结构动力学3-2
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(2)共振放大法 (3)半功率带宽法 虽然是针对单自由度体系推导的，但对多自由度 体系同样适用。
36/73
6
(1)对数衰减率法
采用自由振动试验 ，测一阶振型的阻尼比较容易。高阶 振型的阻尼比的关键是能激发出按相应振型进行的自由 振动。
(2)共振放大法
采用强迫振动试验 ，由于静(零频)荷载下的位移较难确 定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的 处理还是可用的，例如，利用接近零频的非零频位移通 过插值外推得到零频时的位移值。
有阻尼体系共振反应时程
20/73 23/73
3.3.4 动力放大系数Rd
振动的稳态解： u0 —稳态振动的振幅
(dynamic magnification factor)
3.3.4 动力放大系数Rd
—相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
横坐标
21/73
24/73
源自文库
4
3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
三种阻尼比的测量方法
前面学习了三种测量结构阻尼的方法： (1)对数衰减率法
用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工 程中测得的动力放大系数曲线一般以u0－ 图给出，用 以上公式计算阻尼比时，还需得到零频时的静位移值 ust，实际测量静载位移无论从加载设备和记录(拾振)设 备都有一定的困难，即实现动力加荷和测量动力信号 的设备不能在零频率时工作。因此工程中往往采用半 功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比 。
相角
频率比n
5
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法 根据动力放大系数Rd :
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
当发生共振(/n＝1)时:
记：ωa和ωb分别等于半功
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是 结构动力学中的一个经典内容。 实际工程中存在这种形式的荷载。 简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解 结构动力特性的手段和方法。 简谐荷载作用下的解可用于分析更复杂荷载作 用下体系的动力反应。
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应 特解—满足运动方程的解，记为up(t)， 是由动荷载p0sint直接引起的振动解。
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
单自由度体系对简谐荷载的反应
无阻尼体系的简谐荷载反应 有阻尼体系的简谐荷载反应 共振反应 动力放大系数Rd 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
运动方程： 其中： p0 —简谐荷载的幅值 ω —简谐荷载的圆频率 初始条件 ：
用简谐振动试验确定体系的粘性阻尼比
共振放大法 半功率点法 (半功率带宽法)
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
满足初始条件的解 ： 瞬态反应
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
无阻尼体系共振时动力反应时程 共振时(=n)：
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
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11/73
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
稳态反应 ： u0—稳态反应的振幅：
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
设特解为：
p—particular
其中，/n—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频 6/73 率之比 。
1
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应 全解=通解+特解
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
无阻尼体系动力放大系数
① =0 ， Rd =1 待定系数A、B由初值(始)条件确定 ： ② =n，Rd → ∞ 发生共振 ③ /n≥√2， Rd≤1
运动方程： 初始条件： 利用c=2mn，并将运动方程两边同除m， 得到如下形式的运动方程：
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
9/73
12/73
2
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
通解uc 对应于有阻尼自由振动反应：
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
运动方程的全解：u(t)=uc+up
26/73
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
可以用自由振动方法求阻 尼比 的原因是由于自振 衰减的快慢由 控制，或 说衰减规律可以明显反应 出阻尼比的影响。 而动力放大系数同样受 控制，Rd曲线形状可以反 映出 的影响，其影响主 要有两点：
(1)峰值的大小， (2)曲线的胖瘦。
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3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
右图给出阻尼比 =0.2 时，相应于不同频率 比 /n 时 的 外 力 和 位 移曲线及滞后相角 。 相角实际是反映结构 体系位移 ( 反应 ) 相应 于动力荷载的反应滞 后时间。从图中可以 发现，频率比越大， 即外荷载作用得越快， 动力反应的滞后时间 越长。
率点对应的两个频率。 则阻尼比 可由如下公式计算：
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34/73
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
半功率带宽法 (半功率点法)
证明：
(3.60)
由于从动力放大曲线定u0(n)不容易，一般用u0m代替，
u0m=max(u0)
则:
(3.61)
32/73 (3.60) (3.61) 35/73
(3)半功率带宽法
采用强迫振动试验 ，不但能用于单自由度也可用于多自 由度体系，对多自由度体系要求共振 频率稀疏 ，即多个 自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率 的半功率点时不受相邻频率的影响。 37/73
