第五节 曲面 平面及其方程

那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方
程，而曲面 S 就叫做方程的图形．
[2]. 常见的曲面. (1) 球面方程
10 球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据要求有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
方程为：y 3z 0
例7 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
二、平面方程
[1]. 平面方程的概念 (1) 平面方程的定义
平面∏与三元函数 f(x,y,z)＝０有如下关系：
(1)平面上的点都满足上方程，满足上方程 的坐标点均在平面上
(2)不在平面上的点都不满足上方程。
上方程称为平面∏的方程，平面∏称为方程 的图形．
(2) 平面法向量的定义
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所
(2)
1 // 2
A1 B1 C1 D1 . A2 B2 C2 D2
(3) 1 2 A1 B1 C1 D1 .
这条定曲线C 叫柱面的准线.
动直线L叫柱 面的母线.
观察柱面的形
成过程:
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[3]. 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线.
动直线L叫柱 面的母线. 观察柱面的形 成过程:
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
解 AB {3, 4,6} AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
例6 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面为例）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面为例）
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
20 与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点
的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
t 1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
[3]. 两平面的夹角
(1) 夹角的定义
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2 n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2 2 : A2 x B2 y C2z D2 0, n1 { A1, B1,C1},
x
M( x, y, z)
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕
x
轴和
z
轴；
绕 x 轴旋转
x2 a2

y2 z2 c2
Байду номын сангаас
1
旋 转
双
绕 z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
y2 （2）椭圆 a 2

z2 c2
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
例1 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
另外：求过x轴和M (4,3,1)平面方程。
例4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、
Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0 ，b 0 ，
c 0），求此平面方程.
z
解 设平面为
b
Ax By Cz D 0,
c
将三点坐标代入得
aA D 0, bB D 0,
x
a
y
cC D 0,
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 (*) 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
若M ( x, y, z) , M0M n 不成立
即(x,y,z)不满足(*)式 从而法向量为n, M0在平面上,(*)式为其方程。
(1) z z1 （2）点M 到 z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
实际上两平面的夹角就是二面角
(2) 计算公式
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22

B22

C
2 2
两平面夹角余弦公式
(3) 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
z
n
M0 M
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C} 0, M0( x0 , y0 , z0 ) ,
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角

0



2
叫圆锥面
的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为
z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
M1(0, y1, z1 )

o
y
z x2 y2 cot
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例8 求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐标
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
只含x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线 C. （其他类推）
实 例
y2 b2

z2 c2

1
椭圆柱面母线 // x轴
x2 a2

y2 b2
1
双曲柱面母线
// z 轴
x2 2 pz 抛物柱面母线 // y轴

1绕
y
轴和
z
轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2