托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题(二)(1)

托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二）
【教学重难点】
1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角
2．婆罗摩笈多定理
3．例题探究
【模块一圆中托勒密定理】
古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式．
1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC．
2．简单证明：
在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC，
易得△AEB∽△ADC，
AC CD
=⇒⨯=⨯①
AC BE AB CD
AB BE
旋转一拖二得△ABC∽△AED，
AC BC
=⇒⨯=⨯②
AC DE BC AD
AD DE
由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC．
3．模型识别：
具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信
息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算．
※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD ≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】
1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等
．．．．．．．．．．．的四边形，
可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）．
2．四类常见对角互补模型：
①模型一：等边60°对120°型
条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°
结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC．
证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD，
AB重合，
则△ACD≌△AMB，
∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC +∠ABM =180°， ∴M ，B ，C 三点共线， ∵∠MAC =∠BAD =60°，
∴△MAC 为等边三角形，
∴MC =AC ，∠M =∠ACD ，
∴MB +BC =AC ，∠ACB =∠ACD ，
∴CA 平分∠DCB ，CB +CD =AC ．
②模型二：等腰直角对直角型
条件：如图4，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°．
结论：（1）CA 平分∠DCB ；（2）CB +CD =2AC ．
证明：略···
③模型三：等腰顶角120°对60°型
条件：如图5，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠BCD =60°．
结论：（1）CA 平分∠BCD ；（2）CB +CD =3AC ．
证明：略···
※④模型四：同侧双直角型
条件：如图6，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，
∠BCD =90°．
结论：CB －CD =2AC ．
证明：略···
【模块三 对角互补模型→托密视角】
1．等腰△三角函数计算：
如图7，2cos 2cos BC AB m αα=⋅=⋅
2．托勒密定理应用：
①如图8，对角互补型：
2cos 2cos ma mb c m a b c αα+=⋅⋅⇒+=⋅
结论：
当α=60°时，a ＋b =c
当α=45°时，a ＋b =2c
当α=30°时，a ＋b =3c
※利用角平分线性质也可直接得2cos a b c α+=⋅
②如图9，同侧等角型：
2cos 2cos a m mb mc c b a αα⋅⋅+=⇒-=⋅
结论：
当α=45°时，c －b =2a
···
【模块四婆罗摩笈多定理】
婆罗摩笈多（约公元598－约660年）是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓，婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学．婆罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的．
婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”．若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
1．简单证明：
已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD 于点F，求证：F是AD中点．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，
∴AF=DF即F是AD中点．
2．婆罗摩笈多逆定理
请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理：
（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC 于点E，求证：ME⊥BC．
（2）如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA，并求PN的长．
3．共顶等腰直模型（婆罗摩笈多模型）
已知：如图，两个等腰直角三角形Rt△ABO和Rt△CDO，顶点重合，连接AC，BD．结论：
①如果F是AC中点，那么一定有EF⊥BD；
②如果EF⊥BD，那么一定有F是AC中点；
③S△BOD=S△AOC；
④2FO=BD．
证明：
（1）法一：（外）弦图构造法，如图1
（2）法二：导角构造→全等构造法，如图2
【例1】如图3所示,试证明：上述共顶等腰直模型中①②结论．
【例2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG：
（1）过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于M，求证：①EM = MG，②BC = 2AM．（2）若M为EG的中点，求证：AH⊥BC．
【模块四真题探究】
【例3】（改编）如图1，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）试探究线段P A，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大? 求出最大面积．
【例4】（2013·成都中考改编）如图2，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB BC
=，点E在BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A'重合，点B与B'重合，连接EB'，EC，EA'．设EB'=b，EC=c，EA'=p．
现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c；
请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=__________；当n=8时，p=__________；当n=12时，p=__________．
（参考数据：
62
sin15=cos75=
4
-
︒︒，
62
cos15=sin75=
4
+
︒︒）
本讲反思：。