二面角的平面角大小，以确定是锐二面角还是钝二面角. (5)利用空间向量求空间距离设点A 是平面α外一点，B 是平面α内一点，平面α的一个法向量为α，则点A 到平面α的距离为AB d ⋅=αα.(6)利用空间向量证明线面平行、垂直及计算空间角、距离的关键在于将所在直线的方向向量和平面的法向量正确表示，而正确表示直线的方向向量与平面的法向量的关键在于空间直角坐标系的正确建立及相关点的坐标的正确表示.求解空间角时公式选用要正确，特别是直线与平面所成的角用向量表示时得到的是正弦值，而直线与直线所成的角与二面角则是余弦值，要注意区分.1．（2021高考新课标III ，理16）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）2.(2021高考新课标I ，理11)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．3D ．133.（2021高考新课标II ，理14）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）4．（2021高考新课标I ，理18）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.5．（2021高考新课标ⅠⅠ，理19）如图，四棱锥P −ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面P AB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．6．（2021高考新课标Ⅲ，理19）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.7.(2021高考新课标I ，理18)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A 的余弦值．8.(2021高考新课标III ，理19)如图，四棱锥P −ABC 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，P A=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面P AB ;（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.9．(2021高考新课标I ，理18)如图,四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . (I)证明：平面AEC ⊥平面AFC ； (II)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.1．已知αβ，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且αβ⊥，则l β⊥是l α∥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC ==，22AD =，32PB =，PB AC ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，若存在，求出AE AP 的值；若不存在，请说明理由．1．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ＝1,AC ＝2,BC ＝,D ,E 分别是AC 1和BB 1的中点,则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°2．如图，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面SAB ，BC ⊥SA ，290SAB BSA ∠=∠=°，BC AD ∥，12AB BC AD ==.（1）证明：在线段SA 上是否存在点E ，使得BE ∥平面SCD ；（2）求二面角B SD C --的余弦值.真题回顾：1.②③【解析】由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连结AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.2.A 【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm .连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11BF 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n所成角的正弦值为3.3.②③④【解析】对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥⊥⊥所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.4.（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2(A ，2P ，2(B ，2(C .所以22(PC =-，(2,0,0)CB =，22()22PA =-，(0,1,0)AB =.设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则 0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪=可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m .则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为3-. 5.（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ．因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC ∥AD ，又12BC AD =，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB ．（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，(3P ，(1,0,3)PC =-，(1,0,0)AB =，设()(),,01M x y z x <<，则()1,,,(,1,3)BM x y z PM x y z =-=-，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()0,0,1=n 是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM =︒n ，()222221zx y z =-++，即()22210x y z -+-=． ① 又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则 ,1,33x y z λλ==． ②由①②解得21216x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(舍去)，21216x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．所以26(1)2M -，从而26(1)2AM =-．设()000,,x y z =m 是平面ABM 的法向量，则0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0000(22)260,0,x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩所以可取(0,6,2)=-m ．于是 10cos ,⋅==m n m n m n ，因此二面角M AB D --10． 6.（1）由题设可得，ABD CBD △≌△，从而AD DC =.又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO =AO .又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥.所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角.在Rt AOB △中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+==，故90DOB ∠=.所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故()()311,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,310.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 可取31,3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量，则00AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 同理可取(0,3=-m .则7cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D −AE −C 的余弦值为77. 7.（I ）由已知可得ΑF DF ⊥，ΑF FE ⊥，所以ΑF ⊥平面ΕFDC ．又F A ⊂平面ΑΒΕF ，故平面ΑΒΕF ⊥平面ΕFDC ．（II ）过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面ΑΒΕF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=，则2DF =，3DG =，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(3D ．由已知，//AB EF ，所以//AB 平面EFDC ．又平面ABCD 平面EFDC DC =，故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以C ΕF ∠为二面角C BE F --的平面角，60C ΕF ∠=．从而可得(3C -．所以(3ΕC =，()0,4,0ΕΒ=，(3,3ΑC =--，()4,0,0ΑΒ=-．设(),,x y z =n 是平面ΒC Ε的法向量，则00ΕC ΕΒ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取()3,0,3=-n ．设m 是平面ΑΒCD 的法向量，则00ΑC ΑΒ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，同理可取()0,3,4=m ．则219cos ,19⋅==-n m n m n m ．故二面角E BC A 的余弦值为21919-．8.（I ）由已知得232==AD AM .取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT .因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（II ）取BC 的中点E ，连结AE .由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -.由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ，(0,2,4)PM =-，5(,1,2)2PN =-，5(,1,2)2AN =. 设(,,)x y z =n 为平面PMN 的一个法向量，则0,0,PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即240,520,y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪ 可取(0,2,1)=n . 于是||85|cos ,|||||AN AN AN ⋅==n n n . 9.(I)连接BD ，设BD AC =G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB =1，由∠ABC =120°，可得AG =GC =3.由BE ⊥平面ABCD ，AB =BC 可知，AE =EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG =3，EG ⊥AC ，在Rt △EBG 中，可得BE =2，故DF =2.在Rt △FDG 中，可得FG =6.在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE =2，DF =22可得EF =322，∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC . (II)如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由(Ⅰ)可得A (0，3，0)，E (1,0, 2)，F (－1,0，2)，C (0，3，0)，∴AE =(1，3，2)，CF =(-1,-32) 故3cos ||||AE CF AE CF AE CF ⋅<⋅>==-.所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为3. 名校预测1．【答案】D 【解析】由题意，αβ⊥，l β⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分条件不成立；又当αβ⊥，l α∥时，不能得到l β⊥，所以必要条件不成立，故选D ．2．【解析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，22AD =22BC AD ==，又2AB AC ==，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥，又PB AC ⊥，且ABPB B =，所以AC ⊥平面PAB ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ．（2）由（1）知AC AB ⊥，AC ⊥平面PAB ，如图，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,2,0)AC =，(2,2,0)BC =-，由45PBA ∠=︒，32PB =，可得(1,0,3)P -，所以(1,0,3)AP =-，(3,0,3)BP =-，假设棱PA 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为3，设(01)AE AP λλ=<<，则(,0,3)AE AP λλλ==-，(,2,3)CE AE AC λλ=-=--，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即220330x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，可得1x y ==，所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)=n ，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则222223223sin |cos ,|3()(2)(3)3104CE λλλθλλλ--+-====⋅-+-+⋅+<>n ，整理得2340λλ+=，因为01λ<<，所以2340λλ+>，故2340λλ+=无解，所以棱PA 上不存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为3．专家押题1．【答案】A 【解析】取AC 的中点F ,连接DF,BF ,因为D ,E 分别是AC 1和BB 1的中点,所以DF=BE ,且DF //BE ,所以四边形DEBF 是平行四边形,所以DE //BF ,过点F 作FG 垂直于BC ，交BC 于点G ，由题意得FBG ∠（或其补角）等于直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角,因为AB ＝1,AC ＝2,BC ＝,所以90,30ABC BCA ∠=︒∠=︒，CF=FA=FB =1,所以∠FBG =30°.即直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为30°.故选A ．2．【解析】（1）如图，取SA 的中点E ，SD 的中点F ，连接BE EF CF 、、.因为E F 、分别为,SA SD 的中点，所以EF AD ∥，且12EF AD =.又BC AD ∥，12BC AD =，所以四边形CBEF 为平行四边形，所以BE CF ∥. 因为BE ⊄平面SCD ，CF ⊂平面SCD ，所以BE ∥平面SCD .故在线段SA 上存在一点E ，使得BE ∥平面SCD .（2）因为BC AD ∥，,BC SA ⊥所以AD SA ⊥.因为平面SAD ⊥平面SAB ，平面SAD 平面SAB SA =，所以AD ⊥平面SAB ，故AD AB ⊥，又90SAB ∠=，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设1AB =，其中()0,0,0A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)S ，所以(1,1,0)CD =-，(1,1,1)SC =-，(1,0,1)SB =-，(0,2,1)SD =-，设111(,,)x y z =n 为平面SCD 的法向量，则00CD SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即1111100x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，令11y =，所以111,2x z ==，即(1,1,2)=n 为平面SCD 的一个法向量.设222(,,)x y z =m 为平面SBD 的法向量，则00SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,即2222020x z y z -=⎧⎨-=⎩，令21z =，所以2211,2xy ==，即1(1,,1)2=m 为平面SBD 的一个法向量. 所以||76|cos ,|||||⋅<>==m n m n m n ．又二面角B SD C --的平面角为锐角，所以二面角B SD C --的余弦值为76.。

