人教版数学高二不等式知识点大整合
高中不等式全套知识点总结
高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。
一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。
2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。
3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。
二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。
2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。
3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。
三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。
2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。
2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。
2024年人教版高二数学复习知识点总结
2024年人教版高二数学复习知识点总结第一章函数与方程1.1 函数与映射函数的定义、函数的性质、函数的四则运算、复合函数、反函数映射的定义、映射的性质、一一映射、单射、满射1.2 一元二次函数及其应用一元二次函数的定义、一元二次函数的图像、一元二次函数的性质、一元二次函数的解析式、一元二次函数的图像与解析式的关系、一元二次函数的最值、一元二次函数的应用1.3 不等式不等式的定义、解不等式、不等式的性质、不等式的运算、一元一次不等式、一元二次不等式1.4 线性规划线性规划的定义、线性规划中的常见问题、线性规划的解法、线性规划的应用第二章三角函数与解三角形2.1 三角函数三角函数的定义、三角函数的性质、三角函数的图像、三角函数的周期、三角函数的关系式2.2 平面向量平面向量的定义、平面向量的运算、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的夹角、平面向量的投影、平面向量的正交2.3 解三角形解直角三角形、解一般三角形、解等腰三角形、解等边三角形、解特殊三角形、解复合三角形第三章数列与数项级数3.1 数列的概念数列的定义、数列的性质、数列的通项、数列的分类、数列的极限3.2 数列的通项公式等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的关系、通项公式的推导方法、通项公式的应用3.3 数列的求和部分和、数列的前n项和、无穷数列的求和、等差数列的求和、等比数列的求和、部分和公式的应用3.4 级数级数的定义、级数的性质、无穷级数的收敛性、级数的求和、级数的应用第四章导数与导数应用4.1 导数的基本概念导数的定义、导数的性质、导数的基本运算、导数与函数的图像关系4.2 导数的应用函数的单调性、函数的极值、函数的曲线与切线、函数的凹凸性、函数的拐点、函数的极限与导数4.3 高阶导数和隐函数高阶导数的定义、高阶导数的求法、高阶导数的性质、隐函数的导数、隐函数的高阶导数第五章积分与积分应用5.1 不定积分不定积分的定义、不定积分的性质、不定积分的基本公式、不定积分的线性运算5.2 定积分定积分的定义、定积分的性质、定积分的线性运算、定积分的几何意义、定积分的求法5.3 微分方程微分方程的定义、微分方程的解、一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、微分方程的应用5.4 积分应用反常积分、曲线长度、曲线面积、体积、几何应用、物理应用以上是____年人教版高二数学的复习知识点总结，共计____字。
高二数学不等式知识点
高二数学不等式知识点一、不等式的定义和性质不等式是用不等号连接的数学表达式，包括等于和不等于两种情况。
不等式的解是使得不等式成立的数的集合。
1. 不等式的基本性质- 对于任意实数a，b和c，有以下性质：- 自反性：a ≥ a，a ≤ a；- 对称性：如果a ≥ b，则b ≤ a，如果a > b，则b < a；- 传递性：如果a ≥ b，b ≥ c，则a ≥ c；- 加法性：如果a ≥ b，c ≥ d，则a + c ≥ b + d；- 乘法性：如果a ≥ b，c ≥ 0，则ac ≥ bc；如果c ≤ 0，则ac ≤ bc。
2. 不等式的解集表示法- 图形表示法：将不等式的解集表示在数轴上的一段区间；- 区间表示法：使用不等式的解表示出来的数的区间，如[a, b]表示包括a和b的闭区间；- 集合表示法：使用集合进行表示，如{x | x > 0}表示x大于0的数。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知量的线性不等式。
1. 不等式的解集表示- 当不等式是大于等于或小于等于形式时，解集可用区间表示；- 当不等式是大于或小于形式时，解集可用集合或图形表示。
2. 解一元一次不等式的基本步骤a) 将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；b) 判断不等式的方向，根据不等式的符号确定区间；c) 画出解集的图形表示或用集合表示出来。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知量的二次式与0之间的关系。
1. 不等式的解集表示- 当不等式是大于等于或小于等于形式时，解集可用区间表示；- 当不等式是大于或小于形式时，解集可用集合或图形表示。
2. 解一元二次不等式的基本步骤a) 将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；b) 判断不等式的方向，根据二次项系数的正负情况确定区间；c) 画出解集的图形表示或用集合表示出来。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
高二 不等式 知识点总结
高二不等式知识点总结在学习数学的过程中，不等式是一个重要的概念和知识点。
不等式是数学中比较两个表达式大小关系的一种工具。
高二阶段，不等式的学习进一步深入，包括绝对值不等式、一元二次不等式、二元一次不等式等等。
下面将对这些不等式的知识点进行总结。
一、绝对值不等式绝对值不等式是求解绝对值中包含不等号的方程或不等式。
通过对绝对值进行分情况讨论，可以得到不等式的解集。
例如，对于方程 |x - 3| > 2，我们可以将其分成两个情况讨论：当 x - 3 > 2 时，解得 x > 5；当 x - 3 < -2 时，解得 x < 1；综合两个情况，得到解集为 x < 1 或 x > 5。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式。
求解一元二次不等式需要使用二次函数的图像和根的性质。
