离散数学期末3-4章复习
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分第四章、二元关系和函数4.1 集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>实例：点的直角坐标(3,-4)有序对性质有序性 <x,y>¹<y,x> （当x¹ y时）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是<x,y>=<u,v> Û x=u Ù y=v例1 <2, x+5> = <3y- 4, y>，求x, y.解 3y- 4 = 2, x+5 = yÞ y = 2, x = - 3定义一个有序n (n³3) 元组 <x1, x2, …, x n> 是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即<x1, x2, …, x n> = < <x1, x2, …, x n-1>, x n>当n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A´B，即A´B ={ <x,y> | xÎA Ù yÎB }例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A´B ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}B´A ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>, <b,3>,<c,3>}A={Æ}, P(A)´A={<Æ,Æ>, <{Æ},Æ>}性质：不适合交换律A´B¹B´A (A¹B, A¹Æ, B¹Æ)不适合结合律 (A´B)´C¹A´(B´C) (A¹Æ, B¹Æ)对于并或交运算满足分配律A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)(BÈC)´A=(B´A)È(C´A)A´(BÇC)=(A´B)Ç(A´C)(BÇC)´A=(B´A)Ç(C´A)若A或B中有一个为空集，则A´B就是空集.A´Æ=Æ´B=Æ若|A|=m, |B|=n, 则 |A´B|=mn证明A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)证任取<x,y><x,y>∈A×(B∪C)Û x∈A∧y∈B∪CÛ x∈A∧(y∈B∨y∈C)Û (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)Û <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×CÛ <x,y>∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B Ù C=D Þ A´C=B´D(2) A´C=B´D是否推出A=B Ù C=D ? 为什么？解 (1) 任取<x,y><x,y>ÎA´C Û xÎA Ù yÎCÛ xÎB Ù yÎD Û <x,y>ÎB´D(2) 不一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=Æ, 则A´C=B´D 但是A¹B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例 4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=Æ, R4={<0,1>}. 那么R1, R2, R3, R4是从A 到B的二元关系, R3和R4同时也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以A上有个不同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个不同的二元关系.设A 为任意集合，Æ是A 上的关系，称为空关系E, I A 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×AAI={<x,x>|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}AI={<1,1>,<2,2>}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系RÍ定义：L={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, AÍR，R为实数集合AD={<x,y>| x,y∈B∧x整除y},BBÍZ*, Z*为非0整数集R={<x,y>| x,y∈A∧xÍy}, A是集合族.Í类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}AD={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}AA=P(B)={Æ,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={<Æ,Æ>,<Æ,{a}>,<Æ,{b}>,<Æ,{a,b}>,<{a},{a}>,Í<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m´n, 其中r ij= 1Û < a i, b j> ÎR.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果<x i,x j>属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R4.2 关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | $y (<x,y>ÎR) }ran R = { y | $x (<x,y>ÎR) }fld R = dom RÈ ran R例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R-1 = {<y,x> | <x,y>ÎR}R∘S = |<x,z> | $ y (<x,y>ÎRÙ<y,z>ÎS) }例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}R-1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}定义 F 在A上的限制F↾A = {<x,y> | xFyÙ xÎA}A 在F下的像F[A] = ran(F↾A)实例R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}R↾{1}={<1,2>,<1,4>}R[{1}]={2,4}R↾Æ=ÆR[{1,2}]={2,3,4}注意：F↾AÍF, F[A] Íran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F-1)-1=F(2) dom F-1=ran F, ran F-1=dom F证 (1) 任取<x,y>, 由逆的定义有<x,y>∈(F -1)-1 Û <y,x>∈F-1 Û <x,y>∈F所以有 (F-1)-1=F(2) 任取x,x∈dom F-1 Û $y(<x,y>∈F-1)Û $y(<y,x>∈F) Û x∈ran F所以有dom F-1= ran F. 同理可证 ran F-1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H)(2) (F∘G)-1= G-1∘F-1证 (1) 任取<x,y>,<x,y>Î(F∘G)∘HÛ$t(<x,t>∈F∘G∧<t,y>∈H) Û $t ($s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)Û $t $s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)Û $s (<x,s>∈F∧$t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H))Û $s (<x,s>∈F∧<s,y>∈G∘H)Û <x,y>∈F∘(G∘H)所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)(2) 任取<x,y>,<x,y>∈(F∘G)-1Û <y,x>∈F∘GÛ $t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G)Û $t (<x,t>∈G-1∧(t,y)∈F-1)Û <x,y>∈G-1∘F-1所以 (F∘G)-1 = G-1∘F-1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={<x,x> | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n∘R注意：对于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA对于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只有个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m∘R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m∘R0=R m∘I=R m=R m+0A假设R m∘R n=R m+n, 则有R m∘R n+1=R m∘(R n∘R)=(R m∘R n)∘R=R m+n+1 ,所以对一切m, n∈N有R m∘R n=R m+n.(2) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n∘R m=(R mn)∘R m=R mn+m=R m(n+1)所以对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.4.3 关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若"x(x∈A→<x,x>ÎR), 则称R在A上是自反的.