上海高一反三角函数典型例题
反三角函数典型例题
反三角函数典型例题之阳早格格创做例1：正在下列四个式子中，蓄意思的为__________： 解：（4）蓄意思.（1）2）arcsin4π；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2).面评：arcsin x ——x [1,1]∈-. 例2：供下列反正弦函数值（1）=解：3π （2）arcsin 0= 解：0（3）1arcsin()2-= 解：6π-（4）arcsin1=解：2π面评：流利影象：0，12±、1±的反正弦值.思索：1sin(arcsin )24π+该怎么样供？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x(1)sin x =，x [,]22ππ∈-解：x ＝ 变式：x [,]2π∈π?解：x [,]2π∈π时，π－x [0,]2π∈，sin(π－x)＝sinx∴π－x ＝x ＝π－变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或者x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈-解：1x arcsin 4=-变式：1sin x 4=-，3x [,2]2π∈π解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝14 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 14面评：当x [,]22ππ∈-时，x arcsin a =；而当x [,]22ππ∉-，不妨将角转移到区间[,]22ππ-上，再用诱导公式处理对于应角之三角比值即可.训练：(1)sin x =，x [,]22ππ∈- 解：x 3π=(2)sin x =，x [0,]∈π 解：x =x =π-(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3x arcsin 5=π+例4：供函数y 2arcsin(52x)=-的定义域战值域. 解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ. 变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22ππ∈--+ 思索：当3x [,]44ππ∈-时，供函数y arcsin(cos x)=的值域.解：当3x [,]44ππ∈-时t cos x [=∈，而y arcsin t =为删函数，则y [,]42ππ∈-. 例5：供下列函数的反函数(1)y sin x =，x [,]2π∈π解：y [0,1]∈，x [,0]2π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈.(2) y arcsin x =，x [0,1]∈解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2π∈. [例6] 供下列反三角函数的值：(1)＝6π(2)arccos(＝34π（二种要领）(3) arccos 0＋arctan1＝34π(4)arctan(＝3π-(5) arcsin (－12)＋arccos (－12)＝2π (6)5arctan(tan)6π＝6π-[例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x ：(1)1cosx 3=，x [0,]∈π解：1x arccos3=变式：1cosx 3=-，x [,2]∈ππ解：1x 2arccos3=π-(2)tan x 2,x (,)22ππ=-∈-解：x arctan(2)=-变式：3x (,)22ππ∈解：x arctan 2=π+[例8](1) 已知arcsin x arcsin(1x)≥-，供x 的与值范畴.解：由11x x 1-≤-≤≤，得1x 12≤≤.(2) arccos x arccos(1x)>-解：由1x 1x 1-≤<-≤，得10x 2≤<.(3) arctan x 3π> 解：x >(4)arccosx 3π>解：11x 2-≤<[例9供y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域.解：∵－1≤x ≤1∴－34π≤y ≤34π——波及战函数观念，反正弦、反正切函数单调性[例10] 供下列各式的值：(1)sin(arccos(解：设x arccos(=，则cos x =且x [,]2π∈π，则sin x =(2)tan[arccos(]6π-解：3tan()243ππ-==(3)213cos (arccos )25 解：设3x arccos5=，则3cosx 5=且x [0,]2π∈，则2x 1cosx 4cos 225+==(4)123sin[arctanarcsin ]55-解：设12arctan5α=，3arcsin5β=，则12tan5α=，4sin5β=且,(0,)2παβ∈，则1231245333 sin[arctan arcsin]sin()5513513565-=α-β=⨯-⨯=.思索：若供11arctan arctan23+的值呢？解：1arctan2α=，1arctan2β=，则1tan2α=，1tan3β=且,(0,)2παβ∈，∵tan()1α+β=，且(0,)α+β∈π，∴4πα+β=.。
反三角函数典型例题
精品文档5 5(1) sin x 解:(2) sin x [0,]解: (3) sin x处］解:3•胚或 arcs in 或 x3 .3 arcsin.3 arcsin- 3反三角函数典型例题例2:求下列反正弦函数值1 sin( arcs in)该如何求? 24用反正弦函数值的形式表示下列各式中的变式：x ［一，］?2解:x [2,]时，n —x【°,2]，sin( n — x) =sinx= £ • n — x = arcsin —3，贝U x = n — arcsin —355解: x = arcsin —3或 x = n — arcsin —35例1:在下列四个式子中，有意义的为解：（4）有意义。
(1) arcs in . 2 ； (2) arcsin _ ； (3) 点评：arcsinx 4 1,1]。
sin( arcs in 2) ； ( 4)arcsin(sin2)。
(1) arcsin -2 (2) arcsin0 解：0(3) arcsin(-)2点评:1熟练记忆：0,-2解：-62，(4) arcs ini1的反正弦值。
思考:(1)sinx £，x [ -,^]解: .43 x = arcs in5变式：x ［0,]?⑵ sin x -4变式：si nx2 2 x [—,2 ]2解:.1 arcs in 43解：x [,2 2]时，2-x [0,2]，1 sin(2 n — x) = — sinx=— 42 n — x =1 山arcs in ，贝U x = 2 n — arcs in — 点评：当x ［ 2,2］时，x arcsina；而当处理对应角之三角比值即可。
［舊］，可以将角转化到区间［形］上，再用诱导公式练习:精品文档3x ［-,］时，求函数y arcsin(cosx)的值域。
