2.5 矩阵的秩及其求法

1 0 → 0 0
0 0 11 6 1 1 0 12 3 0 →0 0 1 9 2 0 0 0 0 0
进行列变换
0 0 0 0 1 0 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0
解法二 2 − 4 3 1 1 − 2 1 − 4 A= 0 1 −1 3 4 −7 4 − 4
6 2 1 11
1 − 2 1 − 4 2 0 1 −1 3 1 → 0 0 1 9 2 0 1 − 2 − 6 −1
R( A± B) ≤ R( A) + R(B).
23
性质5 性质5 证：
R（A+B）≤R（A）+R（B）
Q( A+ B, B) →( A, B)
c
∴R( A+ B, B) = R( A, B)
而R（A+ B） R（A+ B，B） ≤
R( A, B) ≤ R( A) + R(B)
∴R（ + B） R（ ) + R(B) A ≤ A
则
K = −3
1 1 1 1
1 1 1 K 1 1 1 1
K 1 1 K
11
2、用初等变换法求矩阵的秩 、 定理2 定理 即 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
A→ B 则 R( A) = R(B) 注： 1. ri ↔rj 只改变子行列式的符号。
2.
3.
k ri
是 A 中对应子式的 k 倍。
k ri + rj 是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩， 而任一 A ×n 都等价 m
1 −1 1 2 1 −1 1 2 A = 3 λ −1 2 →0 λ + 3 − 4 − 4 5 3 µ 6 0 8 µ −5 − 4
1 2 1 −1 →0 λ + 3 − 4 − 4 0 5 − λ µ −1 0
6 2 的秩。 1 11
3 1 =1 ≠ 0 −1
但是包含D3 的所有四阶子式
2 −4 3 1 1 −2 1 −4 D4 = =0 0 1 −1 3 4 −7 4 −4
2 1 D4 = 0 4
∴ r( A) = 3 −4 3 6 −2 1 2 =0 1 −1 1 − 7 4 11 15
R( A) = n ⇔ A ~ En
1 2 3 1 2 3 1 0 0 A = 2 1 2→0 −3 − 4 →0 1 1 3 1 2 0 − 2 −3 0 2 3
1 0 0 →0 1 0 = E 0 0 1
0 0
(2) 定理6 设A是 m×n 矩阵，P、Q 分别为m阶、 定理6 n阶可逆矩阵，则R(A)= R(PA)=R(AQ)=R(PAQ) 对于给定矩阵左乘或右乘可逆矩阵其秩不变。 即 对于给定矩阵左乘或右乘可逆矩阵其秩不变。 (3) 定理7 定理7 R(AB) ≤R(A), R(AB) ≤ R(B),即
22
R(AB) ≤min{R(A)，R(B)}。
关于矩阵的秩的一些重要结论： 关于矩阵的秩的一些重要结论： 设A是 m×n 矩阵， B是 n×t 矩阵， 性质1 R( A) + R(B) − n ≤ R( AB). 性质1 性质2 如果 A B = 0 则 R( A) + R(B) ≤ n. 性质2 性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。 性质3 性质4 性质4 设A 是n 阶方阵，n ≥2, 则 n, 当 R（A）＝n 时 ∗ R(A ) = 1, 当 R(A）＝ n－ 时 1 ≤ 2 0, 当 R（A） n－ 时 性质5 设A,B均为 m×n 矩阵，则 性质5
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。 显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数 台阶数。 结论：阶梯形矩阵的秩 台阶数。
8
例如 1 2 3 0 A = 0 1 0 1 0 0 1 0
1 2 5 D = 0 3 4 0 0 0
1 2 B = 0 1 0 0
1 1 0 C = 0 1 0 0 0 1
线性代数
主讲教师: 主讲教师 张宇
1
第四节 矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、满秩矩阵
第二章
2
矩阵的秩 是线性代数理论中一个重要的概念。 为了进一步研究线性方程组求解的问题，还需要引入 矩阵的子矩阵和秩的概念。 这是研究线性方程的基础， 其与向量组的秩等问题都有密切的联系。 一、矩阵的秩的概念 1. k 阶子式 定义1 定义 设 A = aij
7
矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法 定义 。 、子式判别法(定义 定义)。
1 2 3 4 例1 设 B = 0 2 7 0 为阶梯形矩阵， 求r(B)。 0 0 0 0 1 2 ≠ 0 ，存在一个二阶子式不为0，而 解 由于 0 2
任何三阶子式全为0， 则 r(B) = 2.
