8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法

第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法
一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.
配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.
待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.
换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.
二、例题解析
例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).
(A )32
(B )14
(C )5
(D )6
分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得：
2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式
222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是
配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C .
例2．设F 1和F 2为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠
F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).
(A )1
(B )
2
5 (C )2 (D )5
分析及解：欲求||||2
1
2121PF PF S F PF ⋅=
∆ (1),而由已知能得到什么呢？
由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF
(2),
又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即
16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,
故
242
1
)16|||(|21||||222121=⨯=-+=
⋅PF PF PF PF ∴
1||||2
1
2121=⋅=
∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.
例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为2
5
,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.
分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-b
x a y ,∵25
=e ,∴a =2b ,因此所求双
曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.
设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=
22
2)5(4
4-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有4
5)4(45||22
2
a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).
二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4
分类讨论.
(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,
∴令44
52=-a ,得a 2
=4 ∴所求双曲线方程为14
22
=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,
∴令44
5)4(4522
=-
+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为
149
4492
2=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得
到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.
例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x f f ,试求f (x )的表达式.
分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.
设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1
)(1b x a
x f -=-,
∴124)(1
1])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab a
x a b b x a a x f f .
比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+>=)
2(12)(1)
1()0(41
2
2b ab a a a
且
解此方程组,得 21=
a ,
b =2,∴所求f (x )=22
1
+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的
坐标.
分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y ) (1)
此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.
如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2) 这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .
因此,只需设
t =x +y ,则
xy =
2
92-t ,代入(2)式得
S =16-4t +2
7
)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数, ∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为
2
7
. 此时⎪⎩
⎪
⎨⎧==+,27
,
4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若21
2221)()(
x x
x x +≥3,求k 的取值范围.
解：∵2]2)([
2)()()(22
12
2121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,
∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0
45|2|22
k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞].
例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值.
解：∵点P (x ,y )在椭圆1422
=+y x 上移动, ∴可设⎩
⎨
⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++=
=θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++ =]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ
令t =+θθsin cos , ∵)4
sin(2cos sin π
θθθ+=+,∴|t |≤2. 于是u =23
)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2).
当t =2,即1)4
sin(=+π
θ时,u 有最大值.
∴θ=2k π+
4
π
(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆12
6)3(2
2=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直
径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.
解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)
直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方
程整理得 036)31(22=+-+x x k (*) 由韦达定理,221316k x x +=
+(1),2
2
1313
k x x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即
11
12211-=-⋅-x y
x y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k
,
将(1)式,(2)式代入,解得 312=
k . 故直线l 的倾斜角为6
π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.
例9．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}
(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；
(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.
解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,
则Δ=0 或⎩
⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}.
(2)当a =1时,113-<x <3+11,
当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,
即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩
⎨
⎧≤->1040
)0(≤4. 综上讨论,x 的取值范围是(113-,4).。