《平面与平面的位置关系》中的《二面角》
高一数学二面角的有关概念
装修好的居室不可马上入住，要尽量通风散味，但又不能打开所有门窗通风，因为这样可能给给刚施工完毕的墙顶漆带来不利，使墙顶急速风干，容易出现裂纹，破坏美观。 / 英语培训班加盟连锁
思考3:在平面几何中，我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角”，按照这种定义 方式，二面角的定义如何？
(1)新购的漆器家具上有一股很难闻的漆味，用抹布浸醋后擦洗，漆味可以立即消除 (2)油漆了室内的墙壁，室内有一股浓烈的漆味，可在室内放几桶冷水，或将洋葱切成片，放在冷水中，置于室内，油漆味即可消失 盛器打满凉水，然后加入适量食醋放在通风房间，并打开家具门。这样既可适量蒸发水份保护墙顶涂料面，又可吸收消除残留异味 买些菠萝在每间房间放上几个，大的房间可多放一些因为菠萝是粗纤维类水果，既可起到吸收油漆味又可达到散发菠萝的清香味道、加快清除异味的速度，起到了两全其美的效果 要快速清除残留油漆味，可用柠檬汁浸湿棉球，挂在室内以及木器家具上 刚装修过的房屋往往有天纳水等各种刺鼻的化工原料气味，把一只破开肚的菠萝蜜（一种形似榴莲的热带水果,但绝不是榴莲啊!!放榴莲可糟了!）放在屋内，由于菠萝蜜个体大（一般有西瓜那么大 极浓，几天就可以把异味吸光 可以去市场挑选一些高科技的祛味清洁剂，它能去除新装修房、新家具等散发出的有害气体。据有关人士介绍，这些祛味清洁剂一般都是进口产品，利用氨化合物与有害物质发生化学反应，从而 味清洁的作用。在新装修的房间中，可把这种祛味清洁剂倒入盘中，将盘分别放在每个房间中，再结合擦洗祛味法，连续几天后就可有效去除难闻气味 在房间里摆放桔皮、柠檬皮等物品，也是一种很有效的去味方法，不过它们的见效不是很迅速 最经济实惠又美化家居的方法当然是在家里摆上合适的花草.可以吸收甲醛的植物有仙人掌、吊兰、扶郎花（又名非洲菊）、芦苇、常春藤，铁树，菊花等,而消除二甲苯的花草则有常春藤、铁树、
1.2.4 平面与平面的夹角------二面角
1.2.4 平面与平面的夹角------二面角【课时目标】 1．掌握二面角和二面角的平面角的概念．2．会求简单的二面角的大小．【知识疏理】1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．注: （1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定为（0,π）。
3．二面角的画法（1）平卧式 （2）直立式4．二面角的记法（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：___________________; （2）以直线AB 为棱，以为半平面的二面角记为：___________________ 。
5．二面角的平面角的作法：注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
【例题学习】例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 求①二面角A 1－AB －D 的大小；②二面角D 1－AB －D 的大小．归纳小结:求二面角大小的步骤。
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．l βα,βα,例2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．例3．如图所示AF，DE、分别是圆O、圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是圆O的直径，AB=AC=6，OE // AD。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》作为一名为他人授业解惑的教育工，就不得不需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
我们应该怎么写教案呢？以下是精心整理的高中数学教案《二面角》，希望对大家有所帮助。
一、教材分析1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。
“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。
它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学目标:知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3、重点、难点：重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念难点：“二面角的`平面角”概念的形成过程二、教法分析1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
空间几何中的二面角与球面角
空间几何中的二面角与球面角空间几何是研究空间中各种几何对象的形状、结构和性质的一门学科。
