第八讲参数估计和假设检验
回归模型的参数估计与假设检验讲解
回归模型的参数估计与假设检验讲解回归模型是统计学中常用的一种分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
参数估计和假设检验是回归模型中重要的概念和方法，用于推断变量之间的关系是否显著。
在回归模型中，参数估计是利用样本数据来推断回归方程中的参数值，从而描述和预测变量之间的关系。
具体来说，对于简单线性回归模型，我们可以通过最小二乘法来估计回归方程的参数，即使得模型的误差平方和最小。
最小二乘法的计算方法可以简洁地表达为：$\min \sum{(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2}$其中，$y_i$表示观测到的因变量的值，$x_i$表示观测到的自变量的值，$\beta_0$和$\beta_1$分别是截距和斜率的估计值。
通过求解这个最小化问题，我们可以得到最佳的参数估计。
而假设检验则是用来评估回归模型中参数估计的显著性。
在假设检验中，我们对参数的假设提出一个原假设和一个备择假设。
原假设通常是参数等于一个特定的值，而备择假设则是参数不等于该值。
假设检验的步骤包括计算检验统计量、确定临界值、进行推断。
常用的假设检验方法有t检验和F检验。
在简单线性回归模型中，假设检验通常用于评估斜率参数$\beta_1$的显著性。
例如，我们可以设定原假设为斜率等于零，备择假设为斜率不等于零。
然后，通过计算t统计量和查表得到拒绝或接受原假设的结论。
在多元回归模型中，假设检验可以用于评估各个自变量的显著性，或者评估整个模型的显著性。
对于自变量的显著性评估，常用的方法是利用t检验确定各个参数的置信区间，判断参数是否显著不为零。
对于整个模型的显著性评估，常用的方法是利用F检验检验回归方程的整体显著性，即检验自变量对因变量的解释程度是否显著。
除了参数估计和假设检验，回归模型还可以进行模型诊断和模型选择。
模型诊断用于检验回归模型的合理性和假设的满足情况，主要包括检验误差项的正态性、异方差性和自相关性等。
模型选择则是在多个可能的模型之间选择一个最佳的模型，常用的标准包括最小二乘法、最大似然法和贝叶斯信息准则。
参数估计和假设检验
假设检验
实际中的假设检验问题
假设检验: 事先作出关于总体参数、分布形式、
相互关系等的命题（假设），然后通过样本信息 来判断该命题是否成立（检验） 。
产品自动生产线工作是否正常？ 某种新生产方法是否会降低产品成本？ 治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高？ 厂商声称产品质量符合标准，是否可信？
两个正态总体均值差的检验（t检验） 两个正态总体方差未知但等方差时，比较两正态总体样 本均值的假设检验 函数 ttest2 格式 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y) %X，Y为两个正态总体的样本，显 著性水平为0.05 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha) %alpha为显著性水平 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail) %sig为当原假设为真时得 到观察值的概率，当sig为小概率时则对原假设提出质疑 ，ci为真正均值μ的1-alpha置信区间。
例：从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的
直径(单位：mm)如下 15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87 若滚珠直径满服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ,σ未知。试 求之并计算置信水平为90%的置信区间
x = [15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87]; % 定义样本观测值向量 % 调用normfit函数求正态总体参数的最大似然估计和置信区间 % 返回总体均值的最大似然估计muhat和90%置信区间muci， % 还返回总体标准差的最大似然估计sigmahat和90%置信区间sigmaci [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(x,0.1)
参数估计和假设检验
