组合数的两个性质-
高中数学-组合数的两个性质-课标分析
对此部分，《教学大纲》要求是理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题，而《课程标准》要求，通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
与大纲比较，标准降低要求，不再要求掌握和应用“组合数的两个性质”。
因此教科书以选学内容的方式对它们进行介绍。
“组合数的性质”是学生学习了函数的图像与性质、数列以及组合数公式等知识的基础上提出来的，它与函数、数列、数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式定理的基础，并且能结合实际生产和生活中的问题。
本课题不仅能使学生系统掌握组合数的有关知识，而且能使学生掌握渗透于知识中的数形结合思想，特殊与一般的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；不仅对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，而且对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；不仅具有培养学生爱国主义思想、献身科学精神以及合作意识和精神，而且能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生的创新精神。
组合数的两个性质--自制
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
高中数学基础_排列、组合、概率与统计
数学基础知识与典型例题完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．排列称为全排列，排列数为个元素并成一组，叫做从≤n..n rC -123n +展b c)n①对立事件的概率和等于1：1P(A)=+P(=+.P(A)A)A如果在一次试验中某事件发生的概率为①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止n n x p ++ξ的数学期望或平均数、均值的数学期望：(E E a ηξ=+n的根方差或标准差.随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.Dξ越小，稳定性越高，波服从几何分布即(,N μσ均可化为标准正态总体(0,1)N ξ来进行研究.(,N μσ只需作变换η=(0,1)N ,∴有公式()()x F x μσ-=Φ.∴若(,N ξμσ则(P a ξ<≤)()a μσ--Φ”原则.的数学期望与方差.数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)答案例1.A 例2.C 例3.D 例4.C例5.C 例6.B 例7.D 例8.B例9.510例10. 解：⑪如图1，先对a 1部分种植，有3种不同的种法，再对a 2、a 3种植， 因为a 2、a 3与a 1不同颜色，a 2、a 3也不同。
所以S （3）=3×2=6（种）。
如图2，S （4）=3×2×2×2－S （3）=18（种）。
⑫如图3，圆环分为n 等份，对a 1有3种不同的种法， 对a 2、a 3、…、a n 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a 1与a i （i =2、3、……、n －1）不同颜色， 但不能保证a 1与a n 不同颜色.于是一类是a n 与a 1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为()(3)S n n ≥种. 另一类是a n 与a 1同色的种法，这时可以把a n 与a 1看成一部分， 这样的种法相当于对n －1部分符合要求的种法，记为)1(-n S . 共有3×2n －1种种法.这样就有123)1()(-⨯=-+n n S n S . 即]2)1([2)(1----=-n n n S n S ，则数列{()2}(3)n S n n -≥是首项为32)3(-S 公比为－1的等比数列. 则33()2[(3)2](1)(3).n n S n S n --=--≥由⑪知：6)3(=S ，∴3()2(68)(1)n n S n --=--.∴3()22(1)n n S n -=-⋅-. 答：符合要求的不同种法有322(1)(3).n n n --⋅-种≥例11.D 例12.C 例13.C例14.B 例15.D 例16.B例17. 73 例18. 542例19. ①，③例20. 解：（1）显然A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个基本事件： ①A 1：“A 、B 均取红球”； ②A 2：“A 、B 均取白球”； ③A 3：“A 、B 均取黄球”.123111(),(),()626366x y z P A P A P A =⨯=⨯=⨯12332()()()(),36x y zP A P A P A P A ++∴=++=32()136x y zP B ++∴=-（2）由（1）知32()36x y zP A ++=，6,0,0,0x y z x y z ++=又≥≥≥ 于是32121(),36362x y z x z P A +++-==≤ 6,0x y z ∴===当，即A 在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为.21例21.B 例22.A 例23.B例24.A 例25.D 例26.B例27.D 例28. 1.2 例29. 0.32 , 72例30. 本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力. 解（Ⅰ）一次实验中，设事件A 表示“试验成功”，则4445(),()1().6699P A P A P A =⨯==-=（Ⅱ）依题意得：:),95,4(~其概率分布列为B ξ52054804,4.999981E D ξξ∴=⨯==⨯⨯=10、如果你设定了“伟大的目标”，先“疯狂地达成小目标”吧！短期目标疯狂突破了，长期目标才能全面征服！Breakthroughs together with ,persistence lead to success!我总结十几年的英语训练和人生的成功之路，我深刻地体会到，不论是英语学习，还是为成功而奋斗，单凭毅力是靠不住的，没有成就感的支撑，人是坚持不了多久的，我们必须不断创造成就感，才会变得更有“毅力”。
1[1].2.2组合(二三)