在空间几何中，二面角和球面角是两个重要概念，它们在解决几何问题和应用数学中扮演着重要的角色。
本文将对二面角和球面角进行详细介绍，并探讨它们之间的关系。
一、二面角的定义和性质在空间几何中，两个平面的交线称为二面角的棱，交线所在的两个平面分别称为二面角的两个面。
二面角可以看作是由两个面之间的夹角构成的。
具体定义如下：设平面α与平面β相交于一条直线a，若另一条直线b既在平面α中，又在平面β中，且不与直线a重合，则直线a和直线b所夹的角称为二面角。
二面角的度数可以用度或弧度来表示，为了方便计算和讨论，我们通常使用弧度作为度量单位。
二面角的大小和性质如下：1.二面角的大小范围是0到π，其中0表示两个面平行，π表示两个面正交。
2.二面角是有向的，具有正、负两种方向，通过约定棱和它的两个面之间的排列关系，可以确定二面角的方向。
3.当两面平行时，二面角为0或π，可以看作是一个平面角。
4.二面角的余弦值cosθ可以通过两个面的法向量计算得出，具体公式为cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)，其中n1和n2为两个面的法向量。
了解了二面角的定义和性质后，我们可以进一步讨论二面角与其他几何概念的关系。
二、二面角与直线角的关系在空间几何中，直线角是由两条直线在空间中的夹角所确定的角。
直线角和二面角之间存在着密切的关系。
1.当两个面相交的直线上，存在着两个直线角，它们的和等于二面角。
2.当两个面平行时，二面角等于两个直线角之差的绝对值。
通过二面角和直线角之间的关系，我们可以利用直线角的性质来研究二面角。
三、球面角的定义和性质在空间几何中，球面角是由球面上两条弧所切出的锥面的顶角。
具体定义如下：设球面上有两条弧交于一点O，这两条弧分别在球心O处发出的半射线称为球面角的两个面，球面角可以看作是由这两个面之间的夹角构成的。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中数学二面角
高中数学二面角在数学的世界里，二面角是一个重要的概念，尤其在高中数学中占据着举足轻重的地位。
二面角，顾名思义，指的是两个平面之间的夹角。
这个概念在解决许多实际问题，如建筑设计、工程测量和物理学等领域都有广泛的应用。
首先，我们来深入理解一下二面角的定义。
简单来说，二面角就是两个平面在三维空间中相交时所形成的夹角。
这个夹角的大小可以用角度来衡量，也可以用弧度来衡量。
角度和弧度是两种不同的度量单位，用于描述角的大小，它们之间可以相互转换。
那么，如何计算二面角的大小呢？一种常见的方法是利用向量的知识。
具体来说，我们可以先找到两个平面的法向量，然后计算这两个法向量之间的夹角。
这个夹角的大小就是二面角的大小。
这种方法不仅简单易懂，而且在实际应用中也十分有效。
当然，二面角的应用远不止于此。
在解决一些几何问题时，我们常常需要用到二面角的知识。
例如，在计算立体几何中的表面积和体积时，我们往往需要先找到相关的二面角，然后利用这些二面角来推导出所需的公式。
此外，在解析几何中，二面角也是描述空间关系的一个重要工具。
为了更好地理解二面角的概念，我们可以结合一些具体的例子来进行说明。
比如，在建筑设计领域，设计师需要根据建筑物的功能和美学要求来确定各个房间的布局和角度。
在这个过程中，他们就需要利用二面角的知识来计算出最佳的角度和布局。
综上所述，二面角是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他领域也有着不可忽视的作用。
通过深入学习和理解二面角的概念、计算方法以及应用场景，我们可以更好地掌握这个工具，为解决实际问题提供有力的支持。
二面角名词解释
二面角名词解释
二面角是指由两条射线在同一平面内所形成的角度。
其中，一条射线称为顶角的边，另一条射线称为顶角的始边，二面角的度量范围为0度到180度。
二面角广泛应用于几何学和物理学等学科中。
在几何学中，二面角是对空间中的角度进行度量的重要概念。
它常常用于描述多面体的性质和物体之间的相对位置关系。
具体来说，二面角可用于计算多面体的体积和表面积，以及判断多面体是否相互平行或垂直。
二面角的计算公式是通过将两条射线与两个平面相交来得到的。
这两个平面称为二面角的平面。
二面角的度量取决于两个平面的夹角以及每个平面与二面角边所夹的角度。
如果两个平面相互垂直，则二面角为0度；如果两个平面平行，则二面角为180度。
在物理学中，二面角经常用于描述光线的传播和反射。
例如，当光线从一个介质射向另一个介质时，二面角将决定光线在两个介质之间的折射角。
通过计算二面角，可以进一步推导出光的传播路径和折射率等物理量。
此外，二面角还被应用于建筑学和工程学等领域。
在建筑学中，二面角可用于计算建筑物中不同房间或建筑部分之间的夹角，从而实现建筑物的设计和布局。
在工程学中，二面角可用于描述机械零件的装配和运动过程，以及评估工程的稳定性和可靠性。
综上所述，二面角是指由两条射线在同一平面内所形成的角度。
它在几何学和物理学等学科中发挥重要作用，用于描述多面体的性质、光线的传播和反射，以及建筑和工程等领域中的相关问题。
