任意角的三角比
任意角的三角比
任意角的三角比一、基础知识熟练记忆1、任意角的三角比——对于任意角的三角比，我们利用平面直角坐标系来进行研究。
（1）设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则点P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r（2）比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α， 上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变。
当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时， 终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义。
几个需要注意的问题：① 凡是终边相同的角的三角函数值相等。
sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α cot(2k π+α)=cot α② 0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。
第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0，cos α>0，tan α>0，cot α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0，cos α<0，tan α<0，cot α<0O A M P Txyα的终边 x yO A M T yOAM xyOAM TPα的终边第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，cot α>0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0，cos α>0，tan α<0，cot α<0记忆法则：第一象限全为正，二正三切四余弦。
任意角的三角比
总结：3
4
(1)直接法：求出 的范围，分类讨论.
ⅣⅠ Ⅰ O Ⅳx
n
ⅡⅢ
(2)几何法：把各象限均分n等份,从x轴的正向的上方起，
依次将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原
来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边
所在的区域.
n
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅱ.基本方法 3.扇形弧长、弦长、面积的求法：
例8一扇形的周长为c(c>0)，当扇形的圆心角α等于多少 弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
③终边在x轴上：
④终边在y轴正半轴上：
⑤终边在y轴负半轴上：
k k k
180O (k Z ) 360O +90O (k Z ) 360O +270O (k Z
)
k (k Z)
2k (k 2k 2 (k
Z Z
) )
⑥终边在y轴上： k 180O ⑦终边在坐标轴上： k
90O(k Z )
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅰ.基础知识
一、角的概念的推广
1.角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置旋
转到终止位置所形成的图形.
B
始边：射线的初始位置OA.
终边：射线的终止位置OB.
顶点：射线的端点O 2.角的分类：
O•
A
C
(1)正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角.
Ⅱ.基本方法
1.同终边角的求法： 8 例1.若边θ与角 的的终终边边与相同5的的角终为边＿相＿同＿，＿则＿在[0,2π]上终
总结：先写4 出同终边的角，然后按条件求出角.
2.已知角α的范围，，；3 则n是2是第第＿＿＿＿象象限限角角. ； Ⅲy Ⅱ
5.2任意角的三角比(2)教案
5.2课题：任意角的三角比（2）教案教学目的：1、掌握三角比在各个象限的符号规律以及诱导公式一。
2、会用三角比的定义得到公式一，并能用公式一将任意角的正弦、余弦、正切的三角比分别转化为0°到360°的角的同一三角比。
教学重点：利用三角比的定义得出：三角比在各象限的符号特点及公式一。
教学过程：（一）、引入一、任意角三角比的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y )，P 与原点的距离22y x r +=，则sin α=ry ，cos α=r x ，tan α=x y ，cot α=y x , sec α=x r , sec α=x r 二、三角比的值的号是有什么元素确定的？由三角比的定义知道：三角比的值的符号是有角α的终边确定的。
（二）、新课一、三角比在各象限的符号的确定由三角比的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知三角比的值在各象限的符号：y x x r y r xr x r y ======ααααααcot sec csc tan cos sin二、诱导公式一因为角的三角比值是由α的终边位置决定的，所以所有终边相同的角的三角比值是相同的。