首先，根据二次函数的凹凸性和平移变换的性质，我们可以将一元二次不等式转化为关于根的不等式。
然后，根据一元二次函数的图像特征和判别式的值，可以求解不等式的解集。
例如，对于不等式 x^2 - 2x - 3 > 0，我们可以将其转化为 (x -3)(x + 1) > 0，然后根据一次因式的正负性质，得到解集为 x < -1或 x > 3。
三、二元一次不等式二元一次不等式是指包含两个未知数的一次不等式。
求解二元一次不等式需要使用平面直角坐标系进行图像分析。
首先，我们可以将二元一次不等式转化为关于 x 或 y 的不等式。
然后，通过绘制二元一次不等式的图像和区域判定法，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x + 2y > 4，我们可以将其转化为 y > -0.5x + 2，并绘制出直线 y = -0.5x + 2。
然后，通过判定直线上或下的点来确定解集。
总结：高二阶段学习的不等式主要包括绝对值不等式、一元二次不等式和二元一次不等式。
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高中不等式知识点总结（最新最全）
高中不等式知识点总结（最新最全）不等式的定义a^2+b^2≥2ab，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。
1.不等式的解法（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2．一元一次不等式情况分别解之。
3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)6．指数不等式；；8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。
特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。
高中不等式知识点归纳总结
高中不等式知识点总结1. 不等式的定义和基本性质不等式是数学中用来表示大小关系的符号。
一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：•$ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；•$ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；•$ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；•$ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。
基本性质：•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。
2. 一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。
对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：•当a>0时，不等式的解集为x<−b/a或x>−b/a；•当a<0时，不等式的解集为x>−b/a或x<−b/a。
2.2 一元一次不等式的性质•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。
3.1 不等式的解集表示一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。
对于形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。
•当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；•当a<0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。
人教新课标版数学高二-数学必修5第三章《不等式》知识整合
数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．通过本章的学习达到以下基本目标：1．会用不等式(组)表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c ＞b d ；(6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即： 若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0,0＜c ＜d ，则a c ＞b d .(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞nb .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a>0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2(x1<x2){x|x<x1，或x>x2}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|x≠－b2a}∅Δ＜0无实根R∅特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C ＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx ＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．(3)解简单线性规划问题的基本步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d．求最优解：通过解方程组求出最优解；e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax ＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a ．当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ； b ．仅当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b ； 综合起来，其含意是：a ＋b 2＝ab ⇔a ＝b . (3)设a ，b ∈R ，不等式a 2＋b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2＋b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)基本不等式的几种变式：设a ＞0，b ＞0，则a ＋1a ≥2，b a ＋a b ≥2，a 2b ≥2a －b .