高考数学中档大题规范练4
高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
高考数学（文科）中档大题规范练（三角函数）（含答案）中档大题规范练大中型问题的标准实践——三角函数?sinx－cosx?sin2x1.已知函数f（x）=sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈z)，故f(x)的定义域为{x∈r|x≠kπ，k∈z}．?sinx－cosx?sin2x因为f（x）=sinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)π2x？－1，＝2英寸？4.2π所以F（x）的最小正周期T=π2(2)函数y＝sinx的单调递增区间为? 2kπ－π，2kπ＋π？（k）∈z）。
22??πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)，242π3π得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈z)．88所以F（x）的单调递增区间是?kπ－π，kπ?和?kπ，kπ＋3π?(k∈z)．88????2.已知的三个内角a、B和C△ ABC形成一个等差序列，边缘相对角度B=3，函数f （x）=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A时获得最大值。
（1）找到f（x）的值范围和周期；(2)求△abc的面积．解（1）因为a，B和C形成一个等差序列，2b=a+C，a+B+C=π，π2π所以b＝，即a＋c＝.33因为f（x）=23sin2x+2sinxcosx－3=3（2sin2x－1）+sin2x=sin2x－3cos2xπ2x？，=2分钟？3.2π所以t＝＝π.二π2x-？∈ [1,1]，因为罪？3.因此，F（x）的值范围为[-2,2]。
（2）因为f（x）在x=a，π时获得最大值2a－?＝1.所以sin?3??2ππ因为0333ππ故当2a－＝时，f(x)取到最大值，325π所以a＝π，所以c＝.1243c由正弦定理，知＝?c＝2.ππsinsin342＋6ππ??又因为sina＝sin?4＋6?＝，43＋31所以s△abc＝bcsina＝.243．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；π(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．4溶液f（x）=3sin2x+2cos2x+A＝cos2x＋3sin2x＋1＋aπ＝2sin（2x＋）＋a＋1。
2015届高考数学(文科,通用)二轮复习突破练 高考中档大题规范练(四) Word版含答案
高考中档大题规范练(四)——概率与统计(推荐时间：70分钟)1．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记事件E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )共7个． 故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，则得所求概率为P (E )＝715.即恰有一组研发成功的概率为715.2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －2上的概率； (2)求点P (x ，y )满足y 2<2x 的概率． 解 每枚骰子出现的点数都有6种情况， 所以基本事件总数为6×6＝36(个)．(1)记“点P (x ，y )在直线y ＝x －2上”为事件A ， 则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)， 所以P (A )＝436＝19.(2)记“点P (x ，y )满足y 2<2x ”为事件B ，则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， 所以P (B )＝1236＝13.3．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解 从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.4．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：P (2≥k ) 解 (1)将2×22＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}． 事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.5．某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券金额大于0元的概率； (2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率． 解 (1)设“甲获得的优惠券金额大于0元”为事件A .因为指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等， 所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13.根据互斥事件的概率，有P (A )＝13＋13＝23，所以“顾客甲获得的优惠券金额大于0元”的概率是23.(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B .因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x 元，第二次获得优惠券的金额为y 元，则基本事件空间可以表示为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件， 每个基本事件发生的概率都为19.而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x ＋y ≥20， 所以事件B 中包含的基本事件有6个． 所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为 P (B )＝69＝23.6．已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．解 设事件A 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有实数根”．(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 由Δ＝36a 2－36(－b 2＋4)＝36a 2＋36b 2－36×4>0， 得a 2＋b 2>4.事件A 要求a ，b 满足条件a 2＋b 2>4，可知包含6个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件A 发生的概率为P (A )＝69＝23.(2)a ，b 的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a ≤3,0≤b ≤2.构成事件B 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a 2＋b 2≥4}(如图中阴影部分)， 则所求的概率为P (B )＝2×3－14×π×222×3＝1－π6.。
