巧用配方法解题3
配方法解不等式陈计
配方法解不等式陈计全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：配方法解不等式是数学中常见的一种解题方法，它在解决复杂的不等式问题时具有很高的适用性。
不等式在数学中是一种比较两个量大小关系的数学式子，常见的不等式有大小关系的不等式、绝对值不等式等。
而配方法就是指通过对不等式两边进行变形，找到适当的方式使得不等式变得更易于解决的方法。
要想熟练掌握配方法解不等式的技巧，首先需要了解和掌握基本的不等式性质和变形方法。
不等式的基本性质包括加减法性质、乘除法性质、代数性质等，这些性质是配方法解不等式的基础。
在实际解题过程中，通过巧妙地运用这些性质，可以使得不等式的求解更加简单和高效。
在解不等式问题时，经常会遇到一些复杂的问题，这时就需要运用配方法来解决。
配方法在解决复杂不等式问题中具有很高的适用性，通过巧妙的变形和分析，可以将原问题化简为容易解决的形式。
在应用配方法解不等式时，需要根据具体问题的特点，灵活选取合适的变量和系数，充分利用不等式的基本性质进行变形，达到解题的目的。
在解决不等式问题时，配方法还可以结合其他方法一起使用，比如分离变量法、代入法、差分法等。
这些方法可以辅助配方法，使解题过程更加顺利。
通过灵活运用不同的解题方法，可以更好地解决各种类型的不等式问题，提高解题的效率和准确性。
在学习和应用配方法解不等式时，需要进行大量的练习和积累，通过不断的实践来提高解题能力。
同时还需要注重对不等式问题的分析和研究，探索不同类型不等式问题的解题思路和方法，提高解题的思维能力和创新能力。
第二篇示例：不等式是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
解不等式的过程在数学中被称为“配方法”，它是一种解决不等式问题的有效方法之一。
配方法在解决一元二次不等式、含绝对值不等式、多项式不等式等问题中都有着广泛的应用。
配方法的核心思想是通过变形、化简等操作，将原始不等式转化为一种更容易解决的形式。
在解决不等式问题时，我们通常会遵循一定的步骤和策略，以确保我们的解答是正确的和完整的。
配方法的解题步骤
配方法是一种解决二次函数问题的有效技巧，尤其在求解一元二次方程和求二次函数最值时非常常用。
以下是使用配方法的解题步骤：1. 整理方程：将待求解的一元二次方程或二次函数表达式整理成一般形式ax^2 + bx + c = 0（a≠0）或y = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2. 系数调整：如果a不等于1，可以先将方程两边同时除以a，使得二次项系数为1，即x^2 + (b/a)x + c/a = 0 或y = x^2 + (b/a)x + c/a。
3. 常数移项：将方程中的常数项c移到等号右边，得到x^2 + (b/a)x = -c/a 或y - c/a = x^2 + (b/a)x。
4. 配方：为了使等式左边成为一个完全平方的形式，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即[(b/a)/2]^2。
这样可以保证等式左边是一个完全平方的形式。
- 对于一元二次方程，有x^2 + (b/a)x + [(b/a)/2]^2 = -c/a + [(b/a)/2]^2，即(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)。
- 对于二次函数，有y - c/a = x^2 + (b/a)x + [(b/a)/2]^2，即y = (x + b/2a)^2 + (c/a - (b^2)/(4a^2))。
5. 求解方程：- 对于一元二次方程，利用开平方公式求解，即x + b/2a = ±√(b^2 - 4ac)/(2a)，化简后得到x = [-b ±√(b^2 - 4ac)]/(2a)。
- 对于二次函数，已经得到了顶点坐标(-b/2a, c/a - (b^2)/(4a^2))，可以直接画出图像并确定其性质。
以上就是配方法的基本步骤，通过这些步骤可以方便地求解一元二次方程和分析二次函数的性质。
需要注意的是，在实际应用中要根据具体问题灵活运用这些步骤。
用配方法解一元二次方程(3)
第 1 页 3 页 用配方法解一元二次方程（3）【学习目标】1.理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想。
2.能应用配方法解一元二次方程。
【问题导学】1. 填空（1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a-+（ ）＝（y - ）2． 2. 用适当的数（式）填空：23x x -+ (x =-2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+． 3.用配方法解下列关于x 的方程（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=54. 用配方法解下列方程1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02x x ---+=5. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ．6. 用配方法解方程．23610x x --= 22540x x --=7. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ．第 2 页3 页 8. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为9. 用配方法解方程（1）210x x --=； （2）23920x x -+=．例1用配方法解下列关于x 的方程：3x 2+8x-3=0对应练习：（1）3x 2+6x-4=0 （2）4x 2-6x-3=0（3） 2x 2-4x-1=0（4）2x 2+6x-2=0 （5）9y 2-18y-4=0归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：当堂检测：1、填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）2 2、用配方法解一元二次方程3x 2﹣6x ﹣5＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．（x ﹣1）2＝B ．（x ﹣1）2＝C ．（x ﹣1）2＝8D ．（x ﹣1）2＝6 3、解方程：（1）x 2-x-43=0 （2）3x 2+6x-5=0 4、如果a 2+b 2+2a ﹣4b +5＝0，求（a +b ）2019的值．教后记第 3 页3 页 当堂检测答案：1、（1）25 5 （2）36 6 （3）25 425 （4）91 312、【解答】解：∵3x 2﹣6x ＝5，∴x 2﹣2x ＝，则x 2﹣2x +1＝+1，即（x ﹣1）2＝，故选：A ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3、（1）1x =23 2x =21（2）1x =-1+3622x =-1-362 （3）4、【分析】首先利用配方法将已知等式进行变形处理；然后根据非负数的性质求得a 、b 的值；最后代入求值．【解答】解：由a 2+b 2+2a ﹣4b +5＝0知，（a +1）2+（b ﹣2）2＝0．所以 a ＝﹣1，b ＝2．所以（a +b ）2019＝（﹣1+2）2019＝1．【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质，配方法的理论依据是公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）。