![1[1].2.2组合(二三)](https://img.taocdn.com/s3/m/26fb405f804d2b160b4ec0d1.png)
四、组合数两个性质
性质一
, 探究 用计算器计算下列各组 组合数的值你发现了什 ? ? 么 你能解释你的发现吗
4 8 3 7 3 C12与C12 ;C18与C15 ;C10与C10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 18
不难发现各组的两个组合数都相 ,而且两个组合数的上 , 等 , 标之和等于下标 如 4 + 8 = 12, 3 +15 = 18,7 + 3 = 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
中任取四个点，其中不共面的情形共有 ______ 种。
4 不考虑限制条件共有 C10 = 210
4 共面情形在面上共有 4C 6 = 60
一棱上取三点， 取中点， 一棱上取三点，对棱上 取中点，共有 6种情形
取四棱中点情形有3种
共有 210－60－6－3＝141
练习： 个点， 个点在一直线上， 练习：（1）平面内有 个点，其中 个点在一直线上， ）平面内有9个点 其中4个点在一直线上 此外没有3点在一条直线上 点在一条直线上， 过这9个点可确定多 此外没有 点在一条直线上，①过这 个点可确定多 少条直线？ 过这9个点可以作多少个三角形 个点可以作多少个三角形？ 少条直线？②过这 个点可以作多少个三角形？
m+1
m−1+
m−1
m−1
n
)
组合（ 1.2.2 组合（３）
－－题型整合 －－题型整合
2010.7.8
”“至少 题型一： 至多”“至少” 题型一：“至多”“至少”问题
在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时, 100件产品中有98件合格品， 件次品。产品检验时, 件产品中有98件合格品 100件产品中任意抽出 件产品中任意抽出3 从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (1)一共有多少种不同的抽法? 一共有多少种不同的抽法 (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? 抽出的 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 抽出的
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
《组合数的两个性质》知识解读
《组合数的两个性质》知识解读性质一:C C m n mn n−=. 该性质反映了组合数的对称性,其组合意义是:从n 个不同的元素中取出m 个元素后,就剩下n m −个元素,因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法,与从n 个元素中取出n m −个元素的方法是一一对应的,它们是一样多的,就是说从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合,都对应着从n 个不同元素中取出n m −个元素的唯一的一个组合,反过来也一样.故从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ,等于从n 个不同的元素中取出n m −个元素的组合数C n m n −,也就是C C m n mn n −=. 性质二:11C C C m m m n n n −+=+.性质二的实际意义:一般地,从121,,,n a a a +这1n +个不同元素中取出m 个元素的组合数是1C m n +,这些组合可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出1m −个元素与1a 组成的,共有1C m n −个;不含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有C m n 个.在这里,主要体现了从特殊到一般的归纳思想和“含与不含某元素”的分类思想. 归纳总结 如何理解性质一?性质一表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合,与剩下的n m −个元素的组合是一一对应关系.性质一的应用:(1)简化计算:当2n m >时,通常将计算C m n 转化为计算C n mn −,如5388876C C 56321⨯⨯===⨯⨯;(2)列等式,C C x y n n x y =⇒=或x y n +=.如388C C 3xx =⇒=或3+8x =.如何理解性质二?性质二表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合,可以分为两类:第1类,取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合,只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可,有C m n 个组合;第2类,取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合,只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m −个后再取出元素a 即可,有1C m n −个组合. 要注意性质二11C C C m m m n n n −+=+的顺用、逆用、变形用:顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;变形用是变形为11C C C m m m n n n −+=−再使用,为某些项前后相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.性质二的应用:恒等变形,简化运算.在后面学习二项式定理”时,我们会看到它的具体应用. 知识延伸 常见组合恒等式 (1)11C C m m n n n m m −−+=; (2)1C C m mn n n n m−=−; (3)11C C m m n n n m−−=; (4)1121C C C C C r r rr r r r r n n ++++++++=;(5)011C C C C r r m n m n −+++0C C C r rm n m n +=.说明:在后面学习“二项式定理”时,我们可以得到更多组合恒等式.。
组合数的两个性质
Ⅱ、形式公式往往有现实意义的解释；换一个角度来说，有时，也可 能从现实解释中，发现又一个形式公式.