(2) 若"x(x∈A→<x,x>ÏR), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{<1,1>,<2,2>}1R＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}2R＝{<1,3>}3R自反,2R反自反,3R既不是自反也不是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若"x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系Æ反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,其中R＝{<1,1>,<2,2>}，R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}1R＝{<1,2>,<1,3>}，R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}3R对称、反对称.1R对称，不反对称.2R反对称，不对称.3R不对称、也不反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若"x"y"z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系ÆA小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{<1,1>,<2,2>}1R＝{<1,2>,<2,3>}2R＝{<1,3>}3R和R3 是A上的传递关系1R不是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A ÍR(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=Æ(3) R在A上对称当且仅当R=R-1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R-1ÍI A(5) R在A上传递当且仅当R°RÍR证明模式证明R在A上自反任取x,xÎAÞ ……………..….……. Þ <x,x>ÎR前提推理过程结论例4 证明若I A ÍR ，则 R在A上自反.证任取x,xÎA Þ <x,x> ÎIÞ <x,x>ÎRA因此R 在A 上是自反的.证明模式证明R在A上对称任取<x, y><x,y>ÎRÞ……………..….……. Þ <y,x>ÎR前提推理过程结论例5 证明若R=R-1 , 则R在A上对称.证任取<x,y><x,y>ÎR Þ <y,x>ÎR-1Þ <x,y>ÎR因此R 在A 上是对称的.证明模式证明R在A上反对称任取<x, y><x,y>ÎRÙ<y,x>ÎRÞ ………..………. Þ x=y前提推理过程结论例6 证明若R∩R-1ÍI A , 则R在A上反对称.证任取<x,y><x,y>ÎR Ù<y, x>ÎRÞ <x,y>ÎR Ù<x,y>ÎR-1Þ <x,y>ÎR∩R-1Þ <x,y>ÎI AÞ x=y因此R 在A 上是反对称的.证明模式证明R在A上传递任取<x, y>，<y, z><x,y>ÎRÙ<y, z>ÎRÞ…..………. Þ <x,z>ÎR前提推理过程结论例7 证明若R°RÍR , 则R在A上传递.证任取<x,y>，<y, z><x,y>ÎR Ù<y,z>ÎRÞ <x,z>ÎR°RÞ <x,z>ÎR因此R 在A 上是传递的.4.4 关系的闭包闭包定义定义设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R¢, 使得R¢满足以下条件：（1）R¢是自反的（对称的或传递的）（2）RÍR¢（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R¢¢ 有R¢ÍR¢¢. 一般将R 的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).闭包的构造方法定理1 设R为A上的关系, 则有(1) r(R) = R∪R0(2) s(R) = R∪R-1(3) t(R) = R∪R2∪R3∪…说明：对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过R n. 若R是自反的，则r(R)=R; 若R是对称的，则s(R)=R; 若R是传递的，则t(R)=R. 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, M r, M s 和M t , 则M= M + ErM= M + M’sM= M + M2 + M3 + …tE 是和M 同阶的单位矩阵, M’是M 的转置矩阵.注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, G r, G s, G t , 则G r, G s, G t 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边：考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到G r . 考察G的每条边, 如果有一条x i 到x j 的单向边, i≠j, 则在G中加一条x j 到x i 的反方向边，最终得到G s. 考察G的每个顶点x i, 找从x i 出发的每一条路径，如果从x i 到路径中任何结点x j 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图G t .4.5 等价关系和偏序关系定义设R 为非空集合上的关系. 如果R 是自反的、对称的和传递的, 则称R 为 A 上的等价关系. 设R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称x 等价于y, 记做x～y.实例设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R：R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) }其中x≡y(mod 3) 叫做x 与y 模3相等, 即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等.验证模 3 相等关系R 为A上的等价关系, 因为"x∈A, 有x ≡ x(mod 3)"x, y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3)"x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3),则有x≡z(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证定义设R为非空集合A上的等价关系, "x∈A，令[x]R = { y | y∈A∧xRy }称 [x]R 为x 关于R 的等价类, 简称为x 的等价类, 简记为[x].实例A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}等价类的性质：定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则(1) "x∈A, [x] 是A的非空子集.(2) "x, y∈A, 如果x R y, 则 [x]=[y].(3) "x, y∈A, 如果x y, 则 [x]与[y]不交.(4) ∪{ [x] | x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A.A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}，[2]=[5]=[8]={2,5,8}，[3]=[6]={3,6}以上3 类两两不交，{1,4,7}È{2,5,8}È{3,6} = {1,2, (8)定义设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R| x∈A }实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }A关于恒等关系和全域关系的商集为：A/I= { {1},{2}, … ,{8}}AA/E= { {1, 2, … ,8} }A集合的划分：定义设A为非空集合, 若A的子集族π(πÍP(A)) 满足下面条件：(1) ÆÏπ(2) "x"y (x,y∈π∧x≠y→x∩y=Æ)(3) ∪π=A则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.例1 设A＝{a, b, c, d},给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：π= { {a, b, c}, {d} }，π2= { {a, b}, {c}, {d} }1π= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} }3π= { Æ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }5则π1和π2是A的划分, 其他都不是A 的划分.为什么？等价关系与划分的一一对应商集A/R 就是A 的一个划分不同的商集对应于不同的划分任给A 的一个划分π, 如下定义A 上的关系R：R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与y 在π的同一划分块中}则R 为A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集就是π.例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系.例3 设A={1, 2, 3, 4}，在A´A上定义二元关系R：<<x,y>,<u,v>>ÎR Û x+y = u+v，求R 导出的划分.解A´A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>,<4,2>, <4,3>, <4 ,4>}根据 <x,y> 的x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将A´A划分成7个等价类：(A´A)/R={ {<1,1>}, {<1,2>,<2,1>},{<1,3>, <2,2>, <3,1>},{<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>},{<2,4>, <3,3>, <4,2>},{<3,4>, <4,3>}, {<4,4>} }定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作≼. 