诱导公式一：)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ)(cot )2cot(Z k k ∈=+ααπ三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、确定下列三角比的符号：311tan )4( )672tan()3( )4sin()2( 250cos )1(00ππ-- 解：(1)∵250°角属于第三象限角, ∴cos250°<0(2) ∵4π-角属于第四象限角, ∴ )4sin(π-<0(3) ∵.48tan )360248tan( )672tan(0000=⨯-=-而48°角属于第一象限角,∴)672tan(0->0(4) ∵),3tan()34tan(311tan ππππ-=-=3π-角属于第四象限角，0)3tan(<-π∴311tan π<0例2、求下列三角比：)611tan((2) ;49cos )(1 ππ- （3）sin1485° 解：2241cos )412cos(49cos )(1==+=ππππ。
第十五讲 任意角的三角比
第十五讲 任意角的三角比⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩正角概念负角零角角度制表示法任意角弧度制—扇形的弧长、面积象限角与轴线角终边相同的角与终边有关的角1． 角概念的推广 （1）任意角的形成角能够看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。
（2）正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有任何旋转时，形成的角叫做零角。
2．表示法：角度制与弧度制 （1）1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度制的建立，使任意角与实数之间建立了一一对应关系.0↔⎧⎪↔⎨⎪↔⎩正角正数负角负数零角 （2）角度与弧度的换算：π弧度（rad ）=180 （3）扇形的弧长与面积公式：||l r α=；211||22S lr r α== 练习1 已知一个扇形OAB 的面积是42cm ，它的周长是10cm ，求它的圆心角和弦AB 的长. 答案：12α=，18sin 4AB =.变式：已知一个扇形的周长为2(0)a a >，问这个扇形半径为何值时，才能使这个扇形面积最大？最大面积为多少？并求此时扇形的圆心角.答案：2ar =时，扇形面积最大，最大值为24a ，此时圆心角为2.3．象限角与轴线角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，即称为轴线角.第Ⅰ象限角：{|22,}2x k x k k Z πππ<<+∈； 第Ⅱ象限角：{|22,}2x k x k k Z ππππ+<<+∈；第Ⅲ象限角：3{|22,}2x k x k k Z ππππ+<<+∈；第Ⅳ象限角：{|22,}2x k x k k Z πππ-<<∈； 终边落在x 轴正半轴上的角的集合：{|2,}x x k k Z π=∈； 终边落在x 轴负半轴上的角的集合：{|2,}x x k k Z ππ=+∈ 终边落在x 轴上的角的集合：{|,}x x k k Z π=∈ 终边落在y 轴正半轴上的角的集合：{|2,}2x x k k Z ππ=+∈ 终边落在y 轴负半轴上的角的集合：{|2,}2x x k k Z ππ=-∈终边落在y 轴上的角的集合：{|,}2x x k k Z ππ=+∈ 终边落在坐标轴上的角的集合：{|,}2x x k k Z π=⋅∈练习2 若tan 0,cot cos 0sin αααα<⋅>，则角α，2α分别是第几象限的角？ 答案：α是第二象限角，2α是第一、三象限的角。
01任意角三角比
例5 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的正方向重合， α的终边上一点P （5a,-12a）,(a<0)。 求Sinα,cosα ,tgα的值。 分析： 根据三角比的定义，应先求出r,注 意隐含条件r＞0 。
解：
∵ α<0,
∴r=(5a)2+(-12a)2=13|a|=-13a
∴sinα= cosα= tgα=
(2k
第二象限 (k· 3600+900, k· 3600+1800)
2
, 2 k )
第三象限 (k· 3600+1800, k· 3600+2700)
第四象限 (k· 3600+2700, k· 3600+3600)
3 (2k , 2k ) 2
3 (2k , 2k 2 ) 2
例8：已知角α的终边经过点P（2，-3）, 求α的六个三角函数值．
例9（1）将112°30′化成弧度制。
9 （3）10 °约等于多少弧度（保留四个 有效数字）。
（4）3弧度约等于多少度（精确到整 数度）。
4 （2）将 4π化成角度制。 9
解：
（1） 112030’＝
0 225 ＝ 2
225 55π × ＝ 弧度 2 180 8
（1）另解：
∵－546°＝－720°＋174°＝－2×360°＋174°
（2）1998°＝5 × 360°＋198°， α＝198° ∴1998°属于第三象限。
（3）－21.3 π＝－22 π＋0.7 π ＝－11 ×2 π+ (7π)/ 10 ∴ α＝（7π）/10，－21.3 π属于第二象限
（4）∵1弧度≈57.3 °， ∴－5弧度≈－5 × 57.3＝－286.5 ° ∴－5弧度≈－1 × 360 °＋73.5 ° ∴ α ≈73.5 °， -5属于第一象限角。
任意角的三角比