配方法在解题中的应用
一
同 理 ，９ ｂ ２ — １ ８ ｂ ＝ （ ９ ｂ 一 ｌ ８ 西 ＋ ９ ） 一 ９ ＝ （ ３ ｂ 一 ３ ）
［ ２ ］ 钱佩玲 ． 中学 数 学思 想 方 法 【 Ｍ】 ． 北京 ：
北 京师 范大 学出版 社 ， ２ ０ ０ １ ．
点评 ： 利 用 配 方 法 求 值 常 常 需 要 利 用
１ 利 用配 方法求 二 次 函数最 值
例ｌ ： 某 农 家 旅 游 公 司 有 客 房３ ０ ０ 间， 每
变换 等 问题 。
关键词： 配方法 完全平方公式 二次函数 二 次三项式
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ０
． 文献标识码 ： Ａ
文章编号： ｌ ６ ７ ３ ～ ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ （ ｃ ） 一 ０ ０ ７ ８ 一 ｏ １
形成 一定的 数学思 想方法， 是 数 学 课
２ －２ ａ ＝（ ａ －２ ａ ＋１ ） 一１ ＝（ Ⅱ 一１ ） 一ｌ 在 教 学 中的 重 要 性 。 在 教 学 中， 使 学 生 掌 握 则得 到 。ａ
种 方法 ， 未 解 决 一 些 其 他 的 问 题 找 到 很
并灵活地运用“ 配方 法” 思考并解决问题 ，
将 大 大 地锻 炼 和 提 高 学 生 的 数学 思 维 能 力
例３ ： 化简， ／ ５ ． ２
分析 ： 化 简 就 是 将 根 式 化 为 最 简 二 次
算中考 ， ２ ０ １ ０ （ １ ０ ） ： ３ ６ — ３ ７ ．
配方法解一元二次方程口诀
配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把原方程化为的形式；
2、将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
4、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
5、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
扩展资料
1、配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方。
2、配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方。
3、配方法的理论依据是完全平方公式。
配方法的应用
1、用于比较大小
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小。
2、用于求待定字母的值
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值。
3、用于求最值
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值。
4、用于证明
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．。
运用“配方法”巧做因式分解
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２２ ２０运用配方法巧做因式分解运用 配方法 巧做因式分解Һ张㊀衡㊀（甘肃省通渭县黑燕山学校，甘肃㊀定西㊀７４３３０６）㊀㊀ʌ摘要ɔ因式分解的应用是学生在初中学习数学过程中最需要掌握的基本知识．如果学生能够掌握因式分解的概念，那么该概念将在今后因式分解的实际应用中发挥重要作用．因此，笔者根据多年的初中数学教学经验，对学生掌握因式分解的重要性㊁因式分解的教学方法以及因式分解教学中面临的问题进行了有效的分析，希望能为一线教师进行因式分解教学提供有效的帮助，从而有效地提高学生的数学成绩．人教版初中数学教材对于因式分解的问题，仅介绍了 提公因式法 和 公式法 这两种方法，然而在具体做题的过程中，我们发现仅仅运用这两种方法去分解因式有很大的局限性，很多式子都无法用这两种方法去分解．在这种情况下， 配方法 是我们最好的选择．本文将详细阐述如何运用 配方法 分解因式．ʌ关键词ɔ配方法；因式分解；提公因式法；公式法因式分解是初中数学中学习代数恒等式变换时的一种重要学习方法，常用于解决因式计算的数学问题，其基本概念便是将多项式整理成最简单的整式乘积的形式．可以看出，如果学生能够有效地运用因式分解，不仅可以提高数学能力，还可以通过因式分解更好地理解其他数学理论知识．因此，教师在进行数学因式分解的教学过程中，必须重视教学方式和方法，对学生进行系统㊁专业的教学，确保学生能够熟练掌握因式分解的基本概念，并应用于数学问题的求解．一㊁因式分解在初中数学中的重要作用初中数学的缜密性㊁专业性都比较强，掌握数学知识对于刚步入初中的学生而言是一项非常大的挑战．但是，学生一旦掌握了数学思想，理解了数学概念之后可以快速提高数学能力．众所周知，因式分解在初中数学课程中占有非常重要的地位，其主要功能体现在以下几个方面：１．因式分解是数学计算的基础．２．充分掌握因式分解的概念知识，并将其合理应用到数学解题思维中，可以使一些问题的计算方法更加方便，结果更加合理．比如：１００２－９９２＝（１００＋９９）（１００－９９）＝１９９．可以看出，使用因式分解法解决这种复杂的题型，既快捷，又准确．３．在初中数学学习过程中，解方程是十分重要的课程内容．例如，在求解二次方程问题时，因式分解法中的交叉相乘法比公式法更方便．此外，求解高阶方程时的最佳方法是使用因式分解法．比如解方程：ｘ３－４８ｘ＋７＝０，ｘ３－４８ｘ＋７－７ｘ２＋７ｘ２＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ２＋４８ｘ－７）＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ－１）（ｘ＋７）＝（ｘ＋７）（ｘ２－７ｘ＋１）．那么，原方程便应当是ｘ＋７＝０或者是ｘ２－７ｘ＋１＝０．由此可以可看出，利用因式分解法进行解题，可以使解题思路更清晰．二㊁目前因式分解法在教学过程中所面临的问题因式分解法在初中的数学学习中，属于必考易错的知识．教材中有提取公因式法和公式法两种解题思路．为了让学生更容易理解这两种方法的概念，有些教师会将两种不同的概念合并为一种，在同一节课中讲解这两种方法，然后让学生进行有针对性的练习．但毕竟在课堂上的时间是有限的，对于很多内容，学生缺乏足够的练习时间，更设有时间深入思考．回顾时教师会发现学生做的一些综合练习，效果不是很好，这是因为很多学生只看到了表面的知识点，没有办法着手解决更复杂的问题．根据笔者的经验，产生这些问题的主要原因如下：１．时间不足，学生对概念的理解不够透彻．在一个课堂上学习这两个概念，容易使学生感到困惑，不能灵活运用解决问题的思路；２．教师对思想重视不够，仅用因式分解的方法讲解一般内容，没有给予学生足够的练习时间，忽视了学生灵活解决问题能力的培养；３．在讲授内容的过程中，忽视了学生对方法的理解，只是一味地传递教师自己的思想，导致学生对公式概念的理解不足．一旦出现稍微难一点的题型或者相似题型，学生便不知该如何下手．㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０三㊁初中数学运用 配方法 巧做因式分解案例分析人教版数学教材八年级上册 １４．