二面角的概念及其应用，对于理解和解决各种问题具有重要意义。
《二面角》教学设计
教材版本：人教大纲版高二年级上学期（第三册）第九章《二面角》教学设计江西省宜春市万载中学（336100）授课人：郭炜甘淑清教学目标1、知识与技能：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．2、过程与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、情感与态度三维目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程及如何作出二面角的平面角。
教学设计过程一：引入镜头一：学生观察开关门时门所在平面和墙面所在的平面的张合程度有何变化？（动画）镜头二：学生观察翻书时翻开的书面与书本所在平面的张合程度有何变化？（动画）（目的：使学生在观看动画的时候能够感觉到平面与平面之间存在着变化的位置关系，为引入二面角的概念作出铺垫）二：新课讲解1．二面角概念及表示法首先复习在平面几何中“角”是怎样定义的？对比平面角的定义给二面角下定义．并解释二面角的表示法。
平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．2．二面角的大小如何度量在翻书和开门过程中，都给人一种二面角大小会连续变化的的印象，节下来应该解决的是如何度量二面角的大小。
先复习异面直线所成的角是如何作出平面角的。
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′并不是存在且唯一的，所以不能用这样的角定义二面角的平面角。
高三数学《二面角》说课稿
高三数学《二面角》说课稿高三数学《二面角》说课稿「篇一」一、教材简析:1．地位与作用:本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简单几何体》中相关§96二面角的求解问题。
是在立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充。
二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为学生提供一个新的`视角。
2．教学内容及目标教学内容:将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式。
教学目标：知识目标：异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用；能力目标：（1）.推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题能力，培养发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用。
（2）.通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力。
情感目标：通过问题的转化过程，让学生认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题。
3．教学重点和教学难点重点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；难点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；二、学情分析：1．起点能力分析立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法，并成为本节的学习基础。
2．一般特点分析高二学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。
三、教法分析：本节采用启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考，教师适时演示，利用多媒体的直观性，激发学生的学习兴趣，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。
二面角教案
二面角教案教学目标1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．教师：请同学们观察下面的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生观察这两个平面相交成一定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思考二面角的图形．学生可以将自己画的图展示给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后计算机显示整个过程．教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．（教师让学生打开书本）打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜．请看图6：设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x由余弦定理，得：=2b2（1-cos），x2=b2+b2-2b2cos表示二面角的大小，当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=由（*）知，多不便；另外，若用∠A′OB′=≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。
