人教版数学高二不等式知识点大整合

第三章 不等式

一、不等式的基本性质为：

① ；② ；

③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若0,>b a ，则ab b a ≥+2

（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2

(b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2

(_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当p ab =（常数），当且仅当 时， ；

当S b a =+（常数），当且仅当 时， ；

常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--

=x x x y 的最小值 。 ②已知5

10<

∈x 的最大值 。

④若正数y x ,满足12=+y x ，则y

x 11+的最小值 。 推广：①若0,,>c b a ，则

33

abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号） 基本变形：≥++c b a ；≥++3)3(c b a ； ②若0,,,21>n a a a ，则n n n a a a n

a a a 2121≥+++（当且n a a a === 21时取

等号）

三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤

注意：⇔+<+||||||b a b a ；

⇔+=+||||||b a b a ；

⇔+<-||||||b a b a ；⇔+=-||||||b a b a ； ⇔+<-||||||b a b a ；⇔+=-||||||b a b a ； ⇔-<-||||||b a b a ；⇔-=-||||||b a b a ；

四、常用的基本不等式：

（1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号）

（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号）

（3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+；

（4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222

（5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++

（6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2

221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤⋅ （7）b a ab b a 110,<⇒

>>；⇔

a 11 ； （8）+∈>R m

b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：①作差比较：B A B A ≤⇔≤-0；②作商比较：

B A B B

A ≥⇔>≥)0(1 作差比较的步骤：

（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

（2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……

（4）反证法：正难则反。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(

（2）将分子或分母放大（或缩小）

（3）利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅；2

)1()1(++<+n n n n （4）利用常用结论： Ⅰ、m a m b a b R m b a ++<∈>>+,

,0； Ⅱ、k k k k k 21

11

1<++=-+； Ⅲ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k

（程度大） Ⅳ、)1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

)1(212

1

--=-+

1

++>k k k （6）判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有

实数解或无解建立不等式关系。 如：证明23112122≤+++≤x x x ，可转化为求函数1

122+++=x x x y 的值域。 （7）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的

换元有三角换元和代数换元。如：

已知2

22a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；

已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知122

22=+b

y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；