３因式分解 一课中，主要讲述了运用 提公因式法 和 公式法 分解因式的具体方法和步骤．这两种方法浅显易懂，学生很容易理解和掌握．但笔者在多年的教学经验中发现，学生在做因式分解的题目时遇到的一些题型很难运用这两种方法去做，例如：式子（１）ｘ２＋８ｘ＋１５；（２）ｘ２－１０ｘ＋２４；（３）ｘ２＋ｘ－１２；（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２；（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５．于是，很多教师想到了老教材中的 十字相乘法 ，运用 十字相乘法 确实能够解决这类问题，但是在现行课本中没有安排这节内容，不属于‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“规定的内容，学生掌握起来也难度较大．那么对于这一问题，笔者建议运用 配方法 ．所谓 配方法 ，就是通过 添项 或 拆项 配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２＝（ａʃｂ）２的形式，即完全平方形式，来解决问题的方法．这种方法既可以帮助学生解决一些因式分解的问题，又为学生九年级学习一元二次方程和二次函数打好基础．那么就以上面的几个式子为例，讲讲运用配方法分解因式的方法和步骤．（一）方法步骤１．添项配完全平方式分解因式解：（１）ｘ２＋８ｘ＋１５＝ｘ２＋２ˑ４ｘ＋４２－４２＋１５（添 ４２－４２ 配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ＋４）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ＋４＋１）（ｘ＋４－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５）（ｘ＋３）（分解完毕）（２）ｘ２－１０ｘ＋２４＝ｘ２－２ˑ５ｘ＋５２－５２＋２４（添 ５２－５２ 配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－５）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ－５＋１）（ｘ－５－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ－４）（ｘ－６）（分解完毕）（３）ｘ２＋ｘ－１２＝ｘ２＋２ˑ１２ｘ＋１２()２－１２()２－１２(添 １２()２－１２()２配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式)＝ｘ＋１２()２－４９４（写成完全平方形式）＝ｘ＋１２()２－７２()２（写成平方差形式）＝ｘ＋１２＋７２()ｘ＋１２－７２()（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋４）（ｘ－３）（分解完毕）（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＋３６ｙ２－３６ｙ２（添 ３６ｙ２－３６ｙ２ 以便配方）＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－３６ｙ２（计算 －３５ｙ２＋３６ｙ２ 可配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－ｙ）２－３６ｙ２（写成完全平方形式）＝（ｘ－ｙ）２－（６ｙ）２（写成平方差形式）＝［（ｘ－ｙ）＋６ｙ］［（ｘ－ｙ）－６ｙ］（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５ｙ）（ｘ－７ｙ）（分解完毕）２．拆项配完全平方式分解因式（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５＝９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－９＋４（将常数项 －５ 拆成 －９＋４ ）＝９ｘ２＋１２ｘ＋４－１６ｙ２＋２４ｙ－９（移项）＝（９ｘ２＋１２ｘ＋４）－（１６ｙ２－２４ｙ＋９）（将要配方的两大块添上括号）＝［（３ｘ）２＋２㊃３ｘ㊃２＋２２］－［（４ｙ）２－２㊃４ｙ㊃３＋３２］（配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（３ｘ＋２）２－（４ｙ－３）２（写成完全平方形式）＝［（３ｘ＋２）＋（４ｙ－３）］［（３ｘ＋２）－（４ｙ－３）］（运用平方差公式分解因式）＝（３ｘ＋２＋４ｙ－３）（３ｘ＋２－４ｙ＋３）（取小括号后中括号变小括号）＝（３ｘ＋４ｙ－１）（３ｘ－４ｙ＋５）（分解完毕）（二）变式练习（１）ｘ２－４ｘ－５；（２）６ｘ２＋ｘ－２；（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２；（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８．解㊀（１）ｘ２－４ｘ－５＝ｘ２－２ˑ２ｘ＋２２－２２－５＝（ｘ－２）２－９＝（ｘ－２＋３）（ｘ－２－３）＝（ｘ＋１）（ｘ－５）㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４数学学习与研究㊀２０２２ ２０（２）６ｘ２＋ｘ－２＝６ｘ２＋１６ｘ－１３()＝６ｘ２＋２ˑ１１２ｘ＋１１２()２－１１２()２－１３[]＝６ｘ＋１１２()２－４９１４４[]＝６ｘ＋１１２()２－７１２()２[]＝６ｘ＋１１２＋７１２()ｘ＋１１２－７１２()＝６ｘ＋２３()ｘ－１２()＝３ｘ＋２３()ˑ２ｘ－１２()＝（３ｘ＋２）（２ｘ－１）（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＋４９ｙ２－４９ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－４９ｙ２＝（ｘ－ｙ）２－（７ｙ）２＝［（ｘ－ｙ）＋７ｙ］［（ｘ－ｙ）－７ｙ］＝（ｘ＋６ｙ）（ｘ－８ｙ）（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８＝４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋９－１＝４ｘ２＋１２ｘ＋９－９ｙ２－６ｙ－１＝（４ｘ２＋１２ｘ＋９）－（９ｙ２＋６ｙ＋１）＝［（２ｘ）２＋２㊃２ｘ㊃３＋３２］－［（３ｙ）２＋２㊃３ｙ㊃１＋１］＝（２ｘ＋３）２－（３ｙ＋１）２＝［（２ｘ＋３）＋（３ｙ＋１）］［（２ｘ＋３）－（３ｙ＋１）］＝（２ｘ＋３＋３ｙ＋１）（２ｘ＋３－３ｙ－１）＝（２ｘ＋３ｙ＋４）（２ｘ－３ｙ＋２）四㊁教师在因式分解教学中的建议在传统的数学课堂上因缺少趣味性，很难让学生对数学知识产生浓厚的兴趣，也不利于学生的发展，长此以往学生会对数学的学习产生厌烦情绪．在新课程改革背景下，教师打破了传统教学模式，改变了枯燥的数学知识的讲解方式，使学生由被动地接受知识转变为主动地探索知识．兴趣对学习的重要性得到了一线教师们的认同．只有学生对所学的教学内容产生了兴趣，才会在教学内容的吸引下去进行深层次的探究，这样才能使教学的质量和效果不断提升．因此，教师在教学中要高度重视这一点，根据学生的数学实际水平设计一些学生比较感兴趣的问题，进而把学生的注意力吸引到课堂教学活动中，引导学生对数学内容进行深层次的思考，并提出相应的问题．