第二讲布尔函数 - 北京大学微处理器研究开发中心
具有K阶代数免疫的布尔函数
（ ｏ ｅｅｏ ｔ ｍａｃ ， ｈｎ ｚｏ ｎｖｒｉ ， ｈｎｚｏ ５ ０ １Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｌ Ｍａ ｅ ｔｓ Ｚ ｅ ｇｈｕＵ ｉｅｓｙ Ｚ ｅｇｈ ｕ４０ ０ ， ｈｎ ） ｈ ｉ ｔ
Ａｂｔａ ｔ： ｇ ｂａｃ ｉ ｓｒ ｃ Ａｌｅ ｒｉ ｍｍｕ ｉ ｓａ ｏｔｎ ｄ ｘｔ ａｕｅｔｅａ ｉｔ ｅｉｔａｇ ｂ ａｃａｔｃ ．Ｉ ｏｅ ｎｆｎ ｔ ｎ ｈ ｓａｌｗ ｇ — ｎｔ ｉ ｌｉ ｙ ｌ ｍｐ ｒ ｔｎ ｅ ｍｅ ｓ ｒ ｂｆｙｔ ｒｓｓ ｌｅ ｒｉ ｔ ｋ ｆａＢｏ ｌａ ｕ ｃｉ ａ ｏ ａ ｅ ａ ｉ ｏ ｈ ｉ ｏ ａ ｏ ｌ ｂａｃｉ ｒｉ ｍｍｕ ｉ ｎｔ ｙ．ｉ ｃ ｎ ｔ ｅｉｔｔｅａｇ ￣ａｃａｔｃ ．Ａｃ ｏｄｎ ｏｔｅａｇ ｂａｃｉ ｔ ａ ｏ ｓｓ ｅ ｉ ｔ ｋ ｎ ｒ ｈ ｌ ａ ｃ ｒｉｇ ｔ ｈ ｌｅ ｒｉ ｍｍｕ ｅｄ ｇｅ ｆａＢｏ ｌａ ｕ ｃｉｎｗｉ 一ｆｒ ｌ ｅ ｒ ｎ ｅ ｒｅｏ ｏｅ ｎｆ ｎ ｔ ｔ １ ｏｍ ｉ ａ ｏ ｈ ｎ
定义 ３ 若，为 ｎ元布尔 函数 ，
．
．
．
是 它 的
处的 ｗｌ ａｈ循环谱定义为： ∽ ）：２ ｓ ｓ（ ∑
（ ） 一１ 一。
收 稿 日期 ：０ ０ ０ — ５； 回 日期 ：００ ０ 一 ８ ２ １— ６ ２ 修 ２ １ — ９ Ｉ
作者简介 ： 张毛优 （９ ５ ， ， １８ 一） 女 硕士研究 生， 研究 方向为布尔 函数 、
记 为 ｎ（） 其 中 ｚ 所有 的线 性 函 数 。 ｌ ， ｆ 为
定 义 ２若 Ｅ Ｆ ， 中 １ ； 的个 数 称 为 的重 量 ， 记 为 ｚ ） ｃ 。 ， （
布尔函数在数电测试中的应用
布尔函数在数电测试中的应用布尔函数是数电领域中的重要概念，广泛应用于数字电路的设计和测试中。
本文将从布尔函数的定义、数电测试的基本原理以及布尔函数在测试中的应用等方面进行探讨。
一、布尔函数的定义布尔函数，也称逻辑函数，是一种将输入变量映射到输出变量的数学函数。
它由基本的逻辑运算符（与、或、非）构成，并可以通过真值表或逻辑表达式等形式来描述。
布尔函数通常用字母符号表示，如F(A, B)。
二、数电测试的基本原理数电测试是指对数字电路进行功能、时序、结构等方面的验证和确认。
其基本原理是通过输入合适的测试模式，观察输出结果与期望结果之间的差异，从而判断电路是否正常工作。
数电测试可以分为功能测试和故障诊断两个方面。
功能测试主要是验证电路在各种输入情况下的正确输出，而故障诊断则是通过分析输出结果的不符合情况，定位和修复电路中的故障。
三、1.功能测试布尔函数在功能测试中起到了至关重要的作用。
通过构造合适的测试模式，可以针对性地激励输入变量，观察输出结果是否符合预期。
布尔函数提供了描述电路功能的数学模型，使得我们可以通过逻辑条件来设计测试用例，以覆盖不同的输入组合。
例如，对于一个四输入与门电路，我们可以设置布尔函数F(A, B, C, D) = ABCD，通过穷举不同的输入组合，检查输出是否始终为非零，从而验证电路的正确性。
2.故障诊断布尔函数还可用于故障诊断，即在输出结果与期望结果不一致时，通过分析布尔函数的真值表或逻辑表达式，确定可能出现故障的输入变量和逻辑关系。
故障定位是故障诊断的关键步骤之一。
通过对布尔函数进行逆向分析，可以确定输出与输入之间的逻辑路径，从而确定存在故障的部分。
通过这种方式，我们可以对故障进行针对性修复，提高电路的可靠性和可维护性。
3.电路优化布尔函数还可以帮助我们对电路进行优化，提高其性能。
通过对布尔函数的逻辑表达式进行最小化和简化，可以减少电路的逻辑门数量和延迟，从而提高电路的工作速度和功耗效率。
布尔函数测试及诊断
布尔函数测试及诊断布尔函数是计算机科学中十分重要的概念，广泛应用于逻辑电路设计、编程和软件开发等领域。
在开发布尔函数时，测试和诊断是确保函数正确性和性能的关键步骤。
本文将探讨布尔函数测试及诊断的方法和技巧。
一、布尔函数的基本概念布尔函数是指输入和输出都只有两种取值（真或假）的函数。
它可以用逻辑门实现，逻辑门包括与门、或门、非门和异或门等。
布尔函数被广泛应用于数字电路和计算机程序中，它决定了电路或程序的行为和功能。
二、布尔函数的测试方法1. 随机测试随机测试是一种简单快捷的布尔函数测试方法。
通过随机产生输入取值，检验函数输出是否与预期一致。
这种方法的缺点是无法穷尽所有可能的输入组合，可能会遗漏错误情况。
2. 等价类测试等价类测试是一种基于函数内部不同等价类的测试方法。
将输入划分为不同的等价类，每个等价类中的输入具有相同的函数计算结果。
从每个等价类中选择一个代表性的输入进行测试，以检测函数是否处理不同的等价类输入正确。
3. 边界值测试边界值测试是一种针对函数输入边界条件进行的测试方法。
通过测试函数输入取最小值、最大值以及边界附近的值，检查函数是否能正确处理边界情况。
4. 判定表测试判定表测试对布尔函数的真值表进行全面的测试。
通过穷举函数所有可能的输入组合，检验函数计算结果与真值表是否一致。
判定表测试是一种耗时且复杂的方法，但能够确保函数在所有情况下都能正确计算。
三、布尔函数的诊断方法1. 逻辑模拟逻辑模拟是一种通过计算机模拟布尔函数行为的方法。
通过输入一系列合理的测试用例，检查函数的输出是否符合预期。
逻辑模拟可以帮助发现函数中的逻辑错误，但无法检测到硬件故障或其他物理问题。
2. 逆向工程逆向工程是一种通过分析和修改函数的过程来诊断问题的方法。
通过对函数进行逆向推导，找出其中可能存在的错误逻辑和计算错误。
逆向工程需要具备深入理解布尔函数的能力，并能够准确识别和修复问题。
3. 故障注入故障注入是一种人为制造错误并观察其影响的方法。
布尔代数与逻辑函数
布尔代数与逻辑函数布尔代数是一种由英国数学家乔治·布尔于19世纪中期发展起来的代数体系，它在计算机科学和逻辑学中起着重要的作用。
布尔代数通过对逻辑函数的运算和推理，描述了逻辑关系和逻辑推理的规则。
本文将介绍布尔代数的基本概念和运算规则，以及它与逻辑函数的关系。
