21.1.1 认识一元二次方程
21.1 一元二次方程(教案)
课题：21.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计一元一次方程：3x-5=03x(x-1)=5(x+2)一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+104x2-9=0 3x2-8x-10=0x2+3x=0 一元二次方程的一般形式：3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系只含有一个未知数……叫做数，c是常数项一元二次方程.课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=5±x1=5+12，x2=-5+12.师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计2x-6=0解是x=3 直接开平方法例x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2＝常数；x2-36=2x 第二步：开平方，降次；第三步：解一元一次方程.。
21.1.1一元二次方程第1节ppt(共36张)
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
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把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
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例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
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3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
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例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
21.1一元二次方程的概念课件
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
（2）
3．思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程
x2－75x＋350=0 和 x2 － x=56. 显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区分在 哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）等号两边都是整式 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
36(50－2x)＝3600,
整理得：
x2－75x＋350=0 （1）
2．问题二 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般情势为
ax2 bx c 0 (a≠0），
一元二次方程的项及系数
3.一元二次方程的解的概念
二、 一元二次方程的概念 等式两边都是整式，只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二 次方程. 通常可写成如下的一般情势：
ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)。 其中
ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；
bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，
c 叫做常数项。
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。
但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。
2.学生准备：课本、练习本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
21.1一元二次方程“教案”(杨几何人教课件+教案+学案三统一)
教学反思：
二备
教学Biblioteka 过程一、新课导入
1.自主学习课本P1“雕像设计”；
2.自主学习课本P2“问题1”；
3.自主学习课本P2“问题2”。
二、新知探究
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
2．定义：
一元二次方程是：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程.
三、例题讲解
【例1】将方程 化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.
中小学电子教案（导学案）
年级
九年级
班级
九（1）、九（2）班
学科
数学
执教
课题
21.1一元二次方程
课类
新授课
主备
审定
授课时间
第课时
教学
目标
1.了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程（重点）；
2.理解将实际问题转化为一元二次方程模型的方法（难点）；
3.感受“形式化”的数学思想（重点）.
教法
教师主导步骤（要点问题化）
（2）若x＝2是方程 的一个根，你能求出a的值吗？
【例2】关于x的方程 的一个根为x=3，则实数k的值为（）
A．1B．-1C．2D．-2
跟踪训练：你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
四、随堂练习
1.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，请列出相应的方程。
2.上海世博会某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.请列出相应的方程。
3.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，请列出相应的方程。
专题21.1 一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程(原卷版)(八大考点)-2024-2025学年
专题21.1 一元二次方程定义及配方法解一元二次方程【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一元二次方程的识别】 (1)【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 (2)【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】 (2)【考点四已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】 (3)【考点五解一元二次方程——直接开平方法】 (3)【考点六解一元二次方程——配方法】 (4)【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】 (5)【考点八配方法的应用】 (7)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（）2y x【变式1-1】（2023程的是（）0c 中，属于一元二次方程的有D ．