(5)常用的几个不等式：① a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a ，b ，c ∈R ，则a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)；③真分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min ＞A ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max ＜B .设函数f (x )＝x ，g (x ) ＝x ＋a (a >0)，若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1⇔－1≤f (x )－ag (x )f (x )≤1，得0≤ag (x )f (x )≤2， 即ax ＋a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立，设g (t ) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0,22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值＜a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，⇒x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，得：Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8,0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6,8－3x ＞0， ∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)．求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值． 此时f (x )min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4m )2－4×2×(3m －1)≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f (x )的定义域为(－1,1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)． 由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)． 又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是(0,1)．题型8 求分式函数的最值求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析：y ＝(x 4＋2x 2＋1)＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2(x 2＋1)·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．。
高二不等式知识点总结
高二不等式知识点总结不等式是数学中一种重要的关系式，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。
在高二阶段学习数学时，不等式是必不可少的知识点之一。
本文将对高二阶段学习的不等式知识点进行总结和概述。
一、一元一次不等式1. 不等式的定义：不等式是含有不等号（<、>、≤、≥）的数学式子。
2. 不等式的解：解不等式可以通过移项和绘制数轴的方法。
解集通常用区间表示。
3. 不等式的性质：不等式在两边同时加上一个相等的数或者在两边同时乘以一个正数时，不等关系不变；在两边同时乘以一个负数时，不等关系会颠倒。
4. 一元一次不等式的解法：考虑到正负数以及系数的情况，可以分为以下几种情况进行讨论。
二、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是含有平方项的不等式。
2. 一元二次不等式的解法：可通过化为标准形式，配方法或绘制图像等方式进行求解，解集常用区间来表示。
3. 一元二次不等式的性质：与一元一次不等式类似，需要注意平方项对不等式性质的影响。
三、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义：绝对值不等式是含有绝对值的不等式。
2. 绝对值不等式的解法：可通过绝对值的定义以及正负号的讨论来解决。
四、分式不等式1. 分式不等式的定义：分式不等式是含有分式的不等式。
2. 分式不等式的通解：利用分式不等式的定义，可通过化简、拆分分式等方式求得通解。
五、不等式组1. 不等式组的定义：含有多个不等式的组合形式。
2. 不等式组的解法：可通过图示法、代入法、消元法等不同的方法求解。
六、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用：不等式常常被应用于解决实际问题，如优化问题、约束条件等。
2. 不等式在证明中的应用：不等式在数学证明中具有重要的作用，可通过不等式进行推导、化简等。
综上所述，高二阶段的不等式知识点主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、不等式组等内容。
掌握这些知识点对高中数学的学习以及今后的学习和工作都具有重要的意义。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、学问点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc;ab,c0acbc;⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(n∈N)⑧开方法则：ab0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)假如a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)假如a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：假如为实数，则重要结论1)假如积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)假如和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;遇到肯定值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，依据不等式的性质推导出欲证的不等式。
综合法的放缩常常用到均值不等式。