作业题： 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
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第3章 单自由度体系
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程
3.3 单自由度体系对 简谐荷载的反应
全解=齐次方程的通解+特解 通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
c - complementary
2/73 5/73
3.3 单自由度体系对简谐荷载的反应
在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应 （位移 ） 一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。 这个滞后的时间即由相角反映，如果滞后时间为t0， 则 =t0 （t0= /）。
三种特殊情况时体系振动位移与简谐荷载的相位关系
由计算 的公式可知，滞后的相角与频率比/n和阻尼大 小均有关系。
瞬态反应
13/73
稳态反应
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3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
特解up 可以设为如下形式 :
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
有初始条件影响的简谐荷载反应时程
14/73 17/73
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
虽然一般情况下，感兴趣的是分析稳态反应项，但也 应当注意，在特殊情况下，在反应的初始阶段瞬态反 应项可能远远大于稳态反应项，从而成为结构最大反 应的控制量，对于这种情况，在结构的动力反应分析 或结构设计时瞬态反应项的影响不能忽略。 如果采用的分析方法能自动包括全解，例如采用后面 将介绍的时域逐步积分法进行分析，则不会出现忽略 瞬态反应项的问题，因为这时所获得的解中既包含了 稳态项也包括了瞬态项。 瞬态反应项以结构的自振频率振动，可以反映结构的 动力特性；
15/73
稳态反应项以外荷载的激振频率振动，可以反映输入 荷载的性质。
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3
3.3.3 共振反应（=n）
3.3.4 动力放大系数Rd
动力放大系数定义为：
满足零初始条件：
运动解： 当=0时 ：
与无阻尼时的结果完全相同
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3.3.3 共振反应（=n）
3.3.4 动力放大系数Rd
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3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
(1)峰值的大小，(2)曲线的胖瘦。 利 用体 系对简谐 荷载 反 应的结果也可以得到 体系的阻尼比。 有两种主要方法： 共振放大法 和 半功率带宽法 其 原理 均是基于 对动 力 放大系数Rd的分析。
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(2)共振放大法 (3)半功率带宽法 虽然是针对单自由度体系推导的，但对多自由度 体系同样适用。
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(1)对数衰减率法
采用自由振动试验 ，测一阶振型的阻尼比较容易。高阶 振型的阻尼比的关键是能激发出按相应振型进行的自由 振动。
(2)共振放大法
采用强迫振动试验 ，由于静(零频)荷载下的位移较难确 定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的 处理还是可用的，例如，利用接近零频的非零频位移通 过插值外推得到零频时的位移值。
有阻尼体系共振反应时程
20/73 23/73
3.3.4 动力放大系数Rd
振动的稳态解： u0 —稳态振动的振幅
(dynamic magnification factor)
3.3.4 动力放大系数Rd
—相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
横坐标
21/73
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源自文库
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3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
三种阻尼比的测量方法
前面学习了三种测量结构阻尼的方法： (1)对数衰减率法
用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工 程中测得的动力放大系数曲线一般以u0－ 图给出，用 以上公式计算阻尼比时，还需得到零频时的静位移值 ust，实际测量静载位移无论从加载设备和记录(拾振)设 备都有一定的困难，即实现动力加荷和测量动力信号 的设备不能在零频率时工作。因此工程中往往采用半 功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比 。
相角
频率比n
5
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法 根据动力放大系数Rd :
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
当发生共振(/n＝1)时:
记：ωa和ωb分别等于半功
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是 结构动力学中的一个经典内容。 实际工程中存在这种形式的荷载。 简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解 结构动力特性的手段和方法。 简谐荷载作用下的解可用于分析更复杂荷载作 用下体系的动力反应。
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应 特解—满足运动方程的解，记为up(t)， 是由动荷载p0sint直接引起的振动解。
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
单自由度体系对简谐荷载的反应
无阻尼体系的简谐荷载反应 有阻尼体系的简谐荷载反应 共振反应 动力放大系数Rd 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
运动方程： 其中： p0 —简谐荷载的幅值 ω —简谐荷载的圆频率 初始条件 ：
用简谐振动试验确定体系的粘性阻尼比
共振放大法 半功率点法 (半功率带宽法)
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
满足初始条件的解 ： 瞬态反应
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
无阻尼体系共振时动力反应时程 共振时(=n)：
