《平面与平面的位置关系》中的《二面角》

《二面角》教案

云南玉溪工业财贸学校

魏华新

一、目的要求

1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。

2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。

3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。

三、教学过程：

（一）、二面角

1、提示问题产生的背景：

问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？

问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？

通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领

会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。

2、展现概念形成过程。

问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？

创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。

问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？

引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。

由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力），通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。

（二）、二面角的平面角

1、揭示概念产生背景。

问题情境5、观察教师预先准备好的几个图形，它们有什么异同？

引导学生观察发现二面角的倾斜程度不同，即大小不一样。

问题情境6、能把它们的大小度量出来吗？

这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。

2、揭示概念内涵

（1）、类比。教师启发，寻找类比联想的对象。

问题情境7、引导学生复习两条异面直线以及直线与平面所形成的空间角是怎样度量的？二面角的大小又是怎么度量的呢？

我们会度量平面角的大小，度量两条异面直线以及直线与平面所形成的空间角，必须把它转化为平面的角，并且这个角是唯一的。

（2）、提出类比猜想：二面角的大小也可以通过度量其平面角的大小。

问题情境8、二面角的平面角的顶点及两边的位置应如何确定呢？

学生：顶点在二面角的棱上，两边分别在两个面内。这也是学生直觉思维的结果。

（3）、探索实验。根据二面角的平面角的定义让学生在二面角的棱上分别

取两个不同的点画出右图所示的二面角的平面角的直观图，并引导学生观察这两个

角的两组对边的平行关系。

问题情境9、用什么定理验证二面角的平面角大小的唯一性

呢？

根据上面的作图和观察，学生不难回答是《同角定理》，这样就加深了学生对

二面角的平面角的深刻理解。

（三、）寻找二面角的平面角的方法（深入研究，从定义到方法的寻找）

1、提出问题：刚才在定义二面角的平面角时，先确定棱上一点O，再作其平面角。若已知的点不在棱上而是在二面角的一个面内，能否作出该二面角的平面角？若已知点不在棱上也不在二面角的一个面内，而是在二面角内，它的平面角又该如何作？（答案是作棱的垂面）（培养学生的发散思

维和创新思维）

2、复习：用提问的方式复习三垂线定理及其逆定理

3、研究结果：找二面角的平面角有两种方法，方法一是根据定义，方法二是根据三垂线定理或其逆定理，找角的关键是找到（或作出）平面的垂线。（培养学生的收敛思维）

（四）、运用

例1：在一个二面角的一个面内有一个已知点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍，求这个二面角的度数。

这道题不难，是巩固基本概念的例题，让学生自己画出二面角及其平面角。

例2、如下图，有一山坡，它的倾角是30（坡面ABCD与地面ABB1A1所成的二面角是30），山坡上有一条和斜坡底线AB成60角的小路EF。

如果某人从E点开始沿着这条小路走了100米，问此人离开地平面的高度约为多少米？（提高学生解决实际问题的能力）

提示：本题解题的关键是找到二面角的平面角

根据提示留足够的时间让学生主动探索，进行错误尝试，老师不必操之过急，最后再给出正确的答案。

解题后的反思已知二面角的度数求几何角度和距离的方法是：先找（或作）它的平面角——然后证明——再解（三角形）。

（五）总结

知识总结：让学生列表比较两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角的平面角的定义和直观图的画法。

学习方法总结：类比法、创新法和把空间角的问题转化为平面角的问题。

（六）、作业

课本332页7、8、10

附1板书设计

二面角及其平面角

一、二面角二、二面角的平面角三、找平面角的方

法

1、复习：平面角的概念1、复习：两条异面直线

及直线与平面构成的空间角的概念

2、类比：二面角的概念2、类比：二面角的平面角概念四、例1

3、练习：二面角的直观图3、定义合理性例2

4、练习

五、小结

附3课件不同方位和不同角度的二面角