例5:求下列函数的反函数 y arcsinx ， x [0,1]［例6］求下列反三角函数的值： (1) arccos —⑵ arccos(2)= 3—(两种方法)2 624 3 (3) arccos0 + arcta n1 =⑷arctan( . 3)=43 11 (5) arcs in ( — )+ arccos (— )=-222⑹ arcta n(ta nJ=66［例7］用反三角函数值的形式表示下列各式中的x :11(1) cosx , x[0,]解: x arccos-33变式：cosx- ,x [ ,2 ] 解: x12arccos- 33(2) tanx 2,x(,)2 2解: x arctan( 2) 变式：x (一，一)解: xarcta n22 2［例8］ (1)已知arcsinx arcsin(1 x)，求x 的取值范围。
上海高一数学下册--09—反三角函数与最简三角方程
反三角函数与最简三角方程知识梳理2、最简单三角方程的解集：例题解析一、反三角函数的定义【例1】求下列反三角函数的值：（1）arcsin(2-；（2）arcsin1；（3）1arcsin 2（4）arccos2；（5）1arccos()2-； （6）arctan(1)-；（7）arctan 3【难度】★ 【答案】（1）3π-；（2）2π；（3）6π；（4）6π；（5）23π；（6）4π-；（7）6π【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示． 【难度】★ 【答案】415arcsin-π；⎪⎭⎫⎝⎛-41arccos ；15arctan -π；【例3】用反三角函数的形式表示下列角： （1）已知13sin 42x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反正弦的形式表示x ； （2）已知1cos 042x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反余弦的形式表示x ； （3）已知13tan 42x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，用反正切的形式表示x ； 【难度】★★【答案】（1）1sin4x arc π=+；（2）1cos 4x arc =-；（3）1tan 4x arc π=+ 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略【例4】关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数． 【难度】★★【答案】x arcsin y -=π，()sin 4,sin 2x ∈ΔABC 234AB BC CA ===，，B ∠【解析】由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2 由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=， 即arcsin x y π=-将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y f x x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈【巩固训练】1．求下列反三角函数的值：1）1arcsin 2⎛⎫-⎪⎝⎭2）arcsin 23 3）arccos 21 4）arccos （-23） 5）1arctan 6）arctan （-33）【难度】★ 【答案】（1）6π- ；（2）3π；（3）3π；（4）56π；（5）4π；（6）6π-2．用反正弦函数值表示下列式子中的x ： （1）1sin 5x=，(0,)2x π∈； （2）1sin 5x =，(,)2x ππ∈（3）1sin 5x=， x 是第一象限角； （4）1sin 5x =， x R ∈ 【难度】★★ 【答案】（1）1arcsin 5x=；（2）1arcsin 5x π=-；（3）12arcsin 5x k π=+，k Z ∈； （4）12arcsin5x k π=+或12arcsin 5x k ππ=+-，k Z ∈．3．函数3sin 22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的反函数为 （ ）[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11【难度】★★ 【答案】D【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：ππ232≤≤x ∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin 由反正先函数的定义，得：arcsin x y π-=，又11y -≤≤，故反函数为：[]arcsin 11y x x π=-∈-，，4．已知1cos 3x=，根据所给范围用反余弦函数值表示x ： 1︒x 为锐角 2︒ x 为某三角形内角 3︒ x 为第二象限角 4︒ x R ∈【难度】★★【答案】（1）1arccos 3x =；（2）1arccos 3x =；（3）不存在；（4）12arccos 3x k π=±()k Z ∈5． 1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x ． 2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合． 3）已知1tan 3x =且x R ∈，求x 的取值集合． 【难度】★★【答案】（1）1arctan 3x =；（2）1arctan 3x =或1arctan 3π+； （3）12arctan 3x k π=+或12arctan 3k ππ++()k Z ∈．6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A .0个B .1个C .2个D . 3个 【难度】★★ 【答案】C二、反三角函数的图像与性质1、反三角函数的图像应用【例5】下列命题中正确的是①函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；②函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； ③函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；④函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 【难度】★ 【答案】③【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：（1）2arcsin 5与；（2）2arccos 3与2arccos()3-；（3）2arcsin 3与2arccos 3【难度】★【答案】（1）2arcsin5<；（2）2arccos 3<2arccos(3-；（3）2arccos3=Q ，23<，2arcsin 3∴<，22arcsin arccos 33∴<【例7】求解下列不等式中x 的范围： （1）arcsin 1x ＜；（2）2arccos(21)arccos x x -＜； （3）arcsin arccos x x >；（4）()2arccos arccos 0x x --＞． 