一、布尔代数的基本概念布尔代数是一种由逻辑数学中的一元逻辑和二元逻辑运算构成的代数系统。
它由两个基本元素组成，分别是真值和逻辑变量。
真值表示一个命题的真假，通常用0和1表示，其中0表示假，1表示真。
逻辑变量则表示一个命题中的可变部分，可以取0或1两个值。
二、布尔代数的运算规则布尔代数具有以下几种基本的运算规则：1. 与运算（AND）：表示逻辑与关系，用符号“∧”表示，在数字电路中常用乘号“*”代替。
2. 或运算（OR）：表示逻辑或关系，用符号“∨”表示，在数字电路中常用加号“+”代替。
3. 非运算（NOT）：表示逻辑非关系，用符号“¬”表示，在数字电路中常用上划线“-”表示。
4. 异或运算（XOR）：表示逻辑异或关系，用符号“⊕”表示。
5. 同或运算（XNOR）：表示逻辑同或关系，用符号“⊙”表示。
这些运算规则在布尔代数中可以通过真值表或逻辑公式进行演算。
三、逻辑函数的定义与应用逻辑函数是布尔代数中的重要概念，它是一个或多个逻辑变量与运算符的组合，得到一个布尔值的函数。
逻辑函数在计算机科学和电子工程中有广泛的应用，特别是在数字电路和逻辑设计中。
逻辑函数可以通过真值表或逻辑表达式来描述。
真值表是逻辑函数的一个常用表示方法，它列出了函数在所有可能输入组合下的输出结果。
逻辑表达式则是通过逻辑运算符和逻辑变量的组合来表示逻辑函数。
四、逻辑函数的简化与优化在实际的逻辑设计中，逻辑函数往往需要进行简化和优化，以减少电路的复杂度和功耗。
常用的逻辑函数简化方法包括代数运算、卡诺图方法和奎因-麦克拉斯基算法等。
这些方法通过对逻辑函数进行等价变换和合并，找出最简逻辑表达式，从而实现逻辑电路的最优设计。
布尔函数相关理论及其应用
布尔函数相关理论及其应用布尔函数是数学和计算机科学领域中一个重要的概念。
它被广泛应用于逻辑设计、电路设计、密码学、信息安全等领域。
本文将介绍布尔函数的基本概念、性质以及它在实际应用中的一些例子。
一、布尔函数的定义布尔函数是由布尔变量和逻辑运算符组成的一种函数，它的取值只能是0或1。
布尔变量可以看作逻辑变量，它们代表了逻辑值的真和假。
逻辑运算符包括与、或、非等。
布尔函数可以表示一种逻辑关系，描述了不同变量之间的逻辑连接。
二、布尔函数的性质1. 单调性：对于任意布尔函数f(x1, x2, ..., xn)，如果在某两个向量x 和y中，x的每个元素都小于等于y的对应元素，那么f(x)小于等于f(y)。
换句话说，单调性表示提高一个输入变量的取值会导致输出变量的取值增加或保持不变。
2. 自反性：对于任意布尔函数f(x), f(x')=1-f(x)。
这意味着如果一个布尔函数取真的输入向量x，那么将x的每个元素取反所得到的向量x'将导致函数值取反。
3. 幂等性：对于任意布尔函数f(x), f(x)=f(f(x))。
这表示一个布尔函数与它自己的复合等于它本身。
三、布尔函数的应用1. 逻辑设计：布尔函数被广泛应用于逻辑门电路的设计。
逻辑门将布尔函数的输入映射为输出。
通过组合不同的逻辑门，可以实现复杂的逻辑功能，如加法器、乘法器等。
2. 信息安全：布尔函数在密码学和信息安全领域中起着重要的作用。
它们被用于生成密钥和实现加密算法。
布尔函数的性质可以帮助设计强大的密码算法，抵抗各种攻击。
3. 电路设计：布尔函数被应用于电路设计中，用于描述和优化电路的功能和性能。
通过布尔函数分析和优化，可以提高电路的速度、面积和功耗等指标。
4. 模拟电路的离散化：布尔函数可以将连续的输入变量离散化，从而将模拟电路问题转化为数字逻辑的问题。
这种转化可以简化电路设计和分析的过程。
四、布尔函数应用案例1. DES加密算法：DES（Data Encryption Standard）是一种对称加密算法，它使用了布尔函数来实现复杂的密钥生成和数据变换。
布尔函数表示变换在优化中的应用
布尔函数表示变换在优化中的应用在计算机科学和数学领域中，布尔函数是一类将布尔值（真或假）作为输入和输出的函数。
布尔函数的主要目标是对二进制数据进行逻辑运算和变换。
在计算机科学中，布尔函数广泛应用于逻辑电路、编码理论、密码学以及计算机网络等领域。
在优化问题中，布尔函数的表示和变换也具有重要的应用。
1. 布尔函数的基本概念布尔函数是一种由0和1组成的真值表所表示的函数。
它通常由变量和逻辑运算组成，例如与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
布尔函数可以分为单变量函数和多变量函数，其中多变量函数可以由单变量函数通过逻辑运算组合而成。
2. 布尔函数的表示方法布尔函数可以使用多种方法进行表示，常见的包括真值表、逻辑表达式、卡诺图和电路图等。
2.1 真值表：真值表是布尔函数最基本的表示方法，它列出了所有输入组合对应的输出值。
2.2 逻辑表达式：逻辑表达式是一种使用逻辑运算符描述布尔函数行为的方法，例如使用 AND、OR、NOT 等运算符表示。
2.3 卡诺图：卡诺图是一种使用方格和勾画的方法，可以直观地显示布尔函数的逻辑关系，经常用于简化逻辑表达式。
2.4 电路图：布尔函数可以使用逻辑门（例如与门、或门）来表示。
先通过逻辑门的组合得到逻辑功能，然后使用电路图来表示布尔函数的结构。
3. 布尔函数在优化中的应用布尔函数的表示和变换在优化问题中起着关键作用，常用于优化算法、约束满足问题以及真值满足问题的求解。
3.1 优化算法中的应用：布尔函数的表示方法可以用于优化算法的设计和求解。
例如，遗传算法、粒子群优化算法等可以使用布尔函数对问题进行建模和优化。
3.2 约束满足问题中的应用：约束满足问题是一类求解满足给定约束条件的变量取值的问题。
布尔函数可以描述约束条件和问题的目标函数，进而求解满足约束条件的最优解。
3.3 真值满足问题中的应用：真值满足问题是判断布尔函数是否存在一组输入使其输出为真的问题。
布尔函数的表示和变换可以用于验证和分析真值满足问题的解的存在性。
布尔函数的几类密码性质研究与S盒的构造
布尔函数的几类密码性质研究与S盒的构造布尔函数的几类密码性质研究与S盒的构造摘要：布尔函数在密码学领域中扮演着重要的角色。
本文探讨了布尔函数的几类密码性质以及S盒的构造方法。
首先，介绍了布尔函数的基本概念和性质。
然后，重点研究了平衡性、非线性性、代数次数和自相关性等几类密码性质，并分析了它们在密码学中的应用。
