结构动力学3-2
冲击载荷作用下结构的动力响应分析
20040501
武汉理工大学硕士学位论文
摘要
在爆炸、撞击等强渤载蘅豹作用下结掏将表现出与准静态情形缀不稽同 的力学行为。由于外加的裁荷随时间变化褥很快，结构的变形也变化得很快， 惯性力的作用将不可忽略。本文对结构受冲击载荷作用下的动力响应做了一 螺磷究，归纳起来主黉蠢以下三个方匿。
１。任意净蠢载瑟佟翔下，篱支粱瑟露蔽交形豹动力确敝褥往。采瘸爨 黧性假定，忽略应变强化效应和应变率的散应并考虑由于有隧变形而导致的 轴力的影响，研究任意时间历程冲击载葡作用下简支粱的塑性动力响应问 题。采用矩形形状的屈服条件，并将粱的邀动依照塑性铰的不间分为四个不 麓黥玲致，其中纂一耧雾瑟玲葭为蕈铰逡动搂式，第二器第三验毅为嚣铰运 动模式。最后给出了饺意时刻梁的运动状态和变形状态的解析表达式。
ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｓｔｕｄｉｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ．
３．Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｅ—ｓｔｒｅｓｓ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｕ－ｓｈａｐｅｄ
ｂｅａｍ ｉｍｐａｃｔｅｄ ｂｙ ｖｅｈｉｃｌｅ．Ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔ ｏｆ Ｄｅｎｇｚｈｏｕ ｂｒｉｄｇｅ ｕｓｉｎｇ ｐｒｅ－ｓｔｒｅｓｓ
结构动力学
§1.3 体系振动的自由度
象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个 合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计 算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系 振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质 量在运动中的位置具有重要的意义。 振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需 的独立几何参变数的数目，称为该体系的振动自由度。 例1.1 如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当 梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不 计。其计算简图如图(b)所示。
Fp
如：具有偏心质量的回旋机器它所传递 给结构上的横向力就是时间 t 的函数。
t
这类荷载称为动力荷载
图(a)
显然，结构在动力荷载作用下的计 算与静力荷载作用下的计算将有很大的 的区别，而且要复杂的多。
Fpsin t
图(b)
这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯 性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内 力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯原理，可 以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结 构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处 于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原 理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。 在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而 变化的，但有一些荷载使结构产生很小的振动，以至 于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算， 可将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结 构产生较大的振动的荷载才作为动力荷载来考虑。
dmy Fp t dt
1 2
t m y 1 3
当质量m不随时间变化时，有 Fp
0 即：Fp t m y
因此，如果把惯性力(-mÿ)加到原来受力的质量上，则动 力学问题就可以按静力平衡来处理，这种列运动方程的 方法常称为动静法。这种方法较为方便，因此得到广泛 应用。 （2）拉格朗日(Lagrange)方程 应用虚位移原理，作用在任意质量mi上的所有力 （包括惯性力），对任意的虚位移所作的虚功总和应 等于零，得
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学
第一(dìyī)章概述(ɡài shù)1．动力(dònglì)荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载(hèzài)分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全(wánquán)已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。
试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。
又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。
属于工程反问题的一种。
在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。
又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。
如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。
求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。
即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。
它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。
一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。
系统的状态按照阻尼比ζ来划分。
把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学3-2
u (t ) = u0 sin(ωt − φ )
3.4.2、粘性阻尼体系的能量耗散 u (t ) = u0 sin(ωt − φ ) （1）阻尼引起的能量耗散ED
E D = ∫ f D du = ∫ = c∫
2π / ω 0 2 = πcωu0 2π / ω 0
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
位移放大系数Rd
5
4
记：ωa和ωb分别等于半功
2
率点对应的两个频率。 则阻尼比ζ 可由如下公式计算：
2ζ＝半带宽
1
0 0.0
0.5
1.0
1.5
2. 等效粘性阻尼比
抗力 抗力
ED
E S0 u0
变形
ED
E S0 u0
变形
(a)
(b)
在一个循环内实际阻尼力作的功：E D 在一个循环内等效阻尼力作的功：E D
粘
2. 等效粘性阻尼比
ED
粘
= ED
E
粘 D
ω 2 = 2πζ eq ku0 ωn
ζ eq
ED = 2 2π ku 0
ζ eq
ED = 2 2π (ω / ω n ) ku 0
ω 共振： = 1 ωn
1 2 令：ES 0 = ku0 2
ζ eq
ED = 4π (ω / ωn ) E s 0
ζ eq
ED = 4π E S 0
3.4.4 滞变阻尼（复阻尼）理论
ω = π p0 u0 sin φ = 2πζ ( ) ku0 2 ωn
结构动力学3-2
0
0
频率比 ω /ωn
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 ， ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2
。
1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
， Rd ( 3) 当 / n 1 （ 共 振 时 ） ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应（=n）
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件：
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解：u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 ： u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02
结构动力学(3)-第二章(基本构件的振动分析)
0
t
A
w 0 |t0 t
0
L
w |t0 dt 0
求解方法： 非齐次方程的解=齐次方程的解+特解 （动响应） （固有振动）
弦的横向振动的求解
2w 2w 固有振动： Tx 2 2 A 0 （典型的波动方程） x t
１）分离变量法
w( x, t ) X ( x)T (t )
（向后行进）
（向前行进）
固有振型的加权正交性
X n (x)
n
nX Βιβλιοθήκη (x)jj应满足的方程为
X 2 X 0