分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过查找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到查找到易证或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1)不等式的有关概念同解不等式：两个不等式假如解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，假如这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2)不等式axb的解法①当a0时不等式的解集是{x|xb/a};②当a0时不等式的解集是{x|x③当a=0时,b0,其解集是R;b0,其解集是ф。
(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(4)肯定值不等式|x|0)的解集是{x|-aoo-a 0 a|x|a(a0)的解集是{x|x-a或xa｝，几何表示为：oo-a0a小结：解肯定值不等式的关键是-去肯定值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含肯定值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用肯定值的意义，通过分类讨论的方法去掉肯定值符号;(2)公式法：|f(x)|af(x)a或f(x)-a;|f(x)|a-a(3)平方法：|f(x)|a(a0)f2(x)a2;|f(x)|a(a0)f2(x)a2;(4)几何意义。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
选修4--5知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
高二基本不等式知识点总结
高二基本不等式知识点总结基本不等式是数学中常见的一种重要的不等式类型，它在解决实际问题和推导数学定理时起着重要的作用。
在高二数学学习中，基本不等式是一个必须要掌握的知识点。
本文将对高二基本不等式的相关知识点进行总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b为常数。
解一元一次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
图像法：以一元一次不等式为方程y = ax + b，将其对应的直线画出来，然后根据题目所给条件确定直线上的点是否满足不等式，从而得出不等式的解集。
代数法：以ax + b > 0为例，若a > 0，则不等式解集为(-∞, -b/a)；若a < 0，则不等式解集为(-b/a, +∞)。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
图像法：以一元二次不等式为方程y = ax² + bx + c，将其对应的抛物线画出来，然后根据题目所给条件确定抛物线上的点是否满足不等式，从而得出不等式的解集。
代数法：以ax² + bx + c > 0为例，首先求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0，根据零点的位置判断解集的情况。
若根的情况为实根，且与抛物线的顶点关系为：当a > 0时，解集为(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)；当a < 0时，解集为(x₁, x₂)；若根的情况为实根，且与抛物线的顶点关系为：解集为全体实数。
三、二元一次不等式二元一次不等式是形如ax + by > c或ax + by < c的不等式，其中a、b和c为常数。
解二元一次不等式时，我们可以使用平面直角坐标系中的图像法或代数法。
人教版数学高二-备课资料不等式重点知识复习要点
不等式重点知识复习要点不等式是中学数学的主体内容，在中学数学中占有特殊的地位，它与中学数学几乎所有章节都有联系．不等式还是中学数学与实际问题联系的重要渠道之一，因此成为高考考查的重点内容．一、重点知识摘要1．不等式的性质是学习不等式的基础，不等式的证明及解不等式必须依赖不等式的性质，它又是高等数学的基本知识之一，通过证明不等式的性质，可以培养严谨、完整的逻辑推理能力．不等式的判断、证明及解不等式、不等式的应用是不等式问题体现的四个主要方面．若想在这四个方面取得成功，必须先学好不等式的五个定理和三个推论，因为这些性质是不等式的理论基础和依据，没有它，可以说解或证明不等式是寸步难行，故在学习中要予以高度重视．不等式的性质刻划了在一定条件下两个量的不等关系，复习时必须注意乘法、开方、乘方运算的条件都是正数为前提，减法和除法运算不能直接进行，必须转化为加法和乘法的情况下才能施行．另外值得注意的是，其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据．2．不等式证明有很多方法，在解题时应注意灵活运用．⑴比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，经常用的是作差法或作商法．一方面要灵活运用题中条件，还要结合不等式性质、配方或因式分解．如果比较的多，可恰当选取“分界量”，如先找出正数或负数，在正数中找比1大的或比1小的数等．一般地，证明幂指数不等式时常用“商值比较”法，证明对数不等式时常用“差值比较”法．当“商”或“差”式中含有参数时，通常都需要对参数的取值进行分析．应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性．⑵分析法是执果索因，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的充分条件，直至找到已知的不等式或易证的不等式为止，当所证的不等式比较复杂而又无从下手时，常采用分析法．这个方法证明的逻辑和证明方法的思路一致，方向明确，是综合法以外的一种重要证明方法．实际上，它也是寻求综合证法的一种分析思考方法，凡用分析法证明过的不等式，都可以写成综合法证明的形式．分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件．如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只使用于证明等价命题了．用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语．⑶综合法是由因导果，即从已知条件或已知的真命题出发，根据不等式性质一步步推出结论成立，综合法往往是分析法的逆过程，它表述简单，条理清楚，因此，在实际证题过程中．我们通常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法． 在利用综合法证明不等式时，最常用的不等式是：211a b +2a b +≤． ⑷用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．⑸放缩法是要证明不等式A＜B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．