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第76课时：第九章直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算
课题：空间向量及其运算
一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质．二．主要知识：
1．,a b 向量共线的充要条件：； 2．三点共线：； 3．三向量共面：； 4．四点共面：； 5．两向量夹角的范围；三．课前预习：
1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM
等的向量是
（）
()A 1122a b c -++ ()B 1122
a b c ++ ()C 1122
a b c -
-+ ()D c b a +-21
21
2．有以下命题：
①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；
②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；
C1
③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）
()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③
3．下列命题正确的是（）
()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的
直线共面；
()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；
4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）
()A OM ++= ()B OM --=2 ()C OC OB OA OM 3121++= ()D OC OB OA OM 3
1
3131++=
四．例题分析：
例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：
BC PG ⊥
G
N
A
B
C
P
M
例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点，（1）用向量法证明H G F E ,,,四点共面；（2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；
（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有
1
()4
OM OA OB OC OD =+++
例3．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1
AA 长为b ，且 1111120AA B AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；
（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。

1B
D
C
A
B
1A
1C
1D O
M
G
F
A
B
C
D
E H
五．课后作业：
1．对于空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，点P 满足OP xOA yOB zOC =++是点
,,,P A B C 共面的（）
()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件
2．棱长为a 的正四面体中，AB BC AC BD ⋅+⋅= 。

3．向量,,a b c 两两夹角都是60，||1,||2,||3a b c ===，则||a b c ++= 。

4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是上底面11AC 和侧面1CD 的中心，求下列各式中的,x y 的值：
（1）11()AC x AB BC CC =++，则x = ；
（2）1AE AA xAB y AD =++，则x = ；y = ；（3）1AF AD xAB y AA =++，则x = ；y = ； 5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：
（1）111AB C B CD -+= ；（2）1AB AD AA ++= 。

6．设1111ABCD A B C D -是平行六面体，M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对
角线1BC 上的点，且13BN NC =，设1MN a AB bAD cAA =++，试求,,a b c 的值。

7．空间四边形OABC 中，8,6,4,5,45,60OA AB AC BC OAC OAB ====∠=∠=，求OA 与BC
夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别为平行六面体棱的中点，
求证：（1）0LE FG HK ++= （2）,,,,,E F G H K L 六点共面.
1。