通过教师的启发式的教学方法，学生学会动脑思考问题，对问题进行探究，去探讨解决问题的方法和技巧，从而找到学习数学的兴趣点，产生学习数学的热情．例如，在平方差公式的教学中，教师随便在黑板上出了几道数学口算题，让学生快速的口算：１８２－１６２，由于教师说要快速计算出结果，学生都表现出了强烈的参与热情，同时也在心里产生了疑问，这么大的数字很难通过口算去进行计算，教师为什么会出这样的问题呢？学生都面露难色．教师随即引导学生，在学习了因式分解的平方差公式后，可以很轻松地解答来这样的问题．学生于是对学习平方差公式产生了强烈的兴趣．然后教师给出了（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）的式子，让学生利用所学的多项式乘法的计算方法试着计算，很快就计算出了结果：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２．那么按照等式的性质，反过来也是成立的．因此，１８２－１６２就可以用平方差公式来计算，这样学生就可以很轻松地通过口算计算出结果了．在教师的启发下，学生自主利用所学的数学知识，总结出了平方差公式，并在实际的应用中加以验证．教师把学生分成学习小组，让小组成员互相出题然后比赛看谁计算得快．这样课堂教学在热烈的学习氛围中获得了事半功倍的教学效果，同时教师通过启发引导，也培养了学生的创造性，激发了学生学习数学的主观能动性．五㊁结语当我们在做因式分解的练习时，遇到用所学的 提公因式法 和 公式法 无法分解的题目， 配方法 就是最适合的选择．以上就是配方法的教学步骤和搭配的变式练习，希望对同仁们的工作有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］常成．初中数学因式分解技巧研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（１）．［２］陈建新．指向数学核心素养的问题设计策略 以 一元二次方程的解法（第１课时） 为例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１７（３２）．［３］王然恩．初中数学思想方法及其教学研究［Ｄ］．河北师范大学，２００５．［４］张涛．优化初中数学教学过程，提升初中数学教学效果［Ｊ］．考试与评价，２０１９（３）．［５］尹敬会．多媒体教学在初中数学教学中的应用策略研究［Ｊ］．中国校外教育，２０１８（３５）．。
新鲁教版八年级下册数学 《用配方法解一元二次方程(3)》教案
第八章一元二次方程２．用配方法解一元二次方程（3）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。
学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。
二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。
这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节复习回顾活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。
活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0移项，得x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得x-3 =±7即x-3=7或x-3=-7所以x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。
中考数学解题方法选讲1——配方法
1 中考数学解题方法选讲@1——配 方 法一、利用“配方”解一元二次方程例1、用配方法解方程1-4-22x x =0二、利用“配方”变形、求值例2、若把代数式x ²-2x-3化为（x-m ）²+k 的形式，其中m 、k 为常数，求m+k 的值练习：1、若关于a 的二次三项式16a 2+ka+25是一个完全平方式求k 的值;2、已知xy =9，x －y =－3，求x 2+3xy +y 2的值.三、利用“配方”变形、求方程的解 例3. 已知a 2+b 2－10a －6b ＋34＝0，求ba b a ＋-的值。
练习：已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b 1的值。
四、利用“配方”变形、化简例4 当21＜x ＜1时，12-2＋x x －2-41x x ＋＝______________．练习：化简求值：1a +2-122a a ＋，其中a=15.2五、利用“配方”求最值、例5 证明x 、y 不论取何值，多项式x ²+y ²-2x-2y+3的值总是正数，并求最小值。
六、 利用“配方”处理不等式、比较大小例6、已知P=157-1，Q=m ²-158m （m 为任意实数），说明P 、Q 的大小关系练习：已知R b a 属于,，说明不等式①a a 232＞＋，②)1(222＋＋＞＋b a b a ，③ab b a 222＞＋中一定成立的是那几个.七、利用“配方”判定三角形的形状例7 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足0ab -bc --222＞＋＋ab c b a ，判断△ABC 的形状.八、利用“配方”判断一元二次方程根的情况例8、已知关于x 的方程2-2＋＋m mx x =0．求证：方程有两个不相等的实数根九、利用“配方”求二次函数的顶点坐标和最值例9 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、最值：y ＝－21x 2＋x －25例10、用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？。
第1讲 怎样用配方法解题
第1讲怎样用配方法解题知识梳理配方法是中学数学中一种重要的解题方法，应用十分广泛，巧用配方法，可使很多数学问题迎刃而解，主要依据：（a+b）2=a 2+2ab+b 2;（a-b）2=a 2-2ab+b 2典例分析题型一、巧用配方法解题例1、若a+x 2=1997,b+x 2=1998,c+x 2=1999,且abc=12，求【趁热打铁】1.已知a、b、c 均为整数，且满足a 2+3b 2+3c 2+13<2ab+4b+12c，试求ba b a c ++-+)()a (的值cb a ca b bc a c 111ab ---++题型二、用配方化简例2、化简【趁热打铁】1.设x>0，化简题型三、巧用配方证明例3、已知a 12+a 22+…+a n 2=19972，b 12+b 12+…+b n 2=19992,a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =1997×1999,以上各数均为实数，且b 1、b 2、…、b n 均不为零，求证nn b a b a a === 2211b )1552326(2)71)(51(211+---+++142121142121+-+-+++x x x x【趁热打铁】1、用配方法证明:不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.题型四、巧用配方分解因式例4、（1+y）2-2x 2（1+y 2）+x 4（1-y）2【趁热打铁】(1)44x +;(2)22(1)(1)4m n mn --+.考点五、巧用配方判定例5、设a、b、c为△ABC的三边，且（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是一个完全平方式，试判定△ABC的形状。