即要证明A＜B成立，可以构造出数学式C使A＜C，且C＜B，其中数学式C常常通过将A放大或将B缩小而构成．放缩法是一种证题技巧，它是利用“放大”或“缩小”的方法来证明不等式的一种重要数学方法，利用好这一技巧可以突破证明不等式的种种难关．对于不等式的证明，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定程序可寻，因而常有一定的难度，解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法．3．解不等式的过程，实质上是用同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则．解不等式的基本思路是由复杂向简单转化，即超越不等式转化为代数不等式，无理不等式转化为有理化不等式，分式不等式转化为整式不等式，高次不等式转化为低次不等式，最终都转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式．⑴在转化过程中，对不等式常常施行必要的变形，例如，不等式两边同乘以一个数或式子，不等式两边同时乘方、开方、取对数等变形，都可能破坏同解性，因此，要特别注意不等式的同解性，注意保持字母的允许值范围不发生变化．⑵解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．分类的标准要通过理解题意(例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件)、根据方法(例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值)、按照解题需要(例如进行不等式变形时必须具备的变形条件)等方面来决定，分类时要注意不重、不漏．较复杂的含参数不等式也可用数形结合的方法求解．⑶解绝对值不等式的基本思路是设法去掉绝对值符号，转化为一般类型代数不等式来解．化去绝对值符号的主要途径有：一是根据绝对值的意义；二是两边平方．而对于含有两个或两个以上绝对值符号、并且其形式是和或差的不等式，可先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式，求解过程中不要丢掉区间端点的讨论，以免漏解．⑷要重视数学思想方法在解不等式中的应用．如解一元二次不等式要用二次函数的图象；解含参数的不等式常要分类讨论；如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．因此，在学习不等式的解法的过程中，应注意领悟等价转化思想、函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想．⑸在解决不等式组的问题时，应注意各个不等式之间的关系，可简化复杂不等式的解法．对含有参变量的不等式必须进行讨论，讨论时要用逻辑划分的思想分类，然后对每一分类分别求解，再给出综合答案，在确定划分标准时，应是互斥、无漏和最简单的．4．以不等式为模型的应用题是最常见的题型之一，特别是利用不等式解答生产生活中的实际问题，又是近几年的一个增长点．有关统筹安排、最佳决策、最优化以及最值等实际问题，常常需要通过建立不等式模型求解．二、不等式考点领悟高考对不等式的考查侧重以下几个方面：1．不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识联系在一起．解答此类题目要求考生要有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．2．高考试卷中，单纯不等式的考题，一般是中档难度题，内容多涉及不等式的性质和解法，以及重要不等式的应用．解不等式的考题常以填空题和解答题的形式出现．在解答题中，含字母参数的不等式问题较多，需要对字母参数进行分类讨论，这类考题多出现在文科试卷上．3．证明不等式近年来逐渐淡化，但若考试卷中出现不等式证明，则往往不是单独的纯不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压轴题或倒数第二题．此类考题区分度高，综合性强，与同学们平时联系的差距较大，考生要有较强的逻辑思维能力和较高的数学素质才能取得较好的成绩．这类考题往往是理科试卷中经常出现的题型．4．应用问题是近年数学高考命题的热点，近些年高考试题带动了一大批“以实际问题为背景，以函数模型，以重要不等式为解题工具”的应用题问世．解此类考题在合理地建立不等关系后，判别式、重要不等式是常用的解题工具．5．含有绝对值的不等式经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，考生解此类问题大多感觉困难，这与平时练习量不足有关，对此应有所加强．6．解不等式的基本思想是转化，解题思路是利用不等式的性质及结合有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函数的最基本不等式，然后求解．在这里着重强调的是，解不等式是在不等式有意义的前提下求出满足不等式的未知数取值的集合，在解无理不等式、对数不等式时，要注意其定义域．三、特别提示1．在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练，以便快速、准确求解．在解或证明含有参数不等式的过程中，一般要对参数进行分类讨论，因此，还要加强分类讨论思想的训练，做到分类合理、不重不漏．由于不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化，所以，强化函数与方程思想在不等式中的应用训练十分必要．2．高考中，对不等式的考查不是单一的，所以此类考题往往综合性强，难度也较大，应用极其广泛，诸如求最值、比较大小、函数性质(定义域、值域、单调性、有界性、最值)的研究、方程解的讨论、曲线类型和两曲线位置关系的判定等等．因此，复习时应强化理解不等式的应用，注意多知识点的相互渗透．3．在复习不等式时，一要注意强化含参数不等式的解法与证明的训练，尤其是理科考生更应注意到这一点；二要加强以函数为载体的不等式练习，如果以函数为背景考题出现在试卷上，一定与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高；三要灵活处理以导数为载体的导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关注．。
高中不等式知识点大全总结
高中不等式知识点大全总结一、基本不等式性质1. 两个数的比较：（1）当 a > b 时，a-b>0；（2）当 a < b 时，a-b<0；（3）当 a = b 时，a-b=0。
2. 不等式的四则运算：不等式有“加减乘除”运算律，即不等式两边都同时加减(乘除)同一个数，不等式依然成立。
3. 绝对值不等式：对于任何实数 a 和正实数 b，有|a| > b 的不等式解集是 a > b 或 a < -b。
4. 不等式的取反：若不等式 a > b 成立，则其取反 a < b 也成立；若不等式 a > b 不成立，则其取反 a < b 亦成立。