设≼为偏序关系, 如果<x, y>∈≼, 则记作x≼y, 读作x“小于或等于”y. 实例集合A上的恒等关系I A 是A上的偏序关系.小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.x与y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系,x,yÎA, x与y可比Û x≼y ∨y≼x.结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况：x≺y (或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.全序关系：R为非空集合A上的偏序, "x,yÎA, x与y 都是可比的，则称R 为全序（或线序）实例：数集上的小于或等于关系是全序关系整除关系不是正整数集合上的全序关系覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果x ≺y且不存在zÎA 使得x ≺z ≺y, 则称y 覆盖x.实例：{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系,2 覆盖 1,4 和 6 覆盖 2.4 不覆盖 1.定义集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记作 <A,≼>.实例：整数集和小于等于关系构成偏序集<Z,≤>，幂集P(A)和包含关系构成偏序集<P(A),RÍ>.哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边偏序集的特定元素定义设<A,≼>为偏序集, BÍA, y∈B.(1) 若"x(x∈B→y≼x) 成立, 则称y 为B 的最小元.(2) 若"x(x∈B→x≼y) 成立, 则称y 为B 的最大元.(3) 若Ø$x (x∈B∧x ≺y) 成立, 则称y 为B的极小元.(4) 若Ø$x (x∈B∧y ≺x) 成立, 则称y 为B的极大元.特殊元素的性质对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个.最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一.最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.孤立结点既是极小元，也是极大元.定义设<A, ≼>为偏序集, BÍA, yÎA.(1) 若"x(x∈B→x≼y) 成立, 则称y 为B的上界.(2) 若"x(x∈B→y≼x) 成立, 则称y 为B的下界.(3) 令C＝{y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界或上确界.(4) 令D＝{y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界或下确界.特殊元素的性质下界、上界、下确界、上确界不一定存在下界、上界存在不一定惟一下确界、上确界如果存在，则惟一集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对.4.6 函数的定义和性质函数定义：定义设F 为二元关系, 若 "x∈dom F 都存在唯一的y∈ran F 使xFy 成立, 则称F 为函数. 对于函数F, 如果有xFy, 则记作y=F(x), 并称y 为F 在x 的值.例1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}F={<x1,y1>,<x1,y2>}2F是函数, F2不是函数1函数相等：定义设F, G为函数, 则F =G Û FÍG∧GÍF如果两个函数F 和G 相等, 一定满足下面两个条件：(1) dom F = dom G(2) "x∈dom F = dom G 都有F(x) = G(x)实例函数F(x)=(x2-1)/(x+1), G(x)=x-1不相等, 因为 dom FÌdom G.定义设A, B为集合, 如果f 为函数dom f = Aran f Í B,则称f 为从A到B的函数, 记作f：A→B.实例f：N→N, f(x)=2x 是从N 到N 的函数g：N→N, g(x)=2也是从N 到N 的函数定义所有从A 到B 的函数的集合记作B A,读作“B上A”，符号化表示为B A ={ f | f：A→B }计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=n m.A=Æ, 则B A=BÆ={Æ}.A≠Æ且B=Æ, 则B A=ÆA= Æ.例2 设A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求B A.解B A = {f0, f1, … , f7}, 其中f={<1,a>,<2,a>,<3,a>}, f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}2f={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}4f={<1,b>,<2,b>,<3,a>}, f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}6定义设函数f：A→B, A1ÍA.A在f 下的像：f(A1) = { f(x) | x∈A1 }1函数的像f(A)注意：函数值f(x)∈B, 而像f(A1)ÍB.函数的性质定义设f：A→B,（1）若ran f = B, 则称f：A→B是满射的.（2）若 "y∈ran f 都存在唯一的x∈A使得f(x)=y, 则称f：A→B是单射的. （3）若f：A→B既是满射又是单射的, 则称f：A→B是双射的f满射意味着："y ÎB, 都存在xÎA使得 f(x) = y.f 单射意味着：f(x) = f(x2) Þ x1= x21例4判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?(1) f：R→R, f(x) = -x2+2x-1(2) f：Z+→R, f(x) = ln x, Z+为正整数集(3) f：R→Z, f(x) = ëxû(4) f：R→R, f(x) = 2x+1(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.解 (1) f：R→R, f(x)=-x2+2x-1在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射.(2) f：Z+→R, f(x)=ln x单调上升, 是单射. 但不满射, ran f={ln1, ln2, …}.(3) f：R→Z, f(x)= ëxû满射, 但不单射, 例如f(1.5)=f(1.2)=1.(4) f：R→R, f(x)=2x+1满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ran f=R.(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}解 A={Æ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={ f, f1, … , f7 }, 其中f={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},f={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},2f={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},4f={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.6令f：A→B,f(Æ)=f, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,f({1,2})=f, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f74常函数、恒等函数、单调函数1. 设f：A→B, 若存在c∈B 使得 "x∈A 都有f(x)=c, 则称f：A→B是常函数.2. 称A 上的恒等关系I A为A 上的恒等函数, 对所有的x∈A 都有I A(x)=x.3. 设f：R→R，如果对任意的x1, x2∈R，x1<x2, 就有f(x1) £ f(x2), 则称f 为单调递增的；如果对任意的x1, x2∈A, x1< x2, 就有f(x1) < f(x2), 则称f 为严格单调递增的.类似可以定义单调递减和严格单调递减的函数.例8 (1) A的每一个子集A’都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如A={a, b, c}, 则有= { <a,0>, <b,0>, <c,0> }，cÆc= { <a,1>, <b,1>, <c,0>}{a,b}(2) 给定集合A，A 上不同的等价关系确定不同的自然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如A={1, 2, 3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IAg(1) = g(2) = {1,2}, g(3) = {3}4.7 函数的复合和反函数函数复合的定理定理设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足(1) dom(F∘G)={ x | x∈dom F Ù F(x)∈dom G}(2) "x∈dom(F∘G) 有F∘G(x) = G(F(x))推论1 设F, G, H为函数, 则 (F∘G)∘H 和F∘(G∘H)都是函数, 且 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)推论2 设f：A→B, g：B→C, 则f∘g：A→C, 且"x∈A 都有f∘g(x) = g(f(x)).函数复合运算的性质定理设f：A→B, g：B→C.