【难度】★★【答案】（1）1sin1x -≤＜；（2）112x -≤-＜（3）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦；（4）112x -≤＜【例8】求下列函数的反函数： （1）arcsin 2y x π=-，[1,1]x ∈-； （2）sin y x =（32x ππ≤≤） （3）2arccos(21)y x =+-； （4）1arctan 32x y = 【难度】★★★【答案】（1）反函数为cos y x =，[0,]x π∈；（2）反函数为arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-； （3）反函数为11cos(2)22y x =-+，[2,2]x π∈+；（4）反函数为2tan(3)y x =，(,)66x ππ∈-．【巩固训练】1．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是 ． 【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2123，2．解不等式：5arccos(2)6x π->． 【难度】★【答案】22⎛⎤+⎥ ⎝⎦【解析】原式即为：arccos(2)arccos(2x ->由arccos y x =为减函数，知12122x x -≤-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩解得原不等式的解为：1,22⎡-⎢⎣⎭3．求下列不等式的解集：（1）2arcsin arcsin(1)x x <-；（2）arccos2arccos(1)x x <-；（3）2arctan 2arctan(3)0x x +->．【难度】★★ 【答案】（1）1[1,)2--；（2）11(,]32；（3）(1,3)-2、反三角函数的定义域、值域与最值【例9】写出下列函数的定义域： （1）y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】（1）[0,1] （2）⎣⎦ （3）[2,1)-【例10】求下列函数的定义域和值域：（1）2arcsin 33x y π=+；（2）y =；（3）arc tan(21)y x =-． 【难度】★★【答案】（1）定义域为[3,3]-，值域为24[,33ππ-；（2）定义域为[1,1)-，值域为)+∞； （3）定义域为R ，值域为(,22ππ-；【例11】函数()21arcsin 2y x x =-的值域是 ．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41214arcsin ，π【解析】由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤【例12】求函数xarcsin y 1=的定义域与值域． 【难度】★★【答案】[)+∞,1，⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π 【解析】由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≠01arcsin 1110x x x 得1≥x ，故函数的定义域为[)+∞,1由20,21arcsin 01101ππ≤<∴≤<∴≤<⇒≥y x x x ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π【例13】求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值． 【难度】★★【答案】最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．【例14】函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， 【解析】函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增， 所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【例15】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域． 【难度】★★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 【解析】先求函数的定义域∴≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,2102121201211111211x x x x x x x 函数的定义域是}⎩⎨⎧≤≤210x x2)1arcsin(6,1121,210ππ≤-≤∴≤-≤∴≤≤x x x 同理：22arccos 0120π≤≤∴≤≤x x∴函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6．【巩固训练】1．函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =___________． 【难度】★★【答案】由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a a x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。
高中数学反三角函数练习题及讲解
高中数学反三角函数练习题及讲解### 高中数学反三角函数练习题及讲解#### 练习题1. 求值题：计算 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) 和 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\) 的值。
2. 化简题：将 \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 化简为一个角度。
3. 应用题：在直角三角形ABC中，已知角A的正弦值为\(\frac{3}{5}\)，求角A的余弦值。
4. 方程题：解方程 \(\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) =\frac{\pi}{4}\)，其中 \(x \in [-1,1]\)。
5. 证明题：证明恒等式 \(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) =\frac{\pi}{2}\) 对所有 \(x > 0\) 成立。
6. 综合题：如果 \(\sin(\theta) = \frac{4}{5}\) 且 \(\theta\) 在第一象限，求 \(\cos(\theta)\) 和 \(\tan(\theta)\)。
7. 探索题：探索并证明当 \(x\) 从 0 增加到 1 时，\(\sin^{-1}(x)\) 和 \(x\) 之间的关系。
8. 图形题：在单位圆上，找出 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})\) 对应的点，并描述该点在坐标系中的位置。
#### 讲解1. 求值题：根据特殊角的三角函数值，我们知道 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ\) 或 \(\frac{\pi}{6}\) 弧度，\(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\) 或\(\frac{\pi}{6}\) 弧度。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
arcsin(x) arcsin x -3 x [1,1].