参数估计和假设检验1.参数估计参数估计是指通过样本数据来推断总体参数的过程。
总体参数是指总体的其中一种性质，比如总体均值、总体方差等。
样本数据是从总体中随机抽取的一部分数据，用来代表总体。
参数估计的目标是使用样本数据来估计总体参数的值。
常见的参数估计方法有点估计和区间估计。
（1）点估计点估计是通过一个统计量来估计总体参数的值。
常见的点估计方法有样本均值、样本方差等。
点估计的特点是简单、直观，但是估计值通常是不准确的。
这是因为样本的随机性导致样本统计量有一定的误差。
因此，点估计通常会伴随着误差界限，即估计值的置信区间。
（2）区间估计区间估计是通过一个统计量构建总体参数的估计区间。
常见的区间估计方法有置信区间和可信区间。
置信区间是指当重复抽样时，包含真实总体参数的概率。
置信区间的计算方法是在样本统计量的基础上，加减一个合适的误差界限，得到一个估计区间。
可信区间是指在一次抽样中，包含真实总体参数的概率。
可信区间的计算方法同样是在样本统计量的基础上，加减一个合适的误差界限，得到一个估计区间。
参数估计的应用非常广泛，可以用于各个领域的数据分析和决策。
例如，经济学家可以通过样本数据估计失业率，政治学家可以通过样本数据估计选举结果，医学研究者可以通过样本数据估计药物的疗效等。
2.假设检验假设检验是指通过样本数据来判断总体参数的其中一种假设是否成立。
在假设检验中，我们先提出一个原假设（H0），然后使用样本数据来检验该假设的合理性。
在假设检验中，我们需要确定一个统计量，该统计量在原假设成立时，其分布是已知的。
然后，我们计算该统计量在样本数据下的取值，并通过比较该取值与已知分布的临界值，来判断原假设是否成立。
假设检验包含两种错误，即第一类错误和第二类错误。
第一类错误是指在原假设成立的情况下，拒绝原假设的错误概率。
第二类错误是指在原假设不成立的情况下，接受原假设的错误概率。
常见的假设检验方法有单样本假设检验、双样本假设检验、方差分析等。
参数估计与假设检验
参数估计与假设检验参数估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的过程。
在统计学中，总体参数通常是我们关心的感兴趣的数量，比如总体均值、总体方差等。
通过对样本进行抽样调查，我们可以得到样本数据，然后利用样本数据来估计总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是通过一个统计量来估计总体参数的值。
例如，样本均值可以作为总体均值的点估计值，样本方差可以作为总体方差的点估计值。
点估计通常使用最大似然估计或最小二乘估计等方法来求解。
区间估计是通过一个区间来估计总体参数的值。
区间估计提供了一个参数可能取值的范围。
例如，我们可以计算一个置信区间，表示总体参数在一定置信水平下落在该区间内的概率。
常用的区间估计方法有正态分布的置信区间和t分布的置信区间等。
假设检验是用于检验总体参数的假设的方法。
假设检验可以帮助我们判断总体参数是否等于一些特定值，或者两个总体参数是否相等。
假设检验通常需要先提出一个原假设和一个备择假设。
原假设是我们要进行检验的假设，而备择假设则是对原假设的补充或者扩展。
通过计算样本数据的统计量，并结合给定的显著性水平，我们可以得到一个检验统计量的观察值。
根据观察值和显著性水平的关系，我们可以判断是否拒绝原假设。
假设检验的步骤可以分为以下几个部分：1.提出假设：明确原假设和备择假设。
2.选择显著性水平：设定拒绝原假设的标准。
3.计算检验统计量：根据样本数据计算出统计量的观察值。
4.求取拒绝域和接受域：结合显著性水平和检验统计量的分布，确定拒绝原假设的条件。
5.得出结论：通过比较检验统计量的观察值和拒绝域的关系，判断是否拒绝原假设。
假设检验是统计学中非常重要的一部分，它可以帮助我们对实际问题进行科学的推断和决策。
在实际应用中，我们常常使用假设检验来判断广告效果、药物疗效、投资收益等方面的问题。
通过参数估计和假设检验，我们可以从样本数据中获取关于总体参数的信息，并对其进行推断和判断。
参数估计和假设检验
参数估计和假设检验参数估计和假设检验是统计学中常用的两种方法，用于根据样本数据对总体的特征进行推断和判断。
参数估计是通过样本数据估计总体参数值的方法，而假设检验则是基于样本数据对总体参数假设进行判断的方法。
下面将详细介绍这两种方法以及它们的应用。
1.参数估计参数是指总体特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
在实际应用中，我们往往无法得到总体数据，只能通过抽样得到样本数据。
参数估计的目标是利用样本数据去估计总体参数的值。