【趁热打铁】1．已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是完全平方式，求常数n的值．考点六、巧用配方解方程（组）例6、求方程x2-6xy+13y2=100的正整数解【趁热打铁】1、x 2+y 2+4x-6y+13=0,x、y 为实数，求x y 的值实战演练课堂狙击1．已知：a,b,c,d 都是整数且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.2．求方程x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解3．化简下列二次根式：①347+；②32-；③223410+-.4．因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.5．阅读材料:把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222a ab b ±+2()a b =±.例如:2(1)3x -+、2(2)2x x -+、2213(2)24x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子，写出249x x -+三种不同形式的配方;(2)将22a ab b ++配方(至少两种不同形式);(3)已知2223240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.6．求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方.课堂反击1．因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9；③x 4+x 2-2ax-a 2+1.2．化简下列二次根式：①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）；②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)；③21217-；④53+；⑤324411-+；⑥5353-++；3．已知：a 2+b 2+c 2=111,ab+bc+ca=29.求：a+b+c 的值.4．已知：实数a,b,c 满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式cb a 111++值的正负.5．解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0；②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=42-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k +2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？。
8 例析利用配方法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。
所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。
一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。
例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。
【提示】 【解析】 【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。
二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。
例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。
配方法在初中数学解题中的应用分析
配方法在初中数学解题中的应用分析对于初中数学来说，配方法是非常重要的解题方法之一。
配方法的应用范围广泛，除了常见的初中阶段的代数方程外，在高中的数学中也有很多配方法的应用。
本文将从初中数学中配方法的基本概念、配方法在方程求解中的应用以及配方法在三角函数中的应用等方面进行分析探讨。
一、配方法的基本概念配方法是解决一些特殊的代数方程时所采用的一种解题方法。
所谓配方法就是把一个多项式进行拆项或变形，使得它可以表示成两个较简单的一次式的积的形式。
一般情况下，配方法的步骤如下：（1）将多项式拆项或者变形；（2）以两项之积的形式表示出来；（3）进行方程的一般化处理，大多数情况需要对等式两侧进行加减乘除等运算，以求出未知量的值。
因此，要想用配方法解决问题，首先要学会拆项变形的方法，这是配方法的基础。
其次是理解“求两项之积”的概念，因为配方法的核心在于利用两项之积的积因式分解原理解决方程。
最后是需要熟练的掌握方程的各种变形方法，这样才能通过配方法快速地解决问题。
二、配方法在方程求解中的应用在初中数学中，方程求解是重要的部分。
关于方程求解，许多学生都会采用逐步移项等方法，但当遇到一些较为困难的方程时，配方法是非常实用的解题方法。
1、利用配方法解决二元一次方程我们知道，二元一次方程有两个未知量，故需要两个等式方程式求解。
采用配方法解决二元一次方程时，我们以x为主元，将二元一次方程变成“与x有关的一元一次方程”和“不与x有关的常数项”之和相等，接着再用合并同类项的方法使方程变成“ax²+bx+c=(px+q)²”的形式，然后利用简单的公式即可得出x的解。
2、利用配方法解决二元二次方程在二元二次方程中，当其中一项被平方时，我们可以利用配方法解题。
具体做法是：将二元二次方程中的一项进行拆项或变形，然后在将拆开的项表示成一个一元二次方程的形式，进而求解出这个一元二次方程的根，最后再将根带入方程中，解出相应的未知量。
八年级数学（五四制）82用配方法解一元二次方程（3）教案
八年级数学（五四制）82用配方法解一元二次方程（3）教案【配方法解一元二次方程第三课时】教学设计一、教学目标：1.知识目标：(1)探究并掌握配方法解一元二次方程的一般步骤。
(2)能熟练、正确地进行配方法解一元二次方程。
3.情感与态度目标：(1)通过配方法解一元二次方程的学习与应用，体会转化思想的应用，培养学生运算能力。
(2)增加学生合作学习交流的机会，尽量让学生参与到小组当中，感受与他人合作的重要性以及逐渐形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
二、教学重点：配方法解一元二次方程的一般步骤。
三、教学难点：熟练正确地计算每一个过程。
四、教学方法：小组讨论、问题式教学、探究式教学、师生合作五、课前准备：导学案六、教学过程：教学过程师生课堂活动学生行为预测设计意图一、学习目标师：前面已经学过用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，那么如何用配方法解一次项系数是奇数或者二次项系数不是1的一元二次方程呢？今天继续探讨配方法解一元二次方程。
请一个同学读一下本节课的学习目标。
★★学生能够认真听讲，跟随老师的思路进入课堂。
★学生听讲不认真，思路跟不上。
带着问题进入课堂，引起学生的思考。
个别学生交流学习目标，使学生课堂上有目标，明白本节课的任务。