(4)单调性:是增函数
y
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
22
1.5
2 -1
-2
-1
21
0.5
o
-0.5
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
1
2
12
x 3
yx
-1
π 1 -π 2
3π
2 2π
X
- 2π 3π 2
O
ππ
-1
2
*就使得
y
=
sinx,
x
π 2
,π 2
(一一对应)
y 1,1
----这时的正弦函数在上述定义域内就存在反函数.
*感悟: 选择上述区间的科学性、合理性和简便性.
*(1)反正弦函数的定义:
函数 y = 弦函数.
sinx,
x
π 2
,π 2
,y
1,1
的反函数就叫做反正
*记作:
y
arcsinx,x
1,1
,y
π 2
,π 2
.
*(2)当 x 1,1 时,(arcsinx)就表示闭区间
π 2
,π 2
上的一
个唯一确定的角.
〖例题1〗求下列反正弦函数的值.
(1).arcsin 3 ; (2).arcsin0; (3).arcsin( 1 ).
Y
y sinx,x R.
π 1 -π 2
3π
2 2π
X
- 2π 3π 2
O
ππ
-1
反三角函数练习题
反三角函数练习题反三角函数是高中数学中的一个重要概念，它是三角函数的逆运算。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要求解反三角函数的情况。
本文将通过一些具体的练习题来帮助读者更好地掌握反三角函数的应用。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个直角三角形，已知斜边的长度为5，对边的长度为3，我们需要求解该直角三角形的一个角的正弦值。
根据三角函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
所以，sinθ=3/5=0.6。
现在我们要求的是角θ的值，即θ=sin^(-1)(0.6)。
这里的sin^(-1)表示反正弦函数，它的作用是求解给定正弦值的角度。
通过计算，我们可以得到θ≈36.87°。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。
假设有一个直角三角形，已知斜边的长度为10，对边的长度为6，我们需要求解该直角三角形的一个角的余弦值。
根据三角函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
所以，cosθ=6/10=0.6。
现在我们要求的是角θ的值，即θ=cos^(-1)(0.6)。
这里的cos^(-1)表示反余弦函数，它的作用是求解给定余弦值的角度。
通过计算，我们可以得到θ≈53.13°。
除了求解角度，反三角函数还可以用来求解三角函数的值。
例如，已知一个角的正切值为0.8，我们需要求解该角的正弦值。
根据三角函数的定义，正切值等于对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
所以，tanθ=0.8=对边/邻边。
假设对边为x，邻边为1，根据勾股定理，我们可以得到x^2+1^2=1.64。
解方程得到x≈0.98。
现在我们要求的是角θ的正弦值，即sinθ=对边/斜边。
由于已知斜边的长度为1，我们可以得到sinθ≈0.98/1=0.98。
通过以上的例子，我们可以看到反三角函数在解决实际问题中的重要性。
它不仅可以用来求解角度，还可以用来求解三角函数的值。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用反三角函数的情况，例如在物理学、工程学和计算机图形学等领域。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
*(5)反正弦函数的几个常用的条件等式:
(s 1 ( i a ) n r. ) c x , x s i1 , 1 n ;x (a 2r ( ) x c ) - . s air n , x c s 1 , 1 ; inx
( 3a)r. c(ssiin ) n x,x π 2,π 2 .
sinx,
xπ2,π2,y1,1的反函数就叫做反正
*记作: yarc, x s i n 1 , 1 x, y π 2, π 2 .
*(2)当 x1,1时,(arcsinx)就表示闭区间
π 2
,π 2
上的一
个唯一确定的角,其正弦值就等于x.
*(3)反正弦函数 y = arcsinx,在 x1,1上是递增函数; *(4)反正弦函数 y = arcsinx,在 x1,1上是个奇函数.
