北京中考数学27题全练习

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北京中考数学27题

北京中考数学27题27.（2023•北京）在ABC ∆中，(045)B C αα∠=∠=︒<<︒，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．【答案】（1）见解答．（2）90AEF ∠=︒，证明见解答．【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出DEC C α∠==∠，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH ∆的中位线，然后求出B ACH ∠=∠，设DM DE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()ABF ACH SAS ∆≅，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，C α∠= ，DEC MDE C α∴∠=∠-∠=，C DEC ∴∠=∠，DE DC ∴=，DM DC ∴=，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ∠=︒，证明：如图，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，DF DC = ，DE ∴是FCH ∆的中位线，//DE CH ∴，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，2FCH α∴∠=，B C α∠=∠= ，ACH α∴∠=，ABC ∆是等腰三角形，B ACH ∴∠=∠，AB AC=设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，.DF CD n ==，FM DF DM n m ∴=-=-，AM BC ⊥ ，BM CM m n ∴==+，()2BF BM FM m n n m m ∴=-=+--=，CH BF ∴=，在ABF ∆和ACH ∆中，AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ACH SAS ∴∆≅∆，AF AH ∴=，FE EH = ，AE FH ∴⊥，即90AEF ∠=︒.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．。

2017年北京市中考数学一模分类27题二次函数及答案

2017年北京中考数学一模 27题“二次函数综合题”西城。

在平面直角坐标系xOy 中,二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点。

（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是—6≤y ≤4—n ,求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O 。

设平移后的图象对应的函数表达式为k h x a y +-=2)(，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围东城．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>．（1)求该二次函数的对称轴方程; (2）过动点C （0, n ）作直线l ⊥y 轴。

① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系;② 若抛物线与x 轴有两个交点,将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时,直线l 与新的图象恰好有三个公共点,求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．xy直线lCBA–1–21234–1–2–31234O朝阳．在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上．（1）求抛物线的表达式；(2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标； ②抛物线与直线y =2交于点E ，F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E ，F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ,若在图象G 上存在点P ,使得∠POQ =45°,求n 的取值范围．房山. 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ,点A 与点B 关于x 轴对称，过点B作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. (1）求点C 的坐标;（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= （n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．顺义．如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C点，tan ∠ABC =2．(1)求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；(2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位,使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．平谷．直线33y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；(2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；(3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围． yx–2–112345–5–4–3–2–112O门头沟. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ，规定:抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）.(1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域"有______个整数点；（整数点就是横纵坐标均为整数的点） (2）求抛物线()()13y a x x =+-的顶点P 的坐标(用含a 的代数式表示）；（3)在（2）的条件下,如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围。

