中考数学几何压轴题辅助线专题复习

中考压轴题专题几何（辅助线）精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D，求证：DE＝DF．精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．(1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。

精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，（1）当OA=时，求点O到BC的距离；（2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围；（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少．精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，求证：BD+DC＝AD．精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少精选8、等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ； （1）如图（1），若A （0，1），B （2，0），求C 点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．精选9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，． （1）求证：31h h =；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：22121()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．l 1 l 2 l 3 l 4321第题图参考答案精选1解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD=．故答案为：．精选2证明：在AB上截取AG，使AG=AF，易证△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°，AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易证△BDE≌△BDG（ASA）．G ∴DE＝DG＝DF．精选3、解：（1）连接OC．∵PC为⊙O的切线，∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC=；（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°由（1）知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．精选4、解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，∴点O到BC的距离为．（3分）（2）证明：过点O作O E⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．∴直线BC与⊙O相切．（5分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=，∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）（3）；（9分）（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）精选5、证法1：（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．精选7、解：（1）DF=DE．理由如下：如答图1，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．精选8、（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO． ∴∠BAO=∠AHD．∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°． 在△AOB 和△EOB 中， ，∴△AOB≌△EOB（ASA ）， ∴AB=EB，AO=EO ， ∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO． ∴∠AEC=∠BHA． 在△AEC 和△BHA 中， ，∴△ACE≌△BAH（AAS ） ∴AE=BH=2OA ∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD ）．精选9、（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交于点F ， 由已知BF ED BE FD ∥，∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=．又CDF Rt ABE Rt CD AB ∆∆∴=≌，．31h h =∴ （2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，，垂足分别为G H 、， 在Rt Rt BGC CHD △和△中，1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒Q ，． BCG CDH ∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，，2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，， 222121()S BC h h h ∴==++．（3）解：1221331122h h h h +=∴=-Q，， 2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1211320010023h h h h >>∴->∴<<Q ，，，．ll l l321l l l l 321∴当1205h <<时，S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时，S 随1h 的增大而增大．。