最常用的参数估计方法是点估计和区间估计：-点估计是使用样本统计量来估计总体参数的值，常用的样本统计量有样本均值、样本方差等。
-区间估计是利用样本数据构建一个置信区间，用来估计总体参数的取值范围。
置信区间的计算方法通常是基于样本统计量的分布进行计算。
在进行参数估计时，需要注意以下几个要点：-选择适当的样本容量和抽样方法，确保样本具有代表性，并满足参数估计的要求。
-选择适当的样本统计量进行参数估计，并对其进行合理的解释与限制。
-利用抽样分布特性和统计理论，计算参数估计的标准误差和置信区间，对参数估计结果进行解释和判断。
2.假设检验假设检验是基于样本数据对总体参数假设进行判断的方法。
在实际问题中，我们常常需要根据样本数据来判断一些总体参数是否达到一些要求或存在其中一种关系。
假设检验的基本步骤：-建立原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是对总体参数取值的一种假设，备择假设则是原假设的对立假设。
-选择适当的统计量用来检验假设，并计算样本统计量的检验统计量。
-根据样本数据计算得出的检验统计量，利用抽样分布特性和统计理论计算P值。
-根据P值与事先设置的显著性水平进行比较，如果P值小于显著性水平，则拒绝原假设；反之，接受原假设。
在进行假设检验时，需要注意以下几个要点：-显著性水平的选择：显著性水平（α）是进行假设检验过程中设置的一个临界值，它反映了能够容忍的错误发生的概率。
常用的显著性水平有0.05和0.01-选择适当的统计量与检验方法：根据问题的性质和数据类型选择适当的统计量和检验方法。
数理统计学中的参数估计和假设检验
数理统计学中的参数估计和假设检验在现代统计学中，参数估计和假设检验是非常重要的概念。
这些概念互相关联，但是又有不同的应用。
在此，我们将讨论这两个概念的基本原则以及它们在现实生活中的应用。
参数估计可以被描述为研究一组数据的基本特征。
通过这个过程，我们试图推断出这个数据集的平均值、标准差和其他的参数。
这些参数会充当我们对整个数据集的总体特征的代表，是基于样本数据和概率等数学方法来实现的。
数理统计学中有两种常见的参数估计方法：点估计和区间估计。
点估计法指的是通过现有的样本数据，确定整体数据集的一个参数值。
这个参数值是一个点，代表了这个总体数据的典型特征。
例如，一个统计学家可能会利用一个样本数据集的均值来估计整个数据集的均值。
这个方法非常简单，但是也有缺点，因为单个点可能不能完整地反映出整个总体的信息。
相对于点估计方法，区间估计法则是根据样本数据并结合概率论提供一个充分范围内的参数估计值。
以信心水平的方式，给出估计结果的范围和信心度。
这样的区间被称为可信区间，其中的参数值处于一定的置信度内，一般用百分之几的置信度表示。
例如，一个样本数据的均值在一定的置信度下是x到y之间的。
区间估计法是一种更加准确的方法，因为它允许我们知道参数值的变化范围，而不仅仅是一个单点。
但是，这种技术会带来更多的复杂性，需要一些基本的统计技能。
另一方面，假设检验则是一种帮助我们确定一个假设是否正确的方法。
这个方法通常用于对两个数据组的统计分析中，并且可以用于比较一个数据集的平均值是否等于一个已知的值。
简单说就是，假设检验能够让我们确定样本数据是否足够代表总体，并且也让我们确认样本数据能否代表以前的观测和研究。
在假设检验中，我们制定一个假设被称为研究假设，并组对比之前已知的信息，提出一个对立假设。
之后，我们会挑选一个随机样本并采取测量行动。
我们利用这个测量行动来确定样本数据是否属于已知的总体比例，或者是否对研究假设做出了支持。
如果样本数据足够代表总体，并且不同于已知的比例，则我们可以拒绝研究假设并接受对立假设。
参数估计与假设检验的关系
1-2
！
参数估计与假设检验的区别
2、区间估计通常求得的是以样本估计值为中心的双侧置 信区间。 假设检验不仅有双侧检验也有单侧检验。 3、区间估计立足于大概率1-α，通常以较大的把握程度( 可信度)1-α去估 计总体参数的置信区间。 假设检验是立 足于小概率α ，通常以很小的显著水平去检验对总体参数 的先验假设是否成立。
双侧检验！
1-7
！
用置信区间进行检验
(例题分析)
H0: = 1000
置信区间为
H1: 1000
= 0.05
n = 49
临界值(s):
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
.025
-1.96 0 1.96 Z
x z 2
n
,
x
z
2
n
9911.96
50 ,991 1.96 16
50 16
966.5,1015.5
3. 右侧检验：求出单边置信上限