北京市中考数学一模分类27题二次函数及答案

2017年北京中考数学一模 27题“二次函数综合题”西城. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点. （1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是-6≤y ≤4-n ，求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O . 设平移后的图象对应的函数表达式为k h x a y +-=2)(，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围东城．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．xy直线lCBA–1–21234–1–2–31234O朝阳．在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标； ②抛物线与直线y =2交于点E ，F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E ，F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ =45°，求n 的取值范围．房山. 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．顺义．如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C点，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．平谷．直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；（3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．yx–2–112345–5–4–3–2–112O门头沟. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ,B 两点，点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ,规定：抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）.（1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域”有______个整数点；（整数点就是横纵坐标均为整数的点）（2）求抛物线()()13y a x x =+-的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围.海淀．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围．丰台．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一条直线交于A ，B 两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB 于点C ，如果直线AB 与y 轴交点的纵坐标为-1，且抛物线顶点D 到点C 的距离大于2，求m 的取值范围．石景山．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线 2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．通州．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）.（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围.怀柔．已知二次函数122-++=a ax axy （a>0）.（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）求该抛物线的顶点坐标；（3）结合函数图象回答：当x ≥1时，其对应的函数值y 的最小值范围是2≤y ≤6，求a 的取值范围.西城.解：（1）∵ 二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个交点，∴ m ≠0[]054122>)()+(---m m m解得 241->m 且m ≠0. ∴m 的取值范围是241->m 且m ≠0. ·········································· 2分（2）①m 取满足条件的最小的整数，由（1）可知m =1.∴ 二次函数的表达式为234y x x =--. ·································· 3分② 图象的对称轴为直线23=x .当n ≤x ≤1＜32时，函数值y∵ 函数值y 的取值范围是-6≤y ≤4-n ， ∴ 当x =1时，函数值为- 6. 当x =n 时，函数值为4-n.∴ n 2 – 3n - 4 = 4-n.，解得n = - 2或n = 4（不合题意，舍去）. ∴ n 的值为- 2. ③由①可知，a =1. 又函数图像经过原点， ∴k =-h 2，∵当x ＜2时，y 随x 的增大而减小， ∴h ≥ 2 ∴k ≤-4.············································································································ 7分东城.解：（1）对称轴方程：2(2)12(2)m x m -+=-=+. …………1分（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,∴23n m =-+. …………3分② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点. ∴5m =. …………5分（3）抛物线2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.依题可得 20,23 1.m m +>⎧⎨-+≥⎩解得2,1.m m >-⎧⎨≤⎩∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分朝阳．解：（1）222111-2()2222y x mx m m x m m =++-=-+-. 由题意，可得m -2=0． ∴2m =． ∴21(2)2y x =-．（2）①由题意得，点P 是直线y x =与抛物线的交点.∴21-222x x x =+. 解得 135x =+，235x =-. ∴P 点坐标为(35,35)++或 (35,35)--.②当E 点移动到点（2,2）时，n =2.当F 点移动到点（-2,2）时，n =-6. 由图象可知，符合题意的n 的取值范围是26-≤≤n .房山解：（1）∵直线y=2x-3与y 轴交于点A （0，-3） ------1分 ∴点A 关于x 轴的对称点为B （0，3），l 为直线y=3 ∵直线y=2x-3与直线l 交于点C ，∴点C 的坐标为（3，3） ------2分（2）∵抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0) ∴y = nx2-4nx+4n+n = n(x-2)2+n∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n ） ------3分 ∵点B （0，3），点C （3，3）①当n ＞3时，抛物线最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点； ②当n=3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点； ------4分 ③当0＜n ＜3时，抛物线最小值为n ，与直线BC 有两个交点如果抛物线y=n(x-2)2+ n 经过点B （0，3），则3=5n ，解得53=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3）点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B ------5分如果抛物线y=n(x-2)2+ n 经过点C （3，3），则3=2n ，解得23=n 由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3）点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点 ------6分综上所述，当53≤n ＜23或n=3时，抛物线与线段BC 有一个公共点. ------7分顺义27．解：（1）由抛物线的表达式知，点C （0，8），即 OC =8；Rt △OBC 中，OB =OC •tan ∠ABC =8×12=4，则点B （4，0）． ………………………… 1分将A 、B 的坐标代入抛物线的表达式中，得：428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为228y x x =-++．…… 3分∵2228(1)9y x x x =-++=--+ ，∴抛物线的顶点坐标为D （1，9）． ………… 4分（2）设直线CD 的表达式为y =kx +8,∵点D （1，9），∴直线CD 表达式为y =x +8．∵过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，可得：E （-2，6），F （4，12）． ………… 6分设抛物线向上平移m 个单位长度（m ＞0），则抛物线的表达式为：2(1)9y x m =--++；当抛物线过E （-2，6）时，m =6，当抛物线过F （4，12）时，m =12， ∵抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点，∴m 的取值范围是6<m ≤12． ………………………………………… 7分平谷27．解：（1）令y =0，得x =1．∴点A 的坐标为（1,0）． ···································································· 1 ∵点A 关于直线x =﹣1对称点为点C ， ∴点C 的坐标为（﹣3,0）． ··················· 2 （2）令x =0，得y =3．∴点B 的坐标为（0,3）． ∵抛物线经过点B ， y 2345B∴﹣3m =3，解得m =﹣1． ····················· 3 ∵抛物线经过点A ，∴m+n ﹣3m =0，解得n =﹣2．∴抛物线表达式为223y x x =--+． (4)（3）由题意可知，a <0．根据抛物线的对称性，当抛物线经过（﹣1,0）时，开口最小，a =﹣3， ·········· 5 此时抛物线顶点在y 轴上，不符合题意.当抛物线经过（﹣3,0）时，开口最大，a =﹣1. (6)结合函数图像可知，a 的取值范围为31a -<≤-. (7)门头沟27. （1）()()3a 1113=+- ……………1分解得：34a =-………………………2分 6个 ………………………3分（2）由()()y a 13x x =+-配方或变形()()()2y a 13=14x x a x a =+--- .所以顶点P 的坐标为（1，-4a ）. ……………………………………5分（3） a ＜0时，；分a ＞0时， 7分分 22x +与y 轴交于A 点，分 ∵ AB ∥x 轴，B 点在直线x =4上，∴ B （4，2），抛物线的对称轴为直线x =2. --------------------------------------------- 4分 ∴ m =2．2132a --≤＜12≤∴ 抛物线的表达式为2282y x x =-+． --------------------------------------------------- 5分（3）当0m >时，如图1．∵()02A ，，∴要使04P x ≤≤时，始终满足2P y ≤，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧． ∴2m ≥． -------------------------------------------- 6分当0m <时，如图2，0m <时，2P y ≤恒成立． ------------------- 7分综上所述，0m <或2m ≥．丰台27. 解：（1）∵抛物线()12212422---=-+-=m x m m mx mx y ，∴对称轴为x = 2．…………………………………2分（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A 点B 关于x = 2轴对称，∵A (﹣1，-2) ，∴B （5，-2）．……………………………………………3分 ②∵抛物线()12212422---=-+-=m x m m mx mx y ，∴顶点D （2，﹣2m -1）． …………………………………………………4分∵直线AB 与y 轴交点的纵坐标为-1，∴C （2，-1）． ……………………………………………………………5分∵顶点D 到点C 的距离大于2，∴﹣2m ﹣1 +1 > 2或﹣1+ 2m +1 > 2，∴m <﹣1或m > 1．………………………………………………………… 7分石景山27．解：（1）解法一： ∵2443y ax ax a =-+-2(2)3a x =--， ………………………………… 1分∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分图2解法二： ∵244(43)(4)2,324a a a a aa-⨯----==-，∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分（2）①当2a =时，抛物线为2285y x x =-+，如图．令5y =，得22855x x -+=， ……………… 3分解得，1204x x ==，．……………… 4分∴线段BC 的长为4． ……………… 5分② 80<9a ≤． ……………… 7分通州27. 解：（1）D (m ，-m +2) （2）m =3或m =1 ……………………..(5分)（3）1≤m ≤3 ……………………..(7分) 怀柔27．解：（1）令y=0. ∴0122=-++a ax ax .∵△=)1(442--a a a=4a,……………………………1分 ∵a>0,∴4a>0.∴△>0.∴抛物线与x 轴有两个交点. …………………2分（2）212ax a=-=-.……………………………3分把x=-1代入122-++=a ax ax y .∴y=-1.∴顶点坐标（-1，-1）.…………………4分（3）①把（1,2）代入122-++=a ax ax y . ∴43=a .……………………………5分 ②把（1,6）代入122-++=a ax axy . ∴74a =.……………………………6分 ∴由图象可知：43≤a ≤74.……………………………7分 y xB x =2–1–2–3–4–512345–1–2–3–41234567CA (2,-3)O。

2023北京中考数学试卷27题

2023北京中考数学试卷27题如下：27题. 设 $x$ 为正整数，若 $x^2+5x+7$ 是一个完全平方数，则 $x$ 的最小值是多少？解析：设 $x^2+5x+7=k^2$，其中 $k$ 为正整数。

移项得 $x^2+5x+7-k^2=0$。

对于二次方程 $x^2+5x+7-k^2=0$，我们可以使用求根公式来求解。

根据求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $ax^2+bx+c=0$。

将 $x^2+5x+7-k^2=0$ 的系数代入，得 $a=1$，$b=5$，$c=7-k^2$。

将 $a$，$b$，$c$ 的值代入求根公式，得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(7-k^2)}}{2\cdot1}$。