高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练4 含解析
中档大题规范练4 概率与统计1．(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明)． 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知， E＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.2．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的概率分布，并求X 的均值．解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为12(176＋178)＝177.(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 24C 212＝111，P (X ＝1)＝C 18C 14C 212＝1633，P (X ＝2)＝C 28C 212＝1433.故X 的概率分布为E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝43.3．安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率；(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的概率分布．解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ， 则有C 25·23＝80(种)， ∴P (M )＝80243.即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80243.(2)由题意得：ξ＝1,2,3,ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)， ∴P (ξ＝1)＝3243＝181，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4,1或3,2有C 23·(C 45＋C 35)·A 22＝90(种)，∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3,1,1或2,2,1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·12！)·A 33＝150(种)，∴P (ξ＝3)＝150243＝5081.∴ξ 的概率分布为4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜． (1)求甲投篮总得分ξ的概率分布和均值； (2)求甲获胜的概率．解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ， 根据题意，ξ的可能取值为0,2,3,5，则P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝13，P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝16，P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.(2)同理，乙的总得分η的概率分布为甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥． 因此，所求事件的概率为P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝1336. 5．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中， 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数， 求随机变量ξ的概率分布及均值． 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004，y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45, 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03×(1－910)3＝9991 000. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3, 故ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (ξ＝3)＝C 39C 312＝84220＝2155，所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝94.。
高考数学二轮复习中档大题规范练4数列文
(四)数列1．(2017 ·全国Ⅱ ) 已知等差数列{ a n} 的前n项和为S n，等比数列 { b n} 的前n项和为T n，a1＝－1，b1＝ 1，a2＋b2＝ 2.(1)若 a3＋b3＝5，求{ b n}的通项公式；(2)若 T3＝21，求 S3.解设{ a n} 的公差为d，{ b n}的公比为 q，则 a n＝－1＋( n－1)· d， b n＝q n－1.由 a2＋ b2＝2，得 d＋q＝3.①(1)由 a3＋b3＝5，得2d＋ q2＝6.②d＝3，d＝1，联立①和②，解得(舍去)，q＝0q＝2.n n n－ 1所以 { b } 的通项公式 b ＝2 .(2)由 b1＝1， T3＝21，得 q2＋ q－20＝0.解得 q＝－5或 q＝4.当 q＝－5时，由①得 d＝8，则 S3＝21.当 q＝4时，由①得 d＝－1，则 S3＝－6.2．(2017 ·河北省衡水中学二模 ) 已知数列 { a } 知足a＝ 1， a ＋3＝a*＋ 3＋ 2，n∈ N .n1n＋ 1n(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2) 设以 2 为公比的等比数列{ b n} 知足4log2b n·log2b n＋ 1＝a n＋12n＋11(n∈N* )，求数列{ b n－log 2b n} 的前n 项和S n.