5. 不等式的合并：若不等式 a > b 和 c > d 同时成立，则其合并为 a + c > b + d 成立。
6. 不等式的分拆：若不等式 a + b > c + d 成立，则其分拆为 a > c - b + d 或 b > d - a + c 成立。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+b > 0 或ax+b < 0。
1. 解不等式的方法一元一次不等式的解法包括两种：一是化简法，即通过使用运算律化简不等式，然后求出不等式的解集；二是图解法，即将不等式用图形表示出来，然后求出不等式的解集。
2. 一元一次不等式组一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的系统。
解一元一次不等式组的方法同样包括化简法和图解法。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式，通常具有形式 ax^2+bx+c > 0 或 ax^2+bx+c < 0。
1. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法通常使用折线法和区间法。
折线法是利用二次函数的拐点和零点来求解不等式的解集；区间法是将一元二次不等式用图像表示出来，然后找出其零点和开口方向，从而求出解集。
高二上不等式知识点总结
高二上不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，高中数学也涉及到了不等式的学习。
高二上学期我们学习了很多不等式的知识点，下面对这些知识点进行总结。
1. 不等式基本性质不等式与等式相似，具有传递性、对称性和加法性质。
传递性指若 a < b 且 b < c，则 a < c；对称性指若 a < b，则 b > a；加法性质指若 a < b，则 a + c < b + c。
2. 不等式的加减法运算若 a < b，则有 a + c < b + c， a - c < b - c（其中 c > 0）；若 a < b 且 c < d，则有 a + c < b + d， a - d < b - c。
3. 不等式的乘法运算若 a < b 且 c > 0，则有 ac < bc（c > 0）；若 a < b 且 c < 0，则有 ac > bc（c < 0）；若 a < b 且 c > d，则有 ac > bd（c > 0，d > 0）；若 a < b 且 c < d，则有 ac > bd（c < 0，d < 0）。
4. 不等式的倒置规则若 a < b，则有 1/b < 1/a（a > 0，b > 0）。
5. 不等式的平方运算若 a < b 且 a > 0，b > 0，则有 a^2 < b^2。
6. 不等式的解集表示不等式的解集表示可以用不等号加上括号表示，如 (a, b) 表示大于 a 小于 b 的一切实数构成的集合；[a, b] 表示大于等于 a 小于等于 b 的一切实数构成的集合。
7. 一元一次不等式一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0 的一元一次方程，解法与一元一次方程类似，将不等式转化为等式求解后再确定不等式的符号。
高二数学不等式的基本性质知识点总结
高二数学不等式的基本性质知识点总结1.高二数学不等式的定义a-b>0a>b，a-b=0a=b，a-b<0a①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
② 我们可以结合证明函数单调性的熟悉知识背景来理解差分比法的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.高二数学不等式的基本性质和知识点①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式的基本性质是：1a>bb2A>b，b>CA>C及物性3a>ba+c>b+cc∈r当4C>0时，a>BAC>BCc<0时，a>bac操作属性包括：1a>b,c>da+c>b+d。
2a>b>0，c>d>0ac>bd3a>b>0an>bnn∈n,n>1。
4a>b>0>n∈n、 n>1应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式性质的研究，主要有三类问题：1根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
2.利用不等式、实数和函数的性质来判断实值的大小。
3利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
(完整)高二数学不等式知识点,推荐文档
ab ≤ ab ≤1. 不等式的基本概念不等式的知识要点（1） 不等（等）号的定义： a - b > 0 ⇔ a > b ; a - b = 0 ⇔ a = b ; a - b < 0 ⇔ a < b . （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1） a > b ⇔ b < a （对称性）（2） a > b , b > c ⇒ a > c （传递性） （3） a > b ⇒ a + c > b + c （加法单调性）（4） a > b , c > d ⇒ a + c > b + d （同向不等式相加） （5） a > b , c < d ⇒ a - c > b - d （异向不等式相减（6） a . > b , c > 0 ⇒ ac > bc （7） a > b , c < 0 ⇒ ac < bc （乘法单调性）（8） a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd （同向不等式相乘）(9) a > b > 0, 0 < c < d ⇒ a > b（异向不等式相除）(10) c da >b , ab > 0 ⇒ 1 < 1 （倒数关系）a b（11） a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ Z ,且n > 1) （平方法则（12） a > b > 0 ⇒方法则）3. 几个重要不等式 （1）若a ∈ R ,则| a |≥ 0, a 2 ≥ 0 > n b (n ∈ Z ,且n > 1) （开（2） 若a 、b ∈ R + ,则a 2 + b 2 ≥ 2ab (或a 2 + b 2 ≥ 2 | ab |≥ 2ab ) （当仅当 a=b 时取等号） （3） 如果 a ,b 都是正数，那么≤a +b . （当仅当 a=b 时取等号）2极值定理：若x , y ∈ R + , x + y = S , xy = P , 则：○1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小； 时，P 的值最大.