化简得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25-4(7-k^2)}}{2}$。

继续化简得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25-(28-4k^2)}}{2}$。

继续化简得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{4k^2-3}}{2}$。

由于 $x$ 是正整数，所以 $\sqrt{4k^2-3}$ 也必须是整数。

设 $\sqrt{4k^2-3}=m$，其中 $m$ 是正整数。

整理得 $4k^2-3=m^2$。

移项得 $4k^2=m^2+3$。

对于方程 $4k^2=m^2+3$，我们可以通过列举法来找到满足条件的正整数解。

首先，由于 $k$ 是正整数，所以 $m$ 也是正整数。

我们可以逐个尝试 $m$ 的值，列举出满足方程的 $m$ 和 $k$ 的组合。

当 $m=1$ 时，$m^2+3=4$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

当 $m=2$ 时，$m^2+3=7$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

当 $m=3$ 时，$m^2+3=12$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

当 $m=4$ 时，$m^2+3=19$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

2024年北京市中考数学试卷及答案解析

2024年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞04．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．165．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×10187．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x（单位：g）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是．14．（2分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝°．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG ＝4，则△AEF的面积为．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1（单位：cm）和2号杯的水面高度h2单位：cm），部分数据如下：V/mL040100200300400500h1/cm0 2.5 5.07.510.012.5h2/cm0 2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm（结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．27．（7分）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E．（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A（0，1），B（1，0）．①在点C1（2，0），C2（1，2），中，点是弦AB的“α可及点”，其中α＝°；②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为；（2）已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．2．【分析】根据垂直的定义得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD进行计算即可．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故选：B．【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义，对顶角相等是正确解答的关键．3．【分析】由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，进一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判断．【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键．4．【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．5．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．6．【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：4×1017×5＝2×1018．故选：D．【点评】此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键．7．【分析】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，结合全等三角形的判定可得答案．【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．8．【分析】通过△AD'H≌△C'DH和△A'BE≌△C'DH可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③．【解答】解：延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．11．【分析】方程两边同乘x（2x+3），将分式化为整式方程求解即可．【解答】解：x+（2x+3）＝03x+3＝0x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12．【分析】将两点代入得到y1＝，y2＝﹣，则y1+y2＝0．【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），∴y1＝，y2＝﹣，∴y1+y2＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．13．【分析】根据题意，先写出10个数据中的一等品，然后即可计算出估计这200个工件中一等品的个数．【解答】解：∵满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数是200×＝160，故答案为：160．【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出这200个工件中一等品的个数．14．【分析】设AB与CD相交于点E，根据垂直定义可得∠DEB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角可得互余∠B＝55°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝55°，即可解答．【解答】解：设AB与CD相交于点E，∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），∴AB⊥CD，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．15．【分析】要求△AEF的面积，需要知道AE和EF的边长，先证△CDG≌△DAF（AAS），再证△AFE∽△DFA即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，＝AF•EF＝．∴S△AEF故答案为：．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C﹣A﹣B ﹣D顺序排序．【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C﹣A﹣B﹣D顺序排序，即（10+2+1）×20+（2+1）×30+1×10＝360（min），故答案为：60；C﹣A﹣B﹣D．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识．18．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可解决问题．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．【点评】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为是解题的关键．20．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF∥AD，根据平行四边形的判定定理得到结论；（2）根据三角形中位线定理求得AD＝2EF＝2，根据三角函数的定义得到BF＝3EF＝3，求得DF＝BF ＝3，根据勾股定理得到AF＝＝，根据平行四边形的性质得到CD＝AF＝，根据线段垂直平分线的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．21．【分析】设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意列方程求出x的值，即可求解．【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，百分数的应用，解答时充分理解题意是关键．22．【分析】（1）先根据直线y＝﹣kx+3点（2，1）得出k＝1，再将点（2，1）代入y＝x+b，求出b的值；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范围是m≥1．【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23．【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可．【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；故答案为：91；4；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案为：＜；（2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）＝92，乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，乙选手的方差S2乙5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，∴乙选手的方差小于丙选手的方差，∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k为整数，∴k（k为整数）的值为92，故答案为：92．【点评】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差，理解平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24．【分析】（1）连接AC交OD于H，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD，根据垂径定理得到OD⊥AC，根据平行线的判定定理得到OD∥BC；（2）根据相似三角形的性质得到＝，设OE＝5x，BC＝6x，求得OH＝BC＝3x，根据切线的性质得到∠OBP＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴设OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x＝或x＝0（不合题意舍去），∴OE＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．【分析】（1）观察表格数据可知，h1和V是正比例函数关系，设解析式，代入求解即可．（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）由图象观察可得出①②的答案．【解答】解：（1）设h1＝kV，将（100，2.5）代入得：2.5＝100k，解得k＝，∴h1＝V，∵V＝40，∴h1＝1.0，故答案为：1.0．（2）如图所示，（3）①当V＝320ml时，h1＝8.0cm，由图象可知相差约为1.2cm，如图所示．故答案为：1.2．②解法一：在①的条件下两杯相差1.2cm，此时h1大约是8.0，加上0.6约为8.6cm．解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.6cm．故答案为：8.6．【点评】本题主要考查了一次函数的应用、函数的图象与性质、描点法画函数图象，正确理解题意熟练掌握知识点是解题关键．26．【分析】（1）将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标；（2）利用作差法建立关于x2和a的不等式，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．【解答】解：（1）将a＝1代入得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）方法一：由题得，y1＝a•（3a）2﹣2a2•3a＝3a3，y2＝﹣2a2x2，∵y1＜y2，∴y2﹣y1＝a（﹣2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）＞0，①当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0，∴或，解得x2＞3a或x2＜﹣a，∵3≤x2≤4，∴3a＜3或﹣a＞4，∴a＜1或a＜﹣4，∵a＞0，∴0＜a＜1；②当a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0，∴或，解得3a＜x2＜﹣a，∵3≤x2≤4，∴，解得a＜﹣4，综上，0＜a＜1或a＜﹣4．方法二：①当a＞0时，M（x1，y1）和N（x2，y2）都在对称轴右侧，此时y随x增大而增大，∵y1＜y2，∴x1＜x2，∴3a＜3，∴0＜a＜1；②当a＜0时，M（x1，y1）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴右侧，点M（3a，y1）关于对称轴的对称点（﹣a，y1）在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随x增大而减小，∵y1＜y2，∴﹣a＞4，∴a＜﹣4，综上，0＜a＜1或a＜﹣4．【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键．27．【分析】（1）证明CA＝CD＝CE即可证明点C是AE的中点；（2）先证明△ABC≌△HBD，得到AC＝DH，再根据角度计算得到DG＝AC，从而得出EF和AC的数量关系．【解答】（1）证明：连接CD，由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF＝2AC，在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，∴∠ABC＝∠HBD，∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，∵G是EF的中点，∴GF＝GD，EF＝2GD，∴∠GFD＝∠GDF＝α，∴∠HGD＝2α，∴∠HGD＝∠FHD，∴DG＝DH，∵AC＝DH，∴DG＝AC，∴EF＝2AC．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．28．【分析】（1）①根据点与圆心的距离和半径进行比较，确定“α可及点”，再计算角度；②当DH∥x 轴时，点D横坐标最大，进行计算即可；（2）分类讨论临界的情况，即可得出取值范围．【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O，∵若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∵点A（0，1），B（1，0），∴OA＝OB＝1，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，由对称得：∠O'BA＝O'AB＝45°，∴△O′BA为等腰直角三角形，∴O'（1，1），设⊙O半径为R，则，故C1在⊙O'外，不符合题意；C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O'上，符合题意；，故C3在⊙O'外，不符合题意，∴点C2是弦AB的“α可及点”，可知B，O′，C2三点共线，∵，∴，故答案为：C2，45；②取AB中点为H，连接DH，∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴，∴，∵点A（0，1），B（1，0），∴，∴，∴点D的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N，∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N），∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O″，∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q，∴，∴，随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，，连接O″P，OP，∵OP≤OO″+O″P，∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，由上述过程知，∴，∴当r＝1，OP的最大值为2，设，则，解得：，记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，当x＝0，，当y＝0时，，解得x＝1，∴与x轴交于点T（1，0），∴，∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，∴∠TOS＝60°，∴，∴，∴t的取值范围是．【点评】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键。