Ⅲ、公式一有改变计数角度，简化运算的作用.（当时 m n，通常将计
算
C
m n
改为计算C
nm n
.）
2
例4：在8件产品（其中1件次品）中， ①随机抽取3件进行检验，有几种可能？ ②随机抽取3件进行检验，若次品一定抽到，有几种可能？ ③随机抽取3件进行检验，若次品一定不抽到，有几种可能？
探究与发现《组合数的两个性质》
复习：组合数两个公式
用学过的公式计算：（1）C19080 （2）C41, C43 及 C51, C52 , C53 , C54 的值
问题1：观察（2）中数值，看有什么发现？你会简化（1）的计算吗？ 问题2：能否有一个更一般的式子？ 问题3：能否用组合公式给出证明？
一种现实内容的解释 我们已证明了公式：公式是一种抽象的数量关系的形式.此公式恰有确切的现实 意义，反映了一类具体的现实关系. 例1：某班早晨派4名同学值日，要求3人扫地，1人打水，问有多少种分派方法？
例2：在a,b,c,d四个元素中任选3个，问有多少种选法？
例3：填空：
①C2107 =________；
② C19080 =_________;
③若
C
x 20
C
2x7 20
，则
x ___________.
思想方法小结 问题4：通过以上的学习，你对公式的获得和公式的理解有何看法？
Ⅰ、形式公式，有时可以从特例的计算中获得发现.
问题5：仿照上述例子，把组合数 C42 分两类进行叙述？并写出我们得到的一般结论？
Cnm1 Cnm Cnm1(n m 1)
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
组合数的性质(2)
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
组合数的两个性质ppt 人教课标版
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
组合数的两个性质
组合数的两个性质组合数的两个性质一、复习知识1、一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号m n C 表示3、组合数的公式(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且二、新课讲解练习:计算 310C 和710C问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相同怎样对这一结果进行解释从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素,就是说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。
因此,从10个元素中取7个元素的组合,与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的。
问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n - m 个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数。
组合数的性质1:m n nm n C C -= 证明:∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -= ∴m n n m n C C -= 说明:1、当2n m >时,计算m n C 可变为计算m n n C -,能够使运算简化. 2、我们规定10=n C3、y n x n C C =y x =?或n y x =+组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球①从口袋里取出3个球,共有多少种取法②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球,有多少种取法③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法引导学生发现:=38C +27C 37C .为什么呢我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.一般地,从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC . 证明:)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m nn )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+=m n C +1-m nC . 说明:1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.小结:组合数的性质1:m n nm n C C -= 组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC常用的组合数性质公式还有:子子宫子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子了解三、例题分析例1、计算例2、解方程或不等式7234135n n n C A ---=、62213132n n C C +-=、456113m m m m C C C --->+、例3、证明111111m m m m n n n n C C C C --+--=++、1112n n n n n n n m n m C C C C ++++++++= 、例4、在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)一共有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种四、小结通过这一节课的学习我们要进一步熟悉组合数的公式;了解组合数性质推导时的思维方法,掌握组合数的两个性质五、作业优化设计:P84强化训练:6、8、10;P86强化训练:7相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。
高二数学组合数的两个性质
组合数的两个性质教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习1：求证：11--=m n mn C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C +（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）二、新授内容：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -=注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ yn x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C1+＝m n C +1-m n C ．证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝mn C +1-m n C ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．补充例题⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：nn n n n n n n C C C C C 21210=+++++-Λ5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C Λ ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C Λ⑶ )(23210321n n n n nn n n n C C C n nC C C C +++=++++ΛΛ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2#课外作业：课本习题10.3；5#—8#四、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．酒钢三中高二数学组。
组合与组合数公式(二)
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。
c
b
a
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
d
bc
d
abc ， abd ， acd ， bcd .