二、复习回顾1、填上适当的数，使等式成立①x2-6x+=(x-)2②x2+8x+=(x+)2③x2+3x+=(x+)2④x2-x+=(x-)22、用配方法解方程①x2-8x+1=0②x2+6x-1=0师：引导学生通过一组填空题复习学过的二次项系数是1的完全平方式的灵活应用。
生：学生口算，学生口答完成。
师：在导学案上完成解答过程。
生：独立自主完成，一起回顾总结解题步骤。
★★★学生能够认真、准确计算，口答完成；★★学生口答完成，但有部分答案错误；★学生不会填空。
★★★学生能够认真、准确计算，过程完整★★学生能自主完成，但有部分答案错误；★学生不会配方。
设计此组填空题，目的是让学生进一步巩固完全平方式，会进行灵活的配方计算，为学习配方法解一元二次方程做好铺垫。
巧用配方法解题
巧用配方法解题配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．一、用配方法解方程例1 解方程：2x 2－3x+1=0．分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1． 将二次项的系数化为1；2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；4．将方程化为(x+m)2=n 的形式；5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．解：方程两边都除以2，得.02123—2=+x x 移项，得.21—23—2=x x 配方，得222)43(21—)43(23—+=+x x ， 161)43—(2=x ， 即4143—=x 或.41—43—=x 所以x 1=1，.212=x 二、用配方法分解因式例2 把x 2+4x —1分解因式．分析：在原式中加上4的同时又减去4．解：原式=x 2+4x+4—4—1=x 2+4x+4—5=(x+2)2—2)5(=).5—2)(52(+++x x三、用配方法求代数式的值例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—422=+++b a b a ，求—ab 的平方根．分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+++b a b a ， ∴0)144()41—(22=++++b b a a ， 即0)12()21—(22=++b a ， ∴.21—,21==b a ∴±.21)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值例4 代数式2x 2—3x —1有最大值或最小值吗？求出此值．分析：代数式2x 2—3x —1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．解：2x 2—3x —1=2(x 2—23x)—1=2(x —43)2+.81 ∴当43=x 时，2)43—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2—3x —1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3—2x 2—4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．解：（3x 2—2x 2—4x+1）—（3x 3+4x+10）=—2x 2—8x —9=—2(x+2)2—1<0，所以对于任意实数x ，恒有3x 3—2x 2—4x+1<3x 3+4x+10．六、用配方法证明等式和不等式例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2—2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数．求证：.x ab bc == 分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a ，b ，c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a 2x 2—2abx+b 2)+(b 2x 2—2bcx+c 2)=0，∴(ax —b)2+(bx —c)2=0．∵a ，b ，c ，x 都是实数，∴(ax —b)2≥0,(bx —c)2≥0．∴ax —b=0,bx —c=0． ∴.x a bb c ==。
配方法计算题及答案
配方法计算题及答案首先，让我们来了解一下配方法的基本原理。
配方法，顾名思义，就是通过合理的配对，将一个复杂的表达式分解成两个简单的部分，从而便于进行进一步的计算和求解。
在代数方程的求解中，配方法通常用于解决一些二次方程或者高次方程。
通过合理的配对和分解，我们可以将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
接下来，让我们通过一些具体的例题来演示配方法的应用。
假设我们需要解决如下的二次方程，x^2 + 5x + 6 = 0。
首先，我们可以使用配方法来进行求解。
我们可以将x^2 + 5x + 6分解为(x+2)(x+3)，然后再分别对(x+2)和(x+3)进行求解，得到x=-2和x=-3。
因此，原方程的解为x=-2和x=-3。
除了解决二次方程外，配方法还可以用于解决一些其他类型的代数方程。
例如，对于一些高次方程，我们可以通过合理的配对和分解，将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
此外，配方法还可以用于解决一些不完全平方的问题，通过合理的配对和分解，我们可以将不完全平方化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
在实际应用中，配方法经常用于解决一些实际问题。
例如，通过配方法可以求解一些与面积、体积、速度等相关的问题，通过合理的配对和分解，我们可以将原问题化简为一些简单的代数方程，从而更容易进行求解。
因此，配方法在数学中具有非常重要的应用价值。
综上所述，配方法是一种常见的数学计算方法，它主要用于解决一些复杂的代数方程。
通过合理的配对和分解，我们可以将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
在实际应用中，配方法经常用于解决一些与面积、体积、速度等相关的问题。
因此，掌握配方法对于提高数学解题能力具有非常重要的意义。
希望本文能够帮助大家更好地理解配方法的原理和应用，提高数学解题能力。
二次根式的巧运算
二次根式的运算是初中数学的重点，在计算与化简二次根式的过程中，只要能够认真挖掘问题的结构特征，寻求恰当而巧妙的解题途径，便可达到化繁为简的目的。
以下是几种常见的二次根式运算的方法，供大家参考。
1．巧用定义。
例：化简分析：由二次根式定义知解答：由已知得方法规律：运用二次根式定义求出式中字母的隐含条件。
2．巧用平方法。
例：求的值。
分析：观察式子，发现结果大于0，若设，注意到互动为有理化因式，两边平方即可。
解答：设两边平方得：3．巧用乘法公式。
例：化简分析：观察到式中根号内的被开方数可化为完全平方的形式，故逆用公式变形，再用化简。
解答：4．巧用配方法。
例：化简分析：显然，结合分母的特点适当添、拆项后利用完全平方公式和平方差公式解决。
解答：5．巧用拆项法。
例：化简：分析：观察式子，不难发现分子中可拆为。
解答：6．巧用因式分解法。