解(1) 由题意知，数列{a n＋3}是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，∴a n＋3＝2＋2( n－1)＝ 2n，故a n＝ 4n2－3.n － 1(2) 设等比数列 { b n } 的首项为 b 1，则 b n ＝ b 1×2 ，依题意有 4log 2 n ·log 2 n ＋ 1＝ 4log 2( nn1＋ － 1)(log21＋)b 1×2－1) ·log2( 1×2) ＝ 4(log2bbb bnb n＝ 4(log 21 221212b ) － 4log b ＋4×(2log b － 1) n ＋ 4n＝ 4n 2＋ 12n ＋ 8，4× 2log 2b 1－ 1 ＝ 12，即2解得 log 2b 1＝ 2， b 1＝ 4，n － 1 n ＋ 1故 b n ＝4×2＝ 2 .∵ b n － log 2b n ＝ 2n ＋1 －( n ＋ 1) ，22 1－ 2nn 2＋n ＋ 1n ＋2n n ＋3.∴ S n ＝－＝ 2－ 4－1－ 2223． (2017 届辽宁省锦州市质检 ) 已知等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ， 1＝ 1， 6＝93.nn(1) 求 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝1＋ log 2a n ，求数列 { a n b n } 的前 n 项和．解 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，由 a 1＝ 1，S 6＝ 9S 3 知， q ≠1，1－ q 6 9 1－ q 3 故 1－ q ＝1－ q ，即 33＝ 3(1 －q )(1 ＋ q ) 9(1 － q ) ，即 1＋ q 3 ＝9，即 q 3＝8，解得 q ＝ 2，则 a n ＝ a 1·q n － 1＝ 2n －1.(2) b n ＝ 1＋log 2a n ＝ 1＋log 22n－1＝ 1＋ n － 1＝ n ，n － 1∴ a n b n ＝ n ·2 ，n 2 n －1，① ∴ T ＝ 1＋2·2＋3·2 ＋ ＋ n ·22 n － 1n2T n ＝1·2＋2·2 ＋ ＋ ( n －1) ·2 ＋ n ·2，② 由②－①，得n2n －1T ＝ n ·2－(1 ＋ 2＋ 2 ＋ ＋ 2 )nnnn＝ n ·2－(2 － 1) ＝ ( n －1) ·2 ＋1.4． (2017 届湖南省长沙市雅礼中学模拟) 已知在数列 { n } 中， a 1＝ 1， 3＝ 9，且 n＝ n － 1＋ λna a a a － 1( n ≥2， n ∈ N * ) ．(1) 求 λ 的值及数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝( － 1) n ( a n ＋n ) ，且数列 { b n } 的前 2n 项和为 S 2n ，求 S 2n .解(1) ∵ a 1＝ 1， a 3＝ 9，*且 a n ＝ a n － 1＋ λ n － 1( n ≥2， n ∈ N ) ，∴ a 2＝ 2λ， a 3＝ 5λ － 1＝ 9，解得 λ ＝2， ∴ a n － a n －1＝ 2n －1( n ≥2， n ∈ N * ) ．∴ a n ＝ (2 n － 1) ＋ (2 n － 3) ＋ ＋ 3＋ 1＝n 2n －1＋1＝ n 2.2(2) b n ＝ ( －1) n ( a n ＋ n ) ＝ ( － 1) n ( n 2＋ n ) ，b 2n － 1＋ b 2n ＝－ [(2 n －1) 2＋ (2 n － 1)] ＋ [(2 n ) 2＋ 2n ] ＝4n ，n n ＋12S 2n ＝4×＝ 2n ＋ 2n .*5．(2017 ·湖南省衡阳市联考) 已知在数列 { a n } 中， a 1＝ 2，a n － a n － 1－2n ＝ 0( n ≥2， n ∈ N ) ．(1) 写出 a 2， a 3 的值 ( 只写出结果 ) ，并求出数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b ＝ 1＋ 1＋ 1 ＋ ＋1，不等式 t2t1恒建立， 务实an ＋ 1an ＋ 2a n ＋3，若对随意的正整数－ 2 ＋ >n n数 t 的取值范围．解 (1) a 2＝ 6， a 3＝ 12，当 n ≥2时， a n ＝ a 1＋( a 2－ a 1) ＋ ( a 3－a 2) ＋ ＋ ( a n － a n － 1) ＝ 2(1 ＋2＋ 3＋ ＋ n ) ＝ n ( n ＋ 1) ，当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 也知足上式，∴ a n ＝ n ( n ＋ 1) ．(2) b ＝ 11 ＋ 1 ＋ ＋1＋na＋ 1a ＋ 2a ＋ 3a 2n nnn111＝n ＋ 1 n ＋ 2＋n ＋ 2 n ＋ 3＋ ＋2n 2n ＋ 1＝1 － 1 ＋ 1 －1＋ ＋1－ 1n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 2 n ＋3 2n 2n ＋ 111＝n ＋ 1－2n ＋ 1.n ＋1n1 － 1 1 － 1∵ b－ b ＝＋＋－ n ＋ 12n ＋ 1n 2 2n 3 1＋ 1 1 1 ＝ ＋＋ － n ＋ 1＋2n ＋ 3n2 2n 13n ＋33n ＋ 4 ＝2n 2＋ 5n ＋2－2n 2＋ 5n ＋ 3－ 2n 2－ 2n ＋ 1＝2n 2＋ 5n ＋ 2 2n 2＋ 5n ＋ 3<0，∴ b n ＋1<b n ，则数列 { b n } 是单一递减数列．1∴(b n)max＝ b1＝6.21n2 1 1 2t <0或 t >2，∴ t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．∴ t－ 2t＋6>b ? t－ 2t＋6>6? t－ 2t >0?。
高考数学大二轮总复习增分策略高考中档大题规范练(四)数列
高考中档大题规范练(四)数列1．已知函数f (x )＝7x ＋5x ＋1，数列{a n }满足：2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0且a n ≠0.数列{b n }中，b 1＝f (0)且b n ＝f (a n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{|b n |}的前n 项和T n .2．已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝19a n －1a n (n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .3．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．5．(2015·广东)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. (1)求a 3的值；(2)求数列{a n }前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .答案精析高考中档大题规范练(四)数 列1．