L
0
X j [ X n n X n ]dx 0
2
L
0
X n [ X j j X j ]dx 0
2
L L L
分部积分
L
0
X j X ndx X j X n | X j X n dx X j X n dx
n c n 固有频率为： n L L
EA A
nx U (n 1,2 , ) 固有振型： n ( x) sin L
例2：左端固定，右端自由并集中作用力，突然撤去 c2 0
c1
c
cos
L
c
0
L
c
n 2
(n 1,3,, )
固有频率为： n
H (T U We )dt
0 t t 0
L
0
( A
t ~ w w w w L Tx fw)dxdt Qw |0 dt 0 t t x x
t
结构动力学大作业
《高等结构动力学》课程大作业姓名：学号：电话：二〇二〇年十二月目录三层建筑物动力学建模与分析......................................................................................................... 一．研究对象..................................................................................................................................... 二．研究方案.....................................................................................................................................2.1、研究目的............................................................................................................................2.2、研究方案............................................................................................................................ 三．结构动力学建模.........................................................................................................................3.1.模型简化...............................................................................................................................3.2、结构动力学建模................................................................................................................建模方法一：层模型.........................................................................................................建模方法二：杆系模型..................................................................................................... 四．动力学特性分析.........................................................................................................................4.1.固有频率与固有模态...........................................................................................................4.2.阻尼矩阵...............................................................................................................................五.动力学响应分析...........................................................................................................................5.1.结构在EL Centro地震波下的反应 .....................................................................................5.1.1.基于Runge-Kutta方法的动力学响应（方法1）...................................................5.1.2.基于中心差分法方法的动力学响应（方法2）.....................................................5.2.结构在风载荷下的反应.......................................................................................................三层建筑物动力学建模与分析一．研究对象在农村很多自建房都为三层结构，大多为自主设计，在地震中许多自建房由于地基不稳、结构和材料等原因损坏，现将三层混泥土结构房屋作为研究对象，进行动力学建模，分析建筑物在地震、风载荷激励下的响应。
结构动力学3-2
(4.35)
ωb = 1+ ζ ωn
,
ωa = 1− ζ ωn
(d)
由式(d)得到半功率点频率 ωb 和 ωa 与阻尼比 ζ 的关系，
ωb − ωa = 2ζ ωn
由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得关系
(e)
ωb + ω a = 2 ，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 ω
三种阻尼比的测量方法
&& & (mu )udt
m[−ω u0 sin(ωt − φ )][ωu0 cos(ωt − φ )]dt = 0
可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功 均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。
3.4.3 等效粘性阻尼
(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析 计算的优点。 (2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更 为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。 (3) 一般采用基于能量等效的原则。 (4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第3章 单自由度体系
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
制，或说衰减规律可以明显反应出 阻尼比ζ的影响。而动力放大系数同 样受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ 的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦。
动力放大系数 Rd=u0/ust
可以用自由振动方法求阻尼比ζ 的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控
6
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
(完整版)结构动力学基础
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k
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3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
右图给出阻尼比 =0.2 时，相应于不同频率 比 /n 时 的 外 力 和 位 移曲线及滞后相角 。 相角实际是反映结构 体系位移 ( 反应 ) 相应 于动力荷载的反应滞 后时间。从图中可以 发现，频率比越大， 即外荷载作用得越快， 动力反应的滞后时间 越长。
在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应 （位移 ） 一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。 这个滞后的时间即由相角反映，如果滞后时间为t0， 则 =t0 （t0= /）。
三种特殊情况时体系振动位移与简谐荷载的相位关系
由计算 的公式可知，滞后的相角与频率比/n和阻尼大 小均有关系。
有阻尼体系共振反应时程
20/73 23/73
3.3.4 动力放大系数Rd
振动的稳态解： u0 —稳态振动的振幅
(dynamic magnification factor)
3.3.4 动力放大系数Rd