第一组诱导公式：
Q 2kπ + α (k ∈ Z )与α有相同的终边，而三角比值仅与终边的位置有关
∴ sin( 2kπ + α ) = sin α cos(2kπ + α ) = cos α tan(2kπ + α ) = tan α cot(2kπ + α ) = cot α 其中k ∈ Z
练习：计算下列个三角比 25π sin 3 5π cot(− ) 4 31π tan 6
例2 : 求 和- 的正弦，余弦正切和余切 2 2 π 解：在角 的终边，即y轴的正半轴上取一点（0,1）
π
π
∴ x = 0, y = 1 π y 得,sin = = 1 2 r π tg tan 不存在 2
π
2
∴ r = x2 + y2 = 1
x cos = = 0 2 r π π x ctg cot = = 0 2 2 y
π
在角- 的终边，即y轴的负半轴上取一点（0,-1） 2 ∴ r = x2 + y2 = 1 ∴ x = 0, y = −1
π x y 得,sin(− ) = = −1 cos(− ) = = 0 2 r 2 r ππ ππ x tan( − ) 不 存 在 cot(ctg ) = = 0 − tg 22 22 y
y
r
P ( x,
y)
y
α
o
x
Q
x
可见,锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义 可见 锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义. 锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义 我们可以仿照锐角的三角比的定义来定义任意角的三角比
设P是角 终边上任意一点，（点P不能是角的顶点） 是角α终边上任意一点，（点 不能是角的顶点） 是角 终边上任意一点，（ 不能是角的顶点 它的坐标为（ ） 它的坐标为（x,y）, op = r = x 2 + y 2
任意角三角函比概念
1、任意角的三角比：在初中时，我们学习了锐角三角比。
如图所示，直角三角形OQP 中，Q Rt ∠=∠，点点P 的坐标为(,)x y ，则角α的对边QP 的长为y ，邻边OQ 的长为x ，斜边0)r r =>。
有锐角三角比的定义，得：sin ;cos ;tan ;cot QP y OQ x QP y OQ xOP r OP r OQ x QP y αααα========。
锐角α的三角比可以用其终边上点的坐标来定义。
定义分析：1、明确,,x y r 的几何意义：六个公式，只涉及三个量：,,x y r 量，就能确定三角比！2、角α的终边所在位置，决定了三角比的值：当α 与角α终边上点P 的位置无关，所以可任取一点(,P x y 2、三角比的定义1、设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离2222>+=+=y x yx r2、比值ry 叫做α的正弦 记作：ry=αs i n ；比值r x叫做α的余弦 记作： r x=αc o s ； 比值x y叫做α的正切 记作：x y =αt a n ； 比值y x叫做α的余切 记作： y x =αc o t ；比值x r 叫做α的正割 记作：x r=αs e c ； 比值y r叫做α的余割 记作：y r =αc s c 注意:①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角比值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
3：三角比在各象限的符号及坐标轴上的值：三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 、OM 是角α的正弦线、余弦线 。
过点A(1,0)作 单位圆的切线 ，交 α的终边或反向延长线交 于点T ，则有向线段 AT 是角α的 正切线。
sin MP α= cos OM α= tan AT α=小结：三角比值的正负由什么决定？1、三角比名；2、角的终边位置。
任意角的三角比
第五章 三角比 第一节 任意角的三角比一、知识点梳理 （一）、三角比定义： 设角α是一个任意角，将角α置于平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 轴的正半轴重合，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）, 有点P 到原点的距离 02222>+=+=y x y x r则我们规定：y rx ry y xx x yr xr y ==≠=≠===ααααααcsc sec )0(cot )0(tan cos sin例1已知角α的终边经过点P （-3，4），求角α的六个三角比的值。
例2已知角α的终边经过点P （2a ，-3a ）(a ≠0)，求sin α-cos α的值。
例3求65π的六个三角比的值。
例4应用三角比的定义证明： （1）平方关系222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系sin cos tan ,cot cos sin αααααα==专题训练1、分别求0、2π、π、23π、π的三角比值。
2、分别求6π、4π、3π、65π、43π、32π的三角比值。
3、已知角α的终边与函数y=-3x 的图形重合，求角α的各三角比的值。
4、已知角α的终边与x轴重合，求cosα得值。
评注：三角比的定义是三角知识的源头，务必充分理解，灵活应用，熟练掌握。