最后，介绍了S盒的构造方法，包括代数构造法、迭代构造法和启发式构造法，并比较了它们的优缺点。
本文的目的是为密码学的研究和应用提供参考和指导。
关键词：布尔函数、密码性质、S盒、代数构造法、迭代构造法、启发式构造法一、引言布尔函数是一种特殊形式的数学函数，它的取值为0或1。
在密码学中，布尔函数广泛应用于加密算法的设计和分析。
布尔函数的本质是一个逻辑运算，通过它可以实现对信息的加密。
二、布尔函数的基本概念和性质1. 布尔函数基本概念布尔函数是一个定义在有限域上的函数，它的输入和输出皆为0或1。
一个n变量的布尔函数可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中xi是输入变量。
2. 平衡性平衡性是指布尔函数0和1的输出值的个数相等。
对于一个n变量的布尔函数，如果f(x1, x2, ..., xn)的值为0和1的个数相等，则称该函数具有平衡性。
3. 非线性性非线性性是指布尔函数的输出值与输入值之间的关系非线性。
一个函数越非线性，意味着对抵抗不同攻击方法的能力越强。
在密码学中，非线性性是衡量一个布尔函数安全性的重要指标。
4. 代数次数代数次数是指布尔函数表达式中最高次项的次数。
一个函数的代数次数越高，说明它的非线性性越强。
代数次数也是衡量一个布尔函数安全性的指标之一。
5. 自相关性自相关性是指布尔函数与它自身的相关性。
对于一个布尔函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在一组输入xi使得f(x1⊕a1,x2⊕a2, ..., xn⊕an) = f(x1, x2, ..., xn)，其中ai∈{0,1}，则称该函数具有自相关性。
布尔分解定理
布尔分解定理布尔分解定理，也叫布尔分解公式定理，是指能够将任意布尔函数分解为若干个单变量布尔函数的乘积形式。
布尔函数指的是由布尔代数表示的逻辑表达式，以逻辑运算符为基础进行运算和计算的一种函数。
布尔函数的基本运算包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
布尔分解定理是通过布尔运算的组合和分解，将复杂的布尔函数化简为若干个简单的单变量布尔函数的乘积形式，从而便于布尔函数的分析与设计。
布尔分解定理的核心思想是将复杂的布尔函数拆分为多个较简单的布尔函数的乘积形式。
具体的分解方式可以通过真值表、卡诺图等方法来确定，以获得更简单、更易处理的布尔函数。
在应用中，布尔分解定理能够极大地简化布尔函数的计算和代数运算，并能帮助人们更好地理解和分析布尔函数的性质和特点。
以一个简单的例子来说明布尔分解定理的应用。
假设有一个布尔函数F(A, B, C)，其逻辑表达式为F = (A AND B) OR (AAND C)。
该布尔函数是由两个AND和一个OR运算符组成的。
根据布尔分解定理，可以将该布尔函数分解为两个单变量布尔函数的乘积形式。
即：F = (A AND B) OR (A AND C)= A AND (B OR C)通过上述分解，可以将原布尔函数F简化为两个单变量布尔函数的乘积形式。
这样的简化有助于布尔函数的计算和分析。
布尔分解定理在信息科学领域广泛应用于逻辑电路设计、计算机科学、人工智能等方面。
在逻辑电路设计中，布尔分解定理可以将复杂的逻辑门电路分解为多个简单的逻辑门电路的组合，从而提高电路设计的效率和可靠性。
在计算机科学和人工智能中，布尔分解定理被用于推理和逻辑计算的优化，以实现更高效的算法和模型。
总结来说，布尔分解定理是一种将复杂的布尔函数分解为多个简单的单变量布尔函数的乘积形式的方法。
它通过将布尔函数化简为较简单的形式，使布尔函数的计算和代数运算更加容易和高效。
布尔分解定理在逻辑电路设计、计算机科学和人工智能等领域有着重要的应用，可以提高系统的效率和可靠性，提供支持和指导。
布尔函数敏感度猜想
布尔函数敏感度猜想布尔函数敏感度猜想是计算机科学中一个重要的概念，它与布尔函数的特性和性能密切相关。
在本文中，我们将探讨布尔函数敏感度猜想的含义、背后的原理以及它在实际应用中的意义。
布尔函数是一种将输入值映射到输出值的函数，其中每个输入和输出都是布尔值（即真或假）。
布尔函数敏感度猜想是指一个布尔函数的任意两个输入之间，只有一个位的差异会导致输出值的改变。
换句话说，敏感度猜想探讨了布尔函数的输入与输出之间的关联程度。
为了更好地理解敏感度猜想，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑一个布尔函数f(x)，其中x是一个n位的输入向量，f(x)是一个单一的布尔值输出。
对于这个函数，我们可以计算每个输入位的敏感度，即改变该位的值对输出的影响程度。
敏感度越高，说明该位对输出的影响越大。
根据敏感度猜想，对于任意一个布尔函数f(x)，它的敏感度的最大值是n/2。
这意味着无论布尔函数有多复杂，它的敏感度都不会超过输入位数的一半。
这个猜想的证明是一个复杂的数学问题，需要借助概率论和线性代数的知识。
布尔函数敏感度猜想在计算机科学中具有广泛的应用。
首先，它在密码学中起着重要的作用。
密码学算法中的布尔函数需要具有高度的敏感度，以保证输入的微小改变会导致输出的巨大变化，从而增强密码的安全性。
其次，敏感度猜想也在电路设计和逻辑门优化中有着重要的应用。
通过优化布尔函数的敏感度，可以提高电路的性能和效率。
除了应用领域，布尔函数敏感度猜想在理论计算机科学中也具有重要的地位。
它与计算复杂性理论中的P与NP问题相关。
敏感度猜想的一种推论是，如果一个布尔函数的敏感度较低，那么它的计算复杂性也较低，即可以在多项式时间内解决。
这个结论对于研究计算问题的难度和可解性具有重要意义。
布尔函数敏感度猜想是计算机科学中一个重要的概念，它研究了布尔函数的输入与输出之间的关联程度。
敏感度猜想在密码学、电路设计和理论计算机科学等领域具有广泛的应用。
通过优化布尔函数的敏感度，可以提高密码的安全性和电路的性能。
布尔函数仿射等价
布尔函数仿射等价一、布尔函数的定义和性质布尔函数是指从n个二进制变量到一个二进制变量的映射，也就是说，它将一个长度为n的01序列映射到一个01值。
其中，n称为布尔函数的输入维数或变量个数，1称为输出维数。