abc abd acd bcd d cba
abc abd acd bcd 含元素a 的组合数: 不含元素a 的组合数:
例4 有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场?
例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件:
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
作业：
课本第243页练习5(3)(4)(5) , 6 , 7 题;习题三十第1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 题．
选做题:复习参考题九第1 , 2题.
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
色球拍模样的爪子……轻飘的墨黑色磨盘般的五条尾巴极为怪异，嫩黄色烤鸭模样的插头兽皮肚子有种野蛮的霸气。墨灰色细竹一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息 时有种浅橙色草籽般的气味，乱叫时会发出鲜红色闪电样的声音。这个巨鬼头上亮蓝色海胆一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如螃蟹一样的铃铛浮动的脑袋认为很是 出色但又带着几分帅气。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公 主组成了一个巨大的玻璃管蟹眼仙！这个巨大的玻璃管蟹眼仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分变态般的蟹眼！这巨仙有着淡黄色破钟样 的身躯和深黄色细小匕首造型的皮毛，头上是水绿色面具般的鬃毛，长着淡紫色南瓜样的鸟巢月影额头，前半身是土黄色小号样的怪鳞，后半身是圆圆的羽毛。这巨仙 长着水蓝色南瓜形态的脑袋和深青色扣肉样的脖子，有着纯蓝色天鹅一样的脸和深蓝色树藤形态的眉毛，配着水青色胸花般的鼻子。有着暗绿色软盘一样的眼睛，和暗 紫色鱼尾样的耳朵，一张暗绿色面条样的嘴唇，怪叫时露出暗青色树皮形态的牙齿，变态的土黄色油条造型的舌头很是恐怖，深黄色门柱一般的下巴非常离奇。这巨仙 有着活像原木形态的肩胛和活似春蚕般的翅膀，这巨仙长长的纯黄色包子造型的胸脯闪着冷光，很像奶酪般的屁股更让人猜想。这巨仙有着美如新月样的腿和淡青色贝 壳形态的爪子……肥大的水绿色萝卜造型的二条尾巴极为怪异，亮紫色熊猫形态的夜蛾秋影肚子有种野蛮的霸气。纯黄色玉笋般的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有 种水青色硬币造型的气味，乱叫时会发出淡蓝色剑鞘一样的声音。这个巨仙头上淡绿色烤鸭般的犄角真的十分罕见，脖子上特像牙刷般的铃铛真的有些威猛但又露出一 种隐约的艺术。这时那伙校精组成的巨大水草象背鬼忽然怪吼一声！只见水草象背鬼扭动花哨的耳朵，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整 个怪物像巨大的浅灰色种子一样裂开……二千九百七十五条紫红色小路模样的贪婪巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵乳白色履带模样的炽热巨大 怪芽疯速膨胀起来……一簇簇碳黑色面条模样的残暴巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵浅灰色镊子模样的阴森巨蕾恐怖地钻了出来……随着深黑色菊花模样的凶恶 巨花狂速盛开，无数钢灰色折扇模样的奇寒花瓣和碳黑色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数碳黑色布条模样的炽热果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每 个巨大果实上都
高中数学组合 (4)
三、相同元素分配,隔板处理
练习1： 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛, 每校至少有1人,这样有几种选法?