(1)证明 由2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0得1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列． (2)解 因为b 1＝f (0)＝5， 所以a 1－＋5a 1－1＋1＝5，7a 1－2＝5a 1，所以a 1＝1，1a n ＝1＋(n －1)×12，所以a n ＝2n ＋1.b n ＝7a n －2a n＝7－(n ＋1)＝6－n .当n ≤6时，T n ＝n 2(5＋6－n )＝n －n 2；当n ≥7时，T n ＝15＋n －62(1＋n －6)＝n 2－11n ＋602.所以，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，n ≤6，n 2－11n ＋602，n ≥7. 2．解 (1)根据题意a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15， 所以a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7， 解得a 4＝3，a 7＝5.设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23.故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋(n －4)·23＝2n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19·2n －13·2n ＋13＝1n －n＋＝12(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝13＝12(1－13)，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 即数列{b n }的前n 项和S n ＝n2n ＋1.3．解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.由递推公式得当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2.所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n2n＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 4．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n－13n ，②①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1.T n －T n ＋1＝n ＋＋52·3n －4n ＋52·3n －1 ＝－n ＋3n <0.∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599<7，T 4＝649>7，∴T n <7时，n 的最大值为3.5．(1)解 a 1＝1，a 1＋2a 2＝2，a 2＝12，a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54，a 3＝14.(2)解 n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)·a n －1＝4－n ＋12n －2，与原式相减，得na n ＝n 2n －1，a n ＝12n －1，n ＝1也符合，T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1.(3)证明 n ≥2时，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ，故S n ＝∑i ＝1nb i＝a 1＋a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12a 2＋a 1＋a 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13a 3＋…＋a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n1i T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1<2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ， 只需证明2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，n ∈N *.对于任意自然数k ∈N ，令x ＝－1k ＋1∈(－1,0)时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋1＋1＋1k ＋1<0，即1k ＋1<ln(k ＋1)－ln k .∴k ＝1时，12<ln 2－ln 1，k ＝2时，13<ln 3－ln 2.…k ＝n －1时，1n <ln n －ln(n －1)．∴1＋12＋13＋…＋1n <1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n －ln(n －1)]，即1＋12＋13＋…＋1n <1＋ln n ，∴n ≥2时，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n <2＋2ln n ，综上n ∈N *时，S n <2＋2ln n .。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
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3
2
39×
=
2
2
2
(方法二)由余弦定理,得 b +c -2bccos A=a ,即 4+c
整理得 c2+2c-35=0,解得 c=5 或 c=-7(舍去).
1 2 3 4
2
-2×2c×(-2)=39,
(3)∵C 为锐角,∴cos C=
∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin
规范练4
1.(10分)(2023天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
a= 39 ,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
1 2 3 4
解
(1)由已知及正弦定理,得
sin
∴sin
sin
B=
=
2×
3
2 = 13.
P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,
P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,
所以随机变量X的分布列为
X
1.5
3.5
P
0.15
0.45
所以E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,
故每件产品的平均销售利润为4元.