4个【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题2】（2023·全国·九年级假期作业）当m =______时，关于x 的方程()32690m m x x +++-=是一元二次【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】【例题3】（2023·全国·九年级假期作业）若方程22533x x x x --=-+的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【变式3-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程221x x -=-化为一般形式为__________，其中=a ________，b =________，c =________．【变式3-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程3(1)5x x -=的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【变式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程()()32183x x x -+=-化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则a b c ++=______．【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=的一个根是0，则a 的值为______．【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若1x =是一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m 的值是________．【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m 是方程22310x x -+=的一个根，则2692023m m -+的值为______．【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m 是一元二次方程230x x --=的根，则325m m m +-的值为_____【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：251250x -=．【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：290x ．【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：()2(21)42140x x ++++=；【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程： (1) ()()22231+=-x x ； (2)229(21)16(2)0+--=x x ；(3)24410x x -+=； (4)21236=--x x ．【考点六解一元二次方程——配方法】2210x．【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】 【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程2240x x --=的过程： 解：移项得224x x -=配方：2214x x -+=()214x -=开平方得：12x -=±移项：21x =±+所以：13x =，23x =圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=264x x +=-------------------------------- ①2694x x ++=----------------------------- ②2(3)4x += -------------------------------③32+=±x --------------------------------④3232x x +=+=-，1215x x ==-，．问题：(1)佳佳解方程的方法是______；A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．24x，……………………该同学的解答从第______步开始出错；请写出正确的解答过程．【考点八 配方法的应用】【例题8】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差()()()()232351x x x x =+++-=+-．根据以上材料，解答下列问题：(1)分解因式：228x x +-．(2)求多项式287x x +-的最小值．【变式8-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．3 D ．5【变式8-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：243a a ++，解：原式()22=441=21a a a ++-+- ()()()()=2121=31a a a a +++-++②226M a a =-+，利用配方法求M 的最小值：解：()222=26=215=15M a a a a a -+-++-+因为()210a -≥，所以当1a =时，M 有最小值5请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式28x x -+ ；(2)用配方法因式分解22412x xy y --；(3)若2=421M x x +-，求M 的最小值．【变式8-3】（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式223x x +-．原式22(21)4(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x =++-=+-=+++-=+-；；例如：求代数式246x x ++的最小值．原式22442(2)2x x x =+++=++．2(2)0x +≥，∴当2x =-时，246x x ++有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：245m m --= ；(2)求代数式2612x x -+的最小值；(3)若22y x x =--当x ＝ 时，y 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．【过关检测】一、选择题二、填空题三、解答题11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知方程21(1)(2)10aa x a x +++--=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、。
21.1一元二次方程_教案