例：计算分析：显然先算完全平方式很麻烦，若运用平方差公式，先分解因式，可达到化繁为简的目的。
7．巧用换元法。
例：计算分析：本题特点为分子与分母的和和积为一常数，故可用换元法。
解答：设且8．巧用幂的性质。
例：化简分析：式子。
解答：9．巧用通分法。
例：计算分析：观察分母特点，发现第二个分母为第一个分母的倍，故可先通分。
解答：10．巧用约分法。
分析：解答：总之，对于二次根式的有关计算，只要同学们学会根据题目的结构特点，灵活应变，即可达到事半功倍之效。
巧用配方法解题
•JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法.F；#巧用紀解L◎朱静怡(扬K大学，江苏扬K225000)!摘要】配方法是中学解题中一种极其重要的恒等变形，其应用非"广泛.在解方程、求最值中，随处可见到它的身影.对于中学生来说，配方法的灵活应用能够帮助他们更快更好地解决数学问题，提高其解题能力，为以后接触更多更复杂的数学难题打下良好的基础.熟练掌握配方法的基本概念及技巧，可以大大提高学生的解题效率和正确性，同时对学生综合能力的培养也有促进作用.!关键词】配方法；中学数学；解题一、引言配方法是数学解题方法的灵魂之一，是数学解题方法的一盏指路明灯.一般意义上的配方法是指运用“添项”“配凑”的方法,通过恒等变形，将式子转化为完全平方或者含有完全平方的代数式.主要在二次方程和二次函数求最值中运用.所谓更深意义上的配方法是指在实数的范围内产生非负数的特殊功能，其主要应用于基本不等式、柯西不等式、几何距离等.初中利用配方法将式子变形为一个完全平方式或多个完全平方式的和式的恒等变形，以达到快速解题的目的.通过对配方法在解一元二次方程、因式分解、函数最值中的相关应用的研究与归纳，可以进一步加深学生对配方法的理解和掌握，构建关于配方法的完整体系.二、一元二次方程求解中学阶段,一元二次方程根的求解是一个重要的数学知识点，对根的求解是每名学生必须学会的，学生要善于运用配方法求解根，在解题中，要重视配方法的运用.例1解方程3%2+4%=6.解题思路首先将方程的二次项系数化为1，然后配方，观察等式的左边，发现没有常数项，如果将等式的两边都加上(寻)，将会得到%2+令%+(寻)=2+(寻)，将其合并化简，开方，移项后得出最后的答案.具体解题方法如下：解v3%2+4%=6，24/2\2=/2\2I2\222•%+亍％+(T)=2+(T)<(%+亍)=歹，•%+寻=士华，332/2x=—――±—-—.33在解此类一元二次方程时，首先要将最高项系数化为1，然后再运用配方法，将等式左边化为两个一次项乘积，从而把解二次项的方程/(%)=0的问题转化为求一次项的方程问题.由此得出结论，一些高次方程也可以运用此种方法解.例2解方程%4-2%3-24%2+80%-64=0.解题思路观察上述式子，我们发现上述式子可以拆成两个完全平方,再利用平方差，等式左边就能化成两个式的积.解首先将-24%2项拆成%2和-25%2，(%4-2%3+%2)-(25%2-80%+64)=0，得(%2-%)2-(5%-8)2=0，(%2-%+5%-8) (%2-%-5%+8)=0，(%2+4%-8) (%2-6%+8)=0，因此，%2+4%-8=0或%2-6%+8=0.分别解上述方程，得到原方程的四个根是：%1=-2+2//，%2=-2-2//，%3=2，%4=4.根据例2可以归纳出四次方程求解的核心要点，通过把原方程的左边先拆分再配成两个完全平方的差，把求解次方转解两个二次方，而得到解.通过利用配方法，使我们在求解高次方程解时，不再那么盲目、不知所措.三、因式分解求解在中学阶段，因式分解问题是常考的一类题型，在处理此类题型时，通常使用的是十字相乘法、提公因式法、公式法.这三种方法可以帮助我们快速分解因式.但是当上述三种方法都不能解决时，我们就可以考虑配方法.因式分解的方法多种多样，这就需要学生通过自己的积累逐步掌握.例3因式分解%2-4%+1.解题思路观察上述因式，我们发现常规的方法都不适宜此题,在这种情况下，我们就可以考虑配方法.首先根据未知数％，我们可以运用加减常数的方式得出%2-4%+ 1=%2-4%+4-4+1=(%-2)2-3，方差公式，进一步得到答案%2-4%+1=(%-2+//)(%-2-//)，具体解题方法如下：数学学习与研究2020.4JIETI JIQIAO YU FANGFA • •解题技巧与方法144 ---------------------------------------------------------------解 %2 一4% + 1 = %2 -4%+ 4-4+1=(% -2)2 - 3=(% - 2 + //) (% - 2 - //).这样的问题打破了我们常规的解题思路，多方面对学 生所学的知识进行了考查,这里的配方法告诉我们,在解题时，要突破传统、打开眼见,不能中规中矩•配方法在因式分 解中的应用，培养了学生的创新能力,促进了学生多角度思 考问题，善于将所学的方法贯穿于不同的题中.四、 代数求值在面对代数求值时，配方法也是一种常用到的技巧.当 我们遇到一个等式中求解两个或三个未知数的值时，我们应该培养学生的配方思想.在此类题型中，教师要引导学生关注式子的结构，能够培养学生通过式子的结构来判定是 否使用配方法.例4 已知有理数％,0,h 满足// + // - 1 + // -2 =寺(% + 0 ++),那么，(% -0Z )3的值为多少？解题思路遇到一个等式中有多个未知数并且要求我们进行代数求解时，一般需要经过移项、拆项、配方，然后将等式左边化为三个完全平方式的和，等式右边为零的情形，从而利用完全平方的性质，求解出未知数.解 ]// + // _ 1 + // -2 =寺(% +0 +z )，.% - 2 // + 1 + ( 0-1 ) - 2 // _ 1 + 1 + ( z - 2 )-2 ////- +1 =0，(/% - 1)2 + ( // -1 - 1)2 + ( // -2 - 1)2 =0.又](//-1)2#0，( /0T -1)2#0，(//--1)2 #0，.% = 1，0 = 2，z = 3，故(％-0z )3 = (1 -2x3)3 = - 125.此类题型是中学数学中常见的题型，但是对于此类题， 学生往往很难将其解出，主要的原因就是他们不知道怎么将未知数求解出来，在配方时也容易出现不会组合的情况. 此类题型是配方法中较难的一类，涉及的未知数较多，如果能将此类题型熟练地掌握，对配方法的认识将更近一步.五、 函数最值求解在中学阶段，函数最值问题的解答可以利用配方法，通 过对代数式的恒等变形,构造完全平方，然后通过对二次函数图像的分析，最终可以求解出最大值和最小值.例5 求函数0 = sin 2%+4coss -2的最大值和最小值.解题思路观察例5,我们发现函数中既含有正弦函数又含有余弦函数，显然是无法直接求解的.首先，由正余弦函数的关系sin 2% + cos 2% = 1变形转换，可得cos 2% = 1 -sin 2%，将其代入0 = sin 2% +4coss -2,合并化简，从而将原函 数转化为一个只含有正弦的函数0 = - cos 2% +4coss - 1，配 方后得0= -( css -2)2 + 3再考虑函数的定义域，得-1 $ css W 1，因此，根据二次函数的性质，可以得到最大、最小值分别为多少.解 0 = 1- cos 2% + 4coss - 2= -(cos 2% -4coss +4) + 3=- ( css%- 2) 2 + 3.]-1 $ coss $ 1，.当Coss = - 1时，就是% = (2N + 1) !(N 是整数时)，0D =- 6 ；当coss = 1时，就是% =2饰(N 是整数时)，0”* =2.