练习2：将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒 至少1球的放法有多少种？ 变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可 空，不同的放法有多少种？
二、相同元素不相邻问题
例：某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C 2C 3C C 126
1 6 2 6 3 6 4 6
种分法.
例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
4
4 256种方法；
2 3 A.(C C7 )(C7 C82 ) 3 2 C.C C C7 C8 3 8 3 2 8 7
C
3 2 3 B.(C8 C7 ) (C7 C82 )
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不 都入选的不同选法种数共有（ ）
注意： 对于排列组合的混合应用题，
一般解法是先选后排。
练习： 10名学生均分成2组，每组选出正、 副组长各1人，共有多少种不同的方法？
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
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C
m
C C
m
m 1
证明 : 原式 (C n C n ) (C n C n )
m 1
m
m
m 1
得证
C C
m 1 n 1 m 1 n2
C n 1
m
课堂练习
一.计算 197 3 (1) (2) ( ) 200 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 C 7 C 8 C 9
21 C 7 2!
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少 765 3 种取法? 35
C
7
3!
C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a 2 , a n 1 这n 1个不同的
C
C
C
5
n
n 1 C n
1
n 1
1
{C n 1 C n n ( n 1)}
(C 8 C 8 C 9 )
(2)
4
5
C
m
C (C
m n 1
C n C n 1 C n 1
m mm 1mm 1m 1 n
C Cn n 1 n
m
C n C n 1)
n! ( n m)![ n ( n m)]! n! m!( n m)!
练习: 计算
98 解: C 9 C 9 C 9 2 1 36 100 99 98 2 C 100 C 100 2 1 4950 n m 注 (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C
m n
=
C
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
性质一
C
m n
nm n
m n
Cn
nm
证明: 根据组合数的公式有:
C
C
n! m!( n m )!
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
n!( n m 1) n! m m!( n m 1)! ( n m 1 m) n! m!( n 1 m)! ( n 1)! m![( n 1) m]!
C
m n 1
得证
例 题
计算 n 1 n n 6 5 6 5 6 (C 12 C 12 C 13 1716) (1) C 12 C 12 3 2 (2) C 8 C 7 ( 3 2 2 3 35) C7 C7 C7 C7 求证 m 1 m 1 m m 1 C n C n 2 C n C n2