21.1一元二次方程一、教学目标：1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2．分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.3．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.4．通过例题和习题，列一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决问题的意识.二、重点难点：重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．三、教学过程：(一) 复习回顾：1.什么叫方程？2.目前我们已经学习了哪些方程？①一元一次方程 ②二元一次方程（组） ③分式方程练习：根据下列问题列出关于x 的方程.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x ；即： （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x ； 即：问题：这三个方程和之前学习过的方程类型一样吗？它们属于哪一类方程？设计意图：引导学生回顾方程概念，梳理清楚在方程这个大家族里面有很多分支，比如一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程等.其次通过列方程实际问题得出方程（一元二次方程），设计问题引导学生对比和类比，为新知识的学习做铺垫.注重新旧知识的联系，也让学生对新概念的内涵和外延都有初步认识.(二)引出本节课课题：一元二次方程观察与思考：2425x =(2)100x x -=22100x x -=2(1)x x =-212x x x =-+222425210012x x x x x x =-==-+这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点： ①都是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.知识1类比归纳：一元二次方程的概念等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程,叫做一元二次方程.练习1.下列方程是一元二次方程吗？（1） 3253x y +=- ×（2） 24x = √（3） 2211x x x --=+ × （4）224(2)x x -=+ ×方法总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：①都是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.注意：有些方程化简前含有未知数最高次数为2的项，但是化简后不存在未知数最高次数是2的项，这样的方程不是一元二次方程.设计意图：将一元二次方程的具体例子与一元一次方程作比较，引导学生观察一元二次方程在形式上的特点，找出两类方程的相同点和不同点，再类比一元一次方程的命名，学生可以很容易得出一元二次方程的命名和概念.让学生对一元二次方程的概念印象深刻，同时减少学生对新知识的陌生感，提高学习兴趣.通过练习，加深对概念的理解.活动：对这些一元二次方程进行整理，使得右边等于0.222425210012x x x x x x =-==-+222425021000310x x x x x -=--=-+=知识2：一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0（a ≠0）20(0)ax bx c a ++=≠一元二次方程一般式：思考：为什么要规定a ≠0？b 、c 可以为零吗？ 设计意图：让学生对所给的一元二次方程进行整理，容易发现其一般形式，并分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.例 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 3(1)5(2)x x x -=+注：各项都应带符号.练习2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：22(1)514(2)481(3)4(2)25(4)(32)(1)83x x x x x x x x -==+=-+=-练习3. 当m 为何值时, 方程 42(1)2750m m xmx -+++= 是关于x 的一元二次方程.练习4.方程2(24)20a x bx a --+=，在什么条件下为一元二次方程？在什么条件下为一元一次方程？解：当 a ≠2 时,是一元二次方程；当 a ＝2，b ≠0 时,是一元一次方程.练习5.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：问题(1) 要设计一座高2m 的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?解：设雕像的下部应设计为高x 米(2)::2x x x -=问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?解：设各角切去的正方形边长x cm(1002)(502)3600x x --=问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：设比赛组织者应邀请x 个队参加比赛(1)472x x -=⨯ 设计意图：通过例题和习题，加深对一元二次方程概念以及二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念的理解.最后通过所学方程解决实际问题，让学生体会一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.知识3：一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 练习6. 下列哪些数是方程的根？260--=x x－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4设计意图：通过复习方程根的知识，明白方程根的意义.也为解一元二次方程做铺垫，提高学生学习兴趣.（三）课堂小结：1.一元二次方程的概念是什么？2. 如何将一元二次方程转化为一般形式，一般形式包括哪些项？3. 什么是一元二次方程的根？。
21.1一元二次方程(作业教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)
5. 一元二次方程的实际应用：工厂的总利润=售价×销售数量-成本。销售数量为150件，成本为10元/件，超过100件后的增加成本为150-100=50件，每件增加成本1元，所以总成本为10×100+1×50=1500元。总利润=20×150-1500=1800元。
答案：
1. 解一元二次方程：x²-4x+3=0，通过求根公式，得x=1或x=3。
2. 因式分解解一元二次方程：2x²+5x-3=0，因式分解为(2x-1)(x+3)=0，得x=1/2或x=-3。
3. 配方法解一元二次方程：x²+4x+3=0，配方得(x+2)²=1，得x=-2±√1，即x=-1或x=-3。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕一元二次方程问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验一元二次方程知识的应用，提高实践能力。
在一元二次方程新课呈现结束后，对一元二次方程知识点进行梳理和总结。
教师备课：
深入研究教材，明确一元二次方程教学目标和一元二次方程重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保一元二次方程教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入一元二次方程学习状态。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与一元二次方程内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
第二十一章21.1一元二次方程
答案 2 易错警示 根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二 次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解 题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取 值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一 一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一 元二次方程