2020北京中考数学二模分类汇编27题几何综合

想法 2：过点 B 作 BG∥AF，交直线 FC 于点 G，构造□ABGF，然后可证△AFE≌△BG
C……
请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．
A
E
BD
C
8
【2020 密云二模】
2020年北京中考二模27几何综合
27．已知：MN 是经过点 A 的一条直线，点 C 是直线 MN 左侧的一个动点，且满足 60°<∠ CAN<120°，连接 AC，将线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到线段 CD，在直线 MN 上取一点 B，使∠DBN=60°．
2020年北京中考二模27几何综合
D
A
C
B
图2
7
【2020 顺义二模】
2020年北京中考二模27几何综合
27．已知：在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，点 D 为线段 BC 上一动点（点 D 不与点
B、C 重合），点 B 关于直线 AD 的对称点为 E，作射线 DE，过点 C 作 BC 的垂线，交射线 DE
A
B
C
5
【2020 门头沟二模】
2020年北京中考二模27几何综合
27．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 上的两个动点（不与点 A，B，C 重合），且 AE=CF，延长 BC 到 G，使 CG= CF，连接 EG， DF. （1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点 E，F 运动过程中【2020 丰台二模】
2020年北京中考二模27几何综合
27.如图，在Rt !':-,.ABC中， LABC = 90 ° , 将CA绕点C顺时针旋转45 ° ' 得到CP , 点A关于直线CP的对称点为D ,连接AD交直线CP 于点E ,连接CD. (1)根据题意补全图形； (2)判断1':-,.ACD的形状，并证明； (3)连接BE ，用等式表示线段 AB,BC,BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决笫（3)问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F,使CF=AB, 连接EF, 可证!':-,.ABE 竺 1':-,.CFE, 再证1':-,.BEF 是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点 A 作 AM ..lBE 于点 M，可证 !':-,.ABM是等腰直角三角形，再证 l:-,.ABC�!':-,.AME. 解法3的主要思路：过点A作AM..lBE于点M过，点C作CN..lBE于点N,设BN=a, EN=b, 用含a或b的式子表示AB, BC.

2024年北京市中考数学真题卷及答案

2024年北京市初中学业水平考试数学试卷考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A. 29︒B. 32︒C. 45︒D. 58︒3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 1b >-B. 2b >C. 0a b +>D. 0ab >4. 若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A. 16-B. 4-C. 4D. 165. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A. 34 B. 12 C. 13 D. 146. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A. 16810⨯B. 17210⨯C. 17510⨯D. 18210⨯7. 下面是“作一个角使其等于AOB ∠”尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A. 三边分别相等的两个三角形全等B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

2021北京中考数学27题多种解法

2021北京中考数学27题多种解法解题思路一：根据题目给出的条件，我们可以得出等式：A+B=16。

由于A、B都是小于等于10的正整数，所以A和B的可能取值分别为：A=1，B=15；A=2，B=14；A=3，B=13；A=4，B=12；A=5，B=11；A=6，B=10；A=7，B=9；A=8，B=8；A=9，B=7；A=10，B=6；A=11，B=5；A=12，B=4；A=13，B=3；A=14，B=2；A=15，B=1。

接下来，我们需要计算A的平方减去B的平方的值，即A^2 - B^2的结果。

分别带入上述A和B的取值，计算得到的结果如下：A=1，B=15，A^2 - B^2 = -224；A=2，B=14，A^2 - B^2 = -180；A=3，B=13，A^2 - B^2 = -136；A=4，B=12，A^2 - B^2 = -92；A=5，B=11，A^2 - B^2 = -48；A=6，B=10，A^2 - B^2 = -4；A=7，B=9，A^2 - B^2 = 40；A=8，B=8，A^2 - B^2 = 0；A=9，B=7，A^2 - B^2 = 40；A=10，B=6，A^2 - B^2 = -4；A=11，B=5，A^2 - B^2 = -48；A=12，B=4，A^2 - B^2 = -92；A=13，B=3，A^2 - B^2 = -136；A=14，B=2，A^2 - B^2 = -180；A=15，B=1，A^2 - B^2 = -224；从上述计算结果可以看出，只有当A=8，B=8时，A^2 - B^2的结果为0，符合题目要求。

因此，A和B的值分别为8和8。

解题思路二：根据题目给出的等式A+B=16，我们可以将B表示为16-A，其中A和B分别表示两个正整数。

将B的值代入A^2 - B^2的表达式中，得到A^2 - (16-A)^2。

展开并整理，得到A^2 - (256 - 32A + A^2) = 0。

北京中考初中数学27题

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB 的面积为kB．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小2.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对3.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1B．3:1C．4:3D．3:24．一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．5．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12 6．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝37．如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．8．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝3二、填空题（共24分）9．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。

10．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是（）米。

11.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B、F的坐标分别为（-4,4）、（2,1）则位似中心的坐标为（）。

12．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。

2020北京中考数学考试题27题答案与解析

2020北京中考数学考试题27题答案与
解析
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
2020北京中考--27
在△ABC中,∠C=90°,ACBC,D是AB的中点,E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC与点F,连接EF。