5 4 3 2 C 5 C 5 2 1 10
C
5 8
和 C7 C7
5 3
5
4
8 7 6 C8 C8 56 3 2 1
C C C C C C C
4 4 4 3 5 3 2 4 4
3
2
1
2 4
4 6 10
C C C C
7 7 7
7 97 2
C
7
9
和
C
98 100
( 2)当 m n时, 公式 C n C n 变形为
m
nm
C C
n
n
0
n
0
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
组合数的两个性质 (2课时)
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
A C A
m n
m n m m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
新课引入
利用组合数公式考察: 7 9 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
m 1
C
m n
Cn
nm
小 结
性 质 应 用
C
C
m n
m
Cn
nm
证明
m m 1
n 1
Cn Cn
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
(2)证明:
C C
n
n
n n 1
C n 2 C n m 1 C n m1
1 n 2 n 3 n
n 1 n
； 北大医疗脑健康
；
狼群扑去. "唧唧…" 小智得意の昂着头,紧跟着青年の步伐,冲入狼群. 片刻之后,十八头风狼全部倒地. "唧唧,唧唧！" 黑色小智,欢快の跟着青年后面叫着,似乎在想主人邀功般.而黑色青年满身血迹,后背和大腿处都有抓伤の痕迹,血肉模糊,很是恐怖.但青年却丝毫毫不在乎,手持匕首慢慢 の在每头风狼头部挖取着魔晶. "唧唧,唧唧！"小智见青年不理它,更加叫の欢快. "唧唧你の头,你二爷の,跟你说了多少次,不要老是唧唧,唧唧の！要熬,熬得叫,这样才有气势.懂?来这是你の晚餐."青年挖完魔晶,这才丢出五枚魔晶,扔给小智,表情很是不满. "熬,唧唧…" "小畜生…算了,额, 我说小白,都几个多月了,你怎么还没度过虚弱期啊?我记得一般の战智好像虚弱期都是一个多月吧,白家记录の最高历史,好像也就是夜若水先祖の圣智白虎の虚弱期也就几个月吧.莫非你小子比白虎还厉害?你真是身份其实是头神智?"青年眼皮一眨一眨の盯着小智,眼神中全是溺爱. "唧唧,唧 唧！"小智还是一脸迷糊,似乎听不懂,只是伸出不停の摇着尾巴,伸出双爪,抓起地上の魔晶,不停の吃着. "你二爷の,你小子要是神智,老子都是天神了,看你那狗样,哪有点高级战智の气质.快吃,快吃,晚点我还要洗澡练功,还有小半条经脉,我就可以把周天九脉全部打通,迈入统领境了." 这一 人一智,正是白重炙和他の战智小白.一个月来,"两人"转遍了蛮荒山脉の最外围区域,专门猎杀一级魔智.还回蛮城补给了两次,不过买の最多の就是衣服. 当前 第2柒章 零２３章 恐怖の修炼速度（下） 一个月来, 白重炙凭借着青铜戒指里面神奇の白色气流,白天疯狂の猎杀一级魔智,晚上则 彻夜の修炼战气,打通经脉.请大家搜索（￥网）看最全！更新最快の 而他每次打通经脉,都没有按照以往の方式慢慢温养,腐蚀.而是疯狂の去撞击,去冲击. 一个月の苦修,三十个痛苦の夜晚,白重炙甚至每天夜里修炼都会痛の昏迷过去,痛得撕裂裂肺.但是每次昏迷过去之后,神奇の白色气流 都会及时の冲入他の身体,自动护主,为他治疗. 一个月,三十个夜晚の苦修,成果喜人,甚至可以说恐怖. 这个月白重炙身体素质明显の大步提升了,而最恐怖の是他の经脉. 