( 1 a) rc .3 s iπ n ;( 2 a) rc . πs i3 n ;
23
32
(3)a.rcsin12kπ π(k∈Z); 2
(4)a.rcsi(n-π)= -arcsinπ;
3
3
(5 s( ia ) nr .π c 2) sπ 2 i; n (6 s( ia ) nr .c 2 ) s2 i; n 1010
*解法感悟:
反正弦函数的值域为: y = arcsinx
π 2
,π 2
故反正弦函数的值仅能表示在
π 2
,
π 2
上的一个角.
猜想一个恒等式？
反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图像与性质：
(1)定义域:[-1，1]
(2)值域:
[ , ] 22
(3)奇偶性: 是奇函数，
其图像关于坐标原点对称，
反三角函数及例题
反三角函数及例题
反三角函数是一类特殊的函数，它们的定义域和值域都是实数集，它们的定义域是正弦、余弦和正切函数的值域，而值域是正弦、余弦和正切函数的定义域。
反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们的函数图像和正三角函数的函数图像是对称的。
反三角函数的应用非常广泛，它们可以用来解决很多数学问题，比如求解三角形的角度、求解三角形的面积等。
例如，已知三角形的两边长度a和b，求其夹角C的大小，可以用反余弦函数来求解：
C=arccos(a^2+b^2-c^2/2ab)。
另外，反三角函数还可以用来求解微积分中的问题，比如求解曲线的面积、求解曲线的极限等。
例如，已知曲线y=sin(x)，求其在区间[0,π]上的面积，可以用反正弦函数来求解：
S=∫0πsin(x)dx=∫0πarcsin(y)dy=π/2。
总之，反三角函数是一类特殊的函数，它们的应用非常广泛，可以用来解决很多数学问题，也可以用来求解微积分中的问题。
推荐-反三角函数的概念和运算·典型例题 精品
反三角函数的概念和运算·典型例题【例1】回答下列问题：(3)π-arcsinx是什么范围内的角？(2)∵0≤arccosx≤π，3∈〔0，π〕∴arccosx=3有解x=cos3而(4)∵cos(arccosx)=xx∈〔-1，1〕[ ]由选择题的唯一性知应选C．【说明】本题考查对反正弦函数的概念的理解．题目给的θ∈要灵活运用诱导公式加以变形，使得角进入主值区间且函数值可用已知表示，不能顾此失彼．解法二用的是排除法．【分析】由于已知函数的定义域不在反正弦函数的主值区间内，因此不能直接用反正弦函数表示，要先用诱导公式解决角．由y=2sinx=2sin(π-x)[ ](1994年全国高考试题，难度0.50)故已知函数的值域应选B．【说明】本题采用由函数的内层到外层逐步解决的方法．最易出错的地方是sinx的取值范围，观察正弦函数的图象，采用数形结合进行【例5】求函数y=arccos(x2-x)的单调减区间．【分析】注意到已知函数是由函数u=x2-x和函数y=arccosu复合而成的，因此要先求定义域，再根据求复合函数单调区间的规律来解决．[ ]A．y=arcsin(sin2x)B．y=2arcsin(sinx)C．y=sin(arcsin2x)D．y=2sin(arcsinx)【分析】此题要从选项入手，主要考察反三角函数基本关系式成立的条件，可采用逐项验证的方法．解：由基本关系式sin(arcsinx)=xx∈〔-1，1〕C．和D．的定义域∴y=2arcsin(sinx)=2x选B．．否定A．数，它可以是角的弧度数，也可以是三角函数的值，要正确理解．【例7】求下列各式的值原式=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ【说明】第(1)题考查特殊值的反三角函数值及特殊角的三角函数值，按照由内及外的顺序运算即可．后三个小题采用设辅助角的方法，要注意角的范围，4个小题都是反三角函数的三角运算．【例8】求下列各式的值(2)arcsin(cos5)【分析】该题型是三角函数的反三角运算，为合理的使用反三角函数基本关系式创造条件，需要灵活运用诱导公式．【说明】把已知角的三角函数转化为反三角函数主值区间上的角的三角函数，要注意两方面，一是函数名称的变化，二是角的范围的变化，而这正是诱导公式具有的功能．【分析】此题是关于角相等的证明题．一般采用转化的思想方法，即证明它们的同名三角函数值相等且角的范围是在同一单值对应区间．【说明】此类题目也可改为求值题，在确定角的范围时有可能遇到困难，不足以保证角的唯一性，这时要根据各种条件将范围缩小，要掌握这种技能，保证推理的严谨性和计算的准确性．【例10】求满足下列条件的x的取值集合(1)arccos(1-x)≥arccosx(2)arccos(-x)＜2arccosx【分析】要注意两点：定义域和单调性(2)∵arccos(-x)=π-arccosx ∴π-arccosx＜2arccosx。
上海市高三数学复习 三角函数与反三角函数专题练习-人教版高三全册数学试题
三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 .3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. .函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示，若2()23f π=-，则(0)f = . 7.函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 . 8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增，则w 的取值范围是 . 11.设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数；（2）()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-；（4）()f x 的值域是[cos1,1]，()g x 的值域是[sin1,sin1]-；其中不正确的是 .12.函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 .二、 选择题 13.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（ ） .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15.