(1)如图,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式
子表示)
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明
视频讲解请戳我
【解析】(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点
∴DE为△ABC的中位线 .DEII BC
∵,∠C=90°，
∴∠DEC=90° ,
∵DF⊥DE
∴,∠EDF=90°
∴四边形DECF为矩形
∴DE=CF=0.5BC
∴BF=CF
∴,DF=CE=0.5AC
∴EF =a +b
(2)过点B作AC的平行线交ED延长线于点G,连接FG ∵BGIIAC
∴∠EAD=∠GBD,∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点
∴AD=BD
∴△ EAD ≌△GBD
∴ED=GB，AE=BG
∵DF⊥DE
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°,BG∥AC
∴∠GBF=90° 在RT△ BGF中,FG =BG +BF
∴EF =AE +BF
其实此题中点E和点F的位置关系有多种情况，但是基本数量关系是不变的，如下面几幅图所示，仅供大家参考。

不足之处欢迎大家批评指正，共同探讨。

中考数学复习专题27 平行四边形试题(B卷,含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

专题27 平行四边形一、选择题1.（某某某某，8，3分）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )【答案】A【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称．由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【详细解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1），故选择A .【解后反思】点的坐标在变换中的规律：（1）平移：左右平移时横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时纵坐标上加下减，横坐标不变；（2）关于坐标轴对称，与其同名的坐标不变，另一个坐标变为相反数；（3）关于原点对称，其坐标互为相反数.【关键词】平行四边形的性质；平面直角坐标系；中心对称；2.（某某省，6，3分）关于□ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则□ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则□ABCD是正方形C．若AC=BD，则□ABCD是矩形 D．若AB=AD，则□ABCD是正方形【答案】C【逐步提示】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.【详细解答】解：当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选项A不正确；∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故选项B不正确；∵AC=BD，∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项C正确；∵AB=AD，∴□ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项D不正确.【解后反思】1.矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.2.菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形.：既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【关键词】菱形的判定；矩形的判定3.（某某湘西，11，4分）下列说法错误的是A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D【逐步提示】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断．【详细解答】解：选项A、B、C都是平行四边形的判定定理，符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择D .【解后反思】平行四边形的判定有4个，分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．另外还有如下结论是正确的：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．但如下说法是错误的：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．【关键词】平行四边形的判定二、填空题1.（某某省，10，3分）如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.【答案】110°【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数，再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.【详细解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∵∠2是△ABE的外角∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110 ，故答案为110°.【解后反思】本题重点是平行四边形和三角形外角的性质，难点是借助桥梁（第三个角）构建未知角与已知角之间的联系.思维模式是探索要求的未知角所在三角形，确定已知角与未知角在图形中结构联系，利用平行四边形与角有关的性质转化已知角，利用三角形的内角和或者三角形外角的性质等有关知识求出角的大小.【关键词】平行四边形的性质；三角形的外角；垂直的定义.2.（某某省某某市，14，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=213cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长__________cm.【答案】4 【逐步提示】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题的关键是△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出△DBC 的周长与△ABC 的周长，找出BD-AC 的值即可.【详细解答】解：如图，设AC 与BD 交于点F,因为AB=213cm,AD=4cm,AC ⊥BC ，所以AC=6364)132(2222==-=-BC AB ;因为平行四边形ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=5342222=+=+CF BC , BD=10;因为△DBC 的周长=BD+BC+CD=10+AB,△ABC 的周长=AB+BC+6,所以△DBC 比△ABC 的周长长4.【解后反思】平行四边形的对边相等和对角线互相平分、勾股定理是初中数学中的重点，但是，求出△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC ，却是一个难点，需要应用整体的数学思想进行处理.解法拓展：本题也可以过点D 作DE ⊥BC 于E ，用勾股定理计算后完成.【关键词】勾股定理; 平行四边形的性质;3. （某某省某某市，17，2分）如图，已知□OABC 的顶点A 、C 分别在直线x ＝1和x ＝4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_______．【答案】5．【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是知道点B 到直线x ＝4的距离等于点O 到B AO Cx ＝1 x ＝4 xyF直线x ＝1的距离．本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点O 与点A ，点C 与点B 之间的水平距离相等，可求得点B 的横坐标，也就是说点B 在一条垂直于x 轴的直线上运动，我们只需寻找出点B 在什么位置时，OB 最短即可．【详细解答】解：∵顶点A 、C 分别在直线x ＝1和x ＝4上，O 是坐标原点，∴点B 在x ＝5上，当点B 在x 轴上时，即OB 的最小值为5，故答案为5.【解后反思】要求线段OB 的最小值，点O 是定点，点B 是动点，要求OB 的最小值，可先确定点B 的运动轨迹．这一规律适用于大多数求最值的线段长．【关键词】平行四边形的性质；最值问题；三、解答题1. （某某省某某市、某某市、某某市、某某市、某某市、某某州、某某市等9市，26，10分）如图，已知EC ∥AB ，∠EDA =∠ABF（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）求证：OA 2=OE ·OF ．FE CABD O 第26题图【逐步提示】本题考查平行四边形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键第（1）小题是熟知平行四边形的判定方法，第（2）小题是找到一个中间量架起两个比例式；（1）要证四边形ABCD 为平行四边形，由已知条件EC ∥AB ，所以只要证AD ∥CF 即可，利用∠ABF 作为中间量（桥梁）架起∠C 与∠EDA 即可证明AD ∥BC ，从而证得四边形ABCD 为平行四边形；（2）要证OA2=OE·OF，此为乘积式，考虑将其改为比例式OA OFOE OA=，结合第（1）小题的结论EC∥AB可得OA OBOE OD=；由AD∥BC可得OF OBOA OD=，通过等量代换得到：OA OFOE OA=即OA2=OE·OF．【详细解答】（1）证明：∵ EC∥AB，∴ ∠C=∠ABF． 1分又∵ ∠EDA=∠ABF，∴ ∠C=∠EDA． 2分∴ AD∥BC， 3分∴ 四边形ABCD是平行四边形． 4分（2）证明：∵ EC∥AB，∴ OA OBOE OD=.5分又∵ AD∥BC，∴ OF OBOA OD=, 6分∴ OA OFOE OA=, 7分∴ 2OA OE OF=⋅． 8分【解后反思】平行四边形的判定方法有多种，究竟选用哪一个判定方法，这得依据已知条件来进行判断，这需要我们对所有的判定定理有深入了解，例如这道题已知一组对边平行，则考虑选用两组对边分别平行的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对于待证明的乘积式，应该考虑将其改为比例式，然后利用相似三角形或者平行线分线段成比例定理进行证明，另外，此类几何问题需要对题目图形进行整体观察、局部分析，找到起桥梁作用的中间量，例如这道题中的∠ABF和．【关键词】平行四边形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；平行线分线段成比例定理；等量代换；2.（某某某某，18，7分）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.求证：AB=CD，.（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程.证明：【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的判定方法与性质，解题的关键是添设辅助线，构造一组全等三角形.（1）平行四边形的对边有2组，除了AB=CD，还有另一组BC=DA；（2）连接AC，利用ASA证△ABC≌△CDA，从而得出BC=DA.【详细解答】解：（1）BC=DA（2）如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC∥DA，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA.∴AB=CD，BC=DA.【解后反思】（1）本题也可以连接BD，证明△ABD≌△CDB，得出结论；（2）本题证明过程，要防止出现直接利用“平行四边形的对边相等”得出结论的错误证法.【关键词】平行四边形的性质；三角形全等的判定与性质17.3.（某某省黄冈市，17，7分）如图，在□ABCD中，E,F分别边AD,BC的中点，对角线AC分别交BE,DF于点G,H。