(1) 如果f：A→B, g：B→C 都是满射的, 则f∘g：A→C也是满射的.(2) 如果f：A→B, g：B→C 都是单射的, 则f∘g：A→C也是单射的.(3) 如果f：A→B, g：B→C 都是双射的, 则f∘g：A→C也是双射的.证 (1) "c∈C, 由g：B→C 的满射性, $b∈B 使得g(b)=c. 对这个b, 由f：A→B 的满射性，$a∈A使得f(a)=b. 由合成定理有f∘g(a)=g(f(a))=g(b)=c从而证明了f∘g：A→C是满射的.(2) 假设存在x1, x2∈A使得f∘g(x1) = f∘g(x2)由合成定理有g(f(x1))=g(f(x2)).因为g：B→C是单射的, 故f(x1)=f(x2). 又由于f：A→B也是单射的, 所以x1=x2. 从而证明f∘g：A→C是单射的.(3) 由 (1) 和 (2) 得证.定理设f: A®B，则f = f∘I= I A∘fB反函数存在的条件任给函数F, 它的逆F -1不一定是函数, 是二元关系.实例：F={<a,b>,<c,b>}，F -1={<b,a>,<b,c>}任给单射函数f：A→B, 则f -1是函数, 且是从 ran f 到A的双射函数, 但不一定是从B 到A 的双射函数.实例：f : N →N, f(x) = 2x,f -1 : ran f→N, f -1 (x) = x/2反函数定理设f：A→B是双射的, 则f -1：B→A也是双射的.证因为f 是函数, 所以f -1 是关系, 且dom f -1 = ran f = B , ran f -1 = dom f = A,对于任意的y∈B = dom f -1, 假设有x1, x2∈A使得<y,x1>∈f -1∧<y,x2>∈f -1成立, 则由逆的定义有<x1,y>∈f∧<x2,y>∈f根据f 的单射性可得x1 = x2, 从而证明了f -1是函数，且是满射的. 下面证明f -1的单射性.若存在y1, y2∈B 使得f -1 (y1) = f -1 (y2) = x, 从而有<y1,x>∈f -1∧<y2,x>∈f -1Þ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈fÞ y1 = y2反函数的定义及性质对于双射函数f：A→B, 称f -1：B→A是它的反函数.反函数的性质定理设f：A→B是双射的, 则f -1∘f = I, f∘f -1 = I AB对于双射函数f：A→A, 有f -1∘f = f∘f -1 = IA函数复合与反函数的计算问题描述——多机调度问题：有2台机器c1, c2；6项任务t1, t2, …, t6. 每项任务的加工时间分别为：l(t)=l(t3)=l(t5)=l(t6)=1, l(t2)=l(t4)=21任务之间的顺序约束是：任务t3只有在t6和t5完成之后才能开始加工；任务t2只有在t6, t5和t4都完成后才能开始加工；任务t1只有在t3和t2完成之后才能开始加工.调度：任务安排在机器上加工的方案截止时间：开始时刻0，最后停止加工机器的停机时刻问题描述集合任务集T={t1, t2, ... , t n}, nÎZ+机器集M={c1, c2, ... , c m}，mÎZ+时间集 N函数和关系加工时间——函数l:T®Z+.顺序约束R ——T上的偏序关系，定义为R={<t i, t j>| t i, t jÎT, i=j 或t i 完成后t j 才可以开始加工}可行调度分配到机器：T 的划分 p={T, T2, ... , T m}，划分块T j 是T 的非空子集，1由安排在机器c j上加工的所有任务组成.每个机器上的任务开始时间"T jÎp，存在调度函数 s j:T j®N，满足以下条件：(1) 任意时刻i，每台机器上正在加工至多1个任务"i, 0 £ i<D,| { t k| t kÎT j, s j(t k)£i<s j(t k)+l(t k) }| £1, j=1, 2, …, m(2) 任务的安排满足偏序约束"t iÎT i, t jÎT j, <t i,t j>ÎRÛ s i(t i)+l(t i)£s j(t j) i, j=1, 2, …, m机器j 的停止时间D=max{s j(t k)| t kÎT j}+l(t k)j所有任务的截止时间D=max{D| j=1,2,...,m}.j我们的问题就是确定使得D达到最小的可行调度.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q →P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15,7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A B的充要条件是A B且B A。
主要等价式：(1)双否定：A A。
(2)交换律：A∧B B∧A，A∨B B∨A，A B B A。
3)结合律：(A∧B)∧C A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C A∨(B∨C)，(A B)C A(B C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：(A∧B)A∨B，(A∨B)A∧B。
(6) 等幂律：A∧A A，A∨A A。
(7) 同一律：A∧T A，A∨F A。
(8) 零律：A∧F F，A∨T T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)A，A∨(A∧B)A。
(10) 互补律：A ∧A F，(矛盾律)，A∨A T。
(排中律)(11) 条件式转化律：A→B A∨B，A→B B→A。
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学复习提纲
离散数学复习2012本复习提纲仅列出了上课时所讲过的每一章节的知识点，请大家对照知识点认真复习。
第一章数理逻辑§1命题及其真值命题概念，命题联结词，命题真值表，命题符号化§2重言式命题公式的性质，逻辑等价公式，永真蕴含公式，命题公式推倒（化简与证明）§3范式指派，析取范式，合取范式，极小项，极大项，主范式的求法，主范式与真值表之间的关系//§4联结词的扩充与归约//功能完备集，与非，或非§5推理规则和证明方法反证法，CP规则，直接证明法 //条件证明法、命题公式证明§6谓词和量词全称量词，存在量词，基于谓词的命题符号化，公式的解释§7谓词演算的永真公式谓词公式的等价公式和永真蕴含公式 //前束范式//§8 谓词演算的推理规则//基于谓词的推理，ES、EG、US、UG规则第二章集合§1集合论的基本概念集合的定义，表示方法§2集合的运算交，并，补，差，环和，环积，幂集，包含排斥定理//§3 自然数//定义（了解）§4 集合的笛卡尔乘积序偶的特点，笛卡尔乘积的计算，第三章二元关系§1关系的基本概念二元关系的定义，表示方法（关系图、关系矩阵），性质判断及证明（自反，反对称，对称，反对称，传递）§2关系的运算二元关系的合成运算，逆运算，两种运算的矩阵表示§3关系上的闭包运算自反闭包，对称闭包，传递闭包的求法§4次序关系偏序关系的定义，哈斯图，8种特殊元素§5等价关系和划分等价关系的定义，等价划分，等价关系的证明第四章函数§1函数的基本概念定义、合成运算§2特殊函数类单射，满射，双射的判断//§3逆函数//定义第八章图论§1图的基本概念图、点、边的相关概念§2路径和回路基本路径，简单路径，基本回路，简单回路，最短路径（迪克斯特拉算法）§3图的矩阵表示邻接矩阵，可达性矩阵，//关联矩阵//§4 欧拉图和哈密尔顿图//欧拉图的定义、判断方法；哈密尔顿图的应用-最小哈密尔顿回路（TSP）问题（最邻//近算法）//§5*二部图和平面图//定义，应用§6树树的定义，性质，生成树，最小生成树（克鲁斯克儿算法）§7有向树二元树的定义，遍历，二元树与普通树的转换，表达式的计算等试卷类型：闭卷题型：填空题、命题符号化、作图、证明、计算。
离散数期末复习
1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的， 可传递的。在空集上可定义任意元 关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的； 若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学4.3-4
10
结论
R是A上的关系，则： （1）R是自反关系的主要条件是IAA （2）R是反自反关系的主要条件是R∩IA=Ф。
11
(3) 若x y(x,y∈A ∧<x,y> ∈R <y,x> ∈R),则称R 在A上是对称的。 也就是说, 对RAA, 对A中每个x和y, 若xRy, 则yRx, 称 R是对称的, 即
7
例子
例3：N上的互质关系是反自反关系。 证明：x∈N，x与x是不互质的， ∴<x,x>R，∴R具有反自关系。 其他的例实数上的＜，＞关系,人与人的父子 关系,均是反自反关系。
8
关系矩阵的特点
自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。
9
关系图的特点
自反关系的关系图，每个结点均有自回路， 而反自反关系的关系图的每个结点均没有 自回路。
22
说明:
该定义的等价说法： a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R, 则必有<b,a>R。即两个不同点结点间不允许有两 条弧。 该定义的否命题说法并不成立,如 “a≠b,<a,b>R,则<b,a>∈R”并不成立, 即反对称关系的关系图允许两个不同点间没有弧。
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有些关系既是对称的又是反对称的
设 R 是 A 上的关系，R 的性质主要有以下 5 种 (2) 若x(x ∈A <x,x> ∈R),则称 R 在 A 上是反自反的 也就是说，对RAA，若A中每个x，有xRx，则称R是 反自反的，即 A上关系R是反自反的x(xAxRx) 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任 何相同元素的有序对。 例如：设A={1,2,3}，R 是 A 上的关系， R={<2,3>,<3,2>} R是反自反的
大连海事大学离散数学期末复习纲要
本章要点（续）
3、掌握反函数的概念及其存在的条件： 设 f: X→Y是双射函数，则f的逆关系称
f的反函数，记作f-1
注意：只有双射函数才有反函数。
本章要点（续）
4、掌握特种函数的定义（单射、满射、双 射）及证明：