立体几何中二面角的平面角的定位
立体几何中二面角的平面角的定位【摘要】立体几何中的二面角是一个重要的概念，而平面角的定位在二面角中有着特殊的作用。
本文首先介绍了二面角和平面角的基本概念，然后探讨了二面角的特性和分类。
接着重点讨论了二面角的平面角的定位问题，并探讨了平面角与二面角之间的关系。
我们详细阐述了平面角的测量方法。
通过深入理解平面角的定位，我们可以更好地解决立体几何中的问题，提高解题效率。
掌握平面角的定位对于学习立体几何具有重要意义，可以帮助我们更好地理解立体几何中的概念和定理，解决相关问题。
【关键词】二面角、平面角、定位、立体几何、特性、分类、关系、测量方法、重要意义、解决问题、提高效率。
1. 引言1.1 二面角的概念二面角是立体几何中一个重要的概念，指的是由两个相邻平面夹角所确定的角。
在几何中，我们通常将两个相邻平面的交线称为边线，而边线延伸至无穷远处，形成一个平面角。
这个平面角就是二面角。
二面角可以用来描述空间中两个平面的夹角大小和方向，是立体几何中的基本概念之一。
二面角的大小可以通过其所包含的两个平面的夹角来确定，通常用度数来表示。
二面角的方向则取决于两个相邻平面的相对位置。
在立体几何中，我们经常需要根据二面角的平面角来确定点、线、面等的位置关系，从而推导出更复杂的结论。
掌握二面角的概念和特性对于解决立体几何中的问题至关重要。
通过深入理解二面角的平面角的定位，我们可以更好地理解空间中的几何关系，提高解题效率，解决更为复杂的几何问题。
1.2 平面角的定义平面角是指在几何中由两条射线或直线段围成的角，这两条射线或直线段共同形成了一个平面。
平面角的大小可以通过角度来度量，常用的单位包括度、弧度等。
在平面几何中，平面角的概念是非常基础和重要的，它帮助我们描述和理解不同几何对象之间的位置关系和相互作用。
平面角的定义可以用于描述各种几何形状之间的相对位置关系，比如直线和直线、直线和平面、平面和平面等。
平面角的大小取决于形成该角的两条射线或直线段之间的夹角大小，这个夹角可以通过工具如量角器或通过数学方法进行测量和计算。
二面角及其平面角
D
G F
C
∴∠EHA＝arctan 2 。
∴ 二面角E－FG－A的大小为 arctan
2。
H
B
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
α β
二、二面角的平面角
ι
α
β
小
结
1、定义 B γ P A 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
ι
p
B
α
β
A B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O A
α
二面角
作业1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º 的二 面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面 β的距离CO。
B’
D C O
α
β
B
C
A
D
A
B
作 业 2 ： 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB=BC=2 ， AD=CD= 15 , ∠B=120º；将三角形ABC沿四边形 ABCD的对角线AC折起来，使DB′= 7，求△AB ′C 所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度 数。
A
ι
ι
O A
α
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？ 60º
二面角
空间几何中的二面角与二面体
空间几何中的二面角与二面体空间几何是研究三维空间中图形和其性质的数学分支。
其中，二面角和二面体是空间几何中重要的概念。
本文将详细介绍二面角和二面体，并讨论它们在空间几何中的应用。
一、二面角的定义和性质在空间几何中，二面角是由两个平面共享同一直线而形成的角。
我们以平面A和平面B为例，假设它们交于一条直线L，那么二面角就是由平面A的法线向量和平面B的法线向量所决定的角度。
二面角的度量范围在0到180度之间。
二面角具有以下性质：1. 对称性：如果将其中一个平面绕着直线L旋转180度，则二面角保持不变。
2. 互补性：如果两个平面互为垂直平面，则它们所形成的二面角为90度。
二面角在空间几何中具有广泛的应用。
在计算几何、立体几何等领域，二面角可以用来描述立体图形之间的关系，如判断两个面是否平行，计算体积等。