【2020精品中考数学提分卷】北京—第15讲代数压轴题27题+答案

代数压轴题1．（2020北京朝阳初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．2．（2020北京朝阳初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．3.（2020北京东城中考二模）二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.4.（2020北京房山初三二模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C ()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．5.（2020北京房山初三一模）如图，二次函数c=2y的图象（抛物线）与x-+x+bx轴交于A(1,0),且当0x=和2x-=时所对应的函数值相等.（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积.6.（2020北京丰台初三一模）已知抛物线21(2)262y x m x m =+-+-的对称轴为直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求m 的值；（2）求A ，B ，C 三点的坐标；（3）过点C 作直线l ∥x 轴，将该抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线b x y +21=与图象G 只有一个公共点时，求b 的取值范围．xOy中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠3，0）．y 的取值范围；x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．8.（2020北京海淀中考二模）已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2）当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.9.（2020北京怀柔初三二模）已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点.(1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围;(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.10．（2020北京怀柔初三一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．(1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．11．（2020北京平谷初三一模）已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．12．（2020北京石景山初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．13．（2020北京顺义初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-．（1）求a 的值及抛物线22y ax x =-与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线22y ax x m =-+与x 轴有交点，且交点都在点A （-4，0），B （1，0）之间，求m 的取值范围．14.（2020北京通州初三一模）已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C . （1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y x mx n =++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围；（3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261x ax a -++的值；15. （2020北京通州中考二模）已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M（m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

2023年北京中考数学27题

2023年北京中考数学27题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年北京中考数学27题在考试中占据了重要的地位，涉及了数学的各个方面和知识点。

学生在备考过程中需要系统地复习和掌握各种数学知识，以保证能够顺利通过这一重要考试。

一、数与式1. 下列数中，最小的数是（）A．-5 B．5 C．0 D．-12.已知a＝5，则a²-3a+2=（）A．15 B．20 C．18 D．103.ab=3，c＝0.5，则ab÷c=（）A．3 B．6 C．15 D．9四、概率10.某班的学生有30人，其中A、B两个小组各有12人，C组有6人。

从这班学生中任意抽取1人，他是A组的概率是（）A．1/5 B．1/3 C．1/6 D．1/211.一个色子被投掷1次，若出现奇数点数，事件A={1，3，5}。

则得出黄色的概率是（）A．1/2 B．1/3 C．2/3 D．1/612.有甲、乙两个盒子，甲中有4个白球，5个黑球，乙中有3个白球，1个黑球。

现抽取一个盒子，再从中抽取一个球，从甲中抽到白色球的概率是（）A．4/9 B．4/13 C．13/36 D．11/36五、综合13.某游乐场门票售价为18元/人，团体买票打9.5折。

已知某团体共花了342元买门票，这个团体是多少人？14.冷链物流公司有4个分仓，每个仓库存50把雨伞，预计每天发货980把雨伞。

若运营一周，每个仓库平均每天要发货多少把雨伞？15.一个数学班共有男女生60人，男生人数是女生人数的一半，若女生考试平均分是85分，男生考试平均分是75分，那么这个班的平均成绩是多少分？六、实践16.借助计算器，计算9.5+2.56*3.8-5.2的结果。

17.在平面直角坐标系中，画出y=2x+3和y=-(1/2)x+2的图像，求出两条直线的交点坐标。

18.某商品原价是300元，现在打折促销8折出售，求出最终的售价。

以上27道数学题目覆盖了中考数学考试的各个知识点和难度，学生在备考过程中应该对每一道题目进行认真、细致的分析和解答，从而在考试中取得优异的成绩。

北京中考数学27题函数综合解析

1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．5.已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．6.已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．7.已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．8.已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根；（2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．10.已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0). （1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）点在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3）设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABEABCSS=，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，点 A (5,0)，B (3,2)，点C 在线段OA 上，BC =BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b (k ≠0)，且与x 轴交于点D ．（1）求点C 的坐标及b 的值；（2）求k 的取值范围；（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x 轴，交PQ 于点E ，若抛物线y=ax 2﹣5ax (a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a 的取值范围．12.已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.13.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．2y x bx c =++14.已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．15.已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.16.已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的17.已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.18.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x =t 和x =t +2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G .①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数的图象与x 轴的正半轴交于A )0(1，x 、B )0(2，x 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .点A 和点B 间的距离为2，若将二次函数的图象沿y 轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x 轴两交点间的距离为4. （1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；（3）设二次函数的图象的顶点为D ，在x 轴上是否存在这样的点F ，使得？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.20.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．21.如图，抛物线c bx x y ++-=2经过、两点，与轴的另一交点是．（1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值． (10)A -，(04)C ，x B D BC22.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=2x 2+bx+c 的图象经过（-1，0）和（23，0）两点. （1）求此二次函数的表达式. （2）直接写出当-23＜x ＜1时，y 的取值范围. （3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m 个单位后，与二次函数y=2x 2+bx+c 图象交点的横坐标分别是a 和b,其中a<2<b ，试求m 的取值范围. 24.已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式；（3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．25.抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为(1+k ，0)．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段B'C'（B 的对应点记作B'，C 的对应点记作C'），使其经过（2）中所得使得抛物线G 的顶点M ，求点B'到直线OC'的距离h 的取值范围．26.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．27.（2014年丰台二模）如图,二次函数2y x bx c =++经过点（-1,0）和点（0，-3）. （1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线4y x n =+与图象G 有3个公共点，求n 的值.28.（2014年石景山二模）关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．29.(2014年顺义二模)已知关于的一元二次方程2440mx x m ++-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．30.(2014年房山二模) 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.x31.（2014年大兴二模）已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．32.（2014年平谷二模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．34在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x =（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2ky x=（20k <）交于点C . x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E .(1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数式表示）； (2)若点E 恰好在双曲线1k y x=（10k >）上，求m 的值； (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1，且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.。