X z
n
或X
t
S n
4. 若总体的假设值0大于单边置信上限，拒绝H0
1-6
！
用置信区间进行检验
(例题分析)
【例】一种袋装食品每包的标准重量应为
1000克。现从生产的一批产品中随机抽取16 袋，测得其平均重量为991克。已知这种产 品重量服从标准差为50克的正态分布。试确 定这批产品的包装重量是否合格？( = 0.05)
参数估计与假设检验的区别
1、参数估计是根据样本资料估计总体参数的真值，假设检验是根 据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。 例如，通过 随机抽取的样本对某地区居民的平均收入进行推断：
参数估计：要求以一定的概率估计总体平均收入 假设检验：要求以一定的概率判断总体平均收入是否达到某
参数估计与假设检验
参数估计与假设检验参数估计和假设检验是统计学中常用的两种方法，用于对总体和样本进行推断和判断。
本文将介绍参数估计和假设检验的基本概念、原理以及在实际应用中的重要性。
一、参数估计参数估计是利用样本数据对总体参数进行估计的方法。
在统计学中，总体是指我们要研究的对象，而参数是总体的特征或者性质。
参数估计的目的就是根据样本数据推断总体参数。
1.1 点估计点估计是一种基本的参数估计方法，它通过计算样本数据的统计量，得到总体参数的估计值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本方差估计总体方差等。
点估计的估计值通常通过样本的统计量来计算，如样本平均值、样本标准差等。
1.2 区间估计区间估计是参数估计的一种更加准确的方法。
它不仅给出了总体参数的一个具体估计值，还给出了一个置信区间，表示在一定置信水平下总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计总体均值、置信区间估计总体比例等。
二、假设检验假设检验是通过对样本数据的分析与总体假设进行比较，判断总体假设是否成立的统计方法。
它是基于概率理论的方法，通过计算样本数据与总体假设之间的差异，来得出结论。
2.1 假设检验的基本步骤（1）建立原假设（H0）和备择假设（H1）；（2）选择合适的统计量来作为检验的依据；（3）确定显著性水平（α）；（4）计算检验统计量的观察值；（5）根据观察值和显著性水平进行判断。
2.2 类型Ⅰ错误和类型Ⅱ错误假设检验中存在两种错误类型，分别是类型Ⅰ错误和类型Ⅱ错误。
类型Ⅰ错误，也称为显著性水平α，指的是原假设为真时被错误地拒绝原假设的概率。
通常将α设定为0.05或0.01，表示在这个显著性水平下所能容忍的错误概率。
类型Ⅱ错误，指的是原假设为假时，接受原假设的概率。
类型Ⅱ错误的概率称为β。
当研究者希望尽可能避免犯类型Ⅱ错误时，需要增加样本容量以提高检验的敏感性。
三、参数估计与假设检验的应用参数估计和假设检验在实际应用中具有广泛的应用价值，可以帮助研究者进行科学研究和数据分析。
统计学中的参数估计与假设检验
统计学中的参数估计与假设检验统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
参数估计和假设检验是统计学中两个重要的概念和方法，用于推断总体参数和判断假设是否成立。
本文将详细介绍参数估计与假设检验的基本原理和应用。
一、参数估计参数估计是通过样本数据推断总体的未知参数。
在统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的一部分。
参数是总体的特征指标，例如均值、方差、比例等。
参数估计旨在通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计的精度。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本数据计算得到的单个数字，用来估计总体参数的具体数值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
区间估计是通过样本数据计算得到的一个范围，该范围包含总体参数真值的概率较高。
置信区间是区间估计的一种形式，它可以用来描述估计值的不确定性。
二、假设检验假设检验是用于检验研究问题的特定假设是否成立的一种统计推断方法。
在假设检验中，我们提出一个原假设和一个备择假设，并根据样本数据对两个假设进行比较，进而判断原假设是否应该被拒绝。
原假设通常表示一种无关，即不发生预期效应或差异。
备择假设则表示研究者所期望的效应或差异。
在进行假设检验时，我们首先选择一个适当的统计检验方法，例如t检验、F检验或卡方检验等。