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整 式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程 仍是整式方程
正确理解题 目的含义
找出其中的数量 关系和等量关系
列出一元 二次方程
栏目索引
21.1.1一元二次方程的概念(1)
二、自主合作，彰显自信 2 2 x 2 0 2 x 19 x 24 0 2 2 x x 72 0 5x 10 x 2.2 0
一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程.
2015/8/30
一元二次方程特点: ①是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
2
2 -4 3 4 m-3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m
-5
-m
3x(x-1)=5(x+2)
2015/8/30
三、展示提升，赏识自信
• 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次 项、一次项和常数项及它们的系数： • (1) 3x( x 1) 5( x 2)
解：
3x 3x 5 x 10 3x 3x 5x 10
2
2
2
3x 8x 10 0
数为－8 二次项：3x .其系数为3. 一次项：－8x，其系
2
常数项为－10
2015/8/30
精讲点拨
★.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多
三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次 项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别 注意的是“＝”的右边必须整理成0。
（ 4） 6 y
2
y
x 4 ( x 2)
2
2
(a,b,c均为常数)
精讲点拨
★.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表
面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方 程未知数的最高次数是否是2。
2015/8/30
一元二次方程的一般形式
初中数学_21.1一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
课题：21.1一元二次方程【教学目标】【知识与技能】1.理解一元二次方程的概念；2.了解一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项；3.了解一元二次方程的解（根）；【过程与方法】通过类比与观察，归纳一元二次方程的概念及一般形式；【情感态度与价值观】1. 从实际问题中抽象出一元二次方程，向学生渗透转化思想，在经历数学建模过程中，培养学生解决问题的能力；2. 激发学生兴趣，培养学生自主学习和合作交流的意识。
【教学重点、难点】重点：一元二次方程的概念、一般形式及其有关概念难点：从实际问题中抽象出一元二次方程，向学生渗透转化思想，在经历数学建模过程中，培养学生解决问题的能力。
教学过程：【温故知新】分别指出下面的方程叫做什么方程？(l)3x+4=l ；(2)6x-5y=7；(3)一元一次方程的一般形式是：ax+b=0(a,b 为常数，且a ≠0）设计目的：为下面学习一元二次方程的定义与一般形式做准备，也从而引出本节课。
【走进生活】问题情境：(1) 设计师在设计人体雕像时，一般都考虑到美学角度。
比如下面我们看到的雷锋纪念馆前的雷锋雕像，就符合黄金分割比例：腰部以上AC 与腰部以下BC 的高度比等于腰部以下BC 与全身高度AB 的比.（AC ：BC= BC ：2 ）即：BC 2=2AC根据题意列方程: 整理得: ①师先降低难度,给出明确的等量关系再让学生列出方程，可调动学生的兴趣，师生一起整理，规范步骤，也为下面化成一般形式做铺垫(2) 有一个面积为54 m 2的长方形，将它的一边剪去5 m ，另一边剪去2 m ，恰好变成一个正方形，设剪切后的正方形边长为x ，那么原来长方形长是m ，宽是 3435=-xx42=x 2112xx x =-+-22)2(4+=-x x m ，得方程，整理得 ②. 学生独立思考，指一名学生回答，并板书【观察思考】 (1)方程①②中两边是整式还是分式？(2)方程①②中各有几个未知数？(3)方程①②中未知数的最高次数各是多少？（类比一元一次方程的定义归纳）一元二次方程的定义：注意三方面：【跟踪训练】判断下列方程是否为一元二次方程？（1）3x+2=5y-3 （2） （3）（4） 老师抽号接龙检查设计意图：巩固定义，并为遇到类似（4）方程需整理再判断做要求【再探新知】观察：两个一元二次方程等号左边是一个什么整式，右边？x 2+2x-4=0 x 2＋7x －44 ＝0学生举例：老师也举一个，并让学生整理（目的引导学生明白所有的一元二次方程都可转化为一种形式，为下面归纳一般式做准备）请类比一元一次方程一般形式ax+b=0(a,b 为常数，且a ≠0给上面的方程规定一个一般形式：引出：一元二次方程的一般形式： (a,b,c 为常数，a ≠0） 为什么要限制a ≠0，b,c 可以为零吗？若a=0，则方程变成：若a ≠0时，b=0则方程变为：若a ≠0时，c=0则方程变为：若a ≠0时，b=c=0则方程变为：总结一元二次方程三种特殊形式：介绍一元二次方程一般式中的各部分：二次项及系数： 一次项及系数： 常数项：【赛前热身】在组内互相说一说以上两个一元二次方程 ①②的二次项系数、一次项系数和常数项为后面的抢答比赛做准备，也是对一般形式掌握情况的检测老师采取顺时针检查的形式【学以致用】抢答：指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项2x 2+x +4=0 -4y 2+2y=0 3x 2-x -1=0 4x 2-5=0 关于x 的方程(m-3)x 2-(m-1)x-m=0(m ≠3) 3x(x-1)=5(x+2)说明：要找到一元二次方程的各项系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。
21,1一元二次方程(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点解析：如何引导学生从方程的左边找到两个一次因式，如提取公因式、十字相乘法等。
-实际问题的抽象与建模：将实际问题转化为数学模型，对部分学生来说是一个挑战。
-难点解析：通过具体例题，指导学生如何抓住关键信息，建立一元二次方程。
-根的性质的理解：学生需要理解根与判别式Δ之间的关系，并能应用于解决问题。
其次，在分组讨论环节，我发现有的小组在解决实际问题时，还不太会运用一元二次方程的知识。这说明我们在将理论知识与实际应用结合的过程中，还需要加强引导和启发。我计划在接下来的课程中，加入更多与生活相关的实例，让学生在实践中学会运用一元二次方程。
此外，学生在小组讨论中的参与度还有待提高。有的学生不够积极主动，这可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者缺乏信心。为了解决这个问题，我打算在下次课程中，提前给出一些引导性问题，激发学生的思考，并鼓励他们大胆发表自己的观点。
5.激发创新意识：鼓励学生在解决一元二次方程问题时，敢于尝试不同的解题方法，培养学生的创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-一元二次方程的定义：重点强调方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0（a≠0），使学生理解一元二次方程的基本结构。