中考数学27题汇编练习及答案

中考数学27题汇编练习及答案27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与轴交于点A （0,3），与轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与轴交于点D ，若直线经过点D 和点E ，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （，0），过点P 作垂直于轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在轴下方，直接写出的取值范围．27已知一次函数（k ≠0）的图象经过，两点，二次函数（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题： ①若，求当且≤0时，自变量x 的取值范围； 224y mx m m x -++=y x x y kx b =+(1,2)--t x x t 1y kx b =+(2,0)(4,1)2224y x ax =-+25=a 10y >2y()②如果满足且≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．27．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过，两点. （1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．10y >2y 2+3y ax bx =+()0≠a x x 21y ax bx =++(13)A ，(21)B ，t 0t >t27．已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线．将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式；（3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值．27. 已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式；x ()231220mx m x m --+-=m x ()23122y mx m x m =--+-1C 1C ()0,2A -2C l A ()2,0B l 2C l 2C C C l x 22(1)20(0)ax a x a a --+-=>1x 2x 1x 2x y a 21y ax x =+（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使，则自变量的取值范围为．27．已知抛物线经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．27．已知关于x 的方程．（1）求证：方程总有两个实数根；231y a ≤-+a 2y ax bx c =++2y x =yx BACD O yxCD O()2230x m x m +-+-=()2230x m x m +-+-=xyO（2）求证：抛物线总过x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．27.已知关于x 的一元二次方程 (k ≠0).（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；()223y x m x m =+-+-()223y x m x m =+-+-214y x bx c =-++()23130kx k x +++=（2）点在抛物线上，其中，且和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3）设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.27．如图，在平面直角坐标系中，点 A (5,0)，B (3,2)，点C 在线段OA 上，BC =BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b (k ≠0)，且与x 轴交于点D ．（1）求点C 的坐标及b 的值；（2）求k 的取值范围；（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x ﹣5ax (a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a27．已知关于x 的方程mx 2－(3m －1)x +2m －2=0 （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．()()120,0A x B x ，、()2313y kx k x =+++12x x ＜0＜12x x 、ABEABCSS=yx11O（2）若关于x 的二次函数y = mx 2－(3m －1)x +2m －2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．答案27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线与轴交于点A （0,3），∴． ∴． ∴抛物线的表达式为．…………………………………………………………………1分∵抛物线与轴交于点B ，C ， ∴令，即．解得，．又∵点B 在点C 左侧， ∴点B 的坐标为，点C 的坐标为．…………………………………………………...……3分（2）∵，∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴与轴交于点D ， ∴点D 的坐标为224y mx m m x -++=y 43m +=1m =-232y x x =-++232y x x =-++x 0y =2320x x +-=+11x =-23x =(1,0)-(3,0)2223(1)4y x x x +=---++=1x =x．…………………………………………………………………………...………4分∵直线经过点D 和点E ，∴解得∴直线DE 的表达式为. ………………………………………………………………………5分（3）或……………………………………………………………………………………………7分27．解：（1）∵ 一次函数（k ≠0）的图象经过，两点，∴解得 ……………………………………………………………… 1分∴ ． ………………………………………………………… 2分 ∵ ，∴ 二次函数图象的顶点坐标为．………………………………… 3分（2）①当时，． ………………………………… 4分如图10，因为且≤0，由图象得2＜x ≤4． ………………………… 6分(1,0)y kx b =+(1,0)(1,2)--0,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩1,1.k b =⎧⎨=-⎩1y x =-1t <3t >1y kx b =+(2,0)(4,1)20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩1211-=x y 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=2(,4)a a -25=a 4522+-=x x y 10y >2y②≤a ＜．……………………………7分27．解：（1）据题意得∴解析式为y = -x 2-2x +3 ……3分（2）当时，y =4 ∴顶点D （-1,4）∴F (-1，-4)… 4分若以点O 、F 、P 、Q 为顶点的平行四边形存在，则点Q （x ,y ）满足 ①当y = - 4时，-x 2-2x +3= -4 解得，∴ ∴……6分 ②当y = 4时，-x 2-2x +3= 4 解得，x = - 1 ∴Q 3(-1,4) ∴P 3(-2,0)……7分综上所述，符合条件的点有三个即：27 . 解：（1）∵抛物线过，两点． ∴ ．…….1分解得，．∴抛物线的表达式是．…….2分136529-3b+3=01,a+b+3=0. 2.a a b =-⎧⎧⎨⎨=-⎩⎩，解得12bx a=-=-4y EF ==122x =-±12(122,4),(122,4)Q Q ----+-12(22,0),(22,0)P P -123(22,0),(22,0),(2,0)P P P --21y ax bx =++(13)A ，(21)B ，134211a b a b ++=⎧⎨++=⎩24a b =-⎧⎨=⎩224+1y x x =-+设直线AB的表达式是，∴，解得，．…….3分∴直线AB的表达式是．…….4分（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．∴C（3，-5）．…….5分点C平移后的对应点为点代入直线表达式，解得．…….6分结合图象可知，符合题意的t的取值范围是．…….7分27．解：（1）当时，当时，∵，∴综上所述：无论取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分（2）∵二次函数∴∴………………………4分抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：设直线所在函数解析式为：将和点代入∴直线所在函数解析式为：………5分（3）据题意：过点作轴交于，可证 ,则设，，∴y mx n=+321m nm n+=⎧⎨+=⎩25mn=-⎧⎨=⎩25y x=-+'(3,5)C t-25y x=-+4t=04t<≤m=2x=m≠()()231422m m m∆=---2296188m m m m=-+-+()22211m mm=++=+()210m+≥0∆≥m2(31)22y mx m x m=--+-220m-=1m=1C22y x x=-2C222y x x=--l y kx b=+A()2,0B y kx b=+l2y x=-C CE x⊥AB E45DEC OAB∠=∠=︒2CD=()2,22C t t t--(),2E t t-()03t<<E CEC y y=-23t t=-+………………………6分∵ ∴当时， ∵随增大而增大， ∴.………………………7分27. （1）证明：是关于的一元二次方程，1分=4．即．方程有两个不相等的实数根．2分（2）解：由求根公式，得．∴或． 3分，＞，，． 4分．即为所求．………………………………………………………5分（3）0＜≤．…………………………………………………………………………7分27．解：（1）∵ 抛物线经过，，三点， ∴23924t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭3032⎛⎫<< ⎪⎝⎭32t =max 94EC =CD EC max CD =22(1)20(0)ax a x a a --+-=>x 2[2(1)]4(2)a a a ∴∆=----0∆>∴2(1)22a x a-±=1x =21x a=-0a >1x 2x 11x ∴=221x a=-211y ax x a ∴=+=-1(0)y a a =->a 23()0,0()4,0-()6,3-…………………………………………………………………… 1分解得………………………………………………………………………… 2分 ∴ 抛物线的解析式为． ∵∴抛物线的顶点坐标为…………………………………………………… 3分（2）设直线CD 的解析式为，根据题意，得， …………………………………………………… 4分化简整理，得，由，解得， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为．（3）点的坐标为， …………………………………………………………… 6分最短距离为． ……………………………………………………………… 7分 27．解：（1）= (1)分= = =01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，．214y x x =+()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-()2,1--2y x m =+2124x x x m +=+2440x x m --=16160m ∆=+=1m =-21y x =-()2,724b ac -()()2243m m ---244412m m m -+-+2816m m -+()24m -∵，∴方程总有两个实数根．..............................................2分（2）．...............................................3分∴，，∴抛物线总过x 轴上的一个定点（-1,0）． (4)分（3）∵抛物线与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ， ∴B （3-m ,0），C （0, m -3），...................................................................................5分 ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∵△OBC 的面积小于或等于8， ∴OB ，OC 小于或等于4， ∴3-m 4或m -3 4， .......................................................................................6分 ∴m -1或m 7． ∴-1m 7且．............................................................................................7分 27．（本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线经过点A （4，0）和B （0，2）．()240m -≥()2230x m x m +-+-=()21,224m m x -±-=()242m m -±-11x =-23x m =-+()223y x m x m =+-+-()223y x m x m =+-+-≤≤≥≤≤≤3m ≠214y x bx c =-++∴ ………………………………………………1分解得∴ 此抛物线的表达式为．………………………2分（2）∵，∴ C （1，）．…………………………………………………………3分 ∵ 该抛物线的对称轴为直线x =1，B （0，2），∴ D （2，2）．……………………………………………………………4分设直线CD 的表达式为y =kx +b ．由题意得解得∴ 直线CD 的表达式为．………………………………5分（3）0.5＜m ≤1.5．……………………………………………………………7分27. （1）∵∴方程总有两个实数根.……………………………………………………2分（2）由求根公式得：∴或 ∵和均为整数∴ 又∵ ∴…………………………………………………………………………3分21440,42.b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩1,22.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩211242y x x =-++()221119214244y x x x =-++=--+949,42 2.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1,45.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1542y x =-+()()222Δ=3112961310k k k k k +-=-+=-≥31312kk xk3x1xk12x x 、k =1k 120x x ＜＜1k∴A (-3,0), B (1,0) ……………………………………………………4分（3）…………………………………………7分27．解：（1）直线y=kx+b (k ≠0)经过P (0,3)，∴b =3．……………………………………………………1 过点B 作BF ⊥AC 于F ，∵A (5,0)，B (3,2)，BC =BA ， ∴点F 的坐标是（3,0）． ∴点C 的坐标是（1,0）．…………………………………2 （2）当直线PC 经过点C 时，k =﹣3．当直线PC 经过点B 时，k =．………………………3 ∴……………………………………………4 （3）且k 为最大整数，∴k =﹣1．………………………………………………5则直线PQ 的解析式为y=﹣x+3．∵抛物线y=ax 2﹣5ax (a ≠0)的顶点坐标是，对称轴为．解方程组，得即直线PQ 与对称轴为的交点坐标为， (6)∴．解得． (7)27.解：(1)△=9m 2-6m +1-8m 2+8m =m 2+2m +1，=（m +1）2；∴△=（m +1）2≥0，………………………………………….(1分) ∴无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；(2)设x 1，x 2为抛物线y =mx 2-（3m -1）x +2m -2与x 轴交点的横坐标．2,317,317,-3，，13-133k -≤≤-133k -≤≤-52524a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，52x =352y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩52x =5122⎛⎫⎪⎝⎭，125224a <-<822525a -<<-y xFE DPBAOC Q令y =0，则mx 2-（3m -1）x +2m -2=0由求根公式得，x 1=2，， …………………………….(2分) ∴抛物线y =mx 2-（3m -1）x +2m -2不论m 为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x 2=0或x 2=4，∴m =1或 ) 当m =1时，y =x 2-2x ，，∴抛物线解析式为y =x 2-2x当时,答：抛物线解析式为y =x 2-2x ；或 ……….(3分)382312-+-=x x y 382312-+-=x x y。