然后，计算出样本数据的检验统计量，并根据相关的分布理论和显著性水平进行推论。
最后，比较检验统计量与临界值，以决定是否拒绝原假设。
三、参数估计与假设检验的应用参数估计和假设检验在实际问题中有广泛的应用。
以医学研究为例，研究人员可能希望通过抽样来估计某种药物的有效剂量，并对药效进行假设检验。
在市场调研中，我们可以使用参数估计和假设检验来推断总体的需求曲线和做出市场预测。
在质量控制中，我们可以利用参数估计和假设检验来判断产品是否符合标准。
四、总结参数估计和假设检验是统计学中重要的方法，可以通过样本数据来推断总体参数和判断假设是否成立。
假设检验与参数估计
假设检验与参数估计在统计学中，假设检验与参数估计是两个重要的概念和方法。
它们在数据分析和推断中扮演着重要的角色。
本文将介绍假设检验和参数估计的基本概念和使用方法，并分析它们在实际应用中的重要性和作用。
一、假设检验假设检验是统计学中一种用来判断数据的差异是否具有统计意义的方法。
它基于对某个统计特征（参数）的假设进行检验，根据实际观测数据对这个假设进行推断。
假设检验的基本步骤包括：1. 提出零假设（H0）和备择假设（H1）；2. 选择适当的检验统计量；3. 设定显著性水平（α）；4. 计算检验统计量的取值；5. 根据计算结果判断是否拒绝零假设。
假设检验的思想是基于“拒绝零假设”或“接受备择假设”来做出决策。
其中显著性水平α是一个固定的临界值，用来控制判断的错误概率。
常见的假设检验方法包括单样本t检验、双样本t检验、方差分析等。
二、参数估计参数估计是指根据样本数据对总体的某个未知参数进行估计的方法。
统计学家常常基于样本数据，通过计算得到参数的点估计或区间估计。
点估计是对参数进行一个具体的数值估计，例如平均值、方差等。
区间估计是对参数确定一个置信区间，该区间内存在真实参数值的概率较大。
参数估计的基本步骤包括：1. 选择适当的估计方法；2. 根据样本数据计算得到估计量；3. 定义置信水平（1-α）；4. 根据置信水平和估计结果计算置信区间。
常见的参数估计方法包括均值的点估计、方差的点估计和两个总体参数的点估计等。
区间估计的方法包括样本均值的区间估计、样本方差的区间估计等。
三、假设检验与参数估计的关系假设检验和参数估计是统计学中紧密相关的两个概念。
在很多情况下，参数估计的结果可以作为假设检验的基础。
例如，在进行单样本t检验时，需要先对总体均值进行参数估计，然后再根据估计结果进行假设检验。
在进行总体方差检验时，也需要先对方差进行参数估计。
参数估计可以帮助我们更好地理解数据的特征，并为后续的假设检验提供依据。
另一方面，假设检验的结果也可以用于参数估计的优化和修正。
参数估计与假设检验
抽样平均误差
抽样平均误差：样本均值的标准差，也就是前面说 的标准误。它反映样本均值（或比例）与总体均值 （比例）的平均差异程度。 ˆ E(ˆ )2
例如对简单随机抽样中的样本均值有：
x
n
或
x
nHale Waihona Puke N n （不重复抽样）N 1
我们通常说“抽样调查中可以对抽样误差进行控
制”，就是指的抽样平均误差。由上面的公式可知
z pˆ ~ N (0,1) (1 )
n
pˆ Z 2
pˆ (1 pˆ ) n
22
关于置信区间的补充说明
置信区间的推导：
P
x
n
Z
/2
1
x Z 2
n
x Z 2
n
有限总体不重复抽样时，样本均值或比例的方 差需要乘以“有限总体校正系数”（当抽样比 f=n/N小于0.05时可以忽略不计），前面的公 式需要进行相应的修改。
抽样分布一般利用概率统计的理论推导得出， 在应用中也是不能直接观测的。其形状和参数 可能完全不同于总体或样本数据的分布。
10
抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布（1）
设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
均值和方差
总体的频数分布
E2
本（没有可利用的 p估计值）？
(1.96)2 (0.5)(1 0.5) (0.05)2
385
36
4.2 假设检验
4.2.1 假设检验的基本问题 4.2.2 单个总体参数的检验 4.2.3 两个总体参数的检验
4.2.1 假设检验的基本问题
基本原理 零假设和备择假设 检验统计量和拒绝域 两类错误与显著性水平
参数估计和假设检验通俗理解
参数估计和假设检验通俗理解
参数估计和假设检验是统计学中两个重要的概念，它们在研究数据和进行推断时起着关键作用。
我将从通俗的角度解释这两个概念。
首先，让我们来谈谈参数估计。
在统计学中，我们通常希望了解一个总体的特征，比如平均值、方差等。