○2 如果 S 是定值, 那么当 x =y 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.( 4) 若、b 则c ∈ R + , a + b + c ≥ 3abc （当仅当 a=b=c 时取等号）3( 5) 若 则b > 0,b + a≥ 2 （当仅当 a=b 时取等号） a b(6)a > 0时，| x 或|> a ⇔ x 2 > a 2 ⇔ x < -a x a ; | x |< a ⇔ x 2 < a 2 ⇔ -a < x < a（7） 若a 、b ∈ R ,则|| a | - | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 4. 几个著名不等式 （1）平均不等式：如果 a ,b 都是正数，那么时取等号）21 + 1 a ba +b 2 （当仅当 a=b . （2） 柯西不等式： 若a 1 , a 2 , a 3 , , a n ∈ R , b 1 , b 2 , b 3 , b n ∈ R ;则 （a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 + + a n b n )2 ≤ (a 2 +1a 2 2+ a 23+ + a 2 )(b 2 + b 2 + b 2 + b 2 n)a 当且仅当 = a 2 = a3 = = a n 时取等号n123b 1 b 2 b 3 b n（3） 琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点x 1 , x 2 (x 1 ≠ x 2 ), 有n aa 2 +b 2 21≥ ⇔ ⎩⎨ ⎭ ⎪⎨ a ⎪ f (x ) < g (x )⎩ f (x ) < -g (x )或f (x ) > g (x )f (x 1 + x 2 ) ≤ f (x 1 ) + f (x 2)或 f (x 1 + x 2 ) ≥ f (x 1 ) + f (x 2 ) .2 22 2则称 f(x)为凸（或凹）函数.5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6. 不等式的解法 （1） 整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式 ax >b 解的讨论；②一元二次不等式 ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2） 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f (x )> 0 ⇔ f (x )g (x ) > 0;f (x ) 0 ⎧ f (x )g (x ) ≥ 0g (x )g (x ) ⎨⎩ g (x ) ≠ 0（3） 无理不等式：转化为有理不等式求解○1⎧ f (x ) ≥ 0⎫ ⇒ 定义域○2 ⎪ f (x ) ≥ 0⎧ f (x ) ≥ 0○3⎪ f (x ) ≥ 0⇔ ⎪ g (x ) ≥ 0⎬⎪ f (x ) > g (x ) f (x ) > g (x ) ⇔ ⎨g (x ) ≥ 0 ⎩ f (x ) > [g (x )]2或⎩g (x ) < 0 f (x ) < g (x ) ⇔ ⎨g (x ) ≥ 0⎩ f (x ) < [g (x )]2（4）.指数不等式：转化为代数不等式a f (x ) > a g (x ) (a > 1) ⇔ f (x ) > g (x );a f (x ) > a g (x ) (0 < a < 1) ⇔ f (x ) < g (x )a f (x ) >b (a > 0, b > 0) ⇔ f (x ) ⋅ l g a > lg b（5） 对数不等式：转化为代数不等式⎧ f (x ) > 0⎧ f (x ) > 0log a f (x ) > log a g (x )(a > 1) ⇔ ⎪g (x ) > 0 ; log f (x ) > g (x ) f (x ) > log a g (x )(0 < a < 1) ⇔⎨⎪g (x ) > 0⎩⎩（6） 含绝对值不等式○1 应用分类讨论思想去绝对值； ⎧g (x ) > 0⎩- g (x ) < f (x ) < g (x )○2 应用数形思想；○3 应用化归思想等价转化| f (x ) |> g (x ) ⇔ g (x ) ≤ 0( f (x ), g (x )不同时为0)或⎨g (x ) > 0g (x ) f (x ) | f (x ) |< g (x ) ⇔ ⎨“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 不等式一、不等式的基本性质为：① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2(_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当p ab =（常数），当且仅当 时， ；当S b a =+（常数），当且仅当 时， ；常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--=x x x y 的最小值 。
②已知510<<x ，则)51(2x x y -=的最大值 。
③x x y 2cos sin =，)2,0(π∈x 的最大值 。
④若正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值 。
推广：①若0,,>c b a ，则33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号） 基本变形：≥++c b a ；≥++3)3(c b a ； ②若0,,,21>n a a a ，则n n n a a a na a a 2121≥+++（当且n a a a === 21时取等号）三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤注意：⇔+<+||||||b a b a ；⇔+=+||||||b a b a ；⇔+<-||||||b a b a ；⇔+=-||||||b a b a ； ⇔+<-||||||b a b a ；⇔+=-||||||b a b a ； ⇔-<-||||||b a b a ；⇔-=-||||||b a b a ；四、常用的基本不等式：（1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号）（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号）（3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+；（4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222（5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++（6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤⋅ （7）b a ab b a 110,<⇒>>；⇔<ba 11 ； （8）+∈>R mb a ,0,，若1<a b ，则m a m b a b ++<；若1>a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法：（1）比较法：①作差比较：B A B A ≤⇔≤-0；②作商比较：B A B BA ≥⇔>≥)0(1 作差比较的步骤：（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