1 2 3 4
5.5
=
,∵a=
sin
39,b=2,∠A=120°,
13
39
(2)(方法一)由(1)及已知,
2 39
得 cos B=
=
,sin C=sin(180°-120°-B)
高高考数学中档大题规范练4.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n＝1 (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·广州模拟)设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b2n}的前n项和S n.4.(2015·南京模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.5.(2015·长沙模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2. (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n(2n＋1)S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题规范练41.解 由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1， 所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列. 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列， 所以a n ＋1a n＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22， 因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *. (2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n (n ＋1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 3.解 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 5.(1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12， 故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1.故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列.(2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p 2， 故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立. 若c n >52，则3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2>52，即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减， 又f (6)＝17＋18>18＋18＝14， f (7)＝18＋19<18＋18＝14， 故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14. 故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数.6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， ∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12， 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。
高考数学”一本“培养优选练 中档大题规范练4 文-人教版高三全册数学试题
中档大题规X 练(四)(建议用时：60分钟)(教师备选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为2，且a 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ·a n ＋1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由a 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝a 1S 4. 化简得(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )， 又d ＝2，解得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝22n －12n ＋1＝12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 1．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2sin x cos x .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，若AB ＝4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝12，求△ABC 的外接圆的面积．[解] (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x －sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12， k ∈Z .(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋2π3＝12，C ＋2π3＝5π6 ，C ＝π6 ，外接圆直径2r ＝ABsin C＝8，r ＝4，外接圆面积S ＝16π.2．如图65，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BC ＝3，AB ＝4，AC ＝CC 1＝5，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．图65(1)求证：MN ∥平面ACC 1A 1； (2)求点N 到平面MBC 的距离． [解] (1)证明：连接AC 1，AB 1(图略)，因为该三棱柱是直三棱柱，∴AA 1⊥A 1B 1，则四边形ABB 1A 1为矩形， 由矩形性质得AB 1过A 1B 的中点M ， 在△AB 1C 1中，由中位线性质得MN ∥AC 1， 又MN ⊄平面ACC 1A 1，AC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴MN ∥平面ACC 1A 1.(2)∵BC ＝3，AB ＝4，AC ＝CC 1＝5，∴AB ⊥BC ， ∴S △NBC ＝12×BC ×BB 1＝12×3×5＝152，∴S △MBC ＝12×BC ×BM ＝12×3×412＝3414，又点M 到平面B 的距离为h ′＝12AB ＝2，设点N 与平面MBC 的距离为h ，由V 三棱锥M NBC ＝V 三棱锥N MBC 可得13S △NBC ·h ′＝13S △MBC ·h ，即13×152×2＝13×3414×h ， 解得h ＝204141，即点N 到平面MBC 的距离为204141.(教师备选)随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：经常使用 偶尔或不用 合计30岁及以下 70 30 100 30岁以上 60 40 100 合计13070200(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人． ① 分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；② 从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635[解] (1)由列联表可知， K 2＝200×70×40－60×302130×70×100×100≈2.198.∵2.198＞2.072，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关． (2)① 依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中， 经常使用共享单车的有5×60100＝3(人)，偶尔或不用共享单车的有5×40100＝2(人)．②设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ，b ，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d ，e ，则从5人中选出2人的所有可能结果为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种．其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(d ，e )，共1种． 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率P ＝1－110＝910.3．某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图66所示的折线图．图66(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系．(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70x＞70光照控制仪运行台数32 1对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．相关系数公式：参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95.[解](1)由已知数据可得x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为 (x i－x)(y i－y)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，所以相关系数＝910≈0.95.因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．(2)由条件可得在过去50周里，当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)． 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)． 当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)．所以过去50周的周总利润的平均值为1 000×10＋5 000×35＋9 000×550＝4 600(元)．所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元． 4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若|AB |＝8，求α的值．[解] (1)直线l 普通方程为x ·sin α－y ·cos α＋cos α＝0，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ，∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，则ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，∴x 2＝4y 即为曲线C 的普通方程．