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
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3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
稳态反应 ： u0—稳态反应的振幅：
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
设特解为：
p—particular
其中，/n—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频 6/73 率之比 。
1
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应 全解=通解+特解
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
无阻尼体系动力放大系数
① =0 ， Rd =1 待定系数A、B由初值(始)条件确定 ： ② =n，Rd → ∞ 发生共振 ③ /n≥√2， Rd≤1
运动方程： 初始条件： 利用c=2mn，并将运动方程两边同除m， 得到如下形式的运动方程：
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
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3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
通解uc 对应于有阻尼自由振动反应：
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
运动方程的全解：u(t)=uc+up
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3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
可以用自由振动方法求阻 尼比 的原因是由于自振 衰减的快慢由 控制，或 说衰减规律可以明显反应 出阻尼比的影响。 而动力放大系数同样受 控制，Rd曲线形状可以反 映出 的影响，其影响主 要有两点：
(1)峰值的大小， (2)曲线的胖瘦。
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3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
右图给出阻尼比 =0.2 时，相应于不同频率 比 /n 时 的 外 力 和 位 移曲线及滞后相角 。 相角实际是反映结构 体系位移 ( 反应 ) 相应 于动力荷载的反应滞 后时间。从图中可以 发现，频率比越大， 即外荷载作用得越快， 动力反应的滞后时间 越长。
率点对应的两个频率。 则阻尼比 可由如下公式计算：
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3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
半功率带宽法 (半功率点法)
证明：
(3.60)
由于从动力放大曲线定u0(n)不容易，一般用u0m代替，
u0m=max(u0)
则:
(3.61)
32/73 (3.60) (3.61) 35/73
(3)半功率带宽法
采用强迫振动试验 ，不但能用于单自由度也可用于多自 由度体系，对多自由度体系要求共振 频率稀疏 ，即多个 自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率 的半功率点时不受相邻频率的影响。 37/73
作业题： 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
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第3章 单自由度体系
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程
3.3 单自由度体系对 简谐荷载的反应
全解=齐次方程的通解+特解 通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
c - complementary
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3.3 单自由度体系对简谐荷载的反应
在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应 （位移 ） 一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。 这个滞后的时间即由相角反映，如果滞后时间为t0， 则 =t0 （t0= /）。
三种特殊情况时体系振动位移与简谐荷载的相位关系
由计算 的公式可知，滞后的相角与频率比/n和阻尼大 小均有关系。
瞬态反应
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稳态反应
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3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
特解up 可以设为如下形式 :
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
有初始条件影响的简谐荷载反应时程
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3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应
虽然一般情况下，感兴趣的是分析稳态反应项，但也 应当注意，在特殊情况下，在反应的初始阶段瞬态反 应项可能远远大于稳态反应项，从而成为结构最大反 应的控制量，对于这种情况，在结构的动力反应分析 或结构设计时瞬态反应项的影响不能忽略。 如果采用的分析方法能自动包括全解，例如采用后面 将介绍的时域逐步积分法进行分析，则不会出现忽略 瞬态反应项的问题，因为这时所获得的解中既包含了 稳态项也包括了瞬态项。 瞬态反应项以结构的自振频率振动，可以反映结构的 动力特性；
15/73
稳态反应项以外荷载的激振频率振动，可以反映输入 荷载的性质。
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3.3.3 共振反应（=n）
3.3.4 动力放大系数Rd
动力放大系数定义为：
满足零初始条件：
运动解： 当=0时 ：
与无阻尼时的结果完全相同
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3.3.3 共振反应（=n）
3.3.4 动力放大系数Rd
29/73
3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
(1)峰值的大小，(2)曲线的胖瘦。 利 用体 系对简谐 荷载 反 应的结果也可以得到 体系的阻尼比。 有两种主要方法： 共振放大法 和 半功率带宽法 其 原理 均是基于 对动 力 放大系数Rd的分析。
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