布尔函数在计算机科学、密码学等领域中有着广泛的应用。
布尔函数具有以下性质：1. 布尔函数具有可加性和可乘性：对于两个布尔函数f(x)和g(x)，它们的“和”函数h(x)=f(x)+g(x)和“积”函数h(x)=f(x)g(x)都是布尔函数。
2. 布尔函数具有对称性：如果将某些输入变量取反，则输出也会取反。
例如，f(0,1,0)=1且f(1,1,0)=0，则当第一位输入变量取反时，输出也会取反。
3. 布尔函数具有自反性：如果将所有输入变量都取反，则输出也会取反。
例如，f(0,1,0)=1且f(1,0,1)=0，则当所有输入变量都取反时，输出也会取反。
4. 布尔函数具有线性性：如果对于两个输入x,y以及任意常数a,b∈GF(2)，都有f(ax+by)=af(x)+bf(y)，则称f(x)为线性函数。
二、仿射等价的定义和判定方法1. 仿射变换的定义仿射变换是指对于一个布尔函数f(x)，将输入变量x进行一次仿射变换，得到新的输入变量x'，然后将新的输入变量x'代入原布尔函数f(x)中，得到新的布尔函数g(x')。
如果g(x')与f(x)在所有可能输入下都相等，则称g(x')是f(x)的一个仿射等价。
2. 仿射等价的判定方法（1）矩阵法：对于一个n维布尔函数f(x)，可以通过构造一个n+1阶方阵A和一个n维列向量b，使得对于任意x∈GF(2)^n，都有Ax+b=f(x)，其中GF(2)^n表示在GF(2)上的n维向量空间。
如果存在矩阵A和向量b使得A满足可逆条件，则称f(x)是可逆仿射函数。
如果两个布尔函数f,g都是可逆仿射函数，并且它们之间存在一种线性关系，则它们是仿射等价。
布尔函数与布尔多项式
布尔函数（Boolean function）描述如何基于对布尔输入的某种逻辑计算确定布尔值输出，它们在复杂性理论的问题和数字计算机的芯片设计中扮演基础角色。
布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中（参见S-box）。
在数学中，布尔函数通常是如下形式的函数：F(b1,b2,...,bn)带有n 个来自两元素布尔代数{0,1} 的布尔变量bi，F 的取值也在{0,1} 中。
在一般的定义域上的，取值在{0,1} 中的函数也叫做布尔值函数，所以布尔函数是它的特殊情况。
布尔函数是研究密码算法和密码技术的重要工具，无论在流密码还是在分组密码中，在对称还是在非对称密码中都有重要的应用。
带有定义域{1,2,3,... } 的这种函数通常叫做二进制序列，就是说0 和1 的无限序列；通过限制到{ 1,2,3,...,n }，布尔函数是编码长度为n 的序列的自然的方法。
它有2^{2^n} 个布尔函数；它们在复杂性理论的问题和数字计算机的芯片设计中扮演基础角色。
布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中(参见S-box)。
在布尔值函数上的布尔运算逐点（point-wise）组合值（比如通过XOR 或其他布尔运算符）。
布尔函数可以唯一的写为积（AND）之和（XOR）。
这叫做代数范式(ANF），也叫做Zhegalkin多项式。
f(x1,x2,...,xn) =a0 +a1x1 + a2x2 + ... + anxn +a{1,2}x1x2 + a{n-1,n}x(n-1）xn +... +a{1,2,...,n}x1x2...xn序列a0,a1,...,a{1,2,...,n} 的值因此还唯一的表示一个布尔函数。
布尔函数的代数度被定义为出现在乘积项中的xi 的最高数。
所以f(x1,x2,x3）= x1 + x3 有度数1 （线性），而f(x1,x2,x3）= x1 + x1x2x3 有度数3 （立方）。
布尔函数表示法简化与优化
布尔函数表示法简化与优化布尔函数在计算机科学和电子工程等领域扮演着重要的角色。
在实际应用中，布尔函数的简化与优化是提高电路性能和节约资源的关键步骤。
本文将探讨布尔函数表示法的简化与优化方法，以及其在计算机科学和电子工程中的应用。
一、布尔函数表示法简介布尔函数是一种将布尔值（真或假）映射到另一个布尔值的函数。
它由多个输入变量和一个输出变量组成。
布尔函数可以使用多种表示法，例如真值表、卡诺图和逻辑表达式。
真值表是布尔函数最直接的表示方法。
它列出了函数的所有输入和输出组合。
然而，随着输入变量数量的增加，真值表变得庞大且难以处理。
卡诺图是一种图形化表示法，通过将相邻、变化只有一位的元素进行分组来简化布尔函数。
这种方法使得简化过程更加直观，并且适用于小规模的布尔函数。
逻辑表达式是一种使用逻辑运算符（如与、或、非）描述布尔函数的表示法。
它可以表达较大规模的布尔函数，但也增加了逻辑推理的复杂性。
二、布尔函数表示法的简化方法布尔函数的简化旨在找到具有相同输出的最简逻辑表达式。
简化布尔函数可以提高电路的性能、减少资源占用和降低功耗。
1. 真值表法简化对于小规模的布尔函数，可以通过观察真值表中的规律来简化函数。
例如，利用“包含”与“排斥”的逻辑性质，可以消除不必要的变量，从而简化函数。
2. 卡诺图法简化卡诺图法通过将真值表中变化只有一位的元素进行分组，找到最小项和最大项来简化函数。
分组时注意不要出现覆盖重叠的情况，以确保简化结果的正确性。
3. 基本逻辑运算法简化基本逻辑运算法包括与运算、或运算和非运算。
通过应用这些运算，可以将逻辑表达式进行化简。
例如，应用德摩根定律、分配律和吸收律等可以简化复杂的逻辑表达式。
三、布尔函数表示法的优化方法布尔函数的优化旨在尽可能减少逻辑门的数量和延迟，并提高电路的性能。
1. 布尔代数优化布尔代数是一种运用代数方法对布尔函数进行优化的方法。
通过运用布尔代数的基本定理和规则，可以将逻辑表达式进行等价变换，从而达到简化的目的。
布尔函数在电路复杂度中的应用
布尔函数在电路复杂度中的应用布尔函数在电路复杂度中扮演着重要的角色。
电路复杂度是指电路所需的资源，如门数、延迟和面积等。
布尔函数的优化对于电路复杂度的控制至关重要。
本文将探讨布尔函数在电路复杂度中的应用，并讨论其对电路性能的影响。
一、布尔函数的基本概念布尔函数是在布尔代数中定义的函数，该代数基于0和1这两个值。