①滿射函数：设函数f: X→Y，若 f(X)=Rf=Y（值域＝陪域）。
即：Df = X； (2)唯一性：对任意的xX，必存在唯一的
yY，使<x，y>f，即： 对 任 意 的 xX ， y ， zY ， 有 ： <x ，
y>f∧<x，z>f y = z。
3、特种函数
设函数f: X→Y,则：
(1)若f(X)=Rf=Y, 则称f是滿射的； (2)对任意x1,x2X，如果: x1≠x2f(x)≠f(y), 或:f(x1)=f(x2)x1 =x2； 则称f是单射的；
数。
9.半群和群
半群：设<S,*>是代数系统，*运算是S上的二元 运算，若*运算是可结合的，则称<S,*>为一个 半群。
群：（1）<S，*>是代数系统； （2） “*”运算满足结合律；
（3）<A，*>中存在幺元e；
（4）<A，*>中任意一个元素都有逆元素；
则称代数系统<A，*>是群。
子群
设<A，*>是一个群，H是A的非空子 集，若<H，*>也是一个群，则称<H， *>是<A，*>的子群。
7. 代换性质和同余关系
代换性质：给定代数系统<X，*>，其中是个二元 运算。设R是X中的等价关系，如果对任意的x1， x2X和y1，y2X有： (x1Rx2)∧(y1Ry2)(x1*y1)R(x2*y2)
《离散数学》期末复习
《离散数学》期末复习《离散数学》期末复习内容：第一章~第七章题型：一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）三、计算题（20%，每题5分）四、证明题（20%，每题5分）五、判断题（20%，每题2分）第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.计算常用的数学符号式子1.2 集合及其表示法1.用列举法和描述法表示集合2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集(?)4.计算集合的幂集5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补6.用文氏图表示集合的运算7.证明集合包含或相等方法一：根据定义, 通过逻辑等值演算证明方法二：利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明1.3 证明方法概述1、用如下各式方法对命题进行证明。
直接证明法：A→B为真间接证明法：“A→B为真” ?“ ?B→ ?A为真”归谬法(反证法)：A∧?B→0为真穷举法：A1→B, A2→B,…, A k→B 均为真构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B ?空证明法：“A恒为假” ?“A→B为真”平凡证明法：“B恒为真” ?“A→B为真”数学归纳法：第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。
命题的定义和联结词(?, ∧, ∨, →, ?)2、判断命题公式的类型赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。
2.2 命题逻辑等值演算1、用真值表判断两个命题公式是否等值2、用等值演算证明两个命题公式是否等值3、证明联结词集合是否为联结词完备集2.3 范式1、求命题公式的析取范式与合取范式2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）3、应用主析取范式分析和解决实际问题2.4 命题逻辑推理理论1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型3.2 一阶逻辑等值演算1、证明谓词公式的等值式2、求谓词公式的前束范式第4章关系4.1 关系的定义及其表示1、计算有序对、笛卡儿积2、计算给定关系的集合3、用关系图和关系矩阵表示关系4.2 关系的运算1、计算关系的定义域、关系的值域2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系3、证明关系运算满足的式子4.3 关系的性质1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包4.4 等价关系与偏序关系1、判断关系是否为等价关系2、计算等价关系的等价类和商集3、计算集合的划分4、判断关系是否为偏序关系5、画出偏序集的哈期图6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界7、求偏序集的拓扑排序第5章函数1.判断关系是否为函数2.求函数的像和完全原像3.判断函数是否为满射、单射、双射4.构建集合之间的双射函数5.求复合函数6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数第6章图1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度3.根据握手定理顶点数、边数等4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边5.判断给定的度数列能否构成无向图6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图7.求给定图的补图、生成子图、导出子图8.判断两个图是否同构6.2 图的连通性1.求图中给定顶点通路、回路的距离2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图6.3 图的矩阵表示1.计算无向图的关联矩阵2.计算有向无环图的关联矩阵3.计算有向图的邻接矩阵4.计算有向图的可达矩阵5.计算图的给定长度的通路数、回路数6.4 几种特殊的图1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图第7章树及其应用7.1 无向树1.判断一个无向图是否为树2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统5.求最小生成树7.2 根树及其应用1.判断一个有向图是否为根树2.求根树的树根、树叶、内点、树高3.求最优树4.判断一个符号串集合是否为前缀码5.求最佳前缀码6.用三种方法遍历根树。
离散数学期末复习题
离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρ 则B ___________________. 填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点大纲复习以课本和笔记为主.文中标红为需重点掌握的,祝大家都能取得好成绩第1章命题逻辑复习要点1．理解命题概念,会判别语句是不是命题．理解五个基本联结词：否定P、析取、合取、条件、和双条件及其真值表,理解其他联结词的定义及基本等价式,会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一,语句是陈述句；其二,语句有唯一确定的真假意义.2．理解公式的概念公式、赋值、成真指派和成假指派和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念,掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法,其二是等价演算法.3．了解公式等价概念,掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念,熟练掌握它们的求法真值表法和等价推导法．命题公式的范式不惟一,但主范式是惟一的．命题公式A有n个命题变元,A的主析取范式有k个小项,有m个大项,则于是有1 A是永真式k=2n m=0；2 A是永假式m＝2n k=0；5．了解C是前提集合{A1,A2,…,A m}的有效结论或由A1, A2, …, A m逻辑地推出C的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式,掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词,真值表,主析取合取范式,命题演算的推理理论.第2章谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域,会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词,个体词可以是具体事物或抽象的概念,分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词,存在量词.命题符号化注意：使用全称量词,特性谓词后用；使用存在量词,特性谓词后用．2．了解原子公式、谓词公式、变元约束变元和自由变元与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时,才是命题．在谓词公式xA或xA中,x是指导变元,A是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D个体域上谓词公式A的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下,谓词公式A取真值1,A为逻辑有效式永真式；公式A取真值0,A 为永假式；至少有一个解释使公式A取真值1,A称为可满足式．在有限个体域下,消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n },则会求谓词公式的真值,量词的辖域,自由变元、约束变元,以及换名规则、代入规则等．掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．理解前束范式的概念,掌握求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211,那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式,其中Q 1,Q 2,…,Q k 只能是或,而x 1, x 2, …, x k 是个体变元,B 是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式．重点：翻译；前束范式．第3章 集合与关系复习要点1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分． 掌握集合包含子集、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合,集合与子集,子集与幂集,与,空集与所有集合等的关系. 