归纳与类比课件

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第六章
不等式 推理与证明
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1．归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则 是关于该类事物或现象的普遍性命题．归纳推理的结论所断定的知识范 围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的 联系不是必然的，而是或然性的．也就是说，其前提真而结论假是可能
的，所以，归纳推理是一种或然性推理．归纳是依据特殊现象推断一般
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证法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，x－1＜0，∴－2(x－1)＞0，
∴f′(x)＞0在x∈(－∞，1)上恒成立．
故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
(2)∵f(x)在(－∞，1]上是增函数， 而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间， ∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．
答案：
3
6
15
nn－1 2
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x 【变式训练】 1.已知： f(x)＝ ， f1(x)＝f(x)，n(x)＝fn－1[fn－1(x)](n 设 f 1－x ＞1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为______________，猜想 fn(x)(n∈N＋) 的表达式为________．
)
B．合情推理的结论不一定正确，有待证明 C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 D．类比推理是从特殊到一般的推理 答案： B
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3．下面几种推理是合情推理的是(
)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归 纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)· 180°. A．①② C．①②④ 解析： B．①③ D．②④
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(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提) 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提) 1 所以 DM＝2AB.(结论) 1 同理，EM＝2AB. 所以，DM＝EM，即 AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等．
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(2010· 陕西卷)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋ 3)2,13＋23 ＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2 ，„，根据上述规律，第四个等式为 ________．
【全解全析】 由前三个的规律即：左边为连续正整数的立方和，
右边为连续正整数和的平方，可得结果． 答案： 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152) 【阅后报告】 纳出一般性结论． 本题考查了归纳推理，其难点是由已知三个式子归
解析： 由 f1(x)＝f(x)和 fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1 且 n∈N＋)，得 x 1－x x f2(x)＝f1[f1(x)]＝ ＝ ， x 1－2x 1－ 1－x
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x 1－2x x f3(x)＝f2[f2(x)]＝ ＝ ，„， x 1－22x 1－ 1－2x x 由此猜想 fn(x)＝ (n∈N＋)． － 1－2n 1x
尚需证明．
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4．数学证明
(1)演绎推理：从一般性的原理
出发，推出某个特殊情况下的结论，
我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 一般 到 特殊 的 推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ②小前提—— ③结论—— 所研究的特殊情况 ； ； ．
(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？
解析： (1)证法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)，
∵x1＜x2≤1，∴x2＋x1－2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)， 于是，根据“三段论”可知， f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
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5．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
“________________”，这个类比命题的真假性是________．
解析： 由类比推理可知．
答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
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直线l1 与l2 是同一平面内的两条相交线，它们有一个交点，如果在
这个平面内再画第3条直线，那么这三条直线最多可能有________个交点， 如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可能有________ 个交点，由此可以猜想：在同一个平面内6条直线最多可有________个交 点；n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数
第5课时 归纳与类比
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1．归纳推理 (1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种 事物中 每一个 事物都有这种 属性 的推理方式． 属性 ，推断该类
(2)特点：①是由 部分 到 整体 ，由 个别 到 一般 的推理．
②利用归纳推理得出的结论 不一定 是正确的．
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1．(2010· 山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归 纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导 函数，则g(－x)＝( A．f(x) C．g(x) 解析： ) B．－f(x) D．－g(x) 观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－
的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出
新的结果．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性．类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜想)；(3)检
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从近两年的高考试题来看，归纳推理、类比推理等问题是高考的 热点，归纳推理、类比推理大部分在填空题中出现，为中低档题，突出
“小而巧”，主要考查类比推理、归纳推理的能力；演绎推理大多出现
在解答题中，为中高档题目，在知识交汇点处命题，考查学生的逻辑推 理能力，以及分析问题、解决问题的能力．
验猜想．
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3．演绎推理是由一般到特殊的推理．“三段论”是演绎推理的一
般模式；包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；
结论——据一般原理，对特殊情况作出的判断．在解决问题的过程中，合 情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，演绎推理是根据 已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新的命题．
理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
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(2009· 江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则 它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________． 解析： 由题意知，在平面上，两个相似的正三角形的面积比是边
①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②
④为合情推理． 答案： C
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4．∵a ＝(1,0)，b＝(0 ，－ 1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－ 1)＝1×0＋
0×(－1)＝0.∴a⊥b. 大前提：________________； 小前提：________________； 结论：__________________. 答案： a⊥b 若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 a·b＝0
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
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1．数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是(
A．an＝2n－1
)
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1－1
答案： C
D．an＝2n－1＋1
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2．下列说法正确的是( A．合情推理就是归纳推理
答案：
f3(x)＝
x 1－22x
fn(x)＝
x － (n∈N＋) 1－2n 1x
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1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律， 可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构．
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定
解析： ③正确．
答案： B
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数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的 推理往往是由多个“三段论”构成的．在演绎推理中，只要大前提、小
前提和推理形式是正确的，结论必正确，否则所得的结论是错误的．
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(1)证明：函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；
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【变式训练】 3.在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E
是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．
证明： 提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，(小前提) 所以△ABD是直角三角形．(结论) 同理，△AEB也是直角三角形． (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前
式表示)．
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解析： 本题根据已知猜想n条直线的交点个数，可将n取几个特殊
值时的交点个数列出来，根据规律去猜想. n的取值 2 3 4 5 交点个数 1 3 6 10
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由以上数据可看出如下规律： 3＝1＋2；6＝1＋2＋3；10＝1＋2＋3＋4. nn－1 故猜想 n 条直线的交点个数为 1＋2＋3＋„＋(n－1)＝ .当 n 2 6×5 ＝6 时，交点个数为 ＝15. 2
长比的平方．
由类比推理知：体积比是棱长比的立方．
即可得它们的体积比为1∶8.
答案： 1∶8
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【变式训练】 2.给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a· 2. b＋b 其中结论正确的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
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3．合情推理 (1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方 式． (2)分类：归纳推理与类比推理．
【思考探究】 合情推理的结论一定正确吗？
提示： 合情推理所得结论只是一种猜想，未必可靠；正确与否，
现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．归纳是依据 若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测 性．归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的 基础之上的．
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归纳推理的一般步骤：(1)对相关资料进行观察、分析、归纳整理； (2)提出带有规律性的结论(猜想)；(3)检验猜想． 2．类比是一种主观的不充分的似真的推理，因此，要确认其猜想 的正确性，还需经过严格的逻辑论证，类比是从人们已经掌握了的事物
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归纳推理 归纳推理的特点： (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论
超越了前提所包含的范围．
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试
验的基础之上的．
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【注意】 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对 数学结论和科学的发现很有用．