布尔函数接受布尔变量作为输入，并产生布尔结果作为输出。
布尔函数可以表示为逻辑表达式，其中包含逻辑运算符（如与、或和非等）以及布尔变量。
在电路设计中，布尔函数用于描述电路的逻辑功能。
二、布尔函数优化布尔函数优化是指通过替换等价的较简单的逻辑表达式，从而减少门数和延迟。
布尔函数优化的目标是在不改变逻辑功能的情况下，最大程度地减少电路的复杂度。
常用的优化方法包括代数化简、Karnaugh图和奎因-麦克拉斯基算法等。
1. 代数化简代数化简是一种常用的布尔函数优化方法。
它基于布尔代数的基本规则，通过应用逻辑等价性和逻辑恒等性来简化逻辑表达式。
代数化简的结果是一个门数更少的逻辑表达式，从而降低了电路的复杂度。
2. Karnaugh图Karnaugh图是一种图形化的布尔函数优化工具。
它将布尔函数的真值表转换为一个二维的表格，其中每个格子表示一个特定的布尔子函数。
通过对相邻格子进行合并，可以得到一个最简化的逻辑表达式。
Karnaugh图可以简化逻辑函数，并减少电路的门数。
3. 奎因-麦克拉斯基算法奎因-麦克拉斯基算法是一种基于逻辑降阶的布尔函数优化方法。
它通过将布尔函数进行块的分解和合并，从而达到逻辑降阶的目的。
这种算法可以有效地减少门数和延迟，提高电路性能。
三、布尔函数优化对电路复杂度的影响布尔函数优化对电路复杂度有着重要的影响。
通过应用布尔函数优化方法，可以减少电路的门数和延迟，降低电路的复杂度。
这不仅可以减少电路所需的资源，还可以提高电路的性能和可靠性。
布尔函数优化还可以帮助设计师降低电路的功耗和面积。
密码学中布尔函数及多输出布尔函数的构造
密码学中布尔函数及多输出布尔函数的构造密码学中布尔函数及多输出布尔函数的构造密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，其中，布尔函数在密码学中扮演着重要的角色。
布尔函数是一种将输入位映射到输出位的函数，常用于密码算法中的置换和代换操作。
本文将介绍密码学中布尔函数的概念、性质以及多输出布尔函数的构造方法。
一、布尔函数的概念和性质布尔函数是一种二进制函数，即函数的输入和输出都是由0和1组成的位。
对于n个输入位和一个输出位的布尔函数，共有2^n个可能的输入组合，每个输入组合对应一个输出位。
布尔函数的值域也是二进制位，通常用0和1表示。
布尔函数的性质包括可满足性、平衡性、非线性和防线性。
可满足性指的是布尔函数的真值表至少包含一个包含全部1或全部0的行，即存在至少一个输入组合使函数的输出为1或为0。
平衡性表示在布尔函数的真值表中，0和1的个数相等。
非线性是指布尔函数的真值表不能由线性函数组合得到。
防线性则表示将输入进行置换后，生成的新函数与原函数相互对偶。
二、布尔函数的构造方法1. 均匀布尔函数均匀布尔函数的性质是在任意的输入结合上，0和1的个数之差不大于1。
构造均匀布尔函数的一种方法是通过线性代换。
对于n个输入位和一个输出位的布尔函数，我们可以通过一个n×n的矩阵A和一个n维向量b来表示。
即将n个输入位视为长度为n的列向量x，输出位为长度为1的列向量y，则有 y=Ax+b。
通过适当的矩阵A和向量b的选择，可以构造出均匀布尔函数。
2. S盒S盒是一种常用的构造布尔函数的方法，它在密码算法中广泛应用。
S盒本质上是一张真值表，通过将输入按照某种规则映射到输出来构造。
例如，在DES算法中，使用的S盒是将6位输入映射到4位输出，共有8个S盒组成。
S盒的构造非常重要，它要求输入的每一位都对应输出的不同位置，以增加密码算法的安全性。
三、多输出布尔函数的构造除了常见的单输出布尔函数外，密码学中还有多输出布尔函数的应用。
boolean 方法
boolean 方法（原创版3篇）目录（篇1）一、布尔方法的概念与特点二、布尔方法的应用场景三、布尔方法的实例与操作四、布尔方法的优缺点分析正文（篇1）一、布尔方法的概念与特点布尔方法，又称布尔运算，是一种基于逻辑运算的数据处理方法。
布尔方法是以英国数学家乔治·布尔（George Boole）的名字命名的，他在19 世纪提出了布尔代数，为现代逻辑运算奠定了基础。
布尔方法的特点在于它只关心输入数据的真假，而不关心具体的数值。
布尔运算主要有三种：与（AND）、或（OR）和非（NOT），这三种运算可以组合形成更复杂的逻辑表达式。
二、布尔方法的应用场景布尔方法在许多领域都有广泛应用，例如计算机科学、数据分析、人工智能等。
在计算机科学中，布尔方法常用于条件判断、数据过滤等场景。
在数据分析中，布尔方法可以帮助我们筛选出符合特定条件的数据，以便进行更有针对性的分析。
在人工智能领域，布尔方法则是构建逻辑推理系统的基础，有助于实现自动化决策和问题求解。
三、布尔方法的实例与操作以 Python 语言为例，可以使用布尔方法对列表中的元素进行筛选和判断。
假设有一个数字列表：`numbers = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]`，我们可以使用布尔方法筛选出其中所有偶数：```pythoneven_numbers = numbers[numbers % 2 == 0]```在这个例子中，我们使用了布尔运算符`%`（取模）和`==`（等于），构建了一个逻辑表达式。
该表达式的含义是：当`numbers`中的元素除以 2 的余数等于 0 时（即该元素为偶数），将该元素添加到`even_numbers`列表中。
四、布尔方法的优缺点分析布尔方法的优点在于它可以简化复杂的逻辑判断过程，提高代码的可读性和可维护性。
此外，布尔方法具有较强的通用性，可以应用于多种数据类型和场景。
然而，布尔方法也有一定的局限性。
布尔函数测试及诊断
布尔函数测试及诊断布尔函数是计算机科学中的一种重要逻辑操作，用于表示逻辑关系。
在软件开发和电路设计中广泛使用。
为了确保布尔函数的正确性和可靠性，测试和诊断布尔函数的正确性变得至关重要。
一、布尔函数测试的目的和重要性布尔函数测试的目的是验证函数的正确性、稳定性和鲁棒性。
通过对布尔函数进行测试，可以发现函数的潜在问题，并及时进行修复。
布尔函数测试对于减少软件缺陷、提高系统可靠性至关重要。
二、布尔函数测试的方法1. 黑盒测试：黑盒测试是基于输入输出关系的测试方法。