（二）、三角函数线：1、正弦线：无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有→MP=y=sinα．我们把有向线段→MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．2、余弦线：有向线段→OM叫做α的余弦线。
3、正切线：过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段→AT叫做角α的正切线。
任意角的三角比教案
任意角的三角比教案
一、教学目标
1. 理解正弦、余弦和正切的概念。
2. 掌握如何计算任意角的正弦、余弦和正切值。
3. 能够运用三角函数解决相关实际问题。
二、教学重点和难点
1. 重点：正弦、余弦和正切的概念及计算方法。
2. 难点：任意角的三角比的应用。
三、教学内容
1. 正弦、余弦和正切的定义：在直角三角形中，对于任意角A，定义如下：
正弦（sinA）= 对边/斜边，余弦（cosA）= 邻边/斜边，正切（tanA）= 对边/邻边。
2. 任意角的三角比的计算：
对于任意角A，可以通过相关公式计算其正弦、余弦和正切值。
sinA = b/c, cosA = a/c, tanA = b/a，其中a、b、c分别为直角三角形的边长。
四、教学过程
1. 引入：
通过实际问题引入正弦、余弦和正切的概念，比如航海、建筑等领域中的应用。
2. 讲解：
讲解正弦、余弦和正切的定义，并介绍如何计算任意角的三角比。
3. 示例分析：
给出一些具体的例子，让学生通过三角函数的计算，解决相关实际问题。
4. 练习：
让学生做一些相关练习，巩固所学知识。
五、教学小结
通过本节课的学习，学生能够理解正弦、余弦和正切的概念，掌握计算任意角的三角比的方法，并能够运用到实际问题中。
六、作业布置
布置相关的练习题，鼓励学生在课后复习所学知识，并思考如何应用到生活中。
七、教学反思
回顾本节课的教学过程，总结学生的学习情况，思考如何更好地教学。
高一数学上《任意角的三角比》教案_
芯衣州星海市涌泉学校任意角三角比一、任意角三角比教学内容分析任意角的三角比分为4个课时。
第一课时学习与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。
第二课时通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题。
第三课时通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明。
第四课时领会象限角的三角比的符号及坐标角的三角比值，并在此根底上进展计算、判断和求值等。
二、教学目的设计1、知识与技能领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示；通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题；学会使用单位圆中的有向线段表示三角比；通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明；领会象限角的三角比的符号，及坐标角的三角比值。
2、过程与方法通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念；通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点；通过三角比的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。
3、情感态度与价值观在整个教学过程中用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律提醒生活中的空间形式和数量关系。
培养学生的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点：理解任意角的相关概念，掌握弧度制与角度制的关系和运用，掌握任意角三角比的值与符号，并能进展应用。
难点：弧度制的应用，任意角三角比的值与符号形成与认识。
四、教学流程设计第一课时：任意角及其度量〔1〕 华东师范大学附属东昌中学杨雪教学目的：1、 通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念。
2、 领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。
3、 树立辩证唯物主义的世界观。
教学用具： 多媒体。
5.2(1)任意角三角比
五、课堂小结
1、掌握任意角的三角比的定义与符号． 2、会求任意角的三角比． 3、熟记特殊角的三角比值．
.
1.三角比的值与角 规定正割 sec 和余割 csc 终边上的点P的位 r sec ( k , k Z ) 置是否有关？
y
x 2 r ( k , k Z ) csc y
2.任何角的三角比 都存在吗?
例 1、已知角的终边经过点 P(2， 1)，求角的 六个三角比的值．
例4、已知角的终边经过点 P(3a,4a)(a 0)， 求： 2 sin cos．
解： x 3a, y 4a r (3a) (4a) 5 a
2 2
(1)当a 0时，r 5a，则：
(2)当a 0时，r 5a，则：
y x 4a 3a 2 sin cos 2 2 1 r r 5a 5a
一、锐角三角比的定义
对边 sin 斜边 邻边 cos 斜边 对边 tan 邻边 邻边 cot 对边 a c b c a b b a
B c A a
b
C
y
r
O
.