（2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。
基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(（2）将分子或分母放大（或缩小）（3）利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n （4）利用常用结论： Ⅰ、m a m b a b R m b a ++<∈>>+,,0； Ⅱ、k k k k k 21111<++=-+； Ⅲ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k（程度大） Ⅳ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） Ⅴ、)1(2121--=-+<k k k k k ；121++>k k k （6）判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有实数解或无解建立不等式关系。
如：证明23112122≤+++≤x x x ，可转化为求函数1122+++=x x x y 的值域。
（7）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
如：已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知12222=+by a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；已知12222=-by a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==； （8）构造法：通过构造函数、方程、数列、复数(向量)或不等式来证明不等式；六、不等式的解法：（1）如果两个不等式的解集相等，那么这两个等式就叫做同解不等式，解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式。
（2）不等式的同解原理主要有：1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。
2、不等式两边都乘上(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等式同解。
（3）一元一次不等式：Ⅰ、)0(≠>a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；Ⅱ、)0(≠<a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；（4）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零； 注：要对∆进行讨论：Ⅰ、)0(02>>++a c bx ax ：⑴ ；⑵ ；⑶ ； Ⅱ、)0(02><++a c bx ax ：⑴ ；⑵ ；⑶ ；（5）绝对值不等式：若0>a ，则⇔<a x || ；⇔>a x || ；⑴⇔<)(|)(|x g x f ；⑵⇔>)(|)(|x g x f ； ⑶⇔<|)(||)(|x g x f ；⑷含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
注意：Ⅰ、几何意义：||x ： ；||m x -： ；Ⅱ、解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若0>a 则=||a ；②若0=a 则=||a ；③若0<a 则=||a ；⑵通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
（6）高次不等式：化成标准型)0(0)())()(()(321<>----=n x x x x x x x x x P ，利用表解法和序轴表根法写出解集。
序轴表根法求解的步骤：⑴将每个因式的根标在数轴上；⑵从右上方依次通过每个点画出曲线，注意： ；⑶根据曲线显示的)(x P 值的符号变化写出不等式的解集。
注意：每个因式中x 前的系数都为正值。
（7）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴⇔>0)()(x g x f ；⑵⇔<0)()(x g x f ； ⑶⇔≥0)()(x g x f ；⑷⇔≤0)()(x g x f ； （8）无理不等式的解法：通解变形为有理不等式； ⑴⇔<)()(x g x f ；⑵⇔<)()(x g x f ； ⑶⇔>)()(x g x f ；注意：⑴保证根式有意义；⑵取根号的方法是平方、换元，通过两边平方去根号，不等式两边要为非负值。
（9）指数不等式：⑴⇔≠>>>)10,0()(a a b b ax f 且 ； ⑵⇔≠>>)10()()(a a a a x g x f 且 ；⑶)0(0)()(2<>+⋅+⋅C a B a A x f x f 利用换元法，令)(x f a t =将不等式化为一元二次不等式来解。
注意：对底数的讨论。
（10）对数不等式：⑴⇔>b x f a )(log ；⑵⇔>)(log )(log x g x f a a ；⑶)0(0)(log )]([log 2<>+⋅+⋅C x f B x f A a a 利用换元法，令)(log x f t a =将不等式化为一元二次不等式来解。
注意：⑴对底数的讨论；⑵真数大于零；⑶解指数、对数不等式的一般步骤：统一底数→同解变形→分类讨论（底数）；（11）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（12）解含有参数的不等式：一般是对含参数的不等式进行恰当的分类和讨论： ⑴对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。
⑵对含参数的一元二次不等式，还要分0>∆、0=∆、0<∆讨论。
⑶对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为21,x x （或更多）但含参数，要分21x x >、21x x =、21x x <讨论。
⑷对指数、对数不等式要注意对底数分1>a 、10<<a 进行讨论。
如：（1）)1(12)1(≠>--a x x a ；（2）022>---x a x a。