测试人员不需要了解具体函数的内部实现细节，只需关注输入与输出的关系。
通过设计测试用例，输入各种可能的情况，验证函数输出是否符合预期。
2. 白盒测试：白盒测试是基于函数内部实现细节的测试方法。
测试人员需要分析函数的代码，根据代码路径设计测试用例，并覆盖所有可能的执行路径。
白盒测试可以检测函数的具体缺陷，但测试用例设计相对较复杂。
3. 边界值测试：边界值测试是一种特殊的测试方法，可以揭示布尔函数在输入边界处的行为。
通过在输入边界值和临界值进行测试，可以检测函数在边界情况下是否存在错误。
4. 异常值测试：异常值测试是一种测试方法，重点是检测布尔函数在输入异常值情况下的行为。
这些异常值包括空值、零值或其他特殊情况。
通过测试这些异常值，可以发现函数对异常情况的处理能力。
5. 等价类划分测试：等价类划分测试是一种通过划分输入值的等价类，设计测试用例的方法。
通过选择等价类中的代表性值进行测试，可以发现函数对不同等价类输入的响应行为是否一致。
三、布尔函数诊断的方法1. 异常日志分析：将布尔函数的运行过程产生的异常日志进行分析，寻找出现异常的原因。
异常日志中通常会包括错误码、错误信息等有用的信息。
2. 调试器：借助调试器工具对布尔函数的执行过程进行跟踪和分析，查找代码中的潜在问题。
调试器可以提供变量的实时值、函数执行的路径等详细信息，有助于定位错误。
3. 性能分析工具：使用性能分析工具对布尔函数的执行过程进行监测和分析，找出函数执行过程中的性能瓶颈和潜在问题。
布尔函数的表示与最小化方法
布尔函数的表示与最小化方法布尔函数是计算机科学领域中一种重要的数学逻辑工具，它可以描述逻辑电路中的输出与输入之间的关系。
在电子工程、计算机科学以及数字电路设计等领域，布尔函数的表示与最小化方法被广泛应用于逻辑电路的设计与优化。
本文将介绍布尔函数的基本概念及其常见的表示和最小化方法。
一、布尔函数的定义和基本概念布尔函数是定义在布尔代数上的函数，其输入和输出皆为布尔值，即取值为0或1。
布尔函数通常用字母表示，如f、g等。
对于一个n个变量的布尔函数，其可能的输入组合有2^n个，对应的输出则为一个长度为2^n的真值表。
二、布尔函数的表示方法1. 真值表表示法真值表是一种直观且直接的表示方法，它将布尔函数的所有输入组合及其对应的输出列举出来。
这种表示方法的优点是能完整地描述布尔函数的所有可能性，但对于复杂的布尔函数来说，真值表会变得十分冗长和难以分析。
2. 代数表达式表示法代数表达式是一种基于布尔代数的表示方法，通过使用逻辑运算符（如与、或、非）和变量（如x、y、z等）来构建布尔函数的表达式。
常见的代数表达式包括与积项表达式和析取范式表达式。
与积项表达式是将布尔函数表示为若干个项的“与”操作，而析取范式表达式则是将布尔函数表示为若干个子表达式的“或”操作。
三、布尔函数的最小化方法布尔函数的最小化是指找到与原函数等效但具有最简化形式的布尔函数，简化后的布尔函数通常具有更少的逻辑门和更低的成本。
下面介绍两种常见的布尔函数最小化方法。
1. 卡诺图方法卡诺图是布尔函数最小化中使用的一种图形化工具，它将变量的输入组合表示为一个多维的方格图，并根据输入组合对应的输出值将方格分为“0”与“1”。
通过观察并合并具有相同输入组合的方格，可以得到布尔函数的最小化表达式。
卡诺图方法的优点是直观且易于实施，尤其适用于低维度的布尔函数。
2. 基于奎因-麦克拉斯基算法的最小化方法奎因-麦克拉斯基算法（Quine-McCluskey algorithm）是广泛使用的一种布尔函数最小化方法。
布尔函数合取范式理论及其应用
布尔函数合取范式理论及其应用布尔函数是计算机科学中一种重要的逻辑函数，它在电路设计、逻辑推理、编译原理等领域都有广泛的应用。
其中，合取范式是一种常用的表示布尔函数的方法。
本文将介绍布尔函数合取范式理论，并探讨其在实际应用中的意义。
一、布尔函数及其基本概念布尔函数是由0和1组成的二进制函数，它的输入和输出都是布尔值。
在布尔函数的定义中，我们通常用f(x1, x2, ..., xn)表示，其中x1,x2, ..., xn表示函数的输入变量。
布尔函数的输出取决于输入变量的取值，通常为0或1。
合取范式是一种常用的布尔函数表示方法。
它由若干个与门（AND 门）组成，每个与门由若干个输入变量和它们的补构成。
合取范式通过对与门进行连接和组合，来表示布尔函数的不同取值情况。
二、合取范式的类型合取范式可以分为两种类型：析取范式和合取范式。
1. 析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）析取范式是由若干个或门（OR门）以及它们的输入变量和补构成。
每个或门表示布尔函数的一个取值情况。
多个或门通过与门进行连接，形成布尔函数的析取范式表示。
2. 合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）合取范式是由若干个与门以及它们的输入变量和补构成。
每个与门表示布尔函数的一个取值情况。
多个与门通过或门进行连接，形成布尔函数的合取范式表示。
三、布尔函数合取范式的使用与应用布尔函数合取范式在计算机科学和工程中有广泛的应用。
它们可以用于电路设计、逻辑推理、编译原理等领域。
1. 电路设计在数字电路设计中，布尔函数合取范式是描述电路功能的一种常用形式。
通过将电路逻辑转化为合取范式，可以方便地进行电路设计和分析。
合取范式可以帮助工程师理解电路的逻辑功能，并为电路的优化提供参考。
2. 逻辑推理在人工智能和知识表示领域，布尔函数合取范式可以用于逻辑推理。
通过将逻辑规则转化为合取范式，可以对知识进行形式化表示，并使用逻辑推理方法进行推理和推断。
两类旋转对称布尔函数的构造
两类旋转对称布尔函数的构造两类旋转对称布尔函数的构造布尔函数是计算机科学中重要的研究对象，它们在逻辑电路设计、密码学中具有广泛应用。
其中，旋转对称布尔函数是一类特殊的布尔函数，具有良好的对称性质。
本文将介绍两类旋转对称布尔函数的构造方法，并探讨它们的特性和应用。
一、旋转对称布尔函数的定义布尔函数是一个从 n 个布尔变量到一个布尔变量的映射。