y x
P(x,y)
x
二、任意角三角比的定义
在任意角终边上任取一点P( x，y)， (除原点外) 2 2 设OP r x y (r 0) y y x P(x,y) sin cos r r y O x tan ( k , k Z ) x 2 x 提问: ( k , k Z ) cot
y x 4a 3a 1 2 sin cos 2 2 r r 5a 5a
练习： 1． 已知角 的终边过点 P 4,3,求 的六个三角比；
任意角的三角比
PT
O
M A x
交角 的终边与点 T
MP sin , OM cos , AT tan
思考 这些结论是否对于任意角都成立？
一、正弦值、余弦值和正切值的几何表示
y
T
y
1
P P
1
规定：有向线段
A
MP, OM , AT
x
O
M A x T
M O
y
T
与坐标轴同向时， 其数量为正值.
例3.判断角 所在象限： (1) sin( ) 0, tan(4 ) 0 (2) sin(2 ) cos(2 ) 0 解: (1) sin 0, tan 0
属于第三象限;
cos(2 ) cos
(2) sin(2 ) sin
y
T P
(2)
P
y
1
1
A
O
M A x
M O
T
x
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 5 2 13 (1) (2) (3) (4) 3 6 3 6 解:正弦线 MP ，余弦线 OM ，正切线 AT (3)
y
T
(4)
y
1
1
M
O
M A A x
O
P
P
T
x
例2.已知 (0, ) ，利用三角函数线证明： 2 y T (1) sin cos 1
第II组诱导公式
P
M
O
A
y
1
T'
sin( ) sin cos( ) cos
tan( ) tan
3.2任意角的三角比
=|cos(70°+360°)|
=cos70°
练习
1. 已知cosɑ=35,0<ɑ<2,求sinɑ和tanɑ的值.
解:∵cosɑ=35
3
4
∵cosɑ=
,sinɑ=
9
5
5
∴cos2ɑ=25
ɑ 4 5
4
∴tanɑ=
=
×
=
ɑ 5 3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
9
16
∴sin2ɑ=1-cos2ɑ=1-25
25
∴tanɑ=
=×()=
ɑ
5
3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
25−16
9
∴cos2ɑ=1-sin2ɑ=1-16
=
=
25
25
25
∴cosɑ=±
9
25
=±35
∵ɑ是第三象限角
∴x<0
∵cosɑ=,r>0
∴cosɑ<0
∴cosɑ=-35
3.化简下列三角式：
ɑcosɑ
(1)cosɑtanɑ;(2) 1− ɑ ;(3) 1 − 2130°.
2
解:(1)cosɑtanɑ
ɑ
=cosɑ·ɑ
=sinɑ
ɑcosɑ
2
1− ɑ
ɑɑ
2ɑ
(2)
=
=tanɑ
(3) 1 − 2130°
=-cos130°
a的算数平方根记为
,a 的 平 方 根 记 为
± .
1
2
4.已知sinx-cosx= ,求(sinx+cosx)2的值.
任意角的三角比
三角比在各象限旳符号
sin y csc 全+ tan o cos x cot sec
例1、求下列各角旳六个三角比值：
（1） 5
6
（2） 7
6
根据计算成果，你能发觉这两个 角之间有什么关系吗？ 从而，你能推断出什么结论吗？
终边相同旳角旳同名三角比相等。
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan cot(2k ) cot
R
y
正割
sec r
x
|
k
+
2
,
k
Z
, 1
1,
余割 csc r y
| k , k Z
, 1 1,
y
正割 sec r
x
余切 cot x
y
y 角α旳终边
r P(x,y)
o
x
试说出上述六个三角比中： (1) 角α旳取值范围； (2) 六个三角比旳取值范围。
三角比 角α旳取值范围 三角比旳范围
正弦 sin y
r
R
1,1
余弦 cos x
R
正切
r
tan y
x
|
k
+
2
,
k
Z
1,1
R
余切 cot x | k , k Z
kZ
这组公式旳作用： 能够将任意角旳三角比转化为[0,2π)内 旳角旳三角比。
练习：求值
1、cos 9
4
4、cot( 31 )
4
2、sin 1470 5、sec(1050 )
3、tan( 11 )
3
6、csc 19
任意角的三角比,正弦,余弦,正切,三角函数线
任意角的三角比1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r r =>，则α的六个三角比为：其中第二行的三角比分别为第一行三角比的倒数。
2.三角比在各象限的符号：（1）正弦值（r ya =sin ）的正负看角终边的纵坐标； （2）余弦值（r xa =cos ）的正负看角终边的横坐标；（3）正切值（xya =tan ）的正负看角终边的横、纵坐标之商；（1）平方关系：； （2）倒数关系：sin αcsc α=1，cos αsec α=1，tan αcot α=1； （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； 注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求出它的其他五个三角比的值。