-举例：x^2 - 5x + 6 = 0，指出a、b、c的值及其在方程中的作用。
21.1一元二次方程教案(人教版数学九年级上册)
21.1一元二次方程（一）教学目标（1）知识技能：1.通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。
2.了解一元二次方程的解的定义，会检验一个数是不是一元二次方程的解。
（2）过程与方法：通过实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是实际问题数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。
（3）情感态度使学生经历类比方程得到一元二次方程定义的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣。
（二）教学重点难点重点：通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0）和一元二次方程的解等定义,并能使用定义解决简单问题。
难点：一元二次方程、二次项及其系数、一次项及其系数与常数项的分别。
教学方法：教学准备：课件（三）教学过程：一、复习引入：同学们我们已经学习了一元一次方程，二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识，先来回忆一下方程的有关概念.1.什么是方程？什么的一元一次方程？2.指出下面哪些方程是已经学过的方程？分别是什么方程？（1）3x+2=0；（2）2x−3y=8；（3）25x +3y=0；（4）13y=4；（5）x2−2x+1=0；（6）y(y−8)=24;（7）5+1x−3=1;（8）2x3−y2=2.3.什么的元？什么的次？二、探究新知：1.课件出示教材问题1、2，要求学生列出方程，思考下列问题。
问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？提问：（1）问题1中列方程的等量关系是，所列的方程为，化简后为。
21.1 一元二次方程(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
21.1 一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.1一元二次方程，内容包括：一元二次方程的概念及其一般式。
2.内容解析一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得到一元二次方程的概念。
根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。
二、目标和目标解析1.目标1）通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；2）掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。
2.目标解析通过7年级上册的学习，我们已经掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特点为：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1(次)，且方程两边都是等式。
本节课我们根据实际问题列方程，用方程的思想建立数学模型，观察化简后的方程与一元一次方程的结构有相似的地方，它们都只含有一个未知数（元），且方程两边都是等式，但未知数的次数是2(次)。
由此学生通过观察，根据一元一次方程的概念尝试类比，归纳总结得出一元二次方程的概念。
在探索的过程中，提高学生类比、归纳、总结的能力。
一元二次方程的一般形式有两个易错点：1）忽略二次项系数≠02）判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题。
当二次项系数a≠0时，方程为ax2+bx+c=0（一元二次方程）。
当二次项系数 a=0时，方程为bx+c=0（一元一次方程）。
达成目标（1）的标志是：能正确判断一元二次方程。
：21.1.1一元二次方程r的概念(1)
x 21．1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．一、温故知新：1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。
2、一元一次方程的一般形式是什么？二、【预习内容】（阅读教材，并完成预习内容。
）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得 _____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
九年级数学：21.1一元二次方程教案(第一课时)
2.一元二次方程的一般形式：
我们把一元二次方程按未知数的降幂排列有：20(0)
ax bx c a
++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.
想一想：为什么要限制a≠0 ？ b、c可以为零吗？强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
《21.1一元二次方程》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册
《一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元二次方程的基础知识学习，使学生能够：1. 理解一元二次方程的概念及标准形式。
2. 掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法和公式法。
3. 学会利用一元二次方程解决简单的实际问题。
二、作业内容1. 预习部分：- 阅读教材中关于一元二次方程的定义和标准形式的内容。
- 理解一元二次方程的解法原理，包括因式分解法和公式法。
2. 课堂练习部分：- 练习一元二次方程的因式分解，例如对形如ax^2+bx+c的二次方程进行因式分解。
- 通过例题掌握一元二次方程的公式法解法，并尝试自己推导公式。
- 尝试将实际问题抽象为一元二次方程模型，如工程问题、抛物线问题等。
3. 课后作业部分：- 完成课后习题集关于一元二次方程的基础题，涵盖不同难度等级的题目。
- 结合生活实际，设置一些一元二次方程的实际应用题，如利用抛物线原理解决某些实际问题等。
- 要求学生总结一元二次方程的解题方法，并准备一个小型错题集，记录自己容易出错的题目及解题思路。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 对于课堂练习部分，学生需认真听讲并积极思考，及时向老师请教不懂的问题。
3. 课后作业需按时提交，并附上解题过程和思路。
教师将对解题过程和答案的准确性进行评判。
4. 在作业中，学生应注重理解和掌握基本概念和原理，不局限于机械计算和题目解答。
5. 对于有挑战性的题目，学生可进行深入研究并准备适当的解答方案，与同学或老师交流分享。
四、作业评价1. 教师将对每一份作业进行认真批改，给予明确的分数和评语。
2. 鼓励学生对错题进行反思，总结经验教训并记录在错题集中。
3. 对于优秀作业和进步明显的同学给予表扬和鼓励。
五、作业反馈1. 教师将根据学生作业情况，对课堂讲解内容进行调整和补充。
2. 对于普遍存在的问题，教师将在课堂上进行集中讲解和答疑。
3. 学生可根据教师反馈的意见和建议，对学习方法和策略进行调整，提高学习效果。
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一段的长x.