对于一个 n 变量的布尔函数 f(x_1, x_2, ..., x_n)，如果它在变量的任意旋转下保持不变，即对于任意整数 k 和任意x_i (i=1,2,...,n)，都有 f(x_i, x_{i+1}, ..., x_n,x_1, ..., x_{i-1}) = f(x_1, ..., x_n)，那么称该布尔函数具有旋转对称性。
二、一类旋转对称布尔函数的构造一类旋转对称布尔函数的构造方法是基于 Walsh 谱的性质。
Walsh 谱是描述布尔函数的一种有效方式，它表示布尔函数在所有输入组合下输出值的频率分布情况。
对于一个 n 变量的布尔函数 f(x_1, x_2, ..., x_n)，它的 Walsh 谱是一个 2^n 阶方阵，其中第 i 行第 j 列的元素表示由输入变量(x_1, x_2, ..., x_n) 到输出变量之间的关系。
具体地，可以通过以下步骤构造一类旋转对称布尔函数： 1. 选择一个小于等于 n 的奇素数 p，构造一个 n 变量的旋转对称布尔函数 g(x_1, x_2, ..., x_n)。
2. 将 g(x_1, x_2, ..., x_n) 的 Walsh 谱逐行复制 p 次，并在每行末尾添加一个值为 0 的元素。
3. 将第 i 行的所有元素都乘以 x^i，其中 x 是 p 阶多项式。
4. 对于每一列，将所有元素相加得到新的 n 变量的布尔函数 f(x_1, x_2, ..., x_n)。
通过上述构造方法，我们可以得到一类旋转对称布尔函数。
布尔函数表示法简化与优化
布尔函数表示法简化与优化在计算机科学中，布尔函数是一种非常重要且常用的数学表达式，它通过处理逻辑值（真或假）来实现逻辑运算。
布尔函数表示法的简化与优化是优化逻辑电路和算法设计的关键步骤之一。
在本文中，我们将讨论布尔函数表示法的简化和优化方法，以及其在计算机科学和工程中的应用。
一、布尔函数表示法简化布尔函数的简化是指通过逻辑运算和代数恒等式的应用来简化一个复杂的布尔函数，以减少其逻辑门数量和电路复杂度。
常见的布尔函数简化方法有卡诺图方法和奎因-麦克拉斯基方法。
1. 卡诺图方法卡诺图方法是一种基于真值表的图形化方法，用于化简布尔函数。
它将布尔函数的真值表转化为一个二维平面上的方格图，每个方格表示一个输入组合，并标记真值为 1 的组合。
通过观察和分析这个方格图，我们可以找到一些规律和模式，从而进行布尔函数的简化。
2. 奎因-麦克拉斯基方法奎因-麦克拉斯基方法是一种基于布尔函数的逻辑化简方法。
它通过将布尔函数转化为范式（例如最小项表达式）来进行简化。
然后，使用一些逻辑恒等式和代数运算规则，将布尔函数逐步化简为最简形式。
二、布尔函数表示法优化布尔函数的优化是指通过分析布尔函数的逻辑关系和真值表，找到一种最优解，减少逻辑门数量和电路延迟，以提高计算效率。
常见的布尔函数优化方法有布尔代数法和快速位级运算法。
1. 布尔代数法布尔代数法是应用布尔运算规则和代数恒等式来进行布尔函数的优化。
它通过使用逻辑运算的特性和恒等式的等价变形，将布尔函数化简为最简形式。
这种方法适用于小规模布尔函数的优化。
2. 快速位级运算法快速位级运算法是一种基于二进制位级运算的优化方法，用于处理大规模的布尔函数。
它通过使用异或、与、或等位级运算，以及移位和掩码操作，来实现对布尔函数的快速优化。
这种方法在图像处理、加密算法和数据压缩等领域有广泛应用。
三、布尔函数表示法的应用布尔函数表示法的简化和优化在计算机科学和工程中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 逻辑电路设计布尔函数的简化和优化在逻辑电路设计中起着至关重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
布尔函数（开关函数）
25
开关函数定义
开关函数：将一组在{0, 1}上取值的输入变量唯 一映射到取值集合{0, 1}的输出变量的。 开关函数：设X1, X2, …, Xn是n个变量，每个变 量取值 0 或者取值 1，令f(X1, X2, …, Xn) 是X1, X2, …, Xn的一个开关函数，f的取值 0 或 1 由X1, X2, …, Xn的取值决定。 例：f ( A, B, C ) AB A' C AC ' 当A=0, B=1, C=1时， f (0,1,1) 0 1 1'0 1 0' 1 布尔表达式：包含布尔变量和运算符的代数表 示，不包含对输出变量的赋值。
定理(2)
定理4（吸收率）
– (a) X + XY = X – (b) X(X + Y) = X
定理5
– (a) X + X’Y = X + Y – (b) X ( X’ + Y) = XY
定理6
– (a) XY+XY’=X – (b)(X+Y)(X+Y’)=X
18
定理(3)
证明：T4(b)
X(X + Y) = = = = = (X + 0)(X + Y) X+0Y X+Y0 X+0 X
T5(a)例：
B AB' C ' D B AC ' D
19
定理(4)—摩根定理
定理7（摩根定理）
– (a) (X+Y)’=X’Y’ – (b) (XY)’ = X’+Y’
一般的摩根定理
电路行为：
– – – – 真值表 布尔函数 波形图 HDL
month
leap
d28 d29 d30 d31
9
真值表的实例
输入值相等判断 计算输入二进制中1的个数 判断输入二进制是否能被2、3、5整除 驱动7段译码显示器 二进制加法器
– 半加器 – 全加器
真值表：最根本的表示方式
21
定理(5)
定理8：对偶原理
– 将一个布尔等式中的 和 + 互换，0和1互换，所得结 果仍然是一个布尔等式 – 例：X + 0 = X Y1=Y
22
定理（6）
定理9
– (a) (X+Y)(X’+Z)=XZ+X’Y – (b) XY+X’Z=(X+Z)(X’+Y)
定理10
– (a) XY+YZ+X’Z=XY+X’Z – (b) (X+Y)(Y+Z)(X’+Z)=(X+Y)(X’+Z)
8
组合电路的行为描述
问题描述:
– 输入输出的数量? – 输入输出的定义？ – 二进制编码