然而，由于我们很少有机会对整个总体进行观察，因此我们通常只能通过对样本数据进行分析来对总体特征进行估计。
参数估计就是利用样本数据来估计总体特征的方法。
通俗地说，参数估计就像是通过一部分人的观察来推断整个群体的特征，比如通过一部分学生的成绩来估计整个班级的平均成绩。
参数估计的目的是通过样本数据推断总体特征，并给出一个估计值以及一个可信区间，从而对总体的特征进行推断。
接下来是假设检验。
假设检验是统计学中用来判断某种假设是否成立的方法。
在假设检验中，我们通常会提出一个关于总体特征的假设，并根据样本数据来判断这个假设是否成立。
通俗地说，假设检验就像是对某种观点或假设进行证伪的过程，比如判断一种药物是否真的有效，或者判断广告宣传是否对销售额有显著影响。
假设检验的结果通常是得出对原假设的接受或拒绝的结论，从而对我
们的研究问题提供统计学上的支持或否定。
总的来说，参数估计是利用样本数据对总体特征进行估计，给
出估计值和可信区间；而假设检验则是用来判断某种假设是否成立，从而对研究问题进行统计学上的推断。
这两个概念在统计学中具有
重要意义，能够帮助我们从样本数据中获取有关总体的信息，并对
研究问题进行科学的推断和判断。
参数估计和假设检验的基本原理
参数估计和假设检验的基本原理参数估计和假设检验是统计学中两个重要的概念和方法，用于从样本数据中得出总体参数的估计和对统计假设进行验证。
本文将介绍参数估计和假设检验的基本原理，以及它们在统计学中的应用。
一、参数估计的基本原理参数估计是用样本数据对总体参数进行估计的方法。
在统计学中，样本是从总体中抽取的一部分数据，总体是我们研究的对象。
参数是总体的数值特征，如总体均值、比例、方差等。
参数估计的基本原理是通过样本数据来推断总体参数的取值范围。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是利用样本数据得到一个点作为总体参数的估计值。
点估计的基本原理是从样本中选取一个统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有样本均值、样本比例以及最大似然估计等。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据得到一个包含总体参数真值的区间。
区间估计的基本原理是根据样本数据计算出一个区间，使得总体参数落在这个区间内的概率达到预先指定的置信水平。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间等。
二、假设检验的基本原理假设检验是用于验证统计假设的方法。
统计假设是对总体参数或总体分布的陈述或假定，通常包括原假设和备择假设。
假设检验的基本原理是根据样本数据来判断原假设是否能够拒绝。
假设检验通常包括以下步骤：1. 建立假设首先，我们需要明确原假设和备择假设。
原假设通常是我们要进行验证的假设，备择假设则是对原假设的否定或补充。
2. 选择检验统计量接下来，我们选择一个合适的检验统计量，它能够在原假设成立时与备择假设有所区别。
3. 设置显著水平显著水平是在假设检验中预先设定的，用于判断拒绝原假设的临界值。
常见的显著水平有0.05和0.01。
4. 计算统计量的值根据样本数据计算检验统计量的值。
5. 判断拒绝域根据显著水平和检验统计量的分布，确定一个拒绝域。
如果检验统计量的值落在拒绝域内，就拒绝原假设；否则，接受原假设。
6. 得出结论根据拒绝或接受原假设的结果，得出关于总体的结论。
参数估计和假设检验
参数估计和假设检验1. 引言参数估计和假设检验是统计学中两个重要的概念和技术。
它们在数据分析中起着核心的作用，旨在对总体进行推断和判断。
本文将详细介绍参数估计和假设检验的概念、原理、方法和应用。
2. 参数估计参数估计是统计学中对总体未知参数进行估计的过程。
常见的参数估计方法有点估计和区间估计。
2.1 点估计点估计是一种参数估计方法，通过使用样本数据来估计总体参数的值。
常用的点估计方法包括最大似然估计和最小二乘估计。
最大似然估计是指在给定样本条件下，选择使得观测到的样本数据出现概率最大的参数值作为参数的估计值。
最小二乘估计是使用拟合曲线与观测数据之间的差异来估计参数值。
2.2 区间估计区间估计是一种参数估计方法，用于对总体参数进行估计，并提供一个置信区间。
置信区间是指对总体参数的一个范围估计，这个范围通常与给定的置信水平有关。
在进行区间估计时，常常使用样本统计量和抽样分布来计算得到。
3. 假设检验假设检验是一种基于样本数据对总体假设进行检验的方法。