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)代入曲线C ：x 2＝4y ，∴t 2·cos 2α－4t ·sin α－4＝0，∴t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1·t 2＝－4cos 2α， |AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4sinαcos 2α2－4×－4cos 2α＝8， ∴cos α＝±22，∴α＝π4或3π4. [选修4－5：不等式选讲]已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1. (1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，某某数t 的最大值．[解] (1)证明：∵－a ＜b2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋b ，x ＜－a ，－x ＋a ＋b ，－a ≤x ＜b 2，3x ＋a －b ，x ＞b2，显然f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，b 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝a ＋b 2＝1，即2a ＋b ＝2.(2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2bab≥t 恒成立， a ＋2b ab ≥1b ＋2a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝125＋2a b ＋2b a ≥92， 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，所以t ≤92，即实数t 的最大值为92.。
高考数学(文科)中档大题规范练(导数的应用)(含答案)
中档大题规范练——导数的应用1．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1，g (x )＝ln x .(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k 和m ，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由F (x )＝x 3－2x ＋1－ln x (x >0)，得F ′(x )＝3x 3－2x －1x(x >0)， 令F ′(x )＝0得x ＝1，易知F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )的极小值为F (1)＝0.(2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0)，而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下面只需验证⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥x －1g (x )≤x －1都成立即可． 设h (x )＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x >0)，则h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x >0)．易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )的最小值为h (1)＝0，所以f (x )≥x －1恒成立．设k (x )＝ln x －(x －1)，则k ′(x )＝1－x x(x >0)． 易知k (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k (x )的最大值为k (1)＝0，所以g (x )≤x －1恒成立．故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m .2．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上单调递增，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，又f ′(12)＝32. (1)求f (x )的解析式．(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－32a ，c ＝0.所以f ′(x )＝3ax 2－3ax ，所以f ′(12)＝3a 4－3a 2＝32， 所以a ＝－2，b ＝3，所以f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0，所以x (2x －1)(x －1)≥0，所以0≤x ≤12或x ≥1. 又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，所以0<m ≤12. 3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0， 因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43， 因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43. 4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？ 解 (1)因为赔付价格为S 元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝2 000t －St .ω′＝1 000t －S ＝1 000－S t t， 令ω′＝0，得t ＝t 0＝(1 000S)2. 当t <t 0时，ω′>0；当t >t 0时，ω′<0，所以t ＝t 0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量t 0＝(1 000S)2(吨)． (2)设甲方净收入为v 元，则v ＝St －0.002t 2将t ＝(1 000S)2代入上式，得到甲方净收入 v 与赔付价格S 之间的函数关系式．v ＝1 0002S －2×1 0003S 4. 又v ′＝－1 0002S 2＋8×1 0003S 5＝1 0002×(8 000－S 3)S 5， 令v ′＝0，得S ＝20.当S <20时，v ′>0；当S >20时，v ′<0，所以S ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求的赔付价格S ＝20(元/吨)时，获得最大净收入．5．已知函数f (x )＝ln x ＋2a x，a ∈R . (1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2a x 2. ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2a x 2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[2，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2，则a ≤g (x )min ，x ∈[2，＋∞)， ∵g (x )＝x 2在[2，＋∞)上是增函数， ∴g (x )min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]．(2)由(1)得f ′(x )＝x －2a x 2，x ∈[1，e]． ①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)． ②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a .当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以f (x )min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3，解得a ＝e 22(舍去)． ③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以f (x )min ＝f (e)＝1＋2a e＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.6．已知函数f (x )＝a ln x ＋12ax 2＋bx (a ≠0)． (1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝3x －32b ，求a 、b 的值； (2)若a ＝2时，函数f (x )是增函数，求实数b 的取值范围；(3)设函数g (x )＝ln x 的图象C 1与函数h (x )＝f (x )－ag (x )的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋12ax 2＋bx 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋ax ＋b ＝ax 2＋bx ＋a x， 当x ＝1时，f ′(1)＝2a ＋b ＝3，f (1)＝12a ＋b ， 所以函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y －(12a ＋b )＝3(x －1)， 即y ＝3x ＋(12a ＋b －3)， 所以12a ＋b －3＝－32b ， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，12a ＋b －3＝－32b ，得a ＝b ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝2x＋2x ＋b ，则f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即b ≥－2x－2x 在(0，＋∞)上恒成立， 因为2x ＋2x ≥22x ·2x ＝4(当且仅当x ＝1时等号成立)， 所以－2x－2x ≤－4，所以b ≥－4， 故实数b 的取值范围为[－4，＋∞)．(3)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且0<x 1<x 2，则点M 、N 的横坐标均为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x |x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝(ax ＋b )|x ＝x 1＋x 22＝a (x 1＋x 2)2＋b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2，则2x 1＋x 2＝a (x 1＋x 2)2＋b ， 即2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝a (x 22－x 21)2＋b (x 2－x 1) ＝(a 2x 22＋bx 2)－(a 2x 21＋bx 1) ＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1， 所以ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝2(x 2x 1－1)1＋x 2x 1，令u ＝x 2x 1>1， 则ln u ＝2(u －1)1＋u，u >1，① 令r (u )＝ln u －2(u －1)1＋u，u >1， 则r ′(u )＝1u －4(1＋u )2＝(u －1)2u (u ＋1)2. 因为u >1，所以r ′(u )>0，所以r (u )在(1，＋∞)上单调递增，故r (u )>r (1)＝0，则ln u >2(u －1)1＋u，这与①矛盾，故假设不成立． 即不存在满足题意的点R .。
高考数学中档大题规范练(4)——立体几何
＝(0,1,0)， ＝(－ ，－1,0)．
由BM＝ ，BC＝2知，
＝ ＝ ，
从而 ＝ ＋ ＝ ，
即M .