二、二面体的定义和性质在空间几何中，二面体是由两个共面的镜像对称的图形组成的立体图形。
这两个镜像对称的图形称为二面体的两个底面，它们通过一个旋转轴进行对称。
对称轴垂直于这两个底面，并将二面体分为上下两个相等部分。
二面体具有以下性质：1. 对称性：二面体关于对称轴对称，旋转180度后仍能重合。
2. 复原性：经过二面体的旋转、平移、翻折等操作后，可以恢复到原来的位置。
3. 底面性质：二面体的两个底面构成平行的多边形，并且对应的边相等。
二面体在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，许多建筑物如金字塔、锥体等都可以通过二面体的变换得到。
此外，在工程制图中，二面体可以用来代表物体的剖视图或旋转图，使带有对称性的物体更容易理解和表达。
三、二面角与二面体的关系二面角和二面体之间存在密切的联系。
一些性质可以通过二面角和二面体的关系来推导和证明。
首先，对于一个平面内的二面体，其两个底面上的边界相同，并且底面之间的夹角为二面角。
因此，通过二面体的性质可以推导出二面角的性质。
其次，对于两个共面的二面体，它们的对称轴可以是两个底面的公共边。
《二面角》的教学设计
具体教学 安排 ：
（） 多媒体演示修筑 水坝时 ， １用 为了使水坝 坚 固， 必
这一环节要解 决的主要 问题是 ：
充 分 发 挥 学 生 的 主体 作 用 ， 过 类 比猜 想 一 动 手 操 通
须使水坝面和水平面成适当 的角度． 发射人造地 球卫星
时 ， 要根据 需要 ， 也 使卫 星 的轨道 平面和地 球赤道 平 面 成一定 的角 度． 从熟 悉 的实际 问题 引入 ， 学生 了解数 使 学来 源于实 际． 同时 由于 多媒体 的辅助作 用 ， 使新 课 的
触 发 学 生 积 极 思 维 活 动 的展 开．
（） ３ 由二 面角 的文字 与符 号表示 扩展 到 图形 表示 ， 并进行图形语言及符号语言 之间的转化 ， 进一步从各个
角度去展现二 面角表 现形 式 ， 强调半 平面 的延展 性 ， 并
为今后的无棱二面角等知识 打下基础．
２ 二 面 角 的 平 面 角 ．
课堂效率．
这 一 环节 要解 决 的 主要 问题 是 ： 创 设 情 境 ， 导 学 生 分 析 实 际 问 题 ， 实 际 问 题 转 引 由
化为数学问题 ， 揭示 本课任 务． 同时通 过创设 问题 ， 让学 生领会到 ， 二面角这一概念 的产生是 因为研究两 相交平 面的相对位置 的需要 ， 而明确 新课 题研究 的必 要性 ， 从
情感态度 与价值 观 目标 ： 过本 节教 学 由水坝 、 通 卫 星运行 轨道平 面到二 面角 ， 现 由具体 到抽 象 的思 想． 体 从 中使学生体 会到数 学和生 活是密不可分 的．
３ 本 节 课教 学 的 重 、 点 ． 难
里通过电脑 的动态演示 ， 使二面角 的形成过 程变得生动
高一数学知识点大全：两个平面的位置关系之二面角
高一数学知识点大全：两个平面的位置关系
之二面角
高一数学知识点大全：两个平面的位置关系之二面角
两个平面的位置关系：
（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点
（2）两个平面的位置关系：
两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线。
二面角
（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]
（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直
两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥
两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention：
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）。
二面角的定义
二面角的表示方法
二面角可以用三个大写字母表示，其中两个字母表示二面角的棱上的任意两点， 另一个字母表示与棱不共面的一个点。例如，二面角A-BC-D表示由半平面ABC 和半平面BCD所组成的二面角。
另外，二面角也可以用其所在的两个平面的名称来表示。例如，二面角α-β表示 由平面α和平面β所组成的二面角。
解析法求解二面角
建立空间直角坐标系
通过建立空间直角坐标系，将几何问 题转化为代数问题，利用向量的坐标 运算来求解二面角的大小。
求解法向量
通过求解两个平面的法向量，然后利 用向量的夹角公式或外积法来求解二 面角的大小。
04 二面角的应用举例
在几何中的应用
空间几何形状的描述
曲面几何
二面角用于描述三维空间中两个平面 的相对位置，是空间几何形状的重要 参数之一。
在建筑设计中，二面角用于确定建筑物的空间形态和结构 稳定性。例如，在拱形结构的设计中，二面角决定了拱形 的形状和承载能力。
机械制造