空集,是惟一的,它是任何集合的子集．集合A 的幂集PA ＝}{A x x ⊆, A 的所有子集构成的集合．若A ＝n ,则PA =2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并AB ,交AB ,补集AA 补集总相对于一个全集.差集A －B ,对称差,AB ＝A －BB －A ,或AB ＝AB －AB 等运算．掌握集合运算律运算的性质.3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：1要证明A ＝B ,只需证明AB ,又AB ；2通过运算律进行等式推导．4．了解有序对和笛卡尔积的概念,掌握笛卡尔积的运算．有序对就是有顺序二元组,如<x , y >,x , y 的位置是确定的,不能随意放置． 注意：有序对<a ,b ><b , a >,以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a }；有序对a , a 有意义,而集合{a , a }是单元素集合,应记作{a }．集合A ,B 的笛卡尔积A ×B 是一个集合,规定A ×B ＝{<x ,y >xA ,yB },是有序对的集合.笛卡尔积也可以多个集合合成,A 1×A 2×…×A n ．5．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图,掌握关系的集合运算及复合关系、逆关系的性质与求法． 二元关系是一个有序对集合,},{B y A x y x R ∈∧∈><=,记作xRy ．设A 、B 是两个集合,且|A|＝m,|B|＝n,则从A 到B 可产生的不同的二元关系个数为nm 2.关系的表示方法有三种：集合表示法,关系矩阵：RA ×B,R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图：R 是集合上的二元关系,若<a i , b j >R ,由结点a i 画有向弧到b j 构成的图形．空关系是唯一、是任何关系的子集的关系； 全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡； 恒等关系},{A a a a I A ∈><=,恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差． 复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><== ；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=按逻辑运算； 有结合律：R S T ＝R S T ,一般不可交换． 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1； 复合关系与逆关系存在：R S －1=S －1 R －1．6．理解关系的性质自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示,掌握其判别方法利用定义、矩阵或图,充分条件,知道关系闭包自反,对称,传递的定义和求法．注：1关系性质的充分必要条件：① R 是自反的I A R ；②R 是反自反的I A R ＝；③R 是对称的 R ＝R －1；④R 是反对称的RR －1I A ；⑤R 是传递的R RR .(2)I A 具有自反性,对称性、反对称性和传递性．E A 具有自反性,对称性和传递性．具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．重点：集合的运算,笛卡尔积,关系的性质,复合关系和逆关系,关系的闭包.第4章 函数复习要点1．理解函数概念：函数映射,函数相等,复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念,掌握其判别方法．设f 是集合A 到B 的二元关系,aA ,存在惟一bB ,使得<a , b >f ,且Dom f =A ,f 是一个函数映射．函数是一种特殊的关系设A 、B 是两个集合,且|A|＝m,|B|＝n,则从A 到B 可产生的不同的函数关系个数为m n ．集合A ×B 的任何子集都是关系,但不一定是函数．函数要求对于定义域A 中每一个元素a ,B 中有且仅有一个元素与a 对应,而关系没有这个限制．二函数相等是指：定义域相同,对应关系相同,且定义域内的每个元素的对应值都相同．函数有：单射——若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射——fA =B 或,,A x B y ∈∃∈∀使得y =fx ；双射——单射且满射．复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则 即))(()(x f g x f g = ．复合成立的条件：)(Dom )(Ran g f ⊆．一般g f f g ≠,但f g h f g h )()(=.反函数——若f ：AB 是双射,则有反函数f －1：BA , },)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-,f f g f f g ==-----11111)(,)(重点：函数.第5章 代数结构复习要点1．掌握代数系统中运算及其性质自反,对称,传递,等幂,会判断某代数系统具有哪种性质.2. 掌握半群,独异点,群,阿贝尔群,循环群的概念及判定方法.半群：封闭+可结合.独异点：封闭+可结合+有幺元.群：封闭+可结合+有幺元+每个元素有逆元.阿贝尔群：群+可交换.循环群：群+有生成元.3. 掌握同态与同构的概念,理解同态的相关性质,并熟练掌握同态与同构的证明方法.重点：代数系统的运算性质,群与循环群的证明方法,同构与同态的证明方法.第7章 图的基本概念复习要点1．理解图的概念：结点、边、有向图,无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理．图是一个有序对<V ,E >,V 是结点集,E 是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图,有向边与有向图,混合图,零图,平凡图、自回路环,无向平行边,有向平行边等概念．简单图,不含平行边和环自回路的图、在无向图中,与结点vV 关联的边数为结点度数deg v ；在有向图中,以vV 为终点的边的条数为入度deg －v ,以vV 为起点的边的条数为出度deg ＋v ,deg v =deg +v +deg －v ．无向完全图K n 及其边数)1(21-=n n E ；有向完全图及其边数)1(-=n n E ． 了解子图、真子图、补图的概念． 知道图的同构概念,更应知道图同构的必要条件,用其判断图不同构.重要定理：1 握手定理 设G =<V ,E >,有∑∈=V v E v 2)deg(；2 在有向图D ＝<V , E >中,∑∑∈+∈-=Vv V v v v )(deg )(deg ；3 奇数度结点的个数为偶数个．2．了解路与回路概念．会求路和回路的长度．了解无向图的连通性,会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G＝<V,E>,结点与边的交替序列为路．路中边的数目就是路的长度．起点和终点重合的路为回路．边不重复的路是迹；结点不重复的路是通路.无向图G中,结点u, v存在通路,u, v是连通的,G中任意结点u, v连通,G是连通图．PG表示图G连通分支的个数．要知道：强连通−−→−必是弱连通,反之不成立．−必是单侧连通−−→3．掌握邻接矩阵,可达矩阵和距离矩阵的概念,掌握其构造方法及其应用．4．理解欧拉通路回路、欧拉图的概念,掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G的每条边一次且仅一次的路回路是欧拉路回路．存在欧拉回路的图是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复．笔不离开纸,不重复地走完所有的边,走过所有结点,就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理1 无向连通图G是欧拉图G为连通图且G不含奇数度结点即G的所有结点为偶数度；2 非平凡图G含有欧拉路G为连通图且G最多有两个奇数度的结点；3 连通有向图D含有有向欧拉回路D中每个结点的入度＝出度．4 连通有向图D含有有向欧拉路D中除两个结点外,其余每个结点的入度＝出度,且此两点满足一个结点的入度比出度大1,另一个结点的出度比入度大1．5．了解汉密尔顿路回路、汉密尔顿图的概念,会做简单判断．通过连通图G的每个结点一次,且仅一次的路回路,是汉密尔顿路回路．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.汉密尔顿图的充分条件和必要条件1 在无向简单图G=<V,E>中,V3,任意不同结点V)deg(deg(,,则G是汉∈),vuGvu≥+密尔顿图．充分条件2 有向完全图D＝<V,E>, 若3V,则图D是汉密尔顿图. 充分条件≥3 设无向图G=<V,E>,任意V1V,则WG－V1V1必要条件若此条件不满足,即存在V1V,使得PG－V>V1,则G一定不是汉密尔顿图非汉密尔顿图的充分条件．6．了解树、树叶、生成树和最小生成树等概念,掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件等价定义．注意：1 树T是连通图；2树T满足m＝n－1即边数=顶点数-1．图G的生成子图是树,该树就是生成树．每边指定一正数,称为权,每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权,记作WT．最小生成树是带权最小的生成树．7．了解有向树、根树等概念．有向图删去边的方向为树,该图为有向树．对非平凡有向树,恰有一个结点的入度为0该结点为树根,其余结点的入度为1,该树为根树．有关树的求法：1生成树的破圈法和避圈法求法；2最小生成树的克鲁斯克尔求法；重点：图的概念,握手定理,路、回路以及图的矩阵表示,欧拉图和哈密顿图的基本概念及判别,树与根树的基本概念,最小生成树的求法．。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点离散数学是计算机科学及其他相关学科中的一门重要的基础课程。
它主要研究离散的结构和对象，以及它们之间的关系和性质。
离散数学的核心内容包括集合论、关系、图论、布尔代数和逻辑等。