于行阶梯矩阵。 其秩等于它的非零行的行数，即为 R( A). 所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
12
作法 例4
行 A 变换→ 阶梯形，秩(A)=阶梯数。 )=阶梯数 )=阶梯数。
1 0 2 − 4 A = 2 1 3 − 6 −1 −1 −1 2
16
三、满秩矩阵 定义3 定义 A 为 n 阶方阵时， 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）
R( A) = n,
R( A) < n,
可见：R( A) = n
⇔
A ≠0
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求 的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 秩 记作r(A)或秩(A)。 规定秩(A)=0 ⇔ A = 0 从本质上说， 矩阵的秩就是矩阵中不等于0的子式 0 的最高阶数。 显然有：
1. r( A) = r( A )
Τ
2. 0 ≤ r( A) = r ≤ min(m, n) 当 r( A) = min(m, n) 时， 称矩阵A 为满秩矩阵 满秩矩阵。 满秩矩阵
QR( A) = 2,
∴5 − λ = 0, µ −1 = 0
∴λ = 5, µ =1
14
例6
2 − 4 3 1 1 − 2 1 − 4 求矩阵 A = 0 1 −1 3 4 −7 4 − 4
解法一 Q D2 =
−4 3 −2 1
=2≠0
2 −4 D3 = 1 − 2 0 1
17
定理3 定理
设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P, P ,L, P . 使得 1 2 s P P−1 L, P P A = E s s 2 1
定理4 定理 设A是满秩方阵的充要条件是A为非奇异矩阵。
18
对于满秩矩阵A， 它的行最简形和标准形是 n 阶 单位阵 E . 例如
Q R( A) = n A ~ E
( )
m×n
在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k (1≤ k ≤ m {m, n}) in 阶行列式， 称为A的一个k 阶子式 阶子式。
3
1 2 3 −1 例如 A = 4 6 5 − 4 ， C3 C4 = 18 共有 2 2 设 1 0 −1 −1 3 3 个二阶子式，有 C4 C3 = 4 个三阶子式。
当
A ≠ 0 时，它至少有一个元素不为零，
即它至少有一个一阶子式不为零。 这时再考察二阶子式。 若 A 中有二阶子式不为零， 则再往下考察三阶子式。 依此类推， 最后达到 A 中有 r 阶子式不为零。 而再没有比 r 更高阶的不为零的子式。 这个不为 零的子式的最高阶数 r 反映了矩阵 A 内在的重要性， 在矩阵的理论与应用中有重要意义。
5
例如： 例如：
1 2 3 0 A = 0 1 2 1 2 4 6 0
其中有二阶子式
D2 =
1 2 0 1
=1 ≠ 0
但它的任何三阶子式皆为0， 即不为零的子式的最高 阶数 r = 2 .
6
2. 矩阵的秩
定义2 定义 设 A = aij
( )
m×n
，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
25
作业
P109 1 2 3
26
2 0 E= 0 0
1 8 0 0
2 1 0 0
3 5 7 0
5 3 2 0
R( E) = 3
R( A) = 3 R(B) = 2 R(C) = 3
非零行的行数。
R( D) = 2
一般地， 行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
9
a 1 1 例2 设 A = 1 a 1 如果 R( A) < 3 , 求 a . 1 1 a
1 − 2 1 − 4 2 1 − 2 1 − 4 1 0 −1 −1 3 0 1 −1 3 → → 0 0 1 9 0 0 1 9 2 0 0 −1 −9 − 2 0 0 0 0
2 1 2 0
∴ r( A) = 3
A = 1 a 1 = (a + 2)(a −1)2 = 0 解 Q R( A) < 3 1 1 a a 1 1
∴ a =1
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或
a = −2
10
例3
K 1 1 1 1 K 1 1 A= 1 1 K 1 1 1 1 K
R( A) = 3
A = (K + 3)
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
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例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
(2) R( A) = R(B)
P61 证明
21
(3) 存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q ，使
B = PAQ
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
3、 矩阵的积的秩 、 (1)推论1 推论1 推论 设A是 m×n 矩阵， R(A)=r，则存在m阶
Er 可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使 PAQ = 0
求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ， 解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
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重要结论 1、 定理 、 定理4
E 与矩阵 r 0
R(A)=r，则A 设A是 m×n 矩阵， 0 Er 0 等价。称 0 0 0m×n m×n
为矩阵A的等价标准形矩阵 等价标准形矩阵。 等价标准形矩阵 2、 定理5 2、 定理5 设A，B是 m×n 矩阵， 则以下三个 条件等价 （1） A与B等价；