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27题补充练习1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24440y mx mx m m =-++≠的顶点为P ．P ，M两点关于原点O 成中心对称．（1）求点P ，M 的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x 轴翻折，翻折后的图象在05x ≤≤的部分记为图象H ，点N 为抛物线对称轴上的一个动点，经过M ，N 的直线与图象H 有两个公共点，结合图象求出点N 的纵坐标n 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是-6≤y ≤4-n ，求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O . 设平移后的图象对应的函数表达式为k h x a y +-=2)(，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.3．已知：抛物线C 1：y=2x 2+bx+6与抛物线C 2关于y 轴对称，抛物线C 1与x 轴分别交于点A （﹣3，0），B （m ，0），顶点为M ．（1）求b 和m 的值；（2）求抛物线C 2的解析式；（3）在x 轴，y 轴上分别有点P （t ，0），Q （0，﹣2t ），其中t ＞0，当线段PQ 与抛物线C 2有且只有一个公共点时，求t 的取值范围．4. 已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=. （1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）若抛物线21y x mx m =-+-经过()1,8k -和()5,8k -+两点，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若此抛物线与x 轴交与A 、B （点A 在点B 的左边），(),M a b 为抛物线上任意一点，若045MAB <∠≤，请直接写出a 的取值范围．5.已知抛物线2154(3)22m y x m x -=--+．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若抛物线对称轴x=-1,且反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足023x <<，求k 的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1222+-+-=m mx x y 的对称轴是直线1=x ．（1）求抛物线的表达式；（2）点()1,y n D ，()2,3y E 在抛物线上，若21y y <，请直接写出n 的取值范围；（3）设点()q p M ,为抛物线上的一个动点，当12p -<<点M 关于y 轴的对称点都在直线4-=kx y 的上方，求k7.已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D (0，m ) 作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请求出．．m 的取值范围．8.已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D (0，m ) 作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请求出．．m 的取值范围．。

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