设函数sin y x =的定义域[,]a b ，值域为1[1,]2-，则以下结论中错误的是（ ）.A b a -的最小值为23π .B b a -的最大值为43π .C a 不可能等于2,6k k Z ππ-∈ .D b 不可能等于2,6k k Z ππ-∈16.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下列函数：（1）()sin cos f x x x =+；（2）()cos )f x x x =+；（3）()sin f x x =；（4）()f x x = ）.A （1）（2） .B （2）（3） .C （1）（4） .D （3）（4） 三、 解答题17.已知函数2()sin()sin 2f x x x x π=-（1） 求()f x 的最小正周期和最大值；（2） 讨论()f x 在2[,]63ππ上的单调性18.已知函数())(0,)22f x wx w ππϕϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π（1） 求w 和ϕ的值；（2） 若2()()263f ϕππα=<<，求2cos()3πα+的值19.（1）求值：13sin[arcsin()]25-； （2）求值：11sin(arcsin arccos )23+ （3）判断函数2arcsin arccos()y x x =--的奇偶性，并说明理由20.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A wx w πϕϕ=+><在某一个周期内的图像时，列入了部分数据，如下表：（1） 请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图像，若()y g x =图像的一个对称中心为5(,0)12π，求θ的最小值.21.已知关于x 的方程2sin cos x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解,αβ（1） 求实数m 的取值范围；（2） 求cos()αβ-（用m 表示）参考答案1.π3. (,0)3k ππ- 4. [,]4k k πππ+ 5.非奇非偶6.237. 8.{|arctan(4)}4x x k k πππ=++-或9.2arccos (10)y x x π=--≤≤ 10.1(0,]411.（1）（2）（4）12.413..A14..B15..D16..C17.答案：（1）,max 1T π== （2）当5[,]612x ππ∈，()f x 为增函数；当52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数 18.答案：（1）2,6w πϕ==-（219.答案：（1）（2 （3）非奇非偶20.答案：（1）填表略，()5sin(2)6f x x π=- （2）6π21.答案：（1）m 的取值范围是((1,5)（2）2215m -。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
( 7a) r. cs 3 in 2π;( 8a) r. cπsi1n .
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62
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，��
沪教版(第6章_三角函数_69_反三角函数(有答案)
沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.9 反三角函数（2）一、解答题1. 求下列函数的反函数：（1）；（2）．2. 求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）．3. 求下列各式的值：（1）；（2）．二、双空题________．三、填空题为的一个内角，若，则________．不等式的解集是________．函数，的奇偶性为________．函数的反函数为________．函数的值域为________．四、单选题函数的值域是()A. B. C. D.函数的值域是()A. B. C. D.使得成立的x的取值范围是()A. B. C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.9 反三角函数（2）一、解答题1.【答案】（1）y=−a ln x,x∈[−1,1]；（2）y=atx,x∈(−1,√3)【考点】反三角函数【解析】（1）根据反函数的求法，先反解》，得到x=ac cos y，再将∼与）互换即可；根据反函数的求法，先反解》，得到x=at tan y，再将∼与）互换即可；【解答】（1）∵ x∈[−π,0]，…y∈[−1,1]cos x=y，∴x=ar cos y…原函数的反函数为y=ac cos x,x∈[−1,1]．（2）∵ x∈(−π4,π3)，∴y∈(−1,√3)y=tan x，∴x=at tan y…原函数的反函数为y=at tan x,x∈(−1,√3) 2.【答案】（1）定义域为[0,1]，值域为[0,a+cos34)（2）定义域为R，值域为[−π4,π2 )【考点】反三角函数【解析】（1）先利用反余弦函数有意义列不等式求得函数的定义域，再求反余弦函数的值域（2）先利用反正切函数有意义求得函数的定义域，再求反正切函数的值域【→解】（1）由，解得，定义域为[0,1]为减函数，…．函数的值域为[0,at cos34)（2）x2+2x∈R∴ x∈R，即定义域为R．令t=x2+2x=(x+1)2−1，则t∈[−1,+∞)y=at tan t是增函数，…．函数的值域为[−π4,π2 )【解答】此题暂无解答3.【答案】（1）一、π；（2）2【考点】反三角函数【解析】（1）利用诱导公式得cos115π=cosπ5，再结合反三角函数直接求解（2）由反三角得tanα=12,tanβ=13，再利用两角和的正切公式展开求解【解答】（1）at cos(cos115π)=aa cosπ5)=π5（2）令α=ar tan12,β=at tan13，则tanα=12,tanβ=13tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=12+131−12×13=10<ar tan12≤π4,0<a tan13<π4，α+β∈(0,π2)．α+β=π4，即arc tan12+at cos13=π4二、双空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】图文应用题【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。
沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及简单三角方程
sin x cos xsin x 6 cos x 0
sin x cos x或sin x 6 cos x tan x 1或tan x 6
所以，原方程的解集是：
x cos x t 则sin 2 x t 2 1 t 2 t 0
解： 设sin
t 0或t 1
2 tan x 1或sin( x ) 4 2
x x k 或x k arctan 6, k Z 4
所以，原方程的解集是：
k ,k Z x x k 或x k (1) 4 4 4
,k Z
0
k 1,
6
f ( x) 2 sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2 ( x ) 3 。 例 7.已知 2 2 2
（3）在（2）成立的条件下，求满足 f ( x) 1, x , 的 x 的 集合。
图像
2
y arccos x
y
2
y arctan x
y
2
y
o
-1
-
1
x
1
o
2
o
x
-
1
x
2
定 义 域 值域
- 1,1
2 , 2
- 1,1
R
, 2 2
在 R 上单调递增
0,
在 1,1 上单调递减
解： 当
时, f ( x) 2 sin( 2 x ) 2 cos 2 x 6 2
沪教版(第6章_三角函数_68_反三角函数(有答案)
沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.8 反三角函数（1）一、解答题1. 求下列反正弦函数的值：（1）；（2）；（3）.2. 用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）.3. 求下列函数的反函数：（1），；（2），；（3），.二、填空题________．函数的定义域是________.当时，的取值范围是________.若函数的值域是，则它的定义域为________. 在中，若，则________.已知，用反正弦函数值表示角x为________.下列式子中正确的是________（填写序号）.①；②；③；④.三、单选题，则角x等于().A. B.C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.8 反三角函数（1）一、解答题1.【答案】（1）ac sin √22=π4；（2）ac sin [−√32)=−π3； （3）ac sin 1=π2【考点】反三角函数【解析】（1）IH 】利用反正弦函数直接求出对应的角即可．【解答】（1）sin π4=√22，且π4∈[−π2,π2] ax sin √22=π4（2）sin (−π3)=−√32，且−π3∈[−π2,π2] ar cos (−√32)=−π3（3）sin π2=1，且π2∈[−π2,π2]a tan 1=π22.【答案】（1）x =−a tan √25（2）x =加−ar sin 13（3）x =at sin 15或x =π−ar sin 15【考点】反三角函数【解析】（1）由条件利用反正弦函数的定义和性质，即可求解．【解答】（1）∵ x ∈[π2,32π]π−x ∈[−π2,π2]sin (π−x )=sin x =13由反正弦函数定义，知π−x =ar sin 13 x =π−a tan 13（2）在区间[0,π2]上，由定义可得x =ac sin 15；在区间(π2,π]上，由诱导公式， 知x =π−ar sin 15满足s ln x =15 x =ac sin 15或x =π−ar sin 153.【答案】（1）y =π−ax sin xx ∈[0,1]；（2）y =12(ax sin x +π3)x ∈[12,√32]； （3）y =−cos xx ∈[0,π]【考点】反三角函数【解析】（1）求出函数y =sin x 在区间[π2,π]上的值域，再结合x ∈[π2,π]可求得原函数的反函数；（2）由x ∈[π4,π3]计算出2x −π3的取值范围，并求得函数y =sin (2x −π3)的值域，进而可解得原函数的反函数；（3）由x ∈[−1,1]计算出函数y =π2+a tan x 的值域，再由y =π2+a tan x 得出ax sin x =y −π2，利用诱导公式可求得原函数的反函数．【解答】（1）∵ x ∈[π2,π]．y =sin x ∈[0,1]，且π−x ∈[0,π2] ．sin (π−x )=sin x =y ，π−x =ac sin y ，即x =π−at sin y所求原函数的反函数为y =π−ar sin x,x ∈[0,1]（2）∵ x ∈[π4,π3]．2x −π3∈[π6,π3]，y ∈[12,√32] ：y =sin (2x −π3)，2x −π3=a cos y ，即x =12(atc sin y +π3)因此，所求原函数的反函数为y =12(ax sin x +π3),x ∈[12,√32]（3）∵ x∈[−1,1]．at sin x∈[−π2,π2]．y∈[0,π]由y=π2+a tan x，得ac sin x=y−π2∴ x=sin(y−π2)=−cos y因此，所求原函数的反函数为y=−cos x,x∈[0,π]二、填空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】图文应用题【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。
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反三角函数典型例题
例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。
（1）2（2）arcsin 4
π
；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。
点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。
例2：求下列反正弦函数值
（1）3= 解：3π
（2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2
π
点评：熟练记忆：0，1
2
±、22±，3，1±的反正弦值。
思考：1sin(arcsin
)24
π
+该如何求？
例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x
(1)3sin x ，x [,]22ππ
∈- 解：x ＝3 变式：x [,]2
π
∈π?