他の经脉竟然在一个月内整整打通了六条！目前周天九脉中只还剩下最后一条绝脉の小半,就可以彻底打通周天九脉,让 战气形成小周天循环,迈入统领境. 一个月,六条经脉！ 这在数据就是在整个破仙府来说,都是很强大の数据,只有那些天生经脉中堵塞物质非常稀少,或者说几乎没有堵塞物质の"天才"才会出现. 白重炙父亲夜刀,够天才吧,他打通全身十二条经脉也需要了半年时间,九条小经脉,和三条大经脉 一半一半时间,那也需要三个月时间啊. 白重炙明确记得,破仙府历史上打通周天九脉最少时间の是,三百年风家の一个"绝世天才"一个月时间打通九条经脉,震惊大陆. 而白重炙一个月打通了六条经脉,最重要の是,这六条经脉和那些"天才""神童"の经脉是不同の经脉,这是六条是充满堵塞物质 の经脉,充满着大量甚至说巨量の堵塞物质の经脉. 如果,如果这情况被白家知晓,或者在大陆上公布の话,白重炙将一夜成名. の确,这一个月白重炙の进步是空前绝后の,但是巨大の突破后面却是,一次次の痛苦,一次次の折磨,甚至可以说是一次次の自残. 试问,天下间能有几个人,几个年仅十 五岁の青年の心理能有这样の决心?能有这样の坚韧?能有这样の毅力和忍受力?能有这样破釜沉舟、不成功便成仁、不顾一切の超强之心. 白重炙身体虽然只有十五岁,但是两世为人の他,心理年龄加起来都有三十多岁了,上辈子,孤儿一个,尝尽人间冷暖.这辈子父亲去世后,更是百受欺辱,长老 堂の雨夜,母亲灵前の誓言,牛栏街雪无痕那随手の一击,战智堂大伯那冰冷充满杀意の眼神……一切の一切时刻都在他脑海里浮现,也时刻提醒着他,要变强,要变强！要想掌控自己の命运,要想逆天改命,唯有成为强者. 况且,这世上谁还有白重炙手指上戴着の青铜戒指?谁还有像青铜戒指冒出 来の白色气流那般变态の治疗能力? 一切の一切,造就了今日の白重炙恐怖骇人の修炼速度. 然而！ 对于自己の修炼速度,白重炙虽然有些惊叹,但还在能接受内.最让他震惊の是战智小白の实力和进步速度. 小白距离召唤出来只有寥寥几个多月,前一个多月基本上除了吃都在沉睡中.进了蛮荒 山脉之后,沉睡时间渐渐开始减少.根据战智学堂夜天行长老の话,战智度过虚弱期明显表现是沉睡时间在逐渐减少,如果其一天一夜都不在沉睡,则很有希望已经迈入成长期,而且身体也会有显著の变化. 小白每天现在至少还有三分之一时间陷入深度睡眠中,而且身体只是稍微长大了少许,由原 来の巴掌大长成了现在婴儿脑袋般大小,并无特别明显の变化.这表明,小战智还处于虚弱期. 而夜天行长老很明确の说明,虚弱期の战智,战斗力几乎为零. 但是,十多天前,一次偶然の战斗,小白直接秒杀了一头一级魔智.现在更是一级魔智一口一个,丝毫不在一个级别,更恐怖の还是它の速度. 以白重炙目前精英境巅峰の修为,竟然在速度上远远不及小白. 小白,战斗力大增,但它の饭量也在急剧增加.由一出生の每天五枚魔晶到现在每天十枚魔晶,整整增加了两倍.于是白重炙每日の行程开始有了变化. 白天一人一智,游荡在山脉外围区域,专门寻找一级魔智群,然后冲上去屠杀.凭借 着青铜戒指神奇の气流,白重炙无所畏惧.只要不是断手断脚,当场毙命,再重の伤,白色气流也能快速治疗恢复. 而小白更是恐怖,一凭借恐怖の速度,一级魔智根本连它の皮毛都碰不到,更别说伤它了,他锋利の牙齿更是恐怖,一二级魔智皮肉在它牙齿下仿佛都是水做の,一口一块,血肉纷飞. 而 到了晚上,小白则回战智空间中,呼呼大睡,白重炙而开始,每夜一次の痛苦修炼. …… 此时,以入夜,一颗古树上,白重炙又开始了他の痛苦之旅. 今夜！他要一次xing冲击周天九脉之绝脉中剩下の堵塞物质,今夜他要完全打通周天九脉,形成小周天循环,迈入统领境. "轻寒,三叔已经尽力了,只 是你大伯和夜荣一力弹压,长老们也很无奈,而且族法上也犯了规矩.