下面是离散数学期末复习的要点与重点。
一、集合论1.集合的基本概念，包括元素、子集、幂集、集合的运算等。
2.集合的性质，如交换律、结合律、分配律等。
3.集合的表示方法，包括列举法、描述法、特征函数法等。
4.集合的运算，如并、交、差、对称差等。
5.集合的关系，包括子集关系、相等关系、真子集关系等。
二、关系1.关系的基本概念，包括序偶、笛卡尔积、关系的定义等。
2.关系的性质，如自反性、对称性、传递性等。
3.关系的表示方法，包括关系矩阵、关系图、关系表等。
4.关系的运算，如复合、逆、幂等等。
5.等价关系和偏序关系的特性和性质。
6.关系的闭包，包括自反闭包、对称闭包、传递闭包等。
三、图论1.图的基本概念，包括顶点、边、路径、环等。
2.不同类型的图，包括无向图、有向图、简单图、多重图等。
3.图的表示方法，包括邻接矩阵、邻接表等。
4.图的遍历算法，包括深度优先（DFS）和广度优先（BFS）。
5. 最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。
6. 最短路径算法，包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
四、布尔代数1.布尔代数的基本运算，包括与、或、非等。
2.布尔函数的最小项和最大项表示方法。
3.布尔函数的化简，包括代数化简和卡诺图化简。
4.布尔函数的特性，包括恒等律、零律、单位律等。
5.布尔函数的逻辑门电路实现，包括与门、或门、非门等。
五、逻辑1.命题逻辑的基本概念，包括命题、命题变量、逻辑联结词等。
2.命题逻辑的语法，包括命题公式的形式化定义和语法规则。
3.命题逻辑的证明方法，包括直接证明、间接证明、反证法等。
4.谓词逻辑的基本概念，包括谓词、量词、合取范式等。
5.谓词逻辑的语义，包括赋值、满足关系等。
《离散数学(第三版)》的期末复习知识点总结
《离散数学（第三版）》的期末复习知识点总结一、各章复习要求与重点第一章集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan律等），文氏（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
第二章二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念[复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。
4、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。
第三章命题逻辑[复习知识点]１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、公式的蕴涵与逻辑结果６、形式演绎本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎[复习要求]１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
离散数学期末复习
离散数学期末复习离散数学期末复习第⼀部分数理逻辑⼀、知识体系包括命题逻辑（第⼀章～第三章）和谓词逻辑（第四章、第五章），主要内容如下：(⼀) 命题逻辑1．命题、命题联结词、命题如何符号化2．命题变元、命题公式、命题公式的真值指派3．永真公式、永假公式和可满⾜公式判别⽅法：(1)真值表⽅法(2)等值演算⽅法A?）的含义及其判别4．两命题公式等值（B判别⽅法：A?是否永真(1)⽤真值表判别B(2)命题的等值演算A?）的含义及其判别5．公式A蕴含公式B（B判别⽅法：A→是否永真(1)⽤真值表判别BA→是否等值于1(2)⽤“等值演算”的⽅法判B(3)假设前件A为真，证明后件B为真(4)假设后件B为假，证明前件A为假6．范式的求取7．推理的形式证明⽅法（P规则、T规则、CP规则、基本等值式、基本蕴含式）(⼆) 第⼆章谓词逻辑1．基本述语个体、谓词、量词；命题函数，个体域，全总个体域，特性谓词。
2．谓词公式的有关概念谓词公式；量词的辖域，约束变元，⾃由变元；谓词公式，谓词公式的指派；永真公式，永假公式，可满⾜公式。
3．谓词公式间的关系谓词公式间的等值关系（A?B）；谓词公式间的蕴含关系（A?B）；⼀些基本的等值式；⼀些基本的蕴含式。
4．谓词演算的推理规则及⽅法在谓词演算中，命题演算的推理理论仍然成⽴，另外还⽤到与量词有关的推理规则。
全称特定化规则（US）；存在特定化规则（ES）；全称⼀般化规则（UG）；存在⼀般化规则（EG）。
主要内容的知识结构如下：⼆、模拟题 1．⽤P 表⽰：天下⼤⾬；Q 表⽰：他乘公共汽车上班。
将“如果天下⼤⾬，他就乘公共汽车上班。
”符号化正确的是（）。
A ．P →QB ．Q →PC ．P ∧QD ．P ∨Q2．下列语句中，不是命题的有（）。
A ．5能被2整除。
B ．太阳系以外的星球上有⽣物。
C ．现在开会吗？D ．⼩李在宿舍⾥。
3．下列语句为命题的是（）。
Ａ．暮春三⽉，江南草长。
Ｂ．这是多么可爱的风景啊！Ｃ．⼤家想做什么，就做什么，⾏吗？Ｄ．请勿践踏草坪！4．设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有⼀个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ?∧??B ．))()((x G xC x ?→??C ．))()((x G x C x ?→??D ．))()((x G x C x ?∧??5．求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表6．证明下列各式：1）)()()),()((a Q x xp a Q x p x ∧??2）Q R P Q R Q P →∨?→∧→)()()(7．⽤形式演绎法证明：1）Q S ?→是Q P ?∨?，R P →?，S R ?→的有效结论。
离散数学 教案 第3章复习总结
答案： 答案：(1). ③ (2). ⑦ (3). ⑤ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案： (5). ④ 答案：(4). ⑩ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
Discrete Mathematics
第三章 集合
复习总结
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 集合表示法 元素与集合的关系 集合与集合间的关系 集合的基本运算 集合运算的文氏图表示 有穷集合的计数问题。 本章重点是集合表示法，集合间的关系，集合 重点是集合表示法，集合间的关系， 重点是集合表示法 运算,有穷集合的计数。 运算,有穷集合的计数。
西南科技大学
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离散数学期末3-4章复习
3-4.3 笛卡尔积(Cartesian product) 及其性质
定义［笛卡尔积］：A和B为任意两个集合， 若序偶的第一个成员是A的元素，第二个成员 是B的元素，所有这样序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积或直积，记为： A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}.
例1: A={∅,a}, B={1,2,3}. A×B= {<∅,1>,<∅,2>,<∅,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>}. B×A= {<1,∅>,<1,a>,<2,∅>,<2,a>,<3,∅>,<3,a>}. A×A= { <∅,∅>, <∅,a>, <a,∅>, <a,a>}. B×B= { <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,1>,<3,2>,<3,3> }.
3.2 集合的并
3.3.1 [定义]并集(union)： 设任意两个集合A和B，由所有集合A和B的 元素组成的集合S，称为A和B的并集，记作 A∪B 。 S=A∪B = { x | (x∈A) ∨ (x∈B) } x∈A∪B ⇔ (x∈A) ∨ (x∈B)
3.3.3 集合并运算的性质
a) A ∪ A = A （幂等律） b) A ∪ ∅ = A （同一律） c) A ∪ E = E （零律） d) A ∪ B = B ∪ A （交换律） e) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C) （结合律） 因为集合并运算满足结合律，故n个集合的并 记为： n P=A1∪A2 ∪ … ∪An = ∪ Ai i=1
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包含(⊆)的性质：
1．A⊆A（自反性） 证明: A⊆A⇔(∀x)(x∈A→x∈A) ⇔T 2．若A⊆B,且A≠B,则 B⊄A（反对称性） 3．若A⊆B,且B⊆C, 则A⊆C（传递性） 证明: A⊆B ⇔ (∀x)(x∈A→x∈B) ∀x, x∈A ⇒ x∈B (A⊆B) ⇒ x∈C (B⊆C) ∴ (∀x)(x∈A→x∈C), 即A⊆C.
3-4.4 笛卡尔积的性质：
当|A|=m，|B|=n时，|A×B|是多少？ |A×B|= m×n
3-4.4 笛卡尔积的性质：
1. 非交换: A×B ≠ B×A (除非 A=B ∨ A=∅ ∨ B=∅) 反例: A={1}, B={2}. A×B={<1,2>}, 2. 非结合: B×A={<2,1>}. (A×B)×C ≠ A×(B×C)
（2）真子集 真子集
[定义] 真子集(proper subset) 如果集合A的每一个元素都属于B，但集合 B至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子 集，记作A⊂B。 A⊂B ⇔ A⊆B ∧ A≠B A⊂B⇔(∀x)(x∈A→x∈B)∧(∃x)(x∈B∧x∉A)
∗真包含(⊂)的性质
1．A⊄A （反自反性） 证明: A ⊂ A⇔ A⊆A ∧ A≠A ⇔ T∧F ⇔ F. 2．若A⊂B,则 B⊄A （反对称性） 证明: (反证) 设B⊂A, 则 A⊂B ⇔ A⊆B ∧ A≠B ⇒ A⊆B (化简) B⊂A ⇔ B⊆A ∧ B≠A ⇒ B⊆A 所以 A⊆B ∧ B⊆A ⇔ A=B (=定义) 但是 A⊂B ⇔ A⊆B ∧ A≠B ⇒ A≠B (化简) 矛盾!