month 0000 0001 0010 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 111– leap – – 0 1 – – – – – – – – – – – – d28 – 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 – – d29 – 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 – – d30 – 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 – – d31 – 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 – –
26
开关函数
一个开关函数F(X1, X2, …, Xn)
(X1, X2, …, Xn)
00…000 00…001 00…010 00…011 … 01…000 … 11…111
27
F(X1, X2, …, Xn)
0 1
三个基本开关函数的真值表
将一个开关函数 f 对于其变量每种可能取值的结果 用表的形式表示。
– (a) (X+Y+Z+…)’=X’Y’Z’ – (b)(XYZ…)’=X’+Y’+Z’…
摩根定理的使用：求布尔表达式的反
20
摩根定理举例
例：a(b c) a b a(b c) a b
(a (b c)) (a b ) (a b c ) (a b ) (a b c ) a (a b c ) b aa b ca ab b cb ab c a b b c (ac a )b b c b (a c )
– 1对应逻辑“真”；0对应逻辑“假”
三个基本函数：与(AND)、或(OR)、非(NOT)的真 值表
ab 00 01 10 11 f(a, b) = a+b 0 1 1 1 OR ab 00 01 10 11 f(a, b) = ab 0 0 0 1 AND a f(a) = a
0 1
1 0
NOT
– 1941香农加入AT&T Bell 实验室 – “The mathematical theory of communication”, 1948
4
如何做一个能计算的设备？
人的计算方法 计算方法描述（输入、输出、行为） 数据编码
布尔函数
？
开关电路
计算设备
5
如何做一个能计算的设备？
人的计算方法 计算方法描述（输入、输出、行为） 数据编码
– a b 是B中的元素 – a + b 是B中的元素
类比
– AND和乘法相类比 – OR和加法相类比
12
公理(2)
公理2：（交换律）对于任何B中的元素 a 和 b：
– (a) a + b = b + a – (b) a b = b a
公理3：（结合律）对于任何B中的元素 a, b, c：
A B Cin
S Cout
S = A’ B’ Cin + A’ B Cin’ + A B’ Cin’ + A B Cin
Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
32
开关函数的范式形式
最小项：如果一个函数有n个变量，如果一个积项 中每个变量以补或非补的形式出现并且只出现一 次，这个积项称为最小项。 如果一个积之和中的每个积项都是最小项，则称 为最小项范式（析取范式，Disjunctive Normal Form, DNF） 每个最小项可以用一个二进制数表示
“An investigation into the Laws of Thought” 1938s, Claude Elwood Shannon
– 将布尔代数和硬件开关相联系 – 第一次提出bit（比特）表示信息
“A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits(1938)” Master thesis in MIT.
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
not X
1 1 1 0
1 1 1 1
0 X and Y
X xor Y X or Y
X=Y X nor Y not (X or Y)
1 X nand Y not (X and Y)
29
真值表与函数
f (A, B, C) = AB A' C AC '
ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
30
f (A, B, C) 0 1 0 1 1 0 1 1
ABC FFF FFT F(假) F T F FTT TFF T(真) TFT TTF TTT
f (A, B, C) F T F T T F T T
0 1
开关函数的规范代数形式
积之和(Sum of product, SOP)
f ( A, B, C ) AB A' C AC '
与项 积
之
或 和
和之积(Product of sum, POS）
f ( A, B, C ) ( A' B C )( B'C D' )( A C ' D)
或项
和
28
两变量函数
16种可能的函数
X Y
F 16 0 1 0 1 种可能的函数 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 (F0–F15) 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1
not Y
X 0 0 1 1
Y 0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
X
0 0 1 1
Y
24
(X • Y) + (1) • (Y • Z) + (X’ • Z) (X • Y) + (X’ + X) • (Y • Z) + (X’ • Z) (X • Y) + (X’ • Y • Z) + (X • Y • Z) + (X’ • Z) (X • Y) + (X • Y • Z) + (X’ • Y • Z) + (X’ • Z) (X • Y) • (1 + Z) + (X’ • Z) • (1 + Y) (X • Y) • (1) + (X’ • Z) • (1) (X • Y) + (X’ • Z)
23
定理证明
证明T10
– (X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) = X • Y + X’ • Z