在机械制造中，二面角用于描述机械零件的空间位置和相 对运动关系。例如，在齿轮传动中，两个齿轮的齿面形成 的二面角决定了齿轮传动的效率和稳定性。
航空航天
在航空航天工程中，二面角用于描述飞行器的姿态和飞行 轨迹。例如，在导弹制导系统中，导弹与目标之间的二面 角决定了导弹的命中精度和飞行稳定性。
05 二面角的拓展与延伸
多面角的定义与性质
01
多面角是由三个或三个以上的平面在空间中相交而形成的图 形，这些平面被称为多面角的面，相邻两个面的交线被称为 多面角的棱。
02
多面角的大小可以用其任意两个相邻面所成的二面角来度量 ，取值范围为[0, π]。
03
多面角的性质包括：多面角的棱数等于其面的个数；多面角 的内角和等于其面数减2再乘以π。
二面角定理
二面角定理引言在几何学中，二面角是指由两个平面所夹的角度，它是一个重要的概念，广泛应用于计算机图形学、物理学和工程学等领域。
二面角定理是指在特定条件下，两个平面所夹的二面角等于它们的法线向量夹角的余弦值。
定义首先，我们来定义一些相关概念： - 平面：平面是无限延伸且无厚度的二维几何图形。
可以用一个点和两个不共线的向量来唯一确定一个平面。
- 法线向量：法线向量是与平面垂直的向量。
对于一个给定的平面，有无数个与之垂直的法线向量。
- 角度：角度是用来衡量两条射线之间旋转程度的单位。
通常以°（度）或 rad （弧度）为单位。
- 二面角：由两个平面所夹的角度称为二面角。
二面角定理根据二面角定理，当给定两个平面时，它们所夹的二面角等于它们法线向量之间夹角余弦值。
假设有两个平面P1和P2，它们分别由点A、B、C和点D、E、F确定。
我们可以用向量AB和向量AC来唯一确定平面P1，用向量DE和向量DF来唯一确定平面P2。
根据二面角定理，二面角θ等于法线向量n1和n2之间夹角的余弦值。
其中，n1是平面P1的法线向量，n2是平面P2的法线向量。
证明要证明二面角定理，我们需要使用向量的点乘和模运算。
首先，计算出平面P1的法线向量n1。
由于平面P1由向量AB和AC唯一确定，可以通过计算它们的叉积来得到法线向量：n1 = AB × AC同样地，计算出平面P2的法线向量n2。
由于平面P2由向量DE和DF唯一确定，可以通过计算它们的叉积来得到法线向量：n2 = DE × DF然后，计算出法线向量n1和n2之间夹角θ的余弦值。
根据向量的点乘公式：cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| |n2|)其中，·表示点乘操作，| |表示模运算。
最后，我们得到了二面角θ的余弦值，即cos(θ)。
如果需要计算二面角的度数，可以使用反余弦函数来得到。
应用二面角定理在计算机图形学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
“二面角”教学设计
“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
二面角的平面角的定位
二面角的平面角的定位空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。
一、重温二面角的平面角的定义如图（1），α、β是由l出发的两个平面,O是l上任意一点,O∈α，且OC⊥l；CD∈β，且OD⊥l。
这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：⑴过棱上任意一点，其平面角是唯一的。
⑵其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征⑵可知AB⊥β.突出L、OC、OD、AB，这便是另一特征。
⑶体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。
对以上特征进行剖析：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成的，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征⑴表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1：已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。
正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征⑵指出：如果二面角α—l—β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，而交线所成的角就是α—l—β的平面角，如图。
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《二面角》教案
云南玉溪工业财贸学校
魏华新
一、目的要求
1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。
2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
三、教学过程：
（一）、二面角
1、提示问题产生的背景：