它通过比较样本数据与假设之间的差异来判断总体参数是否满足特定的条件。
假设检验分为单样本假设检验和双样本假设检验两种。
3.1 单样本假设检验单样本假设检验是指在给定样本条件下，对总体参数进行检验。
主要包括均值检验和比例检验两种。
均值检验适用于对总体均值的假设进行检验，常用的方法有t检验和Z检验。
比例检验适用于对总体比例的假设进行检验，常用的方法有卡方检验和Fisher确切检验。
3.2 双样本假设检验双样本假设检验是指在给定两个样本条件下，对两个总体参数之间的差异进行检验。
主要包括独立样本检验和配对样本检验两种。
独立样本检验适用于两个样本是独立的情况下对总体参数之间的差异进行检验，常用的方法有独立双样本t检验和Wilcoxon秩和检验。
配对样本检验适用于两个样本是相关的情况下对总体参数之间的差异进行检验，常用的方法有配对双样本t检验和符号检验。
4. 应用实例参数估计和假设检验在实际数据分析中具有广泛的应用。
参数估计与假设检验
参数估计与假设检验参数估计与假设检验是统计学中两个重要的概念和方法。
它们在数据分析和推断中起着至关重要的作用。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值，而假设检验则是用于检验关于总体参数假设的正确性。
本文将详细介绍参数估计与假设检验的原理、方法以及实际应用。
一、参数估计参数估计是基于样本数据对总体参数的值进行推断。
总体参数是描述总体特征的量，如总体均值、总体方差等。
参数估计通常通过样本统计量来估计总体参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是利用样本数据得到总体参数的估计值。
最常用的点估计方法是样本均值和样本方差。
对于总体均值的点估计，常用的统计量是样本均值，用x表示；对于总体方差的点估计，常用的统计量是样本方差，用s^2表示。
点估计的原则是无偏性和有效性。
无偏性要求点估计的期望值等于总体参数的真值，有效性要求点估计的方差最小。
常用的无偏估计有样本均值和样本方差。
2. 区间估计区间估计是对总体参数的估计给出一个置信区间，这个区间包含了总体参数的真值。
常见的区间估计方法有均值估计的置信区间和方差估计的置信区间。
对于总体均值的置信区间，常用的方法是t分布法和正态分布法。
当总体方差已知时，可以使用正态分布法；当总体方差未知时，使用t分布法。
置信水平是衡量置信区间准确性的指标，通常取95%或99%。
对于总体方差的置信区间，通常使用卡方分布进行计算。
置信区间的构造和计算需要根据具体问题和分布特点进行选择。
二、假设检验假设检验是用来检验有关总体参数的假设是否成立。
在假设检验中，我们对总体参数进行假设，然后利用样本数据对这些假设进行验证。
1. 假设的提出假设检验需要明确两个假设：原假设和备择假设。
原假设（H0）是需要进行检验的假设，一般是暂时接受的假设；备择假设（H1）是对原假设的补充假设，通常是我们想要证明的假设。
根据问题的具体要求和假设的内容，我们可以提出不同类型的假设，如双侧假设、单侧假设和简单假设等。
参数估计与假设检验的区别和联系
参数估计与假设检验的区别和联系统计学方法包括统计描述和统计推断两种方法，其中，推断统计又包括参数估计和假设检验。
（一）参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数，它的方法有点估计和区间估计两种。
点估计是用估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。
点估计的缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度。
区间估计是在点估计的基础上给出总体参数估计的一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加减估计误差得到的。
在区间估计中，由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间称为置信区间。
统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数。
在区间估计中置信度越高，置信区间越大。
置信水平为1-a, a为小概率事件或者不可能事件，常用的置信水平值为99%，95%，90%，对应的a为0.01, 0.05， 0.1。
置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化,而且不是所有的区间都包含总体参数。
一个总体参数的区间估计需要考虑总体分布是否正态分布，总体方差是否已知，用于估计的样本是大样本还是小样本等。