设P(0,0，a)，a>0，则 ＝(－ ，0，a)， ＝ .
因为MP⊥AP，故 · ＝0，即－ ＋a2＝0，
所以a＝ ，a＝－ (舍去)，即PO＝ .
专题分层训练
1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D－AF－E的余弦值．
解(1)证明：由题意可知DA⊥DC，DA⊥DP，DC⊥DP，故可以D为原点，DP所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DA所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
当λ＝ 时，F为PC中点，
∴F ，
∴ ＝ ， ＝(－1,1,0)，
设异面直线BF与CD所成的角为θ，
∴cosθ＝|cos〈 ， 〉|＝ ＝ .
故异面直线BF与CD所成角的余弦值为 .
(3)设F(x0，y0，z0)，
则 ＝(x0，y0，z0－2)， ＝(1,1，－2)，
又 ＝λ ，∴
∴ ＝(λ，λ，2－2λ)，
设正方形ABCD的边长为a，
则C(0，a,0)，A(0,0，a)，
由平面几何知识可求得F ，
所以 ＝ ，
＝ ，
＝(0,0，a)，
· ＝ a× a＋ × a＋0＝0，
· ＝ ·(0,0，a)＝0，
故CF⊥DF，CF⊥DA.
又DF∩DA＝D，所以CF⊥平面ADF.
(2)可求得E ，则 ＝ ，
又 ＝ ，
高考数学中档大题46分规范练4
随机变量 X 的数学期望 1 11 1 1 13 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 4 24 4 24 12 (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯 的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) 1 11 11 1 11 ＝ × ＋ × ＝ . 4 24 24 4 48
中档大题 46 分规范练(四)
17．(12 分)(2017·平顶山一模)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 2Sn＝3an－2(n∈N*)． (1)求 an 和 Sn； (2)若 bn＝log3(Sn＋1)，求数列{b2n}的前 n 项和 Tn. 解：(1)∵2Sn＝3an－2， ∴n＝1 时，2S1＝3a1－2，解得 a1＝2； 当 n≥2 时，2Sn－1＝3an－1－2， ∴2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1， ∴2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列， ∴an＝2·3n 1，
解：(1)证明：设 AD 的中点为 N，连接 MN，由四边形 ABCD 是 矩形，ABCD⊥平面 SBC，平面 ABCD∩平面 SBC＝BC， ∴SM⊥平面 ABCD.∴SM⊥MN. ∴直线 MC，MS，MN 两两垂直．
以 M 为坐标原点，MC，MS，MN 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Mxyz ，设 SM ＝ a. 依题意得， M(0,0,0)，A(－1,0,1)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)， → ＝(1,0，－1)，SD → ＝(1，－a,1)． S(0，a,0)．∴AM → ·SD → ＝1×1＋0×(－a)＋(－1)×1＝0， ∵AM → ⊥SD → ，即 AM⊥SD. ∴AM → ＝(0，a,0)，MA → ＝(－1,0,1)． (2)由(1)可得MS 设平面 AMS 的法向量为 n1＝(x，y，z)， → ，n ⊥MA →， 则 n1⊥MS 1 ∴ ay＝0， －x＋z＝0， 即 y＝0， －x＋z＝0，
精选全国通用版高考数学二轮复习中档大题规范练四立体几何文
(四)立体几何1．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB ⊥PA ，PB ＝PA ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝10，M 是PA 的中点．(1)求证：BM ∥平面PCD ；(2)求三棱锥B －CDM 的体积．(1)证明 取PD 中点N ，连接MN ，NC ，∵MN 为△PAD 的中位线，∴MN ∥AD ，且MN ＝12AD .又∵BC ∥AD ，且BC ＝12AD ， ∴MN ∥BC ，且MN ＝BC ，则BMNC 为平行四边形，∴BM ∥NC ，又∵NC ⊂平面PCD ，MB ⊄平面PCD ，∴BM ∥平面PCD .(2)解 过M 作AB 的垂线，垂足为M ′，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，MM ′⊂平面PAB ，∴MM ′⊥平面ABCD .∴MM ′为三棱锥M －BCD 的高，∵AB ＝8，PA ＝PB ，∠BPA ＝90°，∴△PAB 边AB 上的高为4，∴MM ′＝2，过C 作CH ⊥AD 交AD 于点H ，则CH ＝AB ＝8，S △BCD ＝12×BC ×CH ＝12×6×8＝24，∴V B －CDM ＝V M －BCD ＝13S △BCD ×MM ′＝13×24×2＝16.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. 3．(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)在如图所示的几何体ACBFE中，AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，EF∥DB.(1)求证：AC⊥FB；(2)若AB⊥BC，AB＝4，AE＝3，BF＝3，BD＝2EF，求该几何体的体积．(1)证明∵EF∥BD，∴EF与BD确定平面EFBD，连接DE，∵AE＝EC，D为AC的中点，∴DE⊥AC.同理可得BD⊥AC，又∵BD ∩DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EFBD ，∴AC ⊥平面EFBD ，∵FB ⊂平面EFBD ，∴AC ⊥FB .(2)解 由(1)可知AC ⊥平面BDEF ，∴V ACBFE ＝V A －BDEF ＋V C －BDEF ＝13·S BDEF ·AC ， ∵AB ＝BC ，AB ⊥BC ，AB ＝4，∴AC ＝42，BD ＝22，又AE ＝3，∴DE ＝AE2－AD2＝1.在梯形BDEF 中，取BD 的中点M ，连接MF ，则EF ∥DM 且EF ＝DM ，∴四边形FMDE 为平行四边形，∴FM ∥DE 且FM ＝DE .又BF ＝3，∴BF 2＝FM 2＋BM 2， ∴FM ⊥BM ，S 梯形BDEF ＝12×()2＋22×1＝322， ∴V ACBFE ＝13×322×42＝4. 4.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝12BC ，AD ＝1，∠ABC ＝60°，EF ∥AC ，EF ＝12AC .(1)证明：AB ⊥CF ；(2)若多面体ABCDFE 的体积为338，求线段CF 的长． (1)证明∵EA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EA ⊥AB ，作AH ⊥BC 于点H ，。
高高考数学中档大题规范练4
1.数列{a n}中，a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，且满足2a na n S n－S2n＝1(n≥2).求数列{a n}的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1(其中p 为非零常数，n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *).若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .4.(2015·南京模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n.(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.5.(2015·长沙模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2.(1)证明：数列{a n }为等差数列； (2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n(2n＋1)S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题规范练41.解 由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n ＝1，所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列.所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n. 