函数最值问题的求解是中学数学中必不可少的一部 分，是在中考、高考中经常涉及的问题，正确研究此类题目的解决方法有着重要的意义.通过例5,我们需要注意的是，在三角函数的最值问题求解时，当我们不能一下子对式子进行平方时，可以首先对式子进行变形，在最后求解最大、 最小值时不要忘了正余弦函数其自身的取值范围，结合正 余弦函数自身的取值范围与条件中所给的范围，在最终的 范围内进行取舍.六、小结从以上几个例子可以看出，配方法是学生学好数学的一把“金钥匙”.作为中学阶段常用的解题方法之一,配方法 在解题方面发挥着重要的作用，同时还增强了学生的创新能力.学习数学的关键在于其数学思想的学习，灵活运用各 种数学思想方法可以帮助学生更好地切入主题，从而快速地解题，因此，在学习配方法时，教师可以将思维训练贯穿其中,努力帮助学生探究新的方法.为了能够帮助学生进一步地理解掌握配方法，教师应该依据教材，优化教学方法, 必要时刻可以借助多媒体来加深学生对配方法的理解与掌握.【参考文献】[1] 罗增儒.数学解题学引论[J ].中学数学教学参考，2016(32) ：2.[2] 许永江,蔡建锋.突出教学方法,提升解题能力—— “配方法解一元二次方程”课堂教学实录与点评[J ].中学数学,2015(10) ：6 - 8.[3] 张耀，刘振铎.浅谈配方法在中学代数中的重要性 [J ].运城学院学报,1996(4) ：12-14.[4] 杨爱东.三角函数最值问题的常见解法# J ].高中数 学教与学,2016(24) ：48 -49.数学学习与研究2020. 4。
配方法解题例说
【 ３ ｚ＋ 一 ２ ｙ＋ ２ ０， ｘ ｚ一
维普资讯
２ ０ 第 １期 ０２年 一３ ＋，＋ 。一 ＋ ＋２ （ ） ）
＝
中 学数 学 月 刊
・ ３・ ３
２ ２ ２ ２ 一 ２ 一 ２ ｚ ｘ ＋ ｙ＋ ｚ一 ｉ ） ｘ
。 ． ．
倒 ４ 当 ， 何 值 时 ， 程 ｂ为 方
＋ ２ １ 口 ＋ （ａ ＋ ４ ｂ ４ ＋ ２ 一 ０ （＋ ） ３ ａ＋ ）
式 证 明 、 简 、 代 数式 的值 、 化 求 解方 程 、 不等 解
式 、 最 值 、 明 条 件等 式 等 ． 求 证
１ 化 简
ｒ ——— ———— ——二二＝ 二二二 二
÷（Ⅱ＋２。 ｃ＋ｇ ｂ ｂ－ｇｃ ２。 ｂ＋２ ａ ＋２ｃ ａ）
１
ｇ－ ０ １ ０ 一１ ０ ａ 要＝ ， — ， — ， 一 ｃ
．
．
ｎ ＝１ ｂ ， 一 １ 故 满 足原 不 等 式 的 ， ＝２ ｃ ．
一
寺［ｎ ）＋（＋ ＋（ －ｃ ］ （＋６。 ６ 口 ）
１
√７ ＿ ｉ （ 一 ／１ 一 一 １ ）
１ｂ ，一一÷ 时所给方程有实数根．
３ 解（ ） 证 不等 式 倒 ５ 怎 样 的整数 ｎ ｂ Ｃ 足 不等 式 ，，满
一
＝
√８ —２
一
＝√（
一
） ｚ
Ⅱ ＋ ６ ＋ Ｃ ＿ ＜ ａ － ｂ ２ ？ 。 ＿３ ｂ ｒ３ ＋ ｃ
—
—
（ ９ ８年 上 海 市初 中数 学竞 赛试 题 ） １９ 把方程（） １ 代人 方 程 （ ） ２ 得
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巧用配方法解题
配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．
一、用配方法解方程
例1 解方程：2x 2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1．将二次项的系数化为1；
2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；
3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4．将方程化为(x+m)2=n 的形式；
5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．
解：方程两边都除以2，得.02123—
2=+x x 移项，得.2
1—23—2=x x 配方，得222)4
3(21—)43(23—+=+x x ， 16
1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4
1—43—=x 所以x 1=1，.2
12=x 二、用配方法分解因式
例2 把x 2+4x-1分解因式．
分析：在原式中加上4的同时又减去4．
解：原式=x 2+4x+4-4-1=x 2+4x+4-5
=(x+2)2-2)5(=).5—2)(52(+++x x
三、用配方法求代数式的值
例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—42
2=+++b a b a ，求—ab 的平方
根．
分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+
++b a b a ， ∴0)144()4
1—(22=++++b b a a ， 即0)12()2
1—(22=++b a ， ∴.2
1—,21==b a ∴±.2
1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值
例4 代数式2x 2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值．
分析：代数式2x 2-3x-1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x 2-3x-1=2(x 2-23x)-1=2(x-43)2+.8
1 ∴当43=x 时，2)4
3—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2-3x-1有最小值为8
1． 五、用配方比较两个代数式的大小
例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3-2x 2-4x+1与3x 3+4x+10的值的大小．
分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．
解：（3x 2-2x 2-4x+1）-（3x 3+4x+10）
=-2x 2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，
所以对于任意实数x ，恒有
3x 3-2x 2-4x+1<3x 3+4x+10．
六、用配方法证明等式和不等式
例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2-2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数． 求证：.x a
b b
c == 分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a ，b ，c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．
证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a 2x 2-2abx+b 2)+(b 2x 2-2bcx+c 2)=0， ∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．
∵a ，b ，c ，x 都是实数，
∴(ax-b)2≥0,(bx -c)2≥0．
∴ax-b=0,bx-c=0． ∴
.x a
b b
c ==。