（1）来自正态总体的样本均值，不论抽取的是大样本还是小样本，均服从正态分布。
（2）总体不是正态分布，大样本的样本均值服从正态分布，小样本的服从t 分布。
（3）不论已判断是正态分布还是t 分布，如果总体方差未知，都按t 分布来处理。
（4）t 分布要比标准正态分布平坦，那么要比标准正态分布离散，随着自由度的增大越接近。
（5）样本均数服从的正态分布为N（u , a^2/n）远远小于原变量离散程度N (u, a^2) 。
（二）假设检验是推断统计的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同，参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。
假设检验的基本思想：先提出假设，然后根据资料的特点，计算相应的统计量，来判断假设是否成立，如果成立的可能性是一个小概率的话，就拒绝该假设，因此称小概率的反证法。
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证：（1）由于 的密度为 ，
故 的分布函数为 ，
对应的密度函数为 ，
从而 。
所以， 是 的无偏估计，
类似地， 的密度为 ，
故
，
（ ， ， ， ）
所以， 是 的无偏估计。
（2）为计算 ，先算 。
， ， ，
越小， 越大，故
的分布函数为
的分布函数为
的密度函数为
，故 不是 的无偏估计。取 ，因 ，故 是 的无偏估计。
例6．设总体 的概率分布为
0 1 2 3
其中 是未知参数，利用总体的如下8个样本:3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计和最大似然估计值。
解：
，令 ，即 ，
解得 得矩估计值 。
又从题目要求 ，可令 ，得 =15.68，取大于 的最小整数是16。
例8．设总体 ， 已知，问样本容量 为多大时，方能保证 的置信度为0.95下的置信区间长度不超过 ？
解：由于 ， 已知，故用 作统计量即可找到分位数 ，
使 ，即 ，
从而置信区间长为 ，再由题目要求 ，从中解出 ，故 ，其中 表示为小于 的最大整数。
故有 ,
，故 的置信区间为 。
（3）由上题结果 及 的严格递增性，可知：
，
故 的置信度为0.95置信区间为 。
3．假设检验
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第八讲 极大似然估计，无偏性和有效性）
例1．设总体 的概率密度为 ， 是取自总体 的简单随机样本，(1)求 的矩估计量 ；（2）求 的方差 。
解：（1） ， 为样本的一阶矩，
令 ，得 =2 。
（2） ，
，
= 。
注：对任何分布的总体 的样本均值 ，都有 ， 。
例2．设样本（ ）是取自正态总体 的容量为 的样本，试确定常数 ，使得 是 的无偏估计。
例9．假设0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体 的简单样本值，已知 = 服从正态分布 ，
（1）求 数学期望 （记 为 ）。
（2）求 的置信度为0.95的双侧置信区间。
（3）利用上述结果求 的置信度为0.95的双侧区间。
解：（1） 的概率密度函数为 ， ，于是（令 ）
。
（2）当置信度 时，标准正态分布的( )分位数为1.96，又 ，
似然函数： ,
，
。
令 ，解得 。因 ，不合题意，所以 的最大似然估计值为 。
2．区间估计
例7．在天平上重复称量一重为 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ，若以 表示 次称量结果的算术平均值，则为使 ，则 的最小值应不小于自然数16。
分析：由于 ，由区间估计方法中有关均值的思想： ，
查正态分布的 的分位数 ，即 ，
解：由于 为样本，故 ， ，于是 ， ， ，因此 ，要使 是 的无偏估计，只须 ，故 。
例3．设 是参数 的无偏估计，且有 ，试证 不是 的无偏估计。
证明：（反证法）若 是 的无偏估计，且 也是 的无偏估计，则有 与 矛盾，所以 一定不是 的无偏估计。
同理：若 是 的无偏估计，则 一定不是 的无偏估计。
故 ，另外
，故 ，从而 比 更有效。
例5．设总体 的概率密度为
其中， 是未知参数， 是来自 的一组样本，
（1）求 的矩法估计 ，并考察 是否为 的无偏估计。
（2）求 的极大似然估计 ，并考察 是否为 的无偏估计。若不是，如何修正成 的无偏估计？
解：（1） ，因此
，所以此矩估计 是 的无偏估计。
（2）似然函数 ，