第三章 集合与关系
-1 集合的概念和表示方法
定义(集合 定义 集合set)：把具有共同性质的一些对 集合 ： 象汇集成一个整体，就构成一个集合，这些对 象称为元素(element)或成员(member) 用大写英文字母A,B,C,…表示集合 用小写英文字母a,b,c,…表示元素 a∈A：表示a是A的元素，读作“a属于A” a∉A：表示a不是A的元素，读作“a不属于 A”
a) A ∩ A = A （幂等律） b) A ∩ ∅ = ∅ （零律） c) A ∩ E = A （同一律） d) A ∩ B = B ∩ A （交换律） e) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) （结合律） 因为集合交运算满足结合律，故n个集合 的交记为： n P=A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An = ∩ Ai i=1
集合运算的性质（集合恒等式）
(1) 幂等律( idempotent laws) A∪A=A A∩A=A (2) 结合律(associative laws) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ ∪ ∪ (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3) 交换律(commutative laws) A∪B=B∪A A∩B=B∩A
集合恒等式证明(方法)
（1）逻辑演算法: 利用逻辑等价式和逻辑推理规则
（2）集合演算法: 利用集合恒等式和已知的集合结论
（1）逻辑演算法(格式)
题型: A ⊆ B. 证明: ∀x, x∈A ⇒ …(????) ⇒ x∈B ∴ A ⊆ B证毕. 题型: A=B. 证明： ∀x, x∈A ⇔ …(????) ⇔ x∈B ∴ A=B 证毕.
3.2 集合的并
3.3.1 [定义]并集(union)： 设任意两个集合A和B，由所有集合A和B的 元素组成的集合S，称为A和B的并集，记作 A∪B 。 S=A∪B = { x | (x∈A) ∨ (x∈B) } x∈A∪B ⇔ (x∈A) ∨ (x∈B)
3.3.3 集合并运算的性质
a) A ∪ A = A （幂等律） b) A ∪ ∅ = A （同一律） c) A ∪ E = E （零律） d) A ∪ B = B ∪ A （交换律） e) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C) （结合律） 因为集合并运算满足结合律，故n个集合的并 记为： n P=A1∪A2 ∪ … ∪An = ∪ Ai i=1
3-4 序偶与笛卡尔积
3-4.1 序偶(二元组) 定义［序偶ordered pair］： 由两个固定次序的客体 a,b组成的序列称为 序偶，记作<a,b>，其中a,b称为序偶的分量。 <a,b> 其中, a是第一元素, b是第二元素, 记 作<a,b>也记作(a,b)。 定理：序偶<a,b>和 <c,d>相等，当且仅当 a=c 且b=d，即<a,b>=<c,d> ⇔ (a=c)∧(b=d) 推论: a≠b ⇒ <a,b>≠<b,a>
3-4.2 三元组(ordered triple)
定义［三元组］：<a,b,c>=<<a,b>,c>. 定义［ n(≥2)元组］： <a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an>. 定理: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ⇔ ai = bi, i =1,2,…,n.
3-2集合的运算
3.1.1 [定义] 集合的交(intersection): 设任意两个集合A和B，由集合A和B的 所有共同元素组成的集合S，称为A和B的 交集，记作A∩B 。 S=A∩B = { x | (x∈A) ∧ (x∈B) } x∈A∩B ⇔ (x∈A) ∧ (x∈B)
3.1.4 集合交运算的性质
（4） 全集
[定义] 全集: 在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的 子集,则称这个集合是全集,记作E。 E={x | P(x) ∨¬ P(x)}，P(x)为任何谓词 全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一。 例如, 讨论(a,b)区间里的实数性质时, 可以选 E=(a,b), E=[a,b), E=(a,b], E=[a,b], E=(a,+∞), E=(-∞,+∞)等
(4) 分配律(distributive laws) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (5) 对合律(double complement law) ~~A=A (6) 零律(dominance laws) A∪E=E A∩∅=∅
(11) 吸收律(absorption laws) A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A (12) 德.摩根律( DeMorgan’s laws) ’ ~(A∪B)=~A∩~B ~(A∩B)=~A∪~B (13) 补交转换律(difference as intersection) A-B=A∩~B
（5）幂集 幂集
[定义] 幂集(power set) 给定集合A，由集合A的所有子集为元 素组成的集合,称为A的幂集,记作P (A) P (A)={x|x⊆A} 注意: x∈P (A) ⇔ x⊆A 例如: A={a,b}, P (A)={∅,{a},{b},{a,b}}.
[定理] 如果有限集合A有n个元素，则幂 集P (A)有2n个元素。 证明: 见课本第85页，利用二项式展开定 理。
(除非 A=∅ ∨ B=∅ ∨ C=∅) 反例: A=B=C={1}. (A×B)×C={<<1,1>,1>}, A×(B×C)={<1,<1,1>>}.
3. 笛卡尔积分配律：（对∪或∩运算满足） （1） A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) （2） A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) （3） (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) （4） (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)
或证明： ∀x, x∈A ⇒ … (????) ⇒ x∈B . 另，∀x, x∈B ⇒ … (????) ⇒ x∈A . ∴ A=B证毕.
例1：分配律(证明)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 证明: ∀x, x∈A∪(B∩C) ⇔ x∈A ∨ x∈(B∩C) (∪定义) ⇔ x∈A ∨ (x∈B ∧ x∈C) (∩定义) ⇔ (x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) (命题逻辑分配律) ⇔ (x∈A∪B)∧(x∈A∪C) (∪定义) ⇔ x∈(A∪B)∩(A∪C) (∩定义) ∴ A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)成立
3-4.3 笛卡尔积(Cartesian product) 及其性质
定义［笛卡尔积］：A和B为任意两个集合， 若序偶的第一个成员是A的元素，第二个成员 是B的元素，所有这样序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积或直积，记为： A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}.
例1: A={∅,a}, B={1,2,3}. A×B= {<∅,1>,<∅,2>,<∅,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>}. B×A= {<1,∅>,<1,a>,<2,∅>,<2,a>,<3,∅>,<3,a>}. A×A= { <∅,∅>, <∅,a>, <a,∅>, <a,a>}. B×B= { <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,1>,<3,2>,<3,3> }.
3.3 集合的补／相对补
3.3.1 [定义]补集／相对补集(relative complement , difference set)： 属于A而不属于B的全体元素组成的集合S， 称为B对于A的补集／相对补集, 记作A-B S=A-B = { x | (x∈A) ∧ (x∉B) } 3.3.2 [定义]绝对补(complement)： 设E为全集，对任一集合A关于E的补E-A， 称为集合A的绝对补，记作 ~A。 ~A={x|(x∈E∧x∉A)}