5.三角函数线：在单位圆中（r=1），正弦y r y a ===sin ；余弦x rxa ===cos ； 正切OAx y a ===tan ；我们把、OM 、AT 三条有向线段叫做三角函数线。
注意：（1）三角函数线的字母顺序不能调换，它是有方向的，其方向的正负性代表了三角比的正负性：与坐标轴的正方向相同表示三角比的值是正值；与坐标轴的正方向相反表示三角比的值是负值。
（2）角的正切线的方向为由A 点指向T 点。
T 点为过A 点垂直于x 轴的直线与角的终边（角的终边在一、四象限时）或终边延长线（角的终边在二、三象限时）的交点。
222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=三角函数线第二象限第一象限第三象限第四象限6.三角函数线可以用来求三角函数的定义域、求解和证明三角不等式、比较大小等。
例1.解答下列问题：（1）若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的正负性；（2）若tan(cos θ)·tan(sin θ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围。
高一年级第二讲任意角的三角比
课题 任意角的三角比一、主要知识1、 任意角的三角比的定义 设施一个任意角，的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是r （r=>0），那么： 比值叫做α的正弦，记作sin，即sin =（∈R ）； 比值叫做α的余弦，记作cos ，即cos =（∈R ）；比值叫做α的正切，记作tan ，即tan =（≠kπ+，k ∈Z ）； 比值叫做α的余切，记作cot ，即cot =（≠kπ，k ∈Z ）； 比值叫做α的正割，记作sec ，即sec =（≠kπ+，k ∈Z ）； 比值叫做α的余割，记作csc ，即csc =（≠kπ，k ∈Z ）；2、 单位圆中的三角函数线设任意角α的终边与单位圆相交于点P （x ，y ），那么，sin α=r y =y ，cos α=rx = x ，如上右图，单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，即sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=A T 。
二、例题分析例1、已知角α的终边上有一点P （3t ，4t ）（t≠0），求角α的六种三角函数值。
II 、任意三角比的第一组诱导公式及各三角比在每个象限的符号1、 第一组诱导公式终边相同的角的同一三角函数值相等，即：sin （α+k·360°）=sin αcos （α+k·360°）=cos αtan （α+k·360°）=tan α2. 一些特殊角的三角函数值3. 各三角比在每个象限的符号sin(csc) cos(sec) tan(cot) 例2、根据下列条件，确定α是第几象限的角。
（1） sin α>0，tan α<0；（2） cos α·tan α>0； （3） sin2α>0，cos α<0。
三、巩固练习1、 已知α∈（0，2π），求证：sin α<α<tan α。
任意角的三角比
一、任意角的三角比定义 锐角三角比
y r P(x,y) P y x
sinα = cosα = tanα =
角的对边 MP y 角的斜边 OP r
α
O
x 角的邻边 OM 角的斜边 OP r
x M
y 角的对边 MP x 角的邻边 OM
x 角的邻边 OM y 角的对边 MP
例14、 (1) 求满足cosθ=0.5的角θ 的值；
2k , k Z
3
(2) 求满足cosθ<0.5的角θ 的取值范围；
(3) 解不等式tanx 1；
5 2k 2k , k Z 3 3 k
(4) 已知 sin 3m 1 ，求m的取值范围． 1 4m 2 m 3 or m
并加以研究．
四、第一组诱导公式
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan cot(2k ) cot
注：
其中kR
1）一个角加上或者减去2的整数倍时，角的三角比不变；
2）任意角的三角比都可转化为属于[0,2)的角的三角比．
r x y
2
2
cotα =
一、任意角的三角比定义 锐角三角比
y r P(x,y) P y x
sinα = cosα = tanα =
角的对边 MP y 角的斜边 OP r 角的邻边 OM x 角的斜边 OP r 角的对边 MP y 角的邻边 OM x 角的邻边 OM x 角的对边 MP y
例9、求下列各三角比的值：
(1) (2)
(3)
1 sin 30 sin1470 2 15 2 cos( ) cos 4 2 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
视频1：
在直角坐标系中角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角比。
设(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），则P 点到坐标原点O 的距离为