解：x [,]2π
∈π时，π－x [0,]2
π∈，sin(π－x)＝sinx 3
∴π－x ＝3，则x ＝π－3
变式：x [0,]∈π? 解：x ＝3或x ＝π－3
(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1
x arcsin 4
=-
变式：1
sin x 4=-，3x [,2]2π∈π
解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2
π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1
4
∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1
4
点评：当x [,]22ππ
∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ∉-，可以将角转化到区间[,]22
ππ-上，
再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。
练习：
(1)3sin x ，x [,]22ππ
∈- 解：x 3π= (2)3sin x ，x [0,]∈π 解：3x =或3
x =π-(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3
x arcsin 5
=π+
例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。
解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。
变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22
ππ
∈--+
思考：当3x [,]44
ππ
∈-时，求函数y arcsin(cosx)=的值域。
解：当3x [,
]44ππ∈-时2t cos x [2=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42
ππ∈-。
例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2
π∈π
解：y [0,1]∈，x [,0]2
π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，
则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。
(2) y arcsin x =，x [0,1]∈
解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2
π∈。
[例6] 求下列反三角函数的值：
(1) 3＝6
π
(2) 2arccos()＝
34
π
（两种方法） (3) arccos0＋arctan1＝34π
(4) arctan(3)-＝3
π-
(5) arcsin (－12)＋arccos (－12
)＝2π (6) 5arctan(tan )6π＝6π
-
[例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x ：
(1) 1cos x 3
=，x [0,]∈π 解：1x arccos 3
= 变式：1cos x 3
=-，x [,2]∈ππ
解：1x 2arccos 3
=π- (2) tan x 2,x (,)22
ππ=-∈- 解：x arctan(2)=- 变式：3x (,
)22
ππ
∈ 解：x arctan2=π+
[例8] (1) 已知arcsin x arcsin(1x)≥-，求x 的取值范围。
解：由11x x 1-≤-≤≤，得
1
x 12
≤≤。
(2) arccosx arccos(1x)>-
解：由1x 1x 1-≤<-≤，得10x 2
≤<。
(3) arctan x 3π
>
解：x 3> (4) arccos x 3π> 解：1
1x 2
-≤<
[例9 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。
解：∵－1≤x ≤1 ∴－
34π≤x ≤34
π ——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性
[例10] 求下列各式的值： (1) 2sin(arccos())
解：设2x arccos(=，则2cos x =且x [,]2
π
∈π，则7sin x = (2) 2tan[arccos(]6
π- 解：2
313(31)tan()234313
ππ--+-=
==+- (3) 213
cos (arccos )2
5
解：设3x arccos 5=，则3cos x 5=且x [0,]2π∈，则2x 1cos x 4
cos 225+==
(4) 123
sin[arctan arcsin ]55-
解：设12arctan 5α=，3arcsin 5β=，则12tan 5α=，4sin 5
β=且,(0,)2π
αβ∈，
则1231245333
sin[arctan arcsin ]sin()5513513565-=α-β=⨯-⨯=。
思考：若求11
arctan arctan 23+的值呢？
解：1arc tan 2α=，1arctan 2β=，则1tan 2α=，1tan 3β=且,(0,)2
π
αβ∈，
∵tan()1α+β=，且(0,)α+β∈π，∴4
π
α+β=。