—相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
横坐标
21/73
24/73
4
3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
瞬态反应
13/73
稳态反应
16/73
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
特解up 可以设为如下形式 :
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
有初始条件影响的简谐荷载反应时程
14/73 17/73
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
虽然一般情况下，感兴趣的是分析稳态反应项，但也 应当注意，在特殊情况下，在反应的初始阶段瞬态反 应项可能远远大于稳态反应项，从而成为结构最大反 应的控制量，对于这种情况，在结构的动力反应分析 或结构设计时瞬态反应项的影响不能忽略。 如果采用的分析方法能自动包括全解，例如采用后面 将介绍的时域逐步积分法进行分析，则不会出现忽略 瞬态反应项的问题，因为这时所获得的解中既包含了 稳态项也包括了瞬态项。 瞬态反应项以结构的自振频率振动，可以反映结构的 动力特性；
相角
频率比n
5
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法 根据动力放大系数Rd :
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
当发生共振(/n＝1)时:
记：ωa和ωb分别等于半功
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3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
(1)峰值的大小，(2)曲线的胖瘦。 利 用体 系对简谐 荷载 反 应的结果也可以得到 体系的阻尼比。 有两种主要方法： 共振放大法 和 半功率带宽法 其 原理 均是基于 对动 力 放大系数Rd的分析。
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(3)半功率带宽法
采用强迫振动试验 ，不但能用于单自由度也可用于多自 由度体系，对多自由度体系要求共振 频率稀疏 ，即多个 自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率 的半功率点时不受相邻频率的影响。 37/73
作业题： 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
38/73
7
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
三种阻尼比的测量方法
前面学习了三种测量结构阻尼的方法： (1)对数衰减率法
用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工 程中测得的动力放大系数曲线一般以u0－ 图给出，用 以上公式计算阻尼比时，还需得到零频时的静位移值 ust，实际测量静载位移无论从加载设备和记录(拾振)设 备都有一定的困难，即实现动力加荷和测量动力信号 的设备不能在零频率时工作。因此工程中往往采用半 功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比 。
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3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
可以用自由振动方法求阻 尼比 的原因是由于自振 衰减的快慢由 控制，或 说衰减规律可以明显反应 出阻尼比的影响。 而动力放大系数同样受 控制，Rd曲线形状可以反 映出 的影响，其影响主 要有两点：
(1)峰值的大小， (2)曲线的胖瘦。
率点对应的两个频率。 则阻尼比 可由如下公式计算：
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3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
半功率带宽法 (半功率点法)
证明：
(3.60)
由于从动力放大曲线定u0(n)不容易，一般用u0m代替，
u0m=max(u0)
则:
(3.61)
32/73 (3.60) (3.61) 35/73
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
单自由度体系对简谐荷载的反应
无阻尼体系的简谐荷载反应 有阻尼体系的简谐荷载反应 共振反应 动力放大系数Rd 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
运动方程： 其中： p0 —简谐荷载的幅值 ω —简谐荷载的圆频率 初始条件 ：
用简谐振动试验确定体系的粘性阻尼比
共振放大法 半功率点法 (半功率带宽法)
运动方程： 初始条件： 利用c=2mn，并将运动方程两边同除m， 得到如下形式的运动方程：
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
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2
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
通解uc 对应于有阻尼自由振动反应：
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
运动方程的全解：u(t)=uc+up
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
满足初始条件的解 ： 瞬态反应
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
无阻尼体系共振时动力反应时程 共振时(=n)：
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
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11/73
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
稳态反应 ： u0—稳态反应的振幅：
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
33/73
(2)共振放大法 (3)半功率带宽法 虽然是针对单自由度体系推导的，但对多自由度 体系同样适用。
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(1)对数衰减率法
采用自由振动试验 ，测一阶振型的阻尼比较容易。高阶 振型的阻尼比的关键是能激发出按相应振型进行的自由 振动。
(2)共振放大法
采用强迫振动试验 ，由于静(零频)荷载下的位移较难确 定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的 处理还是可用的，例如，利用接近零频的非零频位移通 过插值外推得到零频时的位移值。
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是 结构动力学中的一个经典内容。 实际工程中存在这种形式的荷载。 简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解 结构动力特性的手段和方法。 简谐荷载作用下的解可用于分析更复杂荷载作 用下体系的动力反应。
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应 特解—满足运动方程的解，记为up(t)， 是由动荷载p0sint直接引起的振动解。
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第3章 单自由度体系
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程
3.3 单自由度体系对 简谐荷载的反应
全解=齐次方程的通解+特解 通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
c - complementary
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3.3 单自由度体系对简谐荷载的反应
设特解为：
p—particular
其中，/n—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频 6/73 率反应 全解=通解+特解
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
无阻尼体系动力放大系数
① =0 ， Rd =1 待定系数A、B由初值(始)条件确定 ： ② =n，Rd → ∞ 发生共振 ③ /n≥√2， Rd≤1
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稳态反应项以外荷载的激振频率振动，可以反映输入 荷载的性质。
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3
3.3.3 共振反应（=n）
3.3.4 动力放大系数Rd
动力放大系数定义为：
满足零初始条件：
运动解： 当=0时 ：
与无阻尼时的结果完全相同
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3.3.3 共振反应（=n）
3.3.4 动力放大系数Rd