r OP ==
，定义:
①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=
；⑤正割：sec α=
；⑥余切：cot α=
；
Note ：①任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取点P 的位置 。
②当角α的终边落在y 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时x =
，则cos α=
，且tan α与sec α ；
③当角α的终边落在x 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时y =
，则sin α=
，且 与 无意义；
④角α的终边无论落在什么位置，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时0r =>，故sin α与cos α总是存在的。
⑤22sin cos αα+=
练习：已知角α的终边上一点()12,5P -，求角α的六个三角比的值。
6分钟
视频2：
正弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 余弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 正切函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 。
练习：确定下列三角函数值的符号。
①cos 250︒
；②sin 4π⎛⎫-
⎪
⎝⎭
；③()tan 672︒
-；④tan 3π 5分钟
视频3：
练习：根据下列条件确定角θ属于哪个象限： ①sin cos 0θθ>；②sin 0θ<且tan 0θ> 2分钟
视频4：从开始--------05:27结束（将开头删掉）。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 ①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=
；⑤正割：sec α=
；⑥余切：cot α=
；
Note1：常见的三角函数的定义域与值域
①正弦函数sin y x =，定义域为 ，值域为 。
②余弦函数cos y x =，定义域为 ，值域为 。
③正切函数tan y x =，定义域为 ，值域为 。
Note2：各象限中常见三角函数的符号： 。
Note3：终边相同的角，大小往往不同，但所对应的三角比是相等的。
①()sin 2k πα+=
；②()cos 2k πα+=
；③()tan 2k πα+=。
4分钟
视频4：从05:28------06：46结束。
5分钟
视频4： 从06：48-------09：50结束 练习：求下列各三角比的值： ①sin1470︒
；②15cos 4π⎛⎫-
⎪⎝⎭；③25tan 3
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
练习：已知α为第二象限角，(P x 是其终边上的一点，且cos 4
x α=， 求α的正弦、余弦、正切值。
6分钟
视频4：从20:24------26:53结束。
练习：求函数tan 26y x π⎛⎫
=-++ ⎪⎝
⎭
的定义域。
练习：求函数1
sin y α
=+ 5分钟
视频4：从29:07---- 33:42结束。
练习：已知1cos cos 3
x y -=，求2
sin cos x y -的最大值。
4分钟
视频5：
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 过点P 做x 轴的垂线，垂足为M ，则称有向线段MP 为角α的 ，称有向线段OM 为角α的 。
过点()1,0A 做x 轴的垂线，设它与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第 象限角时）相交于点T ，则称有向线段AT 为角α的 。
Note ：①当有向线段MP 与y 轴正方向同向时，则有sin MP α=；当有向线段MP 与y 轴正方向反向时，则有sin α=。
②当有向线段OM 与x 轴正方向同向时，则有cos OM α=；当有向线段OM 与x 轴正方向反向时，则有cos α=。
③当有向线段AT 与y 轴正方向同向时，则有tan AT α=；当有向线段AT 与y 轴正方向反向时，则有tan α=。
④单位圆上点P 的坐标就可表示成 。
练习：画出角3
4
π的正弦线、余弦线、正切线。
5分钟
视频6：
练习：利用三角函数线比较下列各组值的大小。
①2sin
3π与4sin 5π；②2tan 3π与4tan 5
π；③cos 64︒与cos 285︒
5分钟
视频9：从07:29-----14:06结束。
（练习解析）
视频7：
练习：利用单位圆寻找适合下列条件的02π的角的集合。
①1sin 2α≥
；②tan >；③1cos 2α-≤≤5分钟
视频9：从28:40----34:02；39:45----43:20结束结束（习题解析）。
视频8：
练习：求函数()lg 2sin 1y x =+ 5分钟。