（来自教材）
1.整式 2.一个未知数 3.最高次数为2
使方程两边 一
相等的未知
元 二
数的值
次 方
程
的
根
一元二次方程的定义 一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一 元
二 a x²+b x+ c =0
次 方 程 的 一 般 形 式
判别一元二次方程的“两方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含
有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx
＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以 为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情 况无关．
1.必做: 完成教材P4 T1-T7 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
列方程
（来自《点拨》）
总结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既 要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目 中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、 利润公式等)进行列方程．
（来自《点拨》）
知4－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关 部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程 中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
（来自《点拨》）
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ 1 ＝2； x
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
知1－讲
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有( A )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
导引： ①x2＋y－6＝0 有两个未知数 ×
②x2＋ 1 ＝2 x
不是整式方程 ×
和常数项．
解：去括号，二次方程的一般形式
二次项
3x2－8x－10＝0.
系数所以二次项系数为3，一次项系数为常－数8项， 常数项为－一1次0. 项系数
总结
知2－讲
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方 程，但b，c可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去 分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起； 指出某项系数时应连同它前面的符号一起.
（来自《点拨》）
知2－练
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
（来自《典中点》）
知2－练
2 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81； (3)4x(x＋2)＝25； (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
A．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋ 1 ＝2
x
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
2 若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，
则( )
A．m＝1
B． m＝－1
C． m＝±1
D．m≠±1
（来自《典中点》）
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－导
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
知4－讲
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x； (3)确定等量关系； (4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式．
知4－讲
例4 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
全部比赛场数为 4 7 28 .
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以全部比赛共 1 x x 1 场.
2
列方程 1 x x 1 28 2
知1－导
问 题（一）
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切 去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方 盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应 切去多大的正方形？
知1－导
设切去的正方形的边长是x cm，则盒底的
长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方
（来自《典中点》）
知4－练
2 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程
化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正
方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的
长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与
全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短
2
x
一元一次方程
1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式
导入新知
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)
的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉
美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设
计为多高？
A
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2－x)，
整理得
x2＋2x－4＝0.
B
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2. 如何解这类方程？ 如何用这类方程解决一些实际问题？
这就是本章要学习的主要内容．
知识点 1 一元二次方程的定义
知3－练
（来自《典中点》）
知4－讲
知识点 4 利用一元二次方程建立实际问题模型
一元二次方程的模型：
一元二次方程是刻 画现实世界的一个有效 数学模型，它是把实际 问题中语言叙述的数量 关系通过设未知数用一 元二次方程来表达．
常用于一元二次方程 来建模的问题有：
• 圆形的面积 • 增长(利润)率 • 行程问题 • 工程问题等
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
a≠0
一次项系 数
a x²+b x+ c =0
二次项 一次项
知2－讲
指出方程各项的 系数时要带上前
面的符号.
常数项
知2－讲
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一
般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
④x2－2＋5x3－6x＝0 未知数的最高次数是3 ×
⑤2x2－3x＝2(x2－2) 整理后二次项系数为零 ×
只有③符合一元二次方程的定义
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法： 整理前：①整式方程，②只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2.
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
盒的底面积为3600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600.
整理，得4x2－300x＋1400=0 化简，得x2－75x＋350=0
化简后的方程中 未知数的个数和
最高次数各是 多少？
解上面方程即可得出所切正方形
的具体尺寸.
问 题（二）
知1－导
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．
整理，得 1 x2 1 x 28 22
化简，得 x2 x 56 解上面方程即可得出参赛队数.
知1－导
思考：方程 x2 2x 4 0， x2－75x+350=0， x2 x 56 有什么共同点？
可以发现
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式
知1－讲
定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做 一元二次方程．
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
第1课时 认识一元二次 方程
1 课堂讲解 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
判断下列式子是否是一元一次方程：
x 9 6.5 2 0.3x 5 1 1 2
个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列
出方程． 在油画四周外围x镶上宽度 90
本题涉及两个基本量： 油画的面积与整个挂
40+2x
为x cm的边框，则整4个0 挂
图的面积．
图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公