问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。
（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？
问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？
通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领
会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？
创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。
结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？
引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。
教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。
由教师版书于上图表中右侧。
由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。
学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力），通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。
（二）、二面角的平面角
1、揭示概念产生背景。
问题情境5、观察教师预先准备好的几个图形，它们有什么异同？
引导学生观察发现二面角的倾斜程度不同，即大小不一样。
问题情境6、能把它们的大小度量出来吗？
这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。
2、揭示概念内涵
（1）、类比。
教师启发，寻找类比联想的对象。
问题情境7、引导学生复习两条异面直线以及直线与平面所形成的空间角是怎样度量的？二面角的大小又是怎么度量的呢？
我们会度量平面角的大小，度量两条异面直线以及直线与平面所形成的空间角，必须把它转化为平面的角，并且这个角是唯一的。
（2）、提出类比猜想：二面角的大小也可以通过度量其平面角的大小。
问题情境8、二面角的平面角的顶点及两边的位置应如何确定呢？
学生：顶点在二面角的棱上，两边分别在两个面内。
这也是学生直觉思维的结果。
（3）、探索实验。
根据二面角的平面角的定义让学生在二面角的棱上分别
取两个不同的点画出右图所示的二面角的平面角的直观图，并引导学生观察这两个
角的两组对边的平行关系。
问题情境9、用什么定理验证二面角的平面角大小的唯一性
呢？
根据上面的作图和观察，学生不难回答是《同角定理》，这样就加深了学生对
二面角的平面角的深刻理解。
（三、）寻找二面角的平面角的方法（深入研究，从定义到方法的寻找）
1、提出问题：刚才在定义二面角的平面角时，先确定棱上一点O，再作其平面角。
若已知的点不在棱上而是在二面角的一个面内，能否作出该二面角的平面角？若已知点不在棱上也不在二面角的一个面内，而是在二面角内，它的平面角又该如何作？（答案是作棱的垂面）（培养学生的发散思
维和创新思维）
2、复习：用提问的方式复习三垂线定理及其逆定理
3、研究结果：找二面角的平面角有两种方法，方法一是根据定义，方法二是根据三垂线定理或其逆定理，找角的关键是找到（或作出）平面的垂线。
（培养学生的收敛思维）
（四）、运用
例1：在一个二面角的一个面内有一个已知点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍，求这个二面角的度数。
这道题不难，是巩固基本概念的例题，让学生自己画出二面角及其平面角。
例2、如下图，有一山坡，它的倾角是30（坡面ABCD与地面ABB1A1所成的二面角是30），山坡上有一条和斜坡底线AB成60角的小路EF。
如果某人从E点开始沿着这条小路走了100米，问此人离开地平面的高度约为多少米？（提高学生解决实际问题的能力）
提示：本题解题的关键是找到二面角的平面角
根据提示留足够的时间让学生主动探索，进行错误尝试，老师不必操之过急，最后再给出正确的答案。
解题后的反思已知二面角的度数求几何角度和距离的方法是：先找（或作）它的平面角——然后证明——再解（三角形）。
（五）总结
知识总结：让学生列表比较两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角的平面角的定义和直观图的画法。
学习方法总结：类比法、创新法和把空间角的问题转化为平面角的问题。
（六）、作业
课本332页7、8、10
附1板书设计
二面角及其平面角
一、二面角二、二面角的平面角三、找平面角的方
法
1、复习：平面角的概念1、复习：两条异面直线
及直线与平面构成的空间角的概念
2、类比：二面角的概念2、类比：二面角的平面角概念四、例1
3、练习：二面角的直观图3、定义合理性例2
4、练习
五、小结
附3课件不同方位和不同角度的二面角。