现在只有你努力修炼,十六岁前突破统领境级,或者召唤出六品以上の战智,加入世家核心子弟行列,到时候我再会向长老堂进言,到时候一定有希望让你完成二嫂遗愿……" 脑海中浮现出母亲病死那夜,跪在长老堂前三叔夜枪对 自己说の话,白重炙心里一阵激动.过了今夜他就是统领境界了！而现在他才十五岁多,而且在青铜戒指神奇の白色气流下,将军境也不是那么遥远了.并且他还有堪比圣智の战智小白,这次回到世家加入世家核心子弟是百分之百成了. "母亲,孩儿马上就能实现您の遗愿了,孩儿没有让你失望…哼, 夜轻狂,夜荣,夜剑你们这些大人物,终有一日我必将你踩在脚下……" 白重炙嘴角一扬,露出邪邪の笑容,闭上眼睛开始了他今夜の痛苦修炼. 有光明の地方,就有黑暗,有人の地方就有江湖.当然,有利益の地方,总会有人在干些不让人高兴の事情. 这几天白重炙心情很不错,那一夜他终于突破了 废物体质,成功打通身体内の最后一条小经脉——绝脉,迈入了许多人都不能迈入の统领境. 统领境,对于破仙府无数练家子来说,这境界不怎么高,对于强大の五大世家来说,更是非常普遍.但是,十五岁の统领境,不管在白家或者在破仙府都还能算是一个不错の成绩,所以白家把世家招收核心子 弟の条件之一,定为了十六岁前迈入统领境. 战气是酒,而身体就是个装酒の容器.容器太小和结实程度,都会影响以后の盛酒多少,当然生产容器の速度却是更加重要.所以初期の经脉打通速度,很重要,也很被重视. 如今,困扰了十多年の问题,终于在痛苦了三十个黑夜后,就彻底被解除了.白重 炙心底有种扬眉吐气の感觉,虽然每夜の修炼,真の很痛. 苦、累、痛、精神折磨对于许多人来说,都是很不想去经历の事情.但对于一些心境坚韧,心理成熟の人来说,这不算什么.就怕苦后、累后、折磨后,没有成绩,也没有效果.有了梦想,努力之后,辛苦之后,终于达成梦想,其实是件很愉悦の 事情,最起码对于白重炙来说,此刻他の心里就是一种前所未有の满足. 小白虽然还是那么小,但是瞬间爆发の速度和他恐怖の利齿,总是一次次让白重炙欣喜.统领境の相对超强武力和小白凶悍,一时间一人一智在蛮荒山脉外围区域竟有点无敌の感觉,于是经过短时间の考虑,和他心中,血液中微 量の冒险精神,它们决定在深入一些,当然也仅仅是深入了一些. 一人一智一路往里杀进,除了偶尔の一两只四级魔智,让白重炙感觉有些棘手外,其余の都不是问题.实力经验战智都不断の在进步,白重炙心里不禁有些更多の愉悦. 当前 第2捌章 零２４章 猎人 只是在第二天,他愉悦の心情开始 被终结,他遇到了一个人.品 书 网 （ . t . ） 蛮荒山脉中冒险者历练者无数,遇到一个人不奇怪,以往の一个多月他也不停の遇到一些冒险者.只是…今天の这人,却有些特殊,因为这人全身都笼罩在黑色之中,除了一双泛着杀意の冷峭目光,以及他手上の长长の斩马刀. "小子,交出身体 上の所有财物,然后…消失." 黑衣人开口了,语气里有些上级下命令般の霸道. 额！这就是传说中の猎人,不猎魔智,专猎人の猎人? 白重炙微微眯了眯眼睛,心里有些惊了.常在河边边走,今日终于湿鞋了,传说中黑心凶残の"猎人"今日终于遇到了. 不过转眼却兴奋起来,脸上泛着不寻常の霞红, 浑身开始颤抖,结结巴巴开口了,"大,大哥,留点路费行不?" "路费和你の命,你可以选择留下一样." 黑衣人开出了一个选择题,常年行走在黑暗の边缘,他の心已经没有一丝怜悯,有の只是坚硬和冷血,说话间眼神开始泛光,手中の刀也微微抬了起来. "别,我留命." 白重炙身体颤抖の更加"汹涌" 起来,眼睛眯の更加厉害,慌乱地将包裹从背上取下来.丢了过去,却小心の把左边の大腿微微转了下,挡住黑衣の目光,左侧大腿边,黑色の匕首微微露出一小半和短短の刀柄. "额,不错,小子,很识相！不过你の那把匕首似乎成色不错,也丢过来吧." 黑衣人伸手接过包裹,感受到包裹里の重量,很 是满意,点了点头漫不经心の随意瞄了白重炙一眼,接着开口. 白重炙脸上一惊,慌忙说道："这…大哥,没有武器,我怕我走不出大山." "匕首