托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题(二)(1)

托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二）

【教学重难点】

1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角

2．婆罗摩笈多定理

3．例题探究

【模块一圆中托勒密定理】

古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式．

1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC．

2．简单证明：

在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC，

易得△AEB∽△ADC，

AC CD

=⇒⨯=⨯①

AC BE AB CD

AB BE

旋转一拖二得△ABC∽△AED，

AC BC

=⇒⨯=⨯②

AC DE BC AD

AD DE

由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC．

3．模型识别：

具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信

息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算．

※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD ≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】

1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等

．．．．．．．．．．．的四边形，

可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）．

2．四类常见对角互补模型：

①模型一：等边60°对120°型

条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°

结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC．

证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD，

AB重合，

则△ACD≌△AMB，

∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M，

∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC +∠ABM =180°， ∴M ，B ，C 三点共线， ∵∠MAC =∠BAD =60°，

∴△MAC 为等边三角形，

∴MC =AC ，∠M =∠ACD ，

∴MB +BC =AC ，∠ACB =∠ACD ，

∴CA 平分∠DCB ，CB +CD =AC ．

②模型二：等腰直角对直角型

条件：如图4，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°．

结论：（1）CA 平分∠DCB ；（2）CB +CD =2AC ．

证明：略···

③模型三：等腰顶角120°对60°型

条件：如图5，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠BCD =60°．

结论：（1）CA 平分∠BCD ；（2）CB +CD =3AC ．

证明：略···

※④模型四：同侧双直角型

条件：如图6，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，

∠BCD =90°．

结论：CB －CD =2AC ．

证明：略···

【模块三 对角互补模型→托密视角】

1．等腰△三角函数计算：

如图7，2cos 2cos BC AB m αα=⋅=⋅

2．托勒密定理应用：

①如图8，对角互补型：

2cos 2cos ma mb c m a b c αα+=⋅⋅⇒+=⋅

结论：

当α=60°时，a ＋b =c

当α=45°时，a ＋b =2c

当α=30°时，a ＋b =3c

※利用角平分线性质也可直接得2cos a b c α+=⋅

②如图9，同侧等角型：

2cos 2cos a m mb mc c b a αα⋅⋅+=⇒-=⋅

结论：

当α=45°时，c －b =2a

···

【模块四婆罗摩笈多定理】

婆罗摩笈多（约公元598－约660年）是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓，婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学．婆罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的．

婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”．若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

1．简单证明：

已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD 于点F，求证：F是AD中点．

证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF，

∴AF=DF即F是AD中点．

2．婆罗摩笈多逆定理

请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理：

（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC 于点E，求证：ME⊥BC．

（2）如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA，并求PN的长．