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列， 所以a n ＋1a n＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22，因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *.(2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1，b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，①p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，②当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得 (1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p2n －1－np2n ＋1＝p (1－p n )1－p2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p2，p ≠±1.而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n ) ＝－n (n ＋1)2.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n)(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.3.解 函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1.因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43.所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49.4.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n－2n. (2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n＝2－13n －1－2n －13n＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3.5.(1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12，故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1. 故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列. (2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p2，故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立.若c n >52，则3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2>52， 即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减， 又f (6)＝17＋18>18＋18＝14，f (7)＝18＋19<18＋18＝14，故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14.故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数. 6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。
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中档大题规范练4 数 列1．数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a na n S n －S 2n＝1(n ≥2)．求数列{a n }的通项公式．解 由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n ＝1，所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列．所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.2．已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n . 解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n. 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列，所以a n ＋1a n ＝p n －1.当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22，因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *.(2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，①p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，②当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得 (1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p2n －1－np2n ＋1＝p (1－p n )1－p2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p2，p ≠±1.而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n ) ＝－n (n ＋1)2.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n)(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.3．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .解 函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1.因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43.所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n－2n.(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n＝2－13n －1－2n －13n＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3.5．已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2.(1)证明：数列{a n }为等差数列； (2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由． (1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12，故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1. 故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列． (2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p2，故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2)． (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立．若c n >52，则3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2>52， 即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减， 又f (6)＝17＋18>18＋18＝14，f (7)